中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項知識與圓有關(guān)的位置關(guān)系(講義5考點+1命題點15種題型(含5種解題技巧))含答案及解析

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第六章圓第28講與圓有關(guān)的位置關(guān)系（思維導(dǎo)圖+5考點+1命題點15種題型（含5種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一點與圓的位置關(guān)系考點二直線與圓的位置關(guān)系考點三圓與圓的位置關(guān)系考點四與切線有關(guān)的知識考點五三角形的外接圓與內(nèi)切圓04題型精研·考向洞悉命題點與圓有關(guān)的位置關(guān)系?題型01點與圓的位置關(guān)系?題型02直線與圓的最值問題?題型03直線與圓的位置關(guān)系?題型04圓與圓的位置關(guān)系?題型05利用切線的性質(zhì)求解?題型06證明某直線是圓的切線（有明確的交點）?題型07證明某直線是圓的切線（無明確的交點）?題型08切線的性質(zhì)與判定綜合?題型09作圓的切線?題型10應(yīng)用切線長定理求解或證明?題型11由三角形外接圓求值?題型12由三角形內(nèi)切圓求值?題型13三角形內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用?題型14三角形外接圓與內(nèi)切圓綜合?題型15圓位置關(guān)系與函數(shù)綜合試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁

01考情透視·目標導(dǎo)航中考考點考查頻率新課標要求點與圓的位置關(guān)系★了解點與圓的位置關(guān)系.圓與圓的位置關(guān)系★★了解直線與圓的位置關(guān)系.切線的判定★★★掌握切線的概念，*探索并證明切線長定理切線的性質(zhì)與計算★★三角形的內(nèi)切圓★了解三角形的內(nèi)心與外心三角形的內(nèi)切圓★★【考情分析】本專題中切線的判定和性質(zhì)是圓的相關(guān)問題中的重點，常以解答題的形式出現(xiàn)，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵，注意其常用輔助線的作法:“有切點，連半徑，證垂直；無切點，作垂直，證半徑”同時，切線長定理也有考查?！久}預(yù)測】本專題內(nèi)容是各地中考數(shù)學(xué)中的必考考點之一，主要內(nèi)容包括點、直線與圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)切圓和外接圓三塊，在解答題中想必還會考查切線的性質(zhì)和判定，和直角三角形結(jié)合的求線段長的問題和三角函數(shù)結(jié)合的求角度的問題等知識點綜合，考查形式多樣，多以動點、動圖的形式給出，難度較大.關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識、基本方法，力爭拿到全分．02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一點與圓的位置關(guān)系點和圓共有三種位置關(guān)系，分別是點在圓內(nèi)，點在圓上，點在圓外，如下表所示：已知⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，點和圓的位置關(guān)系點到圓心的距離與半徑的關(guān)系點在圓內(nèi)點P在圓內(nèi)d<r點在圓上點P在圓上d=r點在圓外點P在圓外d>r【注意】掌握已知點的位置，可以確定該點到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點與圓的位置關(guān)系．1．（2024·云南怒江·一模）平面內(nèi)，⊙O的半徑為10cm，若點P在⊙O內(nèi)，則OP的長可以是（

）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm2．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）已知⊙O的半徑為1，點A到圓心O的距離為a，若關(guān)于x的方程x2?2x+a=0不存在實數(shù)根，則點A與⊙O的位置關(guān)系是（A．點A在⊙O外 B．點A在⊙O上C．點A在⊙O內(nèi) D．無法確定3．（2024·云南昭通·二模）在同一平面內(nèi)，點P在⊙O外，已知點P到⊙O上的點的最大距離為a，最小距離為b，則⊙O的半徑為（）A．a(chǎn)+b2 B．a(chǎn)?b2 C．a(chǎn) 4．（2024長春市三模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8．以點A為圓心，r為半徑作圓，當點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外時，r的值可能是（

）A．6 B．8 C．10 D．12考點二直線與圓的位置關(guān)系直線和圓共有三種位置關(guān)系，分別是相離，相切，相交，如下表所示：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離定義直線和圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交直線和圓只有一個公共點時，叫做直線與圓相切直線和圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離圖示公共點個數(shù)2個1個無圓心到直徑的距離d與圓半徑r之間的大小關(guān)系d<rd=rd>r公共點名稱交點切點無直線名稱交線/割線切線無結(jié)論直線l與⊙O相交d<r直線l與⊙O相切d=r直線l與⊙O相離d>r從左端推出右端是直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)，從右端推出左端是直線與圓的位置關(guān)系的判斷.1．（2022·貴州六盤水·中考真題）如圖是“光盤行動”的宣傳海報，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．平行2．（2021·浙江嘉興·中考真題）已知平面內(nèi)有⊙O和點A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA=3cm，OB=2cm，則直線AB與⊙OA．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切3．（2020·廣東廣州·中考真題）如圖，RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，以點B為圓心，r為半徑作⊙B，當r=3時，⊙B與ACA．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定4．（2024·湖北·模擬預(yù)測）△ABC的三邊AB，AC，BC的長度分別是3，4，5，以頂點A為圓心，2.4為半徑作圓，則該圓與直線BC的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．以上都不是QUOTEQUOTE考點三圓與圓的位置關(guān)系設(shè)的半徑分別為r、R（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形公共點個數(shù)性質(zhì)及判定外離無兩圓外離?外切1個切點兩圓外切?相交兩個交點兩圓相交?內(nèi)切1個切點兩圓內(nèi)切?內(nèi)含無兩圓內(nèi)含?兩圓相切、相交的重要性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，奧運五環(huán)標志里，包含了圓與圓位置關(guān)系中的（）A．相切，內(nèi)含 B．外切，內(nèi)含 C．外離，相交 D．相切，相交2．（2021·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，已知長方形ABCD中，AB=4,AD=3，圓B的半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點C,D與圓A的位置關(guān)系是（

）A．點C在圓A外，點D在圓A內(nèi) B．點C在圓A外，點D在圓A外C．點C在圓A上，點D在圓A內(nèi) D．點C在圓A內(nèi)，點D在圓A外3．（2024·上海·二模）若兩個半徑為2的等圓外離，則圓心距d的取值范圍為．考點四與切線有關(guān)的知識1.切線的性質(zhì)定理與切線的判定定理切線的定義：線和圓只有一個公共點時，這條直線叫圓的切線，這個公共點叫做切點．切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.（實際上過切點的半徑也可理解為過切點的直徑或經(jīng)過切點與圓心的直線）【補充】1）經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點；2）經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必過圓心.切線的判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.用切線的判定定理時,兩個條件缺一不可:1）經(jīng)過半徑的外端；2）垂直于這條半徑.2.切線長定理切線長：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．【解題技巧】切線長定理經(jīng)常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點構(gòu)造直角三角形來求解．

1．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，若∠C=20°，則∠CAD=°．2．（2024·四川·中考真題）如圖，AB為⊙O的弦，C為AB的中點，過點C作CD∥AB，交OB的延長線于點D．連接

(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若OA=3，BD=2，求△OCD的面積．3．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，EA，ED是⊙O的切線，切點為A，D，點B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD=236°，則∠E=（

）A．56° B．60° C．68° D．70°4．（2022·四川眉山·中考真題）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB=28°，則∠APB的度數(shù)為（

）A．28° B．50° C．56° D．62°5．（2020·湖南永州·中考真題）如圖，已知PA,PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，線段OP交⊙O于點M．給出下列四種說法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四邊形OAPB有外接圓；④M是△AOP外接圓的圓心，其中正確說法的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4考點五三角形的外接圓與內(nèi)切圓1.三角形的外接圓與外心三角形外接圓：經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.三角形的外心：三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三條邊垂直平分線的交點.三角形的外心的性質(zhì)：三角形的外心到三個頂點的距離相等，等于外接圓半徑.2.三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心三角形內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，這個三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分性的交點.三角形的內(nèi)心的性質(zhì)：內(nèi)心到三角形各邊的距離相等.1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，則⊙O的半徑是2．（2021·浙江·中考真題）如圖，已知點O是△ABC的外心，∠A=40°，連結(jié)BO，CO，則∠BOC的度數(shù)是（

）．A．60° B．70° C．80° D．90°3．（2020·青?！ぶ锌颊骖}）在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，則△ABC的內(nèi)切圓的半徑為．4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓，徑幾何？”譯文：現(xiàn)在有一個直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步．問這個直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長和長直角邊的長，求得斜邊的長．用直角三角形三條邊的長相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計算所得的商就是這個直角三角形內(nèi)切圓的直徑．根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步．（注：“步”為長度單位）

04題型精研·考向洞悉命題點一與圓有關(guān)的位置關(guān)系?題型01點與圓的位置關(guān)系根據(jù)點到圓心的距離與半徑比較大小，從而得到位置關(guān)系.設(shè)半徑為r，點到圓心的距離為d1）若d＜r，則點P在圓內(nèi)；2）若d=r，則點P在圓上；3）若d＞r，則點P在圓外.1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，⊙O中，弦AB的長為43，點C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面內(nèi)有一點P，若OP=5，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（

A．點P在⊙O上 B．點P在⊙O內(nèi) C．點P在⊙O外 D．無法確定2．（2021·青?！ぶ锌颊骖}）點P是非圓上一點，若點P到⊙O上的點的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則⊙O的半徑是．3．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）小明手中有幾組大小不等的三角板，分別是含45度，30度的直角三角板．從中選擇兩個各拼成如圖所示的圖形，則關(guān)于兩圖中四個頂點A，B，C，D的說法，正確的是（

）A．甲圖四點共圓，乙圖四點共圓 B．甲圖四點共圓，乙圖四點不共圓C．甲圖四點不共圓，乙圖四點共圓 D．甲圖四點不共圓，乙圖四點不共圓QUOTEQUOTEQUOTE?題型02直線與圓的最值問題已知點P為⊙O上動點，點Q為直線AB上動點，過點O作OD⊥AB于點D，交⊙O為點C圖示：結(jié)論：當O，P，Q三點共線且為垂線段時，PQ取最小值，最小值為PQ的長.1．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，⊙M的圓心為M4，0，半徑為2，P是直線y=x+4上的一個動點，過點P作⊙M的切線，切點為Q，則2．（2023·陜西·中考真題）（1）如圖①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的半徑為4，點P在⊙O上，點M在AB上，連接PM，求線段PM的最小值；（2）如圖②所示，五邊形ABCDE是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會在點B處，點E處是該市的一個交通樞紐．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)境及實際需求，現(xiàn)要在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)（含邊界）修一個半徑為30m的圓型環(huán)道⊙O；過圓心O，作OM⊥AB，垂足為M，與⊙O交于點N．連接BN，點P在⊙O上，連接EP．其中，線段BN、EP及MN是要修的三條道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情況下，使所修道路MN最短，試求此時環(huán)道⊙O的圓心O到AB

?題型03直線與圓的位置關(guān)系判定直線與圓的位置關(guān)系通常有以下兩種方法：1）根據(jù)直線與圓的公共點的個數(shù)判斷；①若直線與圓有兩個交點，則直線與圓相交；②若直線與圓有一個交點，則直線與圓相切；③若直線與圓有沒有交點，則直線與圓相離.2）根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷.設(shè)半徑為r，直線到圓心的距離為d①若d＜r，則直線與圓相交；②若d=r，則直線與圓相切；③若d＞r，則直線與圓相離.1．（2022·山東青島·模擬預(yù)測）已知等邊三角形ABC的邊長為4cm，以點A為圓心，以3.5cm長為半徑作⊙A，則⊙A與BC的位置關(guān)系是（A．相交 B．相切 C．相離 D．外離2．（2024·上海嘉定·三模）設(shè)以3，4，5為邊長構(gòu)成的三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為個.3．（2021·四川遂寧·中考真題）已知平面直角坐標系中，點P（x0,y0）和直線Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全為0），則點P到直線Ax＋By＋C＝0的距離例如：求點P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離，因為直線y＝2x＋1可化為2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以點P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離為：d=A根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）求點M（0，3）到直線y=3（2）在（1）的條件下，⊙M的半徑r＝4，判斷⊙M與直線y=3x+9的位置關(guān)系，若相交，設(shè)其弦長為n，求QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04圓與圓的位置關(guān)系1．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，點P在△ABC內(nèi)，分別以A、B、P為圓心畫，圓A半徑為1，圓B半徑為2，圓P半徑為3，圓A與圓P內(nèi)切，圓P與圓B的關(guān)系是（

）A．內(nèi)含 B．相交 C．外切 D．相離2．（2023·四川德陽·中考真題）已知⊙O1的半徑為1，⊙O2的半徑為r，圓心距O1O2=5，如果在⊙O3．（2024·上?！つM預(yù)測）若相交兩圓的半徑分別為4和5，公共弦長為6，兩圓圓心距長為．QUOTE?題型05利用切線的性質(zhì)求解運用切線的性質(zhì)進行計算時，常見輔助線的作法是連接圓心和切點，根據(jù)切線的性質(zhì)構(gòu)造出直角三角形，一方面可以求相關(guān)角的大小，另一方面可以利用勾股定理求線段的長度1．（2024·山西·中考真題）如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，與AC相切于點A，連接OD．若∠AOD=80°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．50°2．（2024·山東青島·中考真題）如圖，△ABC中，BA=BC，以BC為直徑的半圓O分別交AB，AC于點D，E，過點E作半圓O的切線，交AB于點M，交BC的延長線于點N．若ON=10，cos∠ABC=353．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A與BC相切于點D．

(1)求圖中陰影部分的面積；(2)設(shè)⊙A上有一動點P，連接CP，BP．當CP的長最大時，求BP的長．?題型06證明某直線是圓的切線（有明確的交點）1）給出了直線與圓的公共點和經(jīng)過公共點的半徑時，可直接根據(jù)“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明.口訣是“見半徑,證垂直”.2）給出了直線與圓的公共點，但未給出過這點的半徑時，可連接公共點和圓心，然后根據(jù)“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明,口訣是“連半徑,證垂直”.3）當直線與圓的公共點不明確時，先過圓心作該直線的垂線，然后根據(jù)“若圓心到直線的距離等于圓的半徑,則該直線是圓的切線”來證明.口訣是“作垂直,證相等”.1．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長線上一點，連接CD，CF，且∠DCF=∠CAD．

(1)求證：CF是⊙O的切線；(2)若AD=10，cosB=352．（2024內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，△ACD內(nèi)接于⊙O，直徑AB交CD于點G，過點D作射線DF，使得∠ADF=∠ACD，延長DC交過點B的切線于點E，連接BC．(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)若CD=8①求DE的長；②求⊙O的半徑．3．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，點P是BA延長線上的一點，連接AC，∠PCA=∠B．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)若sin∠B=12(3)若CD⊥AB于D，PA=4，BD=6，求AD的長．?題型07證明某直線是圓的切線（無明確的交點）1．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，點O為AB的中點，連接CO交⊙O于點E，⊙O與AC相切于點D．(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)延長CO交⊙O于點G，連接AG交⊙O于點F，若AC=42，求FG2．（2023·湖北襄陽·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，O是BC的中點，⊙O與AB相切于點D，與BC交于點E，F(xiàn)，DG是⊙O的直徑，弦GF的延長線交AC于點H，且GH⊥AC．

(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若DE=2，GH=3，求DE的長l．?題型08切線的性質(zhì)與判定綜合1．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AC與半圓O相切于點D，底邊BC與半圓O交于E，F(xiàn)兩點．(1)求證：AB與半圓O相切；(2)連接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC2．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點E，C在⊙O上，點C是BE的中點，AE垂直于過C點的直線DC，垂足為D，AB的延長線交直線DC于點F．

(1)求證：DC是⊙O的切線；(2)若AE=2，sin∠AFD=13，①求⊙O3．（2023·湖南懷化·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O外一點，PA與⊙O相切于點A，點C為⊙O上的一點．連接PC、AC、OC，且PC=PA．

(1)求證：PC為⊙O的切線；(2)延長PC與AB的延長線交于點D，求證：PD?OC=PA?OD；(3)若∠CAB=30°，?題型09作圓的切線1．（2024·廣東·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°．

(1)實踐與操作：用尺規(guī)作圖法作∠A的平分線AD交BC于點D；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，以點D為圓心，DC長為半徑作⊙D．求證：AB與⊙D相切．2．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖，在單位長度為1的網(wǎng)格中，點O，A，B均在格點上，OA=3，AB=2，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答問題：①過點A作切線AC，且AC=4（點C在A的上方）；②連接OC，交⊙O于點D；③連接BD，與AC交于點E．(1)求證：BD為⊙O的切線；(2)求AE的長度．3．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點.(1)如圖①，過點D作DE∥AB交AC邊于點E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于12CD?AB，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙QUOTE?題型10應(yīng)用切線長定理求解或證明1．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，若⊙I的半徑為r，∠A=α，則BF+CE?BC的值和∠FDE的大小分別為（

）A．2r，90°?α B．0，90°?α C．2r，90°?α2 2．（2023·湖北·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC分別相切于點D，E，連接DE，AO的延長線交DE

3．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）如圖，射線AM⊥AB，O是AM上的一點，以O(shè)為圓心，OA長為半徑，在AM上方作半圓AOC，BE與半圓O相切于點D，交AM于點E，EF⊥BO于點F．(1)求證：BA=BD；(2)若∠ABE=60°，①判斷點F與半圓O所在圓的位置關(guān)系：點F在______；（圓內(nèi)，圓上，圓外）②AB=6，求陰影部分的面積．?題型11由三角形外接圓求值1．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分別為D,E,F，連接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC的周長為21，則EF的長為（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．32．（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過點B作BE⊥AC于點E，點P為線段BE上一動點（點P不與B，E重合），則CP+12BP

3．（2022·廣西玉林·中考真題）如圖，在5×7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1，點O，A，B，C，D，E均在格點上，點O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認為外心也是O的三角形都寫出來．4．（2023·山東日照·中考真題）在探究“四點共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動課上，小霞小組通過探究得出：在平面內(nèi)，一組對角互補的四邊形的四個頂點共圓．請應(yīng)用此結(jié)論．解決以下問題：如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°<α<180°）．點D是BC邊上的一動點（點D不與B，C重合），將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α到線段AE，連接

(1)求證：A，E，B，D四點共圓；(2)如圖2，當AD=CD時，⊙O是四邊形AEBD的外接圓，求證：AC是⊙O的切線；(3)已知α=120°，BC=6，點M是邊BC的中點，此時⊙P是四邊形AEBD的外接圓，直接寫出圓心P與點?題型12由三角形內(nèi)切圓求值1．（2023·四川攀枝花·中考真題）已知△ABC的周長為l，其內(nèi)切圓的面積為πr2，則△ABC的面積為（A．12rl B．12πrl C．2．（2020·遼寧丹東·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，AB=CD，∠B=60°，AD=83，分別以B和C為圓心，以大于12BC的長為半徑作弧，兩弧相交于點P和Q，直線PQ與BA延長線交于點E，連接CE

A．4 B．43 C．2 D．3．（2024·北京·模擬預(yù)測）在邊長為1的正三角形內(nèi)放入n個半徑相同、彼此相切的圓，使得它們的半徑為r最大．(1)當n=1，r=(2)當n=6，選擇作圖工具，作出一種符合情況的圖形（保留痕跡）(3)當n=5050，求r的長度．（可畫示意圖說明）?題型13三角形內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用1．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，E是BC邊上一點，且BE=2，點I是△ABC的內(nèi)心，BI的延長線交AC于點D，P是BD上一動點，連接PE、PC，則PE+PC的最小值為．

2．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，△ABC內(nèi)接于⊙O，點I為△ABC的內(nèi)心，連接CI并延長交O于點D，E是BC上任意一點，連接AD，BD，BE，CE．(1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度數(shù)；(2)找出圖中所有與DI相等的線段，并證明；(3)若CI=22，DI=1323．（2024·寧夏·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，點D是△ABC的內(nèi)心，連接AD并延長交⊙O于點E，過點E作⊙O的切線交AB的延長線于點F．(1)求證：BC∥EF；(2)連接CE，若⊙O的半徑為2，sin∠AEC=12?題型14三角形外接圓與內(nèi)切圓綜合1．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，則它的內(nèi)切圓半徑為（

）

A．1 B．2 C．2 D．32．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內(nèi)心，連接AI并延長交BC和⊙O于D，E．(1)求證：EB=EI；(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的長．3．（2024·福建南平·模擬預(yù)測）如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的⊙O交斜邊AC于點D，過點D作⊙O的切線與BC交于點E，弦DM與AB垂直，垂足為H(1)求證：E為BC的中點；(2)若⊙O的面積為12π，兩個△AHD和△BMH的外接圓面積之比為3，求△DEC的內(nèi)切圓面積S1和四邊形OBED的外接圓面積S?題型15圓位置關(guān)系與函數(shù)綜合1．（2023·山東煙臺·中考真題）如圖，在直角坐標系中，⊙A與x軸相切于點B,CB為⊙A的直徑，點C在函數(shù)y=kx(k>0,x>0)的圖象上，D為y軸上一點，△ACD的面積為6，則k

2．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=x2?6x+8的圖像與x軸分別交于點A,B（點A在點B的左側(cè)），直線l是對稱軸．點P在函數(shù)圖像上，其橫坐標大于4，連接PA,PB，過點P作PM⊥l，垂足為M，以點M為圓心，作半徑為r的圓，PT與⊙M

(1)求點A,B的坐標；(2)若以⊙M的切線長PT為邊長的正方形的面積與△PAB的面積相等，且⊙M不經(jīng)過點3,2，求PM長的取值范圍．3．（2023·湖南·中考真題）如圖，點A，B，C在⊙O上運動，滿足AB2=BC2+AC2，延長AC至點D，使得∠DBC=∠CAB，點E是弦AC上一動點（不與點A，C重合），過點E作弦AB的垂線，交AB于點F，交BC的延長線于點N，交⊙O于點

(1)BD是⊙O的切線嗎？請作出你的判斷并給出證明；(2)記△BDC，△ABC，△ADB的面積分別為S1(3)若⊙O的半徑為1，設(shè)FM=x，F(xiàn)E?FN?1BC?BN+1AE?AC=y，試求

第六章圓第28講與圓有關(guān)的位置關(guān)系（思維導(dǎo)圖+5考點+1命題點15種題型（含5種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一點與圓的位置關(guān)系考點二直線與圓的位置關(guān)系考點三圓與圓的位置關(guān)系考點四與切線有關(guān)的知識考點五三角形的外接圓與內(nèi)切圓04題型精研·考向洞悉命題點與圓有關(guān)的位置關(guān)系?題型01點與圓的位置關(guān)系?題型02直線與圓的最值問題?題型03直線與圓的位置關(guān)系?題型04圓與圓的位置關(guān)系?題型05利用切線的性質(zhì)求解?題型06證明某直線是圓的切線（有明確的交點）?題型07證明某直線是圓的切線（無明確的交點）?題型08切線的性質(zhì)與判定綜合?題型09作圓的切線?題型10應(yīng)用切線長定理求解或證明?題型11由三角形外接圓求值?題型12由三角形內(nèi)切圓求值?題型13三角形內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用?題型14三角形外接圓與內(nèi)切圓綜合?題型15圓位置關(guān)系與函數(shù)綜合

01考情透視·目標導(dǎo)航中考考點考查頻率新課標要求點與圓的位置關(guān)系★了解點與圓的位置關(guān)系.圓與圓的位置關(guān)系★★了解直線與圓的位置關(guān)系.切線的判定★★★掌握切線的概念，*探索并證明切線長定理切線的性質(zhì)與計算★★三角形的內(nèi)切圓★了解三角形的內(nèi)心與外心三角形的內(nèi)切圓★★【考情分析】本專題中切線的判定和性質(zhì)是圓的相關(guān)問題中的重點，常以解答題的形式出現(xiàn)，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵，注意其常用輔助線的作法:“有切點，連半徑，證垂直；無切點，作垂直，證半徑”同時，切線長定理也有考查?！久}預(yù)測】本專題內(nèi)容是各地中考數(shù)學(xué)中的必考考點之一，主要內(nèi)容包括點、直線與圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)切圓和外接圓三塊，在解答題中想必還會考查切線的性質(zhì)和判定，和直角三角形結(jié)合的求線段長的問題和三角函數(shù)結(jié)合的求角度的問題等知識點綜合，考查形式多樣，多以動點、動圖的形式給出，難度較大.關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識、基本方法，力爭拿到全分．02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一點與圓的位置關(guān)系點和圓共有三種位置關(guān)系，分別是點在圓內(nèi)，點在圓上，點在圓外，如下表所示：已知⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，點和圓的位置關(guān)系點到圓心的距離與半徑的關(guān)系點在圓內(nèi)點P在圓內(nèi)d<r點在圓上點P在圓上d=r點在圓外點P在圓外d>r【注意】掌握已知點的位置，可以確定該點到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點與圓的位置關(guān)系．1．（2024·云南怒江·一模）平面內(nèi)，⊙O的半徑為10cm，若點P在⊙O內(nèi)，則OP的長可以是（

）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】A【分析】本題考查了點與圓的位置關(guān)系．熟練掌握點在圓內(nèi)，則點到圓心的距離小于圓的半徑是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點在圓內(nèi)，則點到圓心的距離小于圓的半徑判斷作答即可．【詳解】解：∵點P在⊙O內(nèi)，∴OP<10，∴OP的長可以是8cm，故選：A．2．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）已知⊙O的半徑為1，點A到圓心O的距離為a，若關(guān)于x的方程x2?2x+a=0不存在實數(shù)根，則點A與⊙O的位置關(guān)系是（A．點A在⊙O外 B．點A在⊙O上C．點A在⊙O內(nèi) D．無法確定【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根的判別方法和點與圓的位置關(guān)系，根據(jù)一元二次方程根的情況，判斷a的取值范圍，再根據(jù)點與圓心的距離，判斷點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握根的判別方法和判斷點與圓的位置關(guān)系的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，得Δ=解得a>1，∴a>r=1，則點A在⊙O外，故選：A．3．（2024·云南昭通·二模）在同一平面內(nèi)，點P在⊙O外，已知點P到⊙O上的點的最大距離為a，最小距離為b，則⊙O的半徑為（）A．a(chǎn)+b2 B．a(chǎn)?b2 C．a(chǎn) 【答案】B【分析】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生分類的思想及對點P到圓上最大距離、最小距離的認識．點P在圓外時，直徑為最大距離與最小距離的差，即可求解．【詳解】解：由題意得，P到⊙O上的點的最大距離為a，最小距離為b，∴圓的直徑是a?b，因而半徑是a?b2故選：B．4．（2024長春市三模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8．以點A為圓心，r為半徑作圓，當點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外時，r的值可能是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知點與圓的位置關(guān)系有3種，熟知⊙A的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有∶①點P在圓外②點P在圓上；③點P在圓內(nèi)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再由點與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論【詳解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，∴AC=A∵當點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外時，∴6<r<10，∴r的值可能是8．故選：B．考點二直線與圓的位置關(guān)系直線和圓共有三種位置關(guān)系，分別是相離，相切，相交，如下表所示：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離定義直線和圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交直線和圓只有一個公共點時，叫做直線與圓相切直線和圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離圖示公共點個數(shù)2個1個無圓心到直徑的距離d與圓半徑r之間的大小關(guān)系d<rd=rd>r公共點名稱交點切點無直線名稱交線/割線切線無結(jié)論直線l與⊙O相交d<r直線l與⊙O相切d=r直線l與⊙O相離d>r從左端推出右端是直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)，從右端推出左端是直線與圓的位置關(guān)系的判斷.1．（2022·貴州六盤水·中考真題）如圖是“光盤行動”的宣傳海報，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．平行【答案】B【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系的進行判斷即可．【詳解】解：∵餐盤看成圓形的半徑大于餐盤的圓心到筷子看成直線l的距離為d.∴d<r，∴直線和圓相交．故選：B【點睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意：已知⊙O的半徑為r，如果圓心O到直線l的距離是d，當d>r時，直線和圓相離，當d=r時，直線和圓相切，當d<r時，直線和圓相交．2．（2021·浙江嘉興·中考真題）已知平面內(nèi)有⊙O和點A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA=3cm，OB=2cm，則直線AB與⊙OA．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法進行判斷．【詳解】解：∵⊙O的半徑為2cm，線段OA=3cm，線段OB=2cm，即點A到圓心O的距離大于圓的半徑，點B到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點A在⊙O外．點B在⊙O上，∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，故選：D．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．3．（2020·廣東廣州·中考真題）如圖，RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，以點B為圓心，r為半徑作⊙B，當r=3時，⊙B與ACA．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)RtΔABC中，∠C=90°，cosA=45，求出AC的值，再根據(jù)勾股定理求出BC的值，比較BC與半徑r的大小，即可得出⊙B【詳解】解：∵RtΔABC中，∠C=90°，cosA=∴cosA=AC∵AB=5，∴AC=4∴BC=A當r=3時，⊙B與AC的位置關(guān)系是：相切故選：B【點睛】本題考查了由三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理以及直線和圓的位置關(guān)系等知識，利用勾股定理解求出BC是解題的關(guān)鍵．4．（2024·湖北·模擬預(yù)測）△ABC的三邊AB，AC，BC的長度分別是3，4，5，以頂點A為圓心，2.4為半徑作圓，則該圓與直線BC的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．以上都不是【答案】C【分析】本題考查了勾股定理逆定理、三角形面積公式、直線與圓的位置關(guān)系，先由勾股定理逆定理判斷出△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，設(shè)斜邊BC上的高為?，根據(jù)等面積法求出?=2.4，即可得解．【詳解】解：∵AB∴△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，設(shè)斜邊BC上的高為?，則S△ABC∴?=AB?AC∴以頂點A為圓心，2.4為半徑作圓，則該圓與直線BC的位置關(guān)系是相切，故選：C．QUOTEQUOTE考點三圓與圓的位置關(guān)系設(shè)的半徑分別為r、R（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形公共點個數(shù)性質(zhì)及判定外離無兩圓外離?外切1個切點兩圓外切?相交兩個交點兩圓相交?內(nèi)切1個切點兩圓內(nèi)切?內(nèi)含無兩圓內(nèi)含?兩圓相切、相交的重要性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，奧運五環(huán)標志里，包含了圓與圓位置關(guān)系中的（）A．相切，內(nèi)含 B．外切，內(nèi)含 C．外離，相交 D．相切，相交【答案】C【分析】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系，掌握圓的五種位置關(guān)系成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓與圓的五種位置關(guān)系的定義即可解答．【詳解】解：觀察圖形即可求得包含了圓與圓位置關(guān)系中的外離和相交．故選C．2．（2021·上海·中考真題）如圖，已知長方形ABCD中，AB=4,AD=3，圓B的半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點C,D與圓A的位置關(guān)系是（

）A．點C在圓A外，點D在圓A內(nèi) B．點C在圓A外，點D在圓A外C．點C在圓A上，點D在圓A內(nèi) D．點C在圓A內(nèi)，點D在圓A外【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)切得出圓A的半徑，再判斷點D、點E到圓心的距離即可【詳解】∵圓A與圓B內(nèi)切，AB=4，圓B的半徑為1∴圓A的半徑為5∵AD=3<5∴點D在圓A內(nèi)在Rt△ABC中，AC=∴點C在圓A上故選：C【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理，熟練掌握點與圓的位置關(guān)系是關(guān)鍵3．（2024·上?！ざ＃┤魞蓚€半徑為2的等圓外離，則圓心距d的取值范圍為．【答案】d>4【分析】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，重點考察由數(shù)量關(guān)系及兩圓位置關(guān)系求圓心距的取值范圍的方法．本題直接告訴了兩圓的半徑及兩圓位置關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系與兩圓位置關(guān)系的對應(yīng)情況便可直接得出答案．外離，則P>R+r；外切，則P=R+r；相交，則R?r<P<R+r；內(nèi)切，則P=R?r；內(nèi)含，則P<R?r．(P表示圓心距，R，r分別表示兩圓的半徑）．【詳解】解：根據(jù)題意，得r+r=2+2=4，∵兩圓外離，∴圓心距d>4，故答案為d>4考點四與切線有關(guān)的知識1.切線的性質(zhì)定理與切線的判定定理切線的定義：線和圓只有一個公共點時，這條直線叫圓的切線，這個公共點叫做切點．切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.（實際上過切點的半徑也可理解為過切點的直徑或經(jīng)過切點與圓心的直線）【補充】1）經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點；2）經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必過圓心.切線的判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.用切線的判定定理時,兩個條件缺一不可:1）經(jīng)過半徑的外端；2）垂直于這條半徑.2.切線長定理切線長：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．【解題技巧】切線長定理經(jīng)常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點構(gòu)造直角三角形來求解．

1．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，若∠C=20°，則∠CAD=°．【答案】35【分析】本題利用了切線的性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，等邊對等角求解．連接OD，構(gòu)造直角三角形，利用OA=OD，從而得出∠CAD的度數(shù)．【詳解】解：連接OD，∵CD與⊙O相切于點D，∴∠ODC=90°，∵∠C=20°，∴∠COD=70°；∵OA=OD，∴∠ODA=∠CAD=1故答案為：352．（2024·四川·中考真題）如圖，AB為⊙O的弦，C為AB的中點，過點C作CD∥AB，交OB的延長線于點D．連接

(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若OA=3，BD=2，求△OCD的面積．【答案】(1)見解析(2)6【分析】本題考查了圓的切線的判定、勾股定理、垂徑定理的推論等知識點，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）由垂徑定理的推論可知OC⊥AB，據(jù)此即可求證；（2）利用勾股定理求出CD即可求解；【詳解】（1）證明：∵AB為⊙O的弦，C為AB的中點，由垂徑定理的推論可知：OC⊥AB，∵CD∥∴OC⊥CD，∵OC為⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵OB=OA=OC=3，BD=2，∴OD=OB+BD=5，∴CD=O∴S△OCD3．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，EA，ED是⊙O的切線，切點為A，D，點B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD=236°，則∠E=（

）A．56° B．60° C．68° D．70°【答案】C【分析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線長定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，正確作輔助線是解題關(guān)鍵．根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠BAD+∠BCD=180°，由∠BAE+∠BCD=236°得∠EAD=56°，由切線長定理得EA=ED，即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接AD，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BAE+∠BCD=236°，∴∠BAE+∠BCD?∠BAD+∠BCD即∠BAE?∠BAD=56°，∴∠EAD=56°，∵EA，ED是⊙O的切線，根據(jù)切線長定理得，∴EA=ED，∴∠EAD=∠EDA=56°，∴∠E=180°?∠EAD?∠EDA=180°?56°?56°=68°．故選：C．4．（2022·四川眉山·中考真題）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB=28°，則∠APB的度數(shù)為（

）A．28° B．50° C．56° D．62°【答案】C【分析】連OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因為PA、PB分別相切于點A、B，則∠OAP=∠OBP=90°，利用四邊形內(nèi)角和即可求出∠APB．【詳解】連接OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=28°，∴∠AOB=124°，∵PA、PB切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OP⊥AB，∴∠OAP+∠OBP=180°，∴∠APB+∠AOB=180°；∴∠APB=56°．故選：C【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，三角形和四邊形的內(nèi)角和定理，切線長定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造等腰三角形解決問題．5．（2020·湖南永州·中考真題）如圖，已知PA,PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，線段OP交⊙O于點M．給出下列四種說法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四邊形OAPB有外接圓；④M是△AOP外接圓的圓心，其中正確說法的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由切線長定理判斷①，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)判斷②，利用切線的性質(zhì)與直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，判斷③，利用反證法判斷④．【詳解】如圖，∵PA,PB是⊙O的兩條切線，∴PA=PB,∠APO=∠BPO,故①正確，∵PA=PB,∠APO=∠BPO,∴PO⊥AB,故②正確，∵PA,PB是⊙O的兩條切線，∴∠OAP=∠OBP=90°,取OP的中點Q，連接AQ,BQ，則AQ=1所以：以Q為圓心，QA為半徑作圓，則B,O,P,A共圓，故③正確，∵M是△AOP外接圓的圓心，∴MO=MA=MP=AO,∴∠AOM=60°,與題干提供的條件不符，故④錯誤，綜上：正確的說法是3個，故選C．【點睛】本題考查的是切線長定理，三角形的外接圓，四邊形的外接圓，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．考點五三角形的外接圓與內(nèi)切圓1.三角形的外接圓與外心三角形外接圓：經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.三角形的外心：三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三條邊垂直平分線的交點.三角形的外心的性質(zhì)：三角形的外心到三個頂點的距離相等，等于外接圓半徑.2.三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心三角形內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，這個三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分性的交點.三角形的內(nèi)心的性質(zhì)：內(nèi)心到三角形各邊的距離相等.1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，則⊙O的半徑是【答案】1【分析】連接OA、OC，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC=90°，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：連接OA、OC，∵∠ABC=45°，∴∠AOC=2∠ABC=90°，∴OA2+O解得：OA=1，故答案為：1．【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2021·浙江·中考真題）如圖，已知點O是△ABC的外心，∠A=40°，連結(jié)BO，CO，則∠BOC的度數(shù)是（

）．A．60° B．70° C．80° D．90°【答案】C【分析】結(jié)合題意，根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)，作⊙O；再根據(jù)圓周角和圓心角的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】△ABC的外接圓如下圖∵∠A=40°∴∠BOC=2∠A=80°故選：C．【點睛】本題考查了圓的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外接圓、圓周角、圓心角的性質(zhì)，從而完成求解．3．（2020·青?！ぶ锌颊骖}）在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，則△ABC的內(nèi)切圓的半徑為．【答案】1【分析】本題考查求直角三角形的內(nèi)切圓的半徑，勾股定理求出AB的長，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，根據(jù)切線長定理，得到AB=AC?r+BC?r，進行求解即可．【詳解】解：∵∠C=90°，AC=3,BC=4，∴AB=5，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與三邊的切點分別為D,E,F，內(nèi)切圓的半徑為r，如圖，則：四邊形ODCE為正方形，CD=CE=r，AD=AF,BE=BF，∴AB=AF+BF=BE+AD=BC?r+AC?r，∴5=3+4?2r，∴r=1；故答案為：1．4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓，徑幾何？”譯文：現(xiàn)在有一個直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步．問這個直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長和長直角邊的長，求得斜邊的長．用直角三角形三條邊的長相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計算所得的商就是這個直角三角形內(nèi)切圓的直徑．根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步．（注：“步”為長度單位）

【答案】6【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑的求法確定出內(nèi)切圓半徑，得到直徑．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為82則該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑r=8+15?17故答案為：6．【點睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握Rt△ABC中，兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，其內(nèi)切圓半徑r=04題型精研·考向洞悉命題點一與圓有關(guān)的位置關(guān)系?題型01點與圓的位置關(guān)系根據(jù)點到圓心的距離與半徑比較大小，從而得到位置關(guān)系.設(shè)半徑為r，點到圓心的距離為d1）若d＜r，則點P在圓內(nèi)；2）若d=r，則點P在圓上；3）若d＞r，則點P在圓外.1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，⊙O中，弦AB的長為43，點C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面內(nèi)有一點P，若OP=5，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（

A．點P在⊙O上 B．點P在⊙O內(nèi) C．點P在⊙O外 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由垂徑定理可得AD=23，由圓周角定理可得∠AOC=60°，再結(jié)合特殊角的正弦值，求出⊙O【詳解】解：如圖，令OC與AB的交點為D，∵OC為半徑，AB為弦，且OC⊥AB，∴AD=1∵∠ABC=30°∴∠AOC=2∠ABC=60°，在△ADO中，∠ADO=90°，∠AOD=60°，AD=23∵sin∴OA=ADsin60°∵OP=5>4，∴點P在⊙O外，故選：C．2．（2021·青?！ぶ锌颊骖}）點P是非圓上一點，若點P到⊙O上的點的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則⊙O的半徑是．【答案】6.5cm或2.5cm【分析】分點P在⊙O外和⊙O內(nèi)兩種情況分析；設(shè)⊙O的半徑為xcm，根據(jù)圓的性質(zhì)列一元一次方程并求解，即可得到答案．【詳解】設(shè)⊙O的半徑為xcm當點P在⊙O外時，根據(jù)題意得：4+2x=9∴x=2.5cm當點P在⊙O內(nèi)時，根據(jù)題意得：2x=9+4∴x=6.5cm故答案為：6.5cm或2.5cm．【點睛】本題考查了圓、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的性質(zhì)，從而完成求解．3．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）小明手中有幾組大小不等的三角板，分別是含45度，30度的直角三角板．從中選擇兩個各拼成如圖所示的圖形，則關(guān)于兩圖中四個頂點A，B，C，D的說法，正確的是（

）A．甲圖四點共圓，乙圖四點共圓 B．甲圖四點共圓，乙圖四點不共圓C．甲圖四點不共圓，乙圖四點共圓 D．甲圖四點不共圓，乙圖四點不共圓【答案】C【分析】本題考查圓的定義，點和圓的位置關(guān)系，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，熟練掌握這些定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．甲圖中，取AC中點M，連接DM，BM，得出DM=AM=CM，得點D、A、C是以點M為圓心，AM為半徑的圓上，再判斷點B在圓M外即可；乙圖中，取AC中點N，連接DN，BN，得DN=AN=CN=BN，即可判斷．【詳解】解：如甲圖中，取AC中點M，連接DM，BM，∵∠ADC=90°，∴DM=AM=CM，∴點D、A、C是以點M為圓心，AM為半徑的圓上，∵△BCM為直角三角形，∴BM>CM，∴點B在圓M外，∴甲圖四點不共圓；如乙圖中，取AC中點N，連接DN，BN，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴DN=AN=CN=BN，∴點D、A、C、B是以點N為圓心，AN為半徑的圓上，∴乙圖四點共圓，綜上，甲圖四點不共圓，乙圖四點共圓，故選：C．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02直線與圓的最值問題已知點P為⊙O上動點，點Q為直線AB上動點，過點O作OD⊥AB于點D，交⊙O為點C圖示：結(jié)論：當O，P，Q三點共線且為垂線段時，PQ取最小值，最小值為PQ的長.1．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，⊙M的圓心為M4，0，半徑為2，P是直線y=x+4上的一個動點，過點P作⊙M的切線，切點為Q，則【答案】2【分析】記直線y=x+4與x，y軸分別交于點A，K，連接QM，PM，KM；由直線解析式可求得點A、K的坐標，從而得△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ=PM2?QM2，由QM=2，則當PM最小時，【詳解】解：記直線y=x+4與x，y軸分別交于點A，K，連接QM，當x=0，y=4，當y=0，即x+4=0，解得：x=?4，即K(0,4)，而M4,0∴OA=OK=OM=4，∴△OAK，∴∠AKO=∠MKO=45°，∴∠AKM=90°，∵QP與⊙M相切，∴∠PQM=90°，∴PQ=P∵QM=2，∴當PQ最小時即PM最小，∴當PM⊥AK時，取得最小值，即點P與點K重合，此時PM最小值為KM，在Rt△OKM中，由勾股定理得：KM=∴PQ=32?4∴PQ最小值為27【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，垂線段最短，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西·中考真題）（1）如圖①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的半徑為4，點P在⊙O上，點M在AB上，連接PM，求線段PM的最小值；（2）如圖②所示，五邊形ABCDE是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會在點B處，點E處是該市的一個交通樞紐．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)境及實際需求，現(xiàn)要在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)（含邊界）修一個半徑為30m的圓型環(huán)道⊙O；過圓心O，作OM⊥AB，垂足為M，與⊙O交于點N．連接BN，點P在⊙O上，連接EP．其中，線段BN、EP及MN是要修的三條道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情況下，使所修道路MN最短，試求此時環(huán)道⊙O的圓心O到AB

【答案】（1）43?4【分析】（1）連接OP，OM，過點O作OM'⊥AB，垂足為M'，則（2）分別在BC，AE上作BB'=AA'=r=30(m)，連接A'B'，B'O、OP、OE、B'E．證出四邊形BB'ON是平行四邊形．由平行四邊形的性質(zhì)得出BN=B'O．當點O在B'E上時，BN+PE取得最小值．作⊙O'，使圓心O'在【詳解】解：（1）如圖①，連接OP，OM，過點O作OM'⊥AB

則OP+PM≥OM．∵⊙O半徑為4，∴PM≥OM?4≥OM∵OA=OB．∠AOB=120°，∴∠A=30°，∴OM∴PM≥OM∴線段PM的最小值為43（2）如圖②，分別在BC，AE上作BB

連接A'B'，B'O、OP∵OM⊥AB，BB'⊥AB∴四邊形BB∴BN=B'O．∵B∴BN+PE≥B∴當點O在B'E上時，作⊙O'，使圓心O'在B作O'M'⊥AB，垂足為M'∴O'∴△B'O'∴O'∵⊙O'在矩形∴當⊙O'與FD相切時，B'此時，O'∵M∴M∴O∴O∴此時環(huán)道⊙O的圓心O到AB的距離OM的長為4047.91m【點睛】本題是圓的綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．?題型03直線與圓的位置關(guān)系判定直線與圓的位置關(guān)系通常有以下兩種方法：1）根據(jù)直線與圓的公共點的個數(shù)判斷；①若直線與圓有兩個交點，則直線與圓相交；②若直線與圓有一個交點，則直線與圓相切；③若直線與圓有沒有交點，則直線與圓相離.2）根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷.設(shè)半徑為r，直線到圓心的距離為d①若d＜r，則直線與圓相交；②若d=r，則直線與圓相切；③若d＞r，則直線與圓相離.1．（2022·山東青島·模擬預(yù)測）已知等邊三角形ABC的邊長為4cm，以點A為圓心，以3.5cm長為半徑作⊙A，則⊙A與BC的位置關(guān)系是（A．相交 B．相切 C．相離 D．外離【答案】A【分析】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的關(guān)系：圓心到直線的距離小于半徑時，直線與圓相交．過點A作AD⊥BC于點D，根據(jù)等腰三角形三線合一求得BD的值，再利用勾股定理可求得AD的長，把AD與圓的半徑比較大小，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求解．【詳解】過點A作AD⊥BC于點D，根據(jù)等腰三角形三線合一得：BD=1根據(jù)勾股定理得：AD=A∵∴23∴以3.5cm長為半徑作⊙A，則⊙A與BC故選：A．2．（2024·上海嘉定·三模）設(shè)以3，4，5為邊長構(gòu)成的三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為個.【答案】4【分析】本題考查了勾股定理逆定理，三角形的內(nèi)切圓，直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握知識點，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．可知該三角形為直角三角形，進而利用等面積法求出內(nèi)切圓半徑正好為1，當圓的位置移動時，就會最多產(chǎn)生4個交點．【詳解】解：如圖，由32+42=52得該三角形為直角三角形，設(shè)AC=3,BC=4,AB=5，作出△ABC的內(nèi)切圓⊙O，設(shè)切點為D,E,F，連接OE,OD,OF∵S△ABC∴12解得：r=1，進而可知內(nèi)切圓半徑為1，此時正好有3個交點，當圓的位置移動時，就會最多產(chǎn)生4個交點，如圖，故答案為：4．3．（2021·四川遂寧·中考真題）已知平面直角坐標系中，點P（x0,y0）和直線Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全為0），則點P到直線Ax＋By＋C＝0的距離例如：求點P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離，因為直線y＝2x＋1可化為2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以點P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離為：d=A根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）求點M（0，3）到直線y=3（2）在（1）的條件下，⊙M的半徑r＝4，判斷⊙M與直線y=3x+9的位置關(guān)系，若相交，設(shè)其弦長為n，求【答案】（1）3；（2）直線與圓相交，n=2【分析】（1）直接利用公式計算即可；（2）根據(jù)半徑和點到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系，再根據(jù)垂徑定理求弦長．【詳解】解：（1）∵y＝3x＋9可變形為3x－y＋9＝0，則其中A＝3，B＝－1，C＝9，由公式可得d=3∴點M到直線y＝3x＋9的距離為3，（2）由（1）可知：圓心到直線的距離d＝3，圓的半徑r＝4，∵d＜r∴直線與圓相交，則弦長n=2×4【點睛】本題考查了閱讀理解和圓與直線的位置關(guān)系，垂徑定理，解題關(guān)鍵是熟練運用公式求解和熟練運用圓的相關(guān)性質(zhì)進行推理和計算．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04圓與圓的位置關(guān)系1．（2024·上海·中考真題）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，點P在△ABC內(nèi)，分別以A、B、P為圓心畫，圓A半徑為1，圓B半徑為2，圓P半徑為3，圓A與圓P內(nèi)切，圓P與圓B的關(guān)系是（

）A．內(nèi)含 B．相交 C．外切 D．相離【答案】B【分析】本題考查圓的位置關(guān)系，涉及勾股定理，根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可得到答案，熟記圓的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵圓A半徑為1，圓P半徑為3，圓A與圓P內(nèi)切，∴圓A含在圓P內(nèi)，即PA=3?1=2，∴P在以A為圓心、2為半徑的圓與△ABC邊相交形成的弧上運動，如圖所示：∴當?shù)絇'位置時，圓P與圓B圓心距離PB最大，為12∵17<3+2=5∴圓P與圓B相交，故選：B．2．（2023·四川德陽·中考真題）已知⊙O1的半徑為1，⊙O2的半徑為r，圓心距O1O2=5，如果在⊙O【答案】3≤r≤7【分析】當⊙O1位于⊙O2內(nèi)部，且P，O1，O2位于同一條直線上時，r可以取得最大值；當⊙O1位于⊙O【詳解】當⊙O1位于⊙O2內(nèi)部，且P，O1如圖所示，rmax

當⊙O1位于⊙O2外部，且P，O1如圖所示，rmin

故答案為：3≤r≤7．【點睛】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，能采用數(shù)形結(jié)合的方法和分類討論的思想分析問題是解題的關(guān)鍵．3．（2024·上?！つM預(yù)測）若相交兩圓的半徑分別為4和5，公共弦長為6，兩圓圓心距長為．【答案】4±【分析】此題考查了相交兩圓的性質(zhì)，連心弦垂直平分公共弦，據(jù)此利用勾股定理分兩種情況進行求解即可．【詳解】解：大圓圓心到公共弦的距離為：52小圓圓心到公共弦的距離為：42∵兩圓相交，∴兩圓的圓心可能在公共弦的同側(cè)，也可能在公共弦的兩側(cè)，∴兩圓的圓心在公共弦的同側(cè)時，兩圓圓心距長為4?7兩圓的圓心在公共弦的兩側(cè)時，兩圓圓心距長為4+7故答案為：4±QUOTE?題型05利用切線的性質(zhì)求解運用切線的性質(zhì)進行計算時，常見輔助線的作法是連接圓心和切點，根據(jù)切線的性質(zhì)構(gòu)造出直角三角形，一方面可以求相關(guān)角的大小，另一方面可以利用勾股定理求線段的長度1．（2024·山西·中考真題）如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，與AC相切于點A，連接OD．若∠AOD=80°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．50°【答案】D【分析】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線定理，直角三角形兩銳角互余，有圓周角定理可得出∠B=12∠AOD=40°【詳解】解：∵AD=∴∠B=1∵以AB為直徑的⊙O與AC相切于點A，∴∠BAC=90°，∴∠C=90°?40°=50°．故選：D．2．（2024·山東青島·中考真題）如圖，△ABC中，BA=BC，以BC為直徑的半圓O分別交AB，AC于點D，E，過點E作半圓O的切線，交AB于點M，交BC的延長線于點N．若ON=10，cos∠ABC=35【答案】6【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，等邊對等角，平行線的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于證明∠EON=∠ABC，根據(jù)等邊對等角推出∠A=∠OEC，則可證明AB∥OE得到∠EON=∠ABC，再由切線的性質(zhì)得到∠OEN=90°，則解Rt△EON求出OE【詳解】解：如圖所示，連接OE，∵OE=OC，∴∠A=∠BCA，∴∠A=∠OEC，∴AB∥OE，∴∠EON=∠ABC，∵MN是⊙O的切線，∴∠OEN=90°，∴在Rt△EON中，cos∴OE=3∴半徑OC的長為6，故答案為：6．3．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A與BC相切于點D．

(1)求圖中陰影部分的面積；(2)設(shè)⊙A上有一動點P，連接CP，BP．當CP的長最大時，求BP的長．【答案】(1)6?(2)3【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，扇形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）連接AD，利用勾股定理的逆定理判定得出∠BAC=90°，利用切線的性質(zhì)得出AD⊥BC，利用等面積法求出AD=125，然后利用（2）延長CA交⊙A于P，連接BP，則CP最大，然后在Rt△ABP【詳解】（1）解∶連接AD，

∵AB=3，AC=4，BC=5，∴AB∴∠BAC=90°，∵BC與⊙A相切于D，∴AD⊥BC，∵S△ABC∴AD=AC?AB∴S陰影（2）解∶延長CA交⊙A于P，連接BP，此時CP最大，

由（1）知：∠BAC=∠PAB=90°，AP=AD=12∴PB=A?題型06證明某直線是圓的切線（有明確的交點）1）給出了直線與圓的公共點和經(jīng)過公共點的半徑時，可直接根據(jù)“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明.口訣是“見半徑,證垂直”.2）給出了直線與圓的公共點，但未給出過這點的半徑時，可連接公共點和圓心，然后根據(jù)“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明,口訣是“連半徑,證垂直”.3）當直線與圓的公共點不明確時，先過圓心作該直線的垂線，然后根據(jù)“若圓心到直線的距離等于圓的半徑,則該直線是圓的切線”來證明.口訣是“作垂直,證相等”.1．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長線上一點，連接CD，CF，且∠DCF=∠CAD．

(1)求證：CF是⊙O的切線；(2)若AD=10，cosB=35【答案】(1)證明見解析(2)90【分析】（1）根據(jù)切線的判定，連接OC，證明出OC⊥FC即可，利用直徑所得的圓周角為直角，三角形的內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)可得答案；（2）由cosB=35【詳解】（1）證明：連接OC，如圖所示：

∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°，又∵OC=OD，∴∠ADC=∠OCD，又∵∠DCF=∠CAD．∴∠DCF+∠OCD=90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切線；（2）解：∵∠B=∠ADC，cosB=∴cos在Rt△ACD中，cos∠ADC=3∴CD=AD?cos∠ADC=10×3∴CDAC∵∠FCD=∠FAC，∠F=∠F，∴△FCD∽△FAC，∴CDAC設(shè)FD=3x，則FC=4x，AF=3x+10，∵FC2=FD?FA，即(4x)2=3x(3x+10)∴FD=3x=90【點睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的性質(zhì)是正確解答的前提．2．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，△ACD內(nèi)接于⊙O，直徑AB交CD于點G，過點D作射線DF，使得∠ADF=∠ACD，延長DC交過點B的切線于點E，連接BC．(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)若CD=8①求DE的長；②求⊙O的半徑．【答案】(1)證明見解析；(2)①9；②117【分析】（1）連接OD、BD，則∠ACD=∠ABD，可得∠ABD=∠ADF，由∠ABD+∠BAD=90°可得∠ABF+∠BAD=90°，進而由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABF+∠ODA=90°，得到OD⊥DF，即可求證；（2）①證明△CBE∽△BDE得到CEBE=BEDE，據(jù)此即可求解；②由①可得CD=DE?CE=8，進而得DG=CD?CG=5，GE=CG+CE=4，利用勾股定理得BG=GE2?BE【詳解】（1）證明：連接OD、BD，則∠ACD=∠ABD，∵∠ADF=∠ACD，∴∠ABD=∠ADF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∴∠ABF+∠BAD=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ABF+∠ODA=90°，即∠ODF=90°，∴OD⊥DF，又∵OD為⊙O的半徑，∴DF是⊙O的切線；（2）解：①∵BE是⊙O的切線，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∴∠ABC+∠CBE=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∴∠CBE=∠BAC，∵∠BAC=∠BDC，∴∠CBE=∠BDC，即∠CBE=∠BDE，又∵∠E=∠E，∴△CBE∽△BDE，∴CEBE∵BE=3CE=3，∴CE=1，∴13∴DE=9；②∵DE=9，CE=1，∴CD=DE?CE=9?1=8，∵CD=8∴CG=3∴DG=CD?CG=8?3=5，GE=CG+CE=3+1=4，∵∠GBE=90°，∴BG=G∵∠BAC=∠BDC，∠AGC=∠DGB，∴△AGC∽△DGB，∴AGDG即AG5∴AG=15∴AB=AG+BG=15∴⊙O的半徑為117【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)和判定，余角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，點P是BA延長線上的一點，連接AC，∠PCA=∠B．(1)求證：PC是⊙O的切線；(