2024-2025學年新教材高中數(shù)學第三章函數(shù)本章小結(jié)學案含解析新人教B版必修第一冊

第三章函數(shù)本章小結(jié)學習目標1.建立完整的數(shù)學概念.(邏輯推理)2.理解函數(shù)是刻畫變量之間依靠關(guān)系的數(shù)學語言和工具.(直觀想象)3.能用代數(shù)運算和函數(shù)圖像揭示函數(shù)的主要性質(zhì).(數(shù)學運算、直觀想象)4.在現(xiàn)實問題中,能利用函數(shù)構(gòu)建模型,解決問題.(數(shù)學建模)自主預習復習要點:1.函數(shù)的概念及表示方法:2.函數(shù)的單調(diào)性:3.函數(shù)的奇偶性:4.函數(shù)零點:5.數(shù)學建模課堂探究一、問題探究同學們,我們已經(jīng)結(jié)束了本章學問點的學習.你可以依照本章各學問點之間的聯(lián)系,作出結(jié)構(gòu)學問圖嗎?二、要點歸納1.函數(shù)的三要素:.

2.函數(shù)定義域、值域的求法:.

3.函數(shù)單調(diào)性證明的步驟:.

4.函數(shù)奇偶性推斷的步驟:.

5.函數(shù)零點推斷的兩要素:且.

6.二次函數(shù)都有哪些性質(zhì)?三、典型例題題型一:函數(shù)概念及其表示方法例1已知函數(shù)f(x)=1(1)求f(x)的定義域、值域.(2)求f(f(1)).(3)解不等式f(x+1)>14變式訓練:已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=x2-2x.(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并畫出函數(shù)f(x)的圖像;(2)依據(jù)圖像寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)函數(shù)和值域.題型二:函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例2已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若對于隨意的m,n∈[-1,1]有f(m)(1)推斷函數(shù)的單調(diào)性(不要求證明);(2)解不等式fx+12<f((3)若f(x)≤-2at+2對于隨意的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.變式訓練:函數(shù)f(x)的定義域為D={x|x≠0},且滿意對于隨意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)推斷函數(shù)f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論;(3)假如f(4)=1,f(x-1)<2且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),求x的取值范圍.題型三:函數(shù)圖像及應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)=x2-2|x|+a,其中x∈[-3,3].(1)推斷函數(shù)f(x)的奇偶性;(2)若a=-1,試說明函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求出函數(shù)f(x)的值域.變式訓練:畫出函數(shù)y=3-2xx-3的圖像,寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并求出在x∈[-四、課堂練習1.已知f(x)=3x2+x,x∈Z,且f(t)=2,求t的值.2.把下列函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式,求出定義域和值域,并作出函數(shù)圖像.(1)y=|x-1|;(2)y=|2x+3|-1.3.已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上是增函數(shù),且在區(qū)間[3,6]上的最大值為8,最小值為-1,求2f(-6)+f(-3)的值.核心素養(yǎng)專練1.利用函數(shù)求下列不等式的解集:(1)x2-2x-3>0;(2)x2-8x+16≥0;(3)x2+4x+5>0.2.已知函數(shù)y=2(m+1)x2+4mx+2m-1,m為何值時,函數(shù)存在零點.3.已知f(x)=mx2-(m+3)x-1,且f(x)<0對隨意實數(shù)x均成立,求實數(shù)m取值的集合.參考答案自主預習略課堂探究一、問題探究略二、要點歸納略三、典型例題例1(1)定義域0,52值域0,1(3)-變式訓練:(1)f(x)=x2-2(2)增區(qū)間[-1,0],[1,+∞).減區(qū)間(-∞,-1),(0,1).值域[-1,+∞).例2(1)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).(2)x0≤x<14變式訓練:(1)0.(2)偶函數(shù).(3){x|-15<x<17且x≠1}.例3(1)偶函數(shù).(2)區(qū)間[-3,-1],[0,1]上是減函數(shù),(-1,0),(1,3)上是增函數(shù).值域[-2,2].變式訓練:增區(qū)間是(-∞,3)和(3,+∞),值域是-5四、課堂練習1.-12.(1)y=x定義域為R,值域為[0,+∞)(圖像略).(2)y=-定義域為R,值域為[-1,+∞)(圖像略).3.-15核心素養(yǎng)專練1.(1)(-∞,-1)∪(3,+∞)(2)R(3)R2.m≤13.{m|-9<m<-1}學習目標1.了解本章學問網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),進一步熟識函數(shù)有關(guān)概念和性質(zhì).2.熟識二次函數(shù)的基礎(chǔ)學問及運用,進一步相識函數(shù)思想.3.把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法,能夠應(yīng)用函數(shù)思想解題.自主預習1.回看課本,梳理駕馭本章的學問點.2.閱讀課本131頁,明確本章的學問結(jié)構(gòu).3.搜集相關(guān)的數(shù)學學問,完成課本131頁的課題作業(yè).課堂探究一、學問系統(tǒng)整合函

數(shù)函數(shù)的概念二、規(guī)律方法總結(jié):1.相同函數(shù)的判定方法:2.函數(shù)解析式的求法:3.函數(shù)的定義域的求法:4.函數(shù)值域的求法:5.推斷函數(shù)單調(diào)性的步驟:6.函數(shù)奇偶性的判定法:7.方程的根與函數(shù)的零點:8.零點推斷法:9.函數(shù)的應(yīng)用:三、學科思想培優(yōu)1.函數(shù)的定義域:函數(shù)的定義域是指函數(shù)y=f(x)中自變量x的取值范圍.確定函數(shù)的定義域是進一步探討函數(shù)其他性質(zhì)的前提,而探討函數(shù)的性質(zhì),利用函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)學問題是中學數(shù)學的重要組成部分.所以熟識函數(shù)定義域的求法,對于函數(shù)綜合問題的解決起著至關(guān)重要的作用.[典例1](1)函數(shù)f(x)=3x21-x+(3x-1)A.-∞,1C.-13,13(2)已知函數(shù)y=f(x+1)的定義域是[-2,3],則y=f(2x-1)的定義域是()A.0,52 B.[-1,4] C.[-5,5] D.[-32.分段函數(shù)問題所謂分段函數(shù)是指在定義域的不同子區(qū)間上的對應(yīng)關(guān)系不同的函數(shù).分段函數(shù)是一個函數(shù)而非幾個函數(shù),其定義域是各子區(qū)間的并集,值域是各段上值域的并集.分段函數(shù)求值等問題是高考?？嫉膯栴}.[典例2]已知實數(shù)a≠0,函數(shù)f(x)=2x+a,x<1,-x-2a,x≥3.函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì),某些數(shù)學問題,通過函數(shù)的單調(diào)性可將函數(shù)值間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的關(guān)系進行探討,從而達到化繁為簡的目的,特殊是在比較大小、證明不等式、求值或求最值、解方程(組)等方面應(yīng)用非常廣泛.奇偶性是函數(shù)的又一重要性質(zhì),利用奇偶函數(shù)圖像的對稱性可以縮小問題探討的范圍,常能使求解的問題避開困難的探討.[典例3]定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿意:①對隨意的x,y∈(-1,1),均有f(x)+f(y)=fx+②當x∈(-1,0)時,f(x)>0.(1)判定函數(shù)f(x)的奇偶性;(2)判定函數(shù)f(x)在(-1,0)上的單調(diào)性.4.函數(shù)圖像及其應(yīng)用函數(shù)的圖像是函數(shù)的重要表示方法,它具有明顯的直觀性,通過函數(shù)的圖像能夠駕馭函數(shù)重要的性質(zhì),如單調(diào)性、奇偶性等.反之,駕馭好函數(shù)的性質(zhì),有助于圖像正確地畫出.函數(shù)圖像廣泛應(yīng)用于解題過程中,利用數(shù)形結(jié)合解題具有直觀、明白、易懂的優(yōu)點.[典例4]設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3).(1)證明函數(shù)f(x)是偶函數(shù);(2)畫出這個函數(shù)的圖像;(3)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,并說明在各個單調(diào)區(qū)間上f(x)的單調(diào)性;(4)求函數(shù)的值域.5.函數(shù)零點與方程的根依據(jù)函數(shù)零點的定義,函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的根,推斷一個函數(shù)是否有零點,有幾個零點,就是推斷方程f(x)=0是否有根,有幾個根.從圖形上說,函數(shù)的零點就是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標,函數(shù)零點、方程的根、函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標三者之間有著內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系,利用它們之間的關(guān)系,可以解決很多函數(shù)、方程與不等式的問題.在高考中有很多問題涉及三者的相互轉(zhuǎn)化,應(yīng)引起我們的重視.[典例5]試探討函數(shù)f(x)=x2-2|x|-a-1(a∈R)的零點個數(shù).6.函數(shù)的應(yīng)用針對一個實際問題,我們應(yīng)當選擇恰當?shù)暮瘮?shù)來刻畫.這當然須要我們深刻理解已學函數(shù)的圖像和性質(zhì),嫻熟駕馭已學函數(shù)的特點,并對一些重要函數(shù)要有清楚的相識.對于一個詳細的應(yīng)用題,原題中的數(shù)量間的關(guān)系,一般是以文字和符號的形式給出,也有的是以圖像的形式給出,此時我們要分析數(shù)量改變的特點和規(guī)律,選擇較為合適的函數(shù)來刻畫,從而解決一些實際問題或預料一些結(jié)果.[典例6]已知A,B兩城市相距100km,在兩地之間距離A城市xkm的D處修建一垃圾處理廠來解決A,B兩城市的生活垃圾和工業(yè)垃圾.為保證不影響兩城市的環(huán)境,垃圾處理廠與市區(qū)距離不得少于10km.已知垃圾處理費用和距離的平方與垃圾量之積的和成正比,比例系數(shù)為0.25.若A城市每天產(chǎn)生的垃圾量為20t,B城市每天產(chǎn)生的垃圾量為10t.(1)求x的取值范圍;(2)把每天的垃圾處理費用y表示成x的函數(shù);(3)垃圾處理廠建在距離A城市多遠處,才能使每天的垃圾處理費用最少?核心素養(yǎng)專練1.函數(shù)y=log12(-A.[-1,0) B.(0,1]C.(-∞,-1] D.[-1,+∞)2.已知函數(shù)f(x)=1-2x1+2x,則f-A.-log23 B.1C.3-22 D.22-33.下列函數(shù)中,是偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是()A.y=-3|x| B.y=xC.y=log3x2 D.y=x-x24.設(shè)a>0,且a≠1,函數(shù)f(x)=loga(x2-2x+3)有最小值,則不等式loga(x-1)>0的解集為()A.(-∞,2) B.(-∞,2]C.[2,+∞) D.(2,+∞)5.函數(shù)y=ax在[0,1]上取得的最大值與最小值的和為3,則a等于()A.12 B.2 C.14 D6.將函數(shù)y=2x的圖像,經(jīng)過平移變換后,再作關(guān)于直線y=x對稱的圖像,可得到函數(shù)y=log2(x+1)的圖像,則所作的平移變換為()A.向左平移1個單位 B.向右平移1個單位C.向上平移1個單位 D.向下平移1個單位7.若f(x)=2x+2-xlga是奇函數(shù),則實數(shù)a=()A.13 B.14 C.128.已知函數(shù)f(x)=12x(x≥4),f(x+1)(A.1 B.18 C.116 D9.已知f(x)是偶函數(shù),它在(0,+∞)上是減函數(shù),若f(lgx)>f(1),則x的取值范圍是()A.110,1 B.0,110C.110,10 D.(0,1)∪(110.若y=loga(2-ax)在[0,1]上是減函數(shù),則a的取值范圍為()A.(0,1) B.(1,2)C.(0,2) D.(1,+∞)11.f(x)=2-x的反函數(shù)為.

12.已知冪函數(shù)y=(m2-5m-5)·x2m+1在(0,+∞)上為減函數(shù),則實數(shù)m13.已知f(x)=log3x+2,x∈[1,9],則函數(shù)y=f2(x)+f(x2)的最大值是.

14.關(guān)于函數(shù)y=2x2-2①定義域為(-∞,-1)∪(3,+∞);②遞增區(qū)間為[1,+∞);③是非奇非偶函數(shù);④值域是116則正確的結(jié)論是(填序號即可).

15.計算下列各式的值:(1)(32×3)6+(2×2)43-(2)lg5lg20+(lg2)2.16.已知函數(shù)f(x)=log3(4(1)求集合A;(2)若函數(shù)f(x)=(log2x)2-2log2x-1,且x∈A,求函數(shù)f(x)的最值及對應(yīng)的x值.17.已知函數(shù)f(x)=14(1)求函數(shù)的定義域;(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;(3)用單調(diào)性定義證明:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù).參考答案自主預習略課堂探究二、規(guī)律方法總結(jié)略三、學科思想培優(yōu)[典例1]解析:(1)由題意,得1-x>0,3x-(2)設(shè)u=x+1,由-2≤x≤3,得-1≤x+1≤4,所以y=f(u)的定義域為[-1,4].再由-1≤2x-1≤4,解得0≤x≤52,即函數(shù)y=f(2x-1)的定義域是0答案:(1)D(2)A[典例2]解析:①當1-a<1,即a>0時,此時a+1>1,由f(1-a)=f(1+a),得2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得a=-32(舍去②當1-a>1,即a<0時,此時a+1<1,由f(1-a)=f(1+a),得2(1+a)+a=-(1-a)-2a,解得a=-34,符合題意,綜上所述,a=-3答案:-3[典例3]解:(1)令x=y=0,得2f(0)=f(0),∴f(0)=0.再令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)在(-1,1)上是奇函數(shù).(2)設(shè)-1<x1<x2<0,則x2-x1>0.f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=fx2∵-1<x1<x2<0,∴1+x1>0,1+x2>0,且0<x1x2<1,∴0<1-x1x2<1,∴x2-x∵x2-x1-1+x1x2=(x2-1)+x1(x2-1)=(1+x1)(x2-1)<0,∴0<x2-x1<1-x1x2,∴0<x2-x∵x∈(-1,0)時,f(x)>0,且f(x)為奇函數(shù),∴x∈(0,1)時,f(x)<0,∴f(x2)-f(x1)<0,∴f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減.[典例4]解:(1)證明:f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函數(shù).(2)當0≤x≤3時,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2.當-3≤x<0時,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2.即f(x)=(依據(jù)二次函數(shù)的作圖方法,可得函數(shù)圖像如圖.(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為[-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3].f(x)在區(qū)間[-3,-1)和[0,1)上為減函數(shù),在[-1,0)和[1,3]上為增函數(shù).(4)當0≤x≤3時,函數(shù)f(x)=(x-1)2-2的最小值為-2,最大值為f(3)=2;當-3≤x<0時,函數(shù)f(x)=(x+1)2-2的最小值為-2,最大值為f(-3)=2.故函數(shù)f(x)的值域為[-2,2].[典例5]解:設(shè)g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1,則g(x)=x2-2x,x≥0,xg(-2)=g(0)=g(2)=0,g(-1)=g(1)=-1,當a+1<-1,即a<-2時,g(x)與h(x)的圖像無交點;當a+1=-1或a+1>0,即a=-2或a>-1時,g(x)與h(x)的圖像有兩個交點;當-1<a+1<0,即-2<a<-1時,g(x)與h(x)的圖像有四個交點;當a+1=0,即a=-1時,g(x)與h(x)的圖像有三個交點.所以,當a<-2時,函數(shù)f(x)=x2-2|x|-a-1無零點;當a=-2或a>-1時,函數(shù)f(x)有兩個零點;當-2<a<-1時,函數(shù)f(x)有四個零點;當a=-1時,函數(shù)f(x)有三個零點.[典例6]解:(1)由題意可得x≥10,100-x≥10.所以10≤x≤90.所以x的取值范圍為[10,90].(2)由題意,得y=0.25[20x2+10(100-x)2],即y=152x2-500x+25000(10≤x≤90)(3)由y=152x2-500x+25000=152x-10032+500003(10≤x≤即當垃圾處理廠建在距離A城市1003km時,才能使每天的垃圾處理費用最少核心素養(yǎng)專練1.A解析:由log12(-x)≥0得0<-x≤所以-1≤x<0.2.A解析:在原函數(shù)中令f(x)=12得x=-log233.A解析:B選項既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù);C選項在(0,+∞)上為增函數(shù);D選項在(0,+∞)上不具有單調(diào)性.4.D解析:令u=x2-2x+3=(x-1)2+2,則u有最小值2.又f(x)=logau有最小值,所以a>1,所以x-1>1,所以x>2.5.B解析:因為y=ax為單調(diào)函數(shù),故a0+a1=1+a=3,所以a=2.6.D解析:函數(shù)y=log2(x+1)的圖像關(guān)于y=x對稱的圖像的解析式為y=2x-1.函數(shù)y=2x的圖像向下平移1個單位后可得y=2x-1的圖像,故選D.7.D解析:因為f(x)的定義域為R且f(x)為奇函數(shù),所以f(0)=0,所以20+20lga=0,所以lga=-1,所以a=1108.D解析:log23<4,f(log23)=f(log23+1)=f(log26),同理得f(log26)=f(log26+1)=f(log212)=f(log224),而log224>log216=4,因此f(log23)=12log224=2-log9.C解析:由于f(x)是偶函數(shù)且在(0,+∞)上是減函數(shù),所以f(-1)=f(1),且f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù),應(yīng)有x>0,-110.B解析:設(shè)u=2-ax,因為a>0,所以u=2-ax在[0,1]上為減函數(shù).所以u(1)≤u≤u(0).由于u=2-ax為減函數(shù),由復合函數(shù)單調(diào)性,知a>1,所以a滿意a>1,u(11.f-1(x)=-log2x(x>0)解析:由y=2-x得-x=log2y,即x=-log2y,且y>0,所以f(x)=2-x的反函數(shù)為f-1(x)=-log2x(x>0).12.-1解析:由m2-5m-5=1,得m=6或m=-1.當m=6時,y=x13,在(0,+∞)上為增函數(shù);當m=-1時,y=x-1,在(0,+∞)上為減函數(shù).所以m=-1.13.13解析:因為函數(shù)y=f2(x)+f(x2)的定義域需滿意1所以x∈[1