2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：實(shí)數(shù)（講義）（解析版）

考點(diǎn)01.實(shí)數(shù)(精講)

【命題趨勢】

實(shí)數(shù)在中考數(shù)學(xué)中較為簡單，每年考查3題左右，分值為8~12分，實(shí)數(shù)的分類及相關(guān)概念主要以選擇

題或填空題形式考查，比較簡單；科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)多以選擇題或填空題形式考查，有大數(shù)和小數(shù)兩種形

式，有時(shí)帶“億”“萬”“千萬”等單位，做題時(shí)要仔細(xì)審題，切忽略單位；實(shí)數(shù)的大小比較常以選擇題形式

出現(xiàn)，常與數(shù)軸結(jié)合考查；實(shí)數(shù)的運(yùn)算考查形式多樣，多數(shù)以解答題形式出現(xiàn)，結(jié)合絕對(duì)值、銳角三函數(shù)、

二次根式、平方根、立方根等知識(shí)考查。對(duì)于實(shí)數(shù)的復(fù)習(xí)，需要學(xué)生熟練掌握實(shí)數(shù)相關(guān)概念及其性質(zhì)的運(yùn)用、

實(shí)數(shù)運(yùn)算法則和順序等。

【知識(shí)清單】

1：實(shí)數(shù)的分類(☆☆)

(1)正負(fù)數(shù)的概念：大于0的數(shù)叫做正數(shù)，正數(shù)前面加上符號(hào)的數(shù)叫負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)前面的負(fù)號(hào)不能

省略。旦既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。正負(fù)數(shù)的意義：表示具有相反意義的量。

(2)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

(3)實(shí)數(shù)的分類：1)按定義分類;2)按性質(zhì)分類。

2：實(shí)數(shù)的相關(guān)概念(☆☆☆)

(1)數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。數(shù)軸上所有的點(diǎn)與全體實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

(2)相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)稱為互為相反數(shù)。若°、6互為相反數(shù)，則行6=0。

(3)絕對(duì)值：在數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做。的絕對(duì)值,記為⑷。

(4)倒數(shù)：1除以一個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)所得的商，叫做這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。若°、?；榈箶?shù)，則)=1。

(5)算術(shù)平方根：若一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根。

記為右,。叫做被開方數(shù)。

(6)平方根：若一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根，即-=a,那么x叫做a的平方根。

(7)立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,即/=a,那么x叫做。的立方根(或三次方根)。

3：實(shí)數(shù)的大小比較(☆☆)

(1)數(shù)軸比較法：將兩個(gè)數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大。

(2)作差比較法：若a,b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，貝!］：①a-6>0Oa〉b；②a-6=0Oa=b；③a<b。

(3)平方比較法：①對(duì)任意正實(shí)數(shù)a,b,若/?？赼>b；②對(duì)任意負(fù)實(shí)數(shù)a,b,若a<b。

(4)倒數(shù)比較法：若ab>0,則a〈b。

ab

(5)作商比較法：1)正實(shí)數(shù)a,b,->l<^a>b,-<\<^>a>b；2)負(fù)實(shí)數(shù)a,b,->1<??</?,-

bbbb

<!<??a>bo

4：實(shí)數(shù)的運(yùn)算(☆☆☆)

(1)乘方：〃個(gè)相同的因數(shù)。相乘記作a",其中a為底數(shù)，■為指數(shù)，乘方的結(jié)果叫做相.

(2)運(yùn)算順序：1)運(yùn)算順序：先算乘方(開方)，再算乘除，最后算加減；有括號(hào)的先算括號(hào)里面的。2)

有理數(shù)的運(yùn)算定律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運(yùn)算定律有加法結(jié)合律、加法交換律、乘法交換律、乘

法結(jié)合律、乘法分配律。

5：科學(xué)記數(shù)法(☆☆)

(1)科學(xué)記數(shù)法：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式,其中1W間<10,“為整數(shù)。

當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于10時(shí)，寫成。義10〃的形式，其中上同<10,〃等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1。

(2)近似數(shù)：近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度通常用精確度來表示，近似數(shù)一般由四舍五入取得，四舍五入到

哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位。

(3)有效數(shù)字：一個(gè)近似數(shù)從左邊第一位非。的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)

主。

注意：清單中的☆號(hào)表示該考點(diǎn)在各地中考的考查頻率。

【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】

1、帶根號(hào)的數(shù)并不都是無理數(shù)，而開方開不盡的數(shù)才是無理數(shù)。(如：4就是有理數(shù))。

2、對(duì)非負(fù)整數(shù)、非正整數(shù)、非負(fù)數(shù)、非正數(shù)分類時(shí)遺漏0。

3、含有萬、億等單位的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí)，要先還原成原數(shù)，再用科學(xué)記數(shù)法表示，最后按要求取

近似值。

4、用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時(shí)，只看乘號(hào)前面的數(shù)字。(如：4.0x104的有效數(shù)字是%0)。

5、有時(shí)候題目會(huì)故意沒有把后去根號(hào)，這時(shí)候就要注意千萬不要把面的平方根當(dāng)作a的平方根，要先

把右的算出(去根號(hào))，再求平方根。(如：”的平方根是應(yīng)，而不是2)。

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)1.實(shí)數(shù)的分類與正負(fù)數(shù)

例1:（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）下列數(shù)中，屬于負(fù)數(shù)的是（）

A.2023B.-2023C.—D.0

2023

【答案】B

【分析】根據(jù)小于0的數(shù)即為負(fù)數(shù)解答可得.

【詳解】-2023是負(fù)數(shù)，2023和4是正數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)故選：B.

2023

【點(diǎn)睛】本題主要考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，熟練掌握負(fù)數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?湖北荊州?統(tǒng)考中考真題）在實(shí)數(shù)T,6，3，3/4中，無理數(shù)是（）

A.-1B.石C.yD.3.14

【答案】B

【分析】根據(jù)無理數(shù)的特征，即可解答.

【詳解】解：在實(shí)數(shù)-1,6，3.14中，無理數(shù)是6,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的特征，即為無限不循環(huán)小數(shù)，熟知該概念是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?江西?統(tǒng)考中考真題）下列各數(shù)中，正擎藜是（）

A.3B.2.1C.0D.-2

【答案】A

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類即可求解.

【詳解】解：3是正整數(shù)，2.1是小數(shù)，不是整數(shù)，。不是正數(shù)，-2不是正數(shù)，故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵.

例2：（2023?成都市?中考一模）何小虎是航天科技六院西安航天發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司的數(shù)控車工、高級(jí)技師，

他的絕活是在非精密環(huán)境中實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品精密加工.在長三乙火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴注器架的生產(chǎn)中，需要加工幾項(xiàng)基

本尺寸為3.5〃例?的深小軸（3.5±0.008）機(jī)加范圍內(nèi)的尺寸均為合格品，則下列深小軸的尺寸中合格的是

（）

A.3.592mmB.3.429mmC.3.5Q\mmD.34mm

【答案】c

【分析】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，結(jié)合已知條件求得合格品的范圍是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的實(shí)際意義求得合格品的范圍，然后進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：由題意可得合格品的范圍是3.492〃"九~3.508〃"九，

則A,B,D均不符合題意，故選：C.

變式1.（2023?浙江?中考二模）如圖所示，算籌是我國古代的計(jì)算工具之一，擺法有縱式和橫式兩種.古

人在個(gè)位數(shù)上劃上斜線以表示負(fù)數(shù).如表示-723.則T、"所表示的數(shù)是（）

縱式：1IIIII1川muTUTTTTT

橫式：—===三±±X±

123456789

A.223B.-223C.263D.-262

【答案】D

【分析】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題的關(guān)鍵是讀懂題目，找出數(shù)籌和數(shù)字的對(duì)應(yīng)關(guān)系.根據(jù)題干描

述的算籌計(jì)數(shù)法計(jì)數(shù)即可.

【詳解】根據(jù)算籌計(jì)數(shù)法，||T、表示的數(shù)是：-262.故選：D.

變式2.（2023?湖南永州?統(tǒng)考中考真題）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中對(duì)正負(fù)數(shù)的概念注有"今兩算得

失相反，要令正負(fù)以名之“、如：糧庫把運(yùn)進(jìn)30噸糧食記為"+30”,貝〃-30”表示（）

A.運(yùn)出30噸糧食B.虧損30噸糧食C.賣掉30噸糧食D.吃掉30噸糧食

【答案】A

【分析】根據(jù)題意明確"正"和"負(fù)"所表示的意義，再根據(jù)題意即可求解.

【詳解】解：糧庫把運(yùn)進(jìn)30噸糧食記為"+30",則"-30〃表示運(yùn)出30噸糧食.故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，理解"正"和"負(fù)"分別表示相反意義的量是解題關(guān)鍵.

核心考點(diǎn)2.實(shí)數(shù)的相關(guān)概念

例1:（2024?湖北??？寄M預(yù)測）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）

①一2024的相反數(shù)是2024；②—2024的絕對(duì)值是2024；③上y的倒數(shù)是2024.

2024

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)的定義逐個(gè)判斷即可.

【詳解】①一2024的相反數(shù)是2024,故此說法正確；②一2024的絕對(duì)值是2024,故此說法正確；③

士的倒數(shù)是2024,故此說法正確；正確的個(gè)數(shù)共3個(gè)；故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)的含義，只有符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，數(shù)軸上一個(gè)數(shù)

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值，分子分母互換位置相乘等于1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，熟知定義

是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?海南?統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)的相反數(shù)是（）

1?111???1A

-4-3-2-101234

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)軸可知點(diǎn)A表示的數(shù)是-1,再根據(jù)相反數(shù)的定義，即可得到答案.

【詳解】解：由數(shù)軸可知，點(diǎn)A表示的數(shù)是-1,-1的相反數(shù)是1,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，相反數(shù)，掌握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

變式2.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）面積為9的正方形，其邊長等于（）

A.9的平方根B.9的算術(shù)平方根C.9的立方根D.5的算術(shù)平方根

【答案】B

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答即可.

【詳解】解：團(tuán)面積等于邊長的平方，田面積為9的正方形，其邊長等于9的算術(shù)平方根.故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的意義，一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于0,即那么這個(gè)正數(shù)

x叫做。的算術(shù)平方根.

變式3.（2023年江蘇中考一模）J話的平方根是.

【答案】+2

【詳解】解：回年=4回標(biāo)的平方根是±2.故答案為±2.

例4：（2023?陜西西安??？寄M預(yù)測）有理數(shù)a、6、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則

|（z|—3|<z+Z?|+2|c—G|+4|/?+c|可化簡為.

A

0

【答案】-b-2c1-2c-b

【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)的位置，確定式子的符號(hào)，再進(jìn)行絕對(duì)值的化簡即可.

【詳解】解：從圖中可以看出，Z?<61<0,c>O,|z?|>|a|>\c\,^a+b<0,c-a>0,b+c<0,

團(tuán)同一3|〃+4+2卜一a|+4|Z?+d=—a+3a+3Z?+2c-2a-4Z?-4c=-b-2c.故答案為：-b-2c.

【點(diǎn)睛】本題考查化簡絕對(duì)值，整式的加減運(yùn)算.解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)的位置，確定式子的符號(hào).

abcabc

變式1.(2023?山東青島?校考一模)設(shè)“，b,c為有理數(shù)，則由^一^+了7+1+]];構(gòu)成的各種數(shù)值

\a\\b\\c\\abc\

是.

【答案】±4,0

【分析】此題要分類討論。，乩。與。的關(guān)系，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行求解；

【詳解】解：回〃，。，c為有理數(shù)，

①若々>0,Z?>0,c>0,[?]-^―++—+a^C=14-1+1+1=4；

J#\a\\b\|c|\abc\'

abccibc

②若a,b,c中有兩個(gè)負(fù)數(shù)，貝Ua歷>0,回「+用+「+^^=。-2)+1=0,

|a\\b\\c\|abc\

abcabc

③若〃，b,c中有一個(gè)負(fù)數(shù)，貝ij彷cvO,團(tuán)百|(zhì)+面+西+j"^^=(2—l)+(T)=。，

abccibc

④若a,b,c中有三個(gè)負(fù)數(shù)，KOabc<0,0---+—+—+=(-3)+(-1)=-4,故答案為：±4,0.

|a||b|Ic||abc\

【點(diǎn)睛】此題主要考查絕對(duì)值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是如何根據(jù)已知條件，去掉絕對(duì)值，還考查了分類討論

的思想，正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0.

變式2.(2023?河北滄州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)若ABC三條邊長為a,b,c化簡：

一b—c|—|a+c—Z?|—.

【答案】2b-2a

【分析】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊得到。-6-c<0，c+a-b>0,

再根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)化簡即可求解.

【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：a-b-c<0,c+a-b>0,

\a-b-c\-\a+c-b\=-(a-b-c)-(a+c-b)=-a+b+c-a-c+b=1b-2a.故答案為：2b-2a.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的化簡和三角形三條邊的關(guān)系，熟練掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，任

意兩邊之差小于第三邊；一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值等于它的本身，零的絕對(duì)值還是零，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它

的相反數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵.

例5：（2022?貴州黔東南?中考真題）在解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題時(shí)，常常用到數(shù)形結(jié)合思想，比如：卜+1|的幾何

意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與表示數(shù)T的點(diǎn)的距離，以-2|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與表示數(shù)2的

點(diǎn)的距離.當(dāng)|x+1+]x-2|取得最小值時(shí)，尤的取值范圍是（）

A.x<-lB.x<-Mx>2C.-l<x<2D.x>2

【答案】B

【分析】由題意畫出數(shù)軸，然后根據(jù)數(shù)軸上的兩點(diǎn)距離可進(jìn)行求解.

【詳解】解：如圖，由卜+1|+以一2|=k一（一1）|+K一2|可得：點(diǎn)A、B、尸分別表示數(shù)-1、2、x,AB=3.

APB

iI______1iI1.1I_______111A

-5-4-3-2-1Ox12345

|尤+l|+|x-2|的幾何意義是線段叢與心的長度之和，

，當(dāng)點(diǎn)尸在線段A2上時(shí)，PA+PB=3,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)8的右側(cè)時(shí)，PA+PB>3.

尤+11+1x-21取得最小值時(shí)，x的取值范圍是—1（尤（2；故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上的兩點(diǎn)距離，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解.

變式1.（2023?江蘇?九年級(jí)?？计谥校c(diǎn)A、8在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)。、b,則在數(shù)軸上A、8兩點(diǎn)之

間的距離為AB=|a-W，利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離，可以得到卜+1|-卜-3|的最大值是.

【答案】4

【分析】分XW-1、-l<x<3、x23三種情況進(jìn)行討論求解，分別確定最大值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：根據(jù)題意，歸+1|-卜-3|表示x到-1和3的距離之差，又-1和3的距離為卜1-3|=4,則

當(dāng)xW-]時(shí)，卜+1|_卜_3|=_彳_]+彳_3=Y；

當(dāng)一1<x<3時(shí)，，+1|_歸-3|=x+l+x—3=2x—2,貝!J^<歸+1]_k_3|<4,此時(shí),+1|_卜_3|無最大值；

當(dāng)x23時(shí)，|%+l|-|x-3|=x+l-x+3=4,

綜上，上+1|-卜-3|的最大值為4,故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸和絕對(duì)值的意義，理解題意，利用分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵.

變式2.（2023秋?廣東梅州?九年級(jí)期中）已知尤是正實(shí)數(shù)，則

Ix-ll+|2%-1|+]3x-l|+|4x-l|+|5x-l|的最小值是（）

75

A.2B.—C.—D.0

43

【答案】B

【分析】將式子轉(zhuǎn)化為按尤值大小排序排列，觀察發(fā)現(xiàn)，取尤最中間的值就是式子的最小值，即可求出答

案.

【詳解】解：I]-1|+|2x—1|+\3x—1|+|4x—1|+\5x—1|

=|%—1|+2|x——\+3|x--\+4|x—I+5|x——|

2345

當(dāng)冗-工=0時(shí)，有最小值x-l|+2|x--\+3|x--\+4|x--\+5|x--\

42345

=——1+2----+3-----+4-----+5-----=—+-+-+0+-故選：B.

44243444544444

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的化簡計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于明確絕對(duì)值的化簡法和明確式子中要求取得最小

值的意思.

核心考點(diǎn)3.實(shí)數(shù)的大小比較

例6.（2023?浙江衢州?統(tǒng)考中考真題）手機(jī)信號(hào)的強(qiáng)弱通常采用負(fù)數(shù)來表示，絕對(duì)值越小表示信號(hào)越強(qiáng)

（單位：dBm）,則下列信號(hào)最強(qiáng)的是（）

A.—50B.-60C.—70D.—80

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，比較各數(shù)的絕對(duì)值大小，即可解答.

【詳解】解：|-50|<|-60|<|-70|<|-80|,則信號(hào)最強(qiáng)的是-50,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的大小比較，負(fù)數(shù)比較大小時(shí)，絕對(duì)值大的反而小，熟知比較法則是解題的關(guān)

鍵.

變式1.（2023?江蘇?統(tǒng)考中考真題）下列實(shí)數(shù)中，其相反數(shù)比本身大的是（）

A.-2023B.0C.—D.2023

2023

【答案】A

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義，逐項(xiàng)求出相反數(shù)，進(jìn)行比較即可.

【詳解】解：A.-2023的相反數(shù)是-（-2023）=2023,則2023>-2023,故該選項(xiàng)符合題意；

B.0的相反數(shù)是-（0）=0,則0=0,故該選項(xiàng)不符合題意；

C.熹的相反數(shù)是有，則-4<焉，故該選項(xiàng)不符合題意；

2023202320232023

B.2023的相反數(shù)是-2023,則-2023<2023,故該選項(xiàng)不符合題意；故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)，比較有理數(shù)的大小，解題的關(guān)鍵是先求出相反數(shù)，再進(jìn)行比較.

變式2.（2023?安徽宿州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列四個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最大的數(shù)是（）

1

A.2B.——C.-4D.0

3

【答案】C

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)分別計(jì)算比較即可.

【詳解】解：Q卜.?.絕對(duì)值最大的數(shù)是T.故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，絕對(duì)值表示在數(shù)軸上代表一個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

變式3.（2021?四川資陽市?中考真題）若“=而，逐，c=2,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】c

【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算進(jìn)行大小比較.

【詳解】解：,:小〈觀,小">"又：網(wǎng)=2，a=2，a<c<b故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，求一個(gè)數(shù)的立方根及無理數(shù)的估算，理解相關(guān)概念是解題關(guān)

鍵.

例7：（2023?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）而方的值介于（）

A.25與30之間B.30與35之間C.35與40之間D.40與45之間

【答案】D

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)得出犧方的取值范圍進(jìn)而得出答案.

【詳解】1600<2023<2025.回即40<V^<45，

團(tuán)而宓的值介于40與45之間.故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確估算無理數(shù)的取值范圍是解題關(guān)鍵.

變式1.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上A,B,C,D,E五個(gè)點(diǎn)分別表示數(shù)1,2,3,

4,5,則表示數(shù)如的點(diǎn)應(yīng)在（）

ABCDE

IIIII1A

012345

A.線段AB上B.線段3C上C.線段上D.線段DE上

【答案】c

【分析】根據(jù)囪＜后判斷即可.

【詳解】?屈，：.3＜回＜4,

由于數(shù)軸上A,B,C,D,E五個(gè)點(diǎn)分別表示數(shù)1,2,3,4,5,；.J而的點(diǎn)應(yīng)在線段8上，故選：

C.

【點(diǎn)睛】本題考查無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)的估算的方法是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?湖北武漢,統(tǒng)考中考真題）寫出一個(gè)小于4的正無理數(shù)是.

【答案】V2（答案不唯一）

【分析】根據(jù)無理數(shù)估算的方法求解即可.

【詳解】解：回拒＜加，回0＜4.故答案為：0（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)的估算，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

核心考點(diǎn)4.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

例8：（2023?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：（7t+2023y+2sin45°—[；]-2卜

【答案】1

【分析】先計(jì)算零次幕，特殊角的正弦值，負(fù)指數(shù)塞，求解絕對(duì)值，再合并即可.

【詳解】解：（兀+2023）"+2sin45°—[g[+|72-2|

=l+2x走-2+2-&

2

=1+72-2+2-72

=1.

【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算法則是基礎(chǔ)也是重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握，同時(shí)考查了

特殊角的三角函數(shù)值，零次塞的含義，熟練掌握零次幕，特殊角的正弦值以及負(fù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則是解題

的關(guān)鍵.

變式1.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：|有-2|+2sin6（T-2023°=.

【答案】1

【分析】根據(jù)先計(jì)算絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)幕，再進(jìn)行加減計(jì)算即可.

【詳解】解：|6-2|+2sin60。一2023°=2-百+2*?一1=1故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)幕的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?北京?統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：4sin60°+Q^+|-2|-V12.

【答案】5

【分析】代入特殊角三角函數(shù)值，利用負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，絕對(duì)值和二次根式的性質(zhì)化簡，然后計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=4義@+3+2-2世

2

=26+3+2-2g

=5.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，牢記特殊角三角函數(shù)值，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，絕對(duì)值和二次根

式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例9：（2022?山東煙臺(tái)?中考真題）小明和同學(xué)們玩撲克牌游戲.游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉"大

王""小王"）中任意抽取四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算（每張牌上的數(shù)字只能用一次），使得運(yùn)算

結(jié)果等于24.小明抽到的牌如圖所示，請(qǐng)幫小明列出一個(gè)結(jié)果等于24的算式.

【答案】（5-3+2）x6（答案不唯一）

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：由題意得：（5-3+2）x6=24,故答案為：（5-3+2）x6（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)

鍵.

變式1.（2023?浙江?一模）十字路口紅綠燈時(shí)長設(shè)置是根據(jù)路口的實(shí)際車流狀況來分配的，據(jù)統(tǒng)計(jì)，某十

字路口每天的車流量中，東西走向直行與左轉(zhuǎn)車輛分別約占總流量J,1,南北走向直行與左轉(zhuǎn)車輛分別約

???45

占總流量《二.因右轉(zhuǎn)車輛不受紅綠燈限制，所以在設(shè)置紅綠燈時(shí)，按東西走向直行、左轉(zhuǎn)，南北走向

直行、左轉(zhuǎn)的次序依次亮起綠燈作為一個(gè)周期時(shí)間（當(dāng)某方向綠燈亮起時(shí)，其他3個(gè)方向全為紅燈），若

一個(gè)周期時(shí)間為2分鐘，則應(yīng)設(shè)置南北走向直行綠燈時(shí)長較為合理的是（）

A.12秒B.16秒C.18秒D.24秒

【答案】B

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是重新計(jì)算比例，而非直接用先重新計(jì)算南北走向直

行流量占比，再用120乘以占比可得一個(gè)周期時(shí)間為2分鐘南北走向直行綠燈時(shí)長.

【詳解】解：右轉(zhuǎn)車輛不受紅綠燈限制，

1

???南北走向直行占題四種走向流量的比例為：1,

45105

，一個(gè)周期時(shí)間為2分鐘，設(shè)置南北走向直行綠燈時(shí)長為120X5=16（S）,故選：B.

例10：（2023年山東省苗澤市中考數(shù)學(xué)真題）一ABC的三邊長a,b,c滿足

（a-b）2+sj2a-b-3+\c-3^\=0,貝!IABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【分析】由等式可分別得到關(guān)于a、b、。的等式，從而分別計(jì)算得到a、b、c的值，再由6+62=。2的關(guān)

系，可推導(dǎo)得到ABC為直角三角形.

【詳角牟】W0(a-b)2+^j2a-b-3+1c-35/2|=0

(￡Z-Z>)->0=0a—b=0〃=3

又回■>j2a-b-3>0回<<2a-b-3=0回<-Z?—3=0解得<b=3

c-3V2=01c=3及

|C-3A/2|>0'-3閩=0

^a2+b2=c2,Aa=b,回一ABC為等腰直角三角形，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)性和勾股定理逆定理的知識(shí)，求解的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的和為0,每一個(gè)非

負(fù)數(shù)均為0,和勾股定理逆定理.

變式1.（2023?湖北荊州?統(tǒng)考中考真題）若|”1|+（〃-3）2=0,則而^=.

【答案】2

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性，平方的非負(fù)性求得。力的值進(jìn)而求得〃+〃的算術(shù)平方根即可求解.

【詳解】解：田,一[+S—3）2=0,回。一1=0/一3=0,解得：a=l,b=3,

團(tuán)da+b—J1+3-2,故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，熟練掌握絕對(duì)值的非負(fù)性，平方的非負(fù)性求得。，。的值是解

題的關(guān)鍵.

例11:（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）從〃個(gè)不同元素中取出加（用4〃）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),

nn-m+1)

叫做從〃個(gè)不同元素中取出用個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)CT表示，c;二一

5x4普與，則C；+C；=（）

(n>m,n、機(jī)為正整數(shù)）；例如：CfCl

/XI3x2x1

A.ClB.叱c.

【答案】C

【分析】根據(jù)新定義分別進(jìn)行計(jì)算比較即可得解.

n

【詳解】解：回c：=一

團(tuán)C；+C；=9x8x7x6+9x8><7x6x5=]26+i26=252,

994x3x2xl5x4x3x2xl

A、注TH-69x8x7x6x5x4.,4.「410x9x8x70八

9==o=2W，

選項(xiàng)'6x5x4x3x2xl'B選項(xiàng)'=4x3x2xl

C選項(xiàng),箸=252,D選項(xiàng)'W；：；"。,故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算以及求代數(shù)式的值.正確理解新定義是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考一模）定義運(yùn)算：若am=b,則log*=Ma>0）,例如23=8,則

log28=3.運(yùn)用以上定義，計(jì)算：1叫125-logs81=（）

A.-1B.2C.1D.4

【答案】A

【分析】先根據(jù)乘方確定53=125、3'=81,根據(jù)新定義求出logsl25=3、log381=4,然后代入計(jì)算即可.

34

【詳解】解：EI5=125,3=81,01og5125=3>log381=4

|?]log5125-log381==3-4=-1.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算、乘方的逆運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，仔細(xì)閱讀題目中的定義，找出新定義運(yùn)

算的實(shí)質(zhì)是乘方的逆運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?福建?中考模擬）一般地，如果_?=。（。之0）,則稱尤為。的四次方根，一個(gè)正數(shù)。的四次

方根有兩個(gè).它們互為相反數(shù)，記為土蚯'，若折7=10,則.

【答案】±10

【分析】利用題中四次方根的定義求解.

【解析】：揚(yáng)彳=10，??.〃/=1。4,.?.加=±10.故答案為±10.

【點(diǎn)睛】本題考查了方根的定義.關(guān)鍵是求四次方根時(shí)，注意正數(shù)的四次方根有2個(gè).

核心考點(diǎn)5.科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)

例12：（2023,廣東深圳??？寄M預(yù)測）2023年1月，國家電影局統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示截至1月31日18：00,今

年中國電影總票房已超100億元人民幣，創(chuàng)歷年來1月票房最高紀(jì)錄，將"100億"用科學(xué)記數(shù)法表示為

（）

A.IxlO11B.0.1x10"C.IxlO10D.10xl09

【答案】C

【分析】先將100億改寫成10000000000,再用科學(xué)記數(shù)法表示即可解答.

【詳解】解：100億=10000000000=1x101°故選C

【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為0X10”的形式，其中1工。<10,〃為

整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

變式1.（2023?海南?統(tǒng)考中考真題）共享開放機(jī)遇，共創(chuàng)美好生活.2023年4月10日至15日，第三屆中

國品博覽會(huì)在海南省?？谑信e行，以"打造全球消費(fèi)精品展示交易平臺(tái)”為目標(biāo)，進(jìn)場觀眾超32萬人次，數(shù)

據(jù)320000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.3.2xlO4B.3.2xl05C.3.2x10sD.