2025年新高考數(shù)學一輪復(fù)習：空間向量及其應(yīng)用（十六大題型）（練習）（學生版+解析）

第05講空間向量及其應(yīng)用

目錄

01模擬基礎(chǔ)練...................................................................2

題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算..........................................2

題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用.................................................3

題型三：空間向量的數(shù)量積運算....................................................3

題型四：三點共線問題............................................................4

題型五：多點共面問題............................................................5

題型六：證明直線和直線平行......................................................6

題型七：證明直線和平面平行......................................................7

題型八：證明平面與平面平行......................................................8

題型九：證明直線與直線垂直......................................................9

題型十：證明直線與平面垂直.....................................................11

題型十一：證明平面和平面垂直...................................................12

題型十二：求兩異面直線所成角...................................................13

題型十三：求直線與平面所成角...................................................14

題型十四：求平面與平面所成角...................................................15

題型十五：求點面距、線面距、面面距.............................................17

題型十六：點到直線距離、異面直線的距離.........................................18

02重難創(chuàng)新練..................................................................19

03真題實戰(zhàn)練..................................................................24

題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算

1.如圖，已知空間四邊形048C,M,N分別是邊CM,8C的中點，點G滿足礪=2而,2，OB=b，

OC=c^則詬=（）

1一171-C1-171-1一11一1-11-

A.一＜2H—bH—cB.-d—bH—CC.—a+—b7+—cD.—a+—b7+—c

333633366666

2.如圖，在四面體O-/5C中，。是V/8C的重心，G是。。上的一點，且OG=2GG「若

OG=xOA+yOB+zOC,貝!］（尤J,z）為（

222

B.（§,§,§）

,222、

D-（3,3可）

3.（2024?高三?山東臨沂?期末）正方體ABCD-4四C"中，M是棱CQ的中點.記福=萬，正b，A.D^=cf

4A/用。，b,己表示為（）

A.-a+-b+-cB.-a+-b+-c

444444

C.-a+-b+-cD.-a+-b+-c

444444

4.（2024?高三?浙江?開學考試）在平行六面體NBC。-4夕￡2中，E為C12的中點，尸為8片的中點,

AE=a,AF=b,AD=c,則石［=(

43-

A.-a--b-cB.-a-b--c

3233

C.-a--b--cD.a--b--c

33323

題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用

5.如圖，在三棱柱451cl中，尸為空間一點，且滿足而=4瑟+〃函，4〃40,1],則下列說法

錯誤的是（）

A.當2=0時，點P在棱84上

B.當彳=〃時，點P在線段3。上

C.當"=1時，點P在棱4G上

D.當4+〃=1時，點尸在線段4c上

6.（2024?河北?模擬預(yù)測）在空間直角坐標系中，N（l,-2,a）,8（0,3,l）,C（4-1,2）,若4氏。三點共線，則

ab=.

7.（2024?高三?上海?期中）已知向量3=（-加,2,3）,=（4,?,1）,若1//彼，則加〃的值為.

8.已知.=（2,3,-1）,5=（4,加Xa//b>則m+（）

A.4B.5C.6D.7

題型三：空間向量的數(shù)量積運算

9.空間向量2=（1,0,1）在加=（0」,1）上的投影向量為（）

V2.V2nV2V2

22

10.如圖，在正三棱柱48C-481G中,AB=AA1=1,P為瓦G的中點，則NG12=(

11.（多選題）已知空間向量值=（2,-1,3）,b=[-4,2,x）,下列說法正確的是（）

A.右行16,貝!JX=H

B.若3N+B=（2,-l,10）,則x=l

C.若方在3上的投影向量為則X=4

D.若方與B夾角為銳角，貝Uxe

12.已知向量1=（1,2,3）/=（一2,—4,一6）洞=舊，若但+坂）三=7,則伍通=.

題型四：三點共線問題

13.如圖所示，在正方體中，點E在44上，且常=2函，點/在體對角線4c上，且

——?2—?

A}F=-FC.求證：E,F,8三點共線.

aG

AB

14.在長方體4BCD-481G2中，河為。2的中點，N在ZC上，且ZN:NC=2:1,E為8M的中點.求證:

4,E,N三點共線.

15.如圖，在平行六面體中，QC=2EC,A^C=3FC.

⑴求證：A、/、E三點共線；

（2）若點G是平行四邊形48CG的中心，求證：D、F、G三點共線.

題型五：多點共面問題

16.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，在正三棱柱43cl中，48=4,M=3,/是Ag的中點，AN=2NA,,

點尸在耳N上，且瓦A=2瓦元（0W4W1）.

是否存在實數(shù)X,使c,M,P，4四點共面？若存在，求力的值；若不存在，請說明理由;

17.已知1=(2,-1,3)3=(-1,4,-2)忑=(7,5"),若一標三向量共面,則「等于()

18.已知“=(2,-1,3),1=(-1,4,-2),"=(1,3"),若￡,b，)三向量不能構(gòu)成空間的一個基底，則實數(shù)2

的值為()

A.1B.2C.3D.4

19.已知1(2,-1,3),6=(-1,4,-2),1=(7,5㈤，若%,"三向量共面，則實數(shù)2等于()

62「63-64f65

A.—B.—C.—D.—

7777

20.已知4民C三點不共線，對平面N3C外的任一點。，下列條件中能確定點加,4民C共面的是()

A.OM=OA+OB+OCB.OM^2OA-OB-OC

C.OM=OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

23333

21.(2024?高三?四川成都?開學考試)在四棱柱/Be。-//。，中，屏=左即，麻=左方西，

3_____________

(1)當左=1時，試用48,4D,44］表示/尸；

(2)證明：￡1,G,〃四點共面;

題型六：證明直線和直線平行

22.如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，A,A=4,且底

面/2CO,點。滿足通=3反，點尸是棱。。上的一個點(包括端點).

4。

Bi

(1)求證：BQ、11BD；

題型七：證明直線和平面平行

23.如圖，在四棱臺NBCD-N/CA中，底面是邊長為2的正方形，平面48CD,AB=2AtBt,

DDX=\,尸為48的中點.

求證：。尸//平面8CC4；

24.(2024?廣西柳州?模擬預(yù)測)如圖，在棱長為1的正方體/Be。-//。，中，￡為44的中點，F(xiàn)為

AB的中點.

求證：。尸//平面/6￡；

25.（2024?天津河北?二模）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱即，平面/8C。，點E是尸C的中點，底面ABCD

是直角梯形，AB//DC,ADLDC,AB=AD=PD=1,CD=2.

⑴求證：BE//平面RLD；

題型八：證明平面與平面平行

26.如圖,在直四棱柱ABCD—ABGR中,底面ABCD為等腰梯形，AB//CD,AB=4,BC=CD=2,四=2,

廠是棱N8的中點.求證：平面平面廠CG.

27.在正方體中，M,N,尸分別是CG心G，G。的中點，試建立適當?shù)目臻g直角坐標系,

求證：平面跖\下〃平面49.

28.如圖，在直三棱柱48C-48cl中，ZABC=90°,BC=2,CQ=4,點￡在線段陷上，且網(wǎng)=1,

o1,G分別為cq、c向、G4的中點.求證:

(1)平面4片。，平面/8。;

(2)平面EGFH平面ABD.

題型九：證明直線與直線垂直

29.已知三棱錐尸-48c中，P/_L平面/BC,AB1AC,AB=2P4=24C=4,N為居上一點且滿足

3AN=NB>M,S分別為尸B,8c的中點.

p

C

B/

求證：CMLSN-,

30.如圖，在三棱柱ABC-451G中，N4BC=90°,AB=BC=AAX=2,AAX1平面ABC,E,F分別是BB、,4G的

中點.求證：AF±CE.

31.如圖，在四棱錐S-/8C。中，底面/8CA是矩形，平面/3CD1平面S3C,S8=SC,M是2C的中點,

(1)求證：AMLSD.

(2)若異面直線4攸與SC所成的角為IT:，求四棱錐S-/BCD的體積.

題型十：證明直線與平面垂直

32.如圖所示，在四棱錐尸-4BCD中，底面/BCD是矩形，底面/BCD,P4=AB=2,AD=\,E是

uuor4UUDr

尸8的中點，作EV_LPC交尸。于點尸，S.PF=-PC.求證：尸C_L平面4ER；

33.如圖，在棱長為2的正方體中，/為8c的中點，N為48的中點，尸為中點.求

證：M),_1_平面跖\尸.

34.如圖，在長方體/8C。-4與a，中，=2,/。=3〃4=4,點瓦尸分別為棱/瓦。2的中點，求證:

G尸1平面BCF；

題型十一：證明平面和平面垂直

35.如圖，四棱錐尸一/BCD中，底面N8C。為直角梯形，ADHBC,ABLAD,PAABCD,/。=10,

BC=2AB=8,M為尸C的中點.

求證：平面尸/CJ_平面尸CD；

36.(204?廣東深圳?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在正方體/BCD-/￡GA中，如圖￡、尸分別是84，C。的中點.

(1)求證：平面/A尸，平面4DE；

37.已知在直三棱柱/BC-451G中，其中441=2/C=4,/B=8C,廠為的中點，點E是CG上靠近G的

四等分點，與底面所成角的余弦值為它.

2

（1）求證：平面/尸C_L平面4防；

題型十二：求兩異面直線所成角

38.已知正方體"CD-4804的棱長為1，點E在線段3上，若直線BE與所成角的余弦值為立，

2

則線段5E的長為（）

A.逑B."C.-D.V2

422

39.（2024?遼寧?一模）如圖，四邊形48CD是正方形，尸/_L平面/8CA,且24=48=2,/是線段P8的

中點，則異面直線DM與P4所成角的正切值為.

40.（2024?高三?江蘇揚州?期中）如圖，直三棱柱/BC-43/C7中，BA=BC=BBi=l.BALBC

⑴記平面/耳Gn平面&BC=/,證明：/〃平面&BG；

⑵點。是直線期上的點、，若直線℃與M所成角的余弦值為g'求線段陽長.

題型十三：求直線與平面所成角

41.(2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測)如圖，直線垂直于梯形4BCD所在的平面，ZADC=ZBAD=90°,F

為線段P4的中點，PD=4i，AB=AD=^CD=1,四邊形尸DCE為矩形.

⑴求證：/C//平面DE1尸；

(2)求直線蜴與平面BCP所成角的正弦值.

42.（2024?高三?廣東汕頭?開學考試）在四棱錐P-/8CA中，BC//AD,4D=CD=2BC=4,ABCD=60°,

點G為功的中點.

A

(1)證明：CD〃平面PBG；

(2)若平面尸3D，平面A8CD,且PB=PD=2,求直線尸/與平面尸8所成角的正弦值.

43.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)如圖，在直三棱柱Z3C-45cl中，E是2/上的點，且平面/片。.

Bi

⑴求證：3CL平面4＜片2；

⑵若說=4,AC=2也，AB=2BC,尸是棱/C上的點，且直線片尸與平面典G所成角的正弦值為印,

試確定尸點的位置.

題型十四：求平面與平面所成角

44.(2024?四川樂山?三模)如圖，平行六面體中，底面N8C。是邊長為2的菱形，且

ABAD=60°,例=?,441AB="AD,必與平面ABCD所成的角為45°,4c與BD交于O.

⑴證明：4。，平面/8C。；

(2)求二面角B-CC.-D的正弦值.

45.(2024?四川?模擬預(yù)測)如圖，多面體48CDE尸中，已知面/BCD是邊長為4的正方形，&FBC是等也

三角形，EFUAB,EF=-AB,平面F8C_L平面/BCD.

2

(1)求證：EF工BF；

(2)求二面角E-/D-B的大小.

46.(2024?河南周口?模擬預(yù)測)如圖，平行六面體中，底面N2CO與平面48CQI都是邊

長為2的菱形，ZBCD=ZBCB=120。,側(cè)面BCC內(nèi)的面積為小.

(1)求平行六面體ABCD-AB'CR的體積；

(2)求平面BCCR與平面CDDG的夾角的余弦值.

47.(2024?福建龍巖?三模)如圖，在四棱臺N5CD-4且GR中，底面四邊形/BCD為菱形,

ZABC=60°,AB=2AAi=2/內(nèi),皿_L平面ABCD.

(1)證明：BD1CQ；

⑵若〃是棱3C上的點，且滿足器=］，求二面角的余弦值.

BC3

題型十五：求點面距、線面距、面面距

48.如圖1,在等腰直角三角形48c中，44=90。，BC=6,D,E分別是4C,48上的點，CD=BE=6,

。為的中點.將△/0￡沿。E折起，得到如圖2所示的四棱錐/-8CDE，其中百.

(1)求證：Z'O_L平面3cDE；

⑵求點B到平面ACD的距離.

49.如圖所示的多面體是底面為48co的長方體被平面NEG廠所截而得的，其中48=4,BC=2,CC1=3,

(1)求點C到平面NEC/的距離；

(2)設(shè)過點3平行于平面NEG尸的平面為a,求平面NEC/與平面a之間的距離.

jr

50.(2024?安徽合肥?模擬預(yù)測)如圖，直四棱柱/8CA-4與CQ|各棱長均為2,ABAD=,。是線段8。

的中點.

⑴求點。到平面4G。的距離;

(2)求直線AB與平面4G。所成角的正弦值.

51.(2024?福建福州?一模)如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點/在底面圓。上，圓。的半徑

為1,AF=出,點G是線段AF的中點.

(1)證明：EG〃平面

(2)若直線。下與圓柱底面所成角為45。，求點G到平面DEF的距離.

題型十六：點到直線距離、異面直線的距離

52.(2024?江蘇無錫?模擬預(yù)測)如圖，在棱長為4的正方體/8CD-48G2中，點￡在棱N4上，且/E=l.

（1）求四棱錐〃-EABBX的表面積

⑵若點尸在棱2G上'且「到平面即陽的距離為手’求點尸到直線期的距離.

53.（2024?遼寧?一模）已知空間中的三個點/（LU），5（2,1,-1）,C（3,0,0）,則點A到直線3c的距離

為.

54.（2024?安徽合肥?一模）棱長為1的正方體A8C。-跖如圖所示，分別為直線/尸,8G上的動

點，則線段長度的最小值為.

55.四棱錐S-NBCD中，"=S3=SC=SD=8a,",SC的中點分別為底面正方形的邊長為4a,求

與3N間的距離.

1.（2024?江西新余?模擬預(yù)測）已知/（TT-1）,直線/過原點且平行于￡=（0,1,2）,則A至卜的距離為（）.

A,史「V30D.叵

B.1L?------

555

2.（2024?山東濟南?三模）如圖所示,正方體的棱長為1,點、E,F,G分別為BC,CCi，BBi的

）

A.直線與直線/月垂直B.直線4G與平面4印平行

C.三棱錐尸-48E的體積為:

D.直線3c與平面4EF所成的角為45°

O

3.（2024?浙江?模擬預(yù)測）邊長為1的正方體/8CA-中，E,尸分別是4。中點，M是DB

靠近8的四等分點，P在正方體內(nèi)部或表面，DP-（EF+MF）=0,則。尸的最大值是（）

B.4

A.1C.V2D.百

4.（2024?陜西?模擬預(yù)測）在平行六面體/Be。-//。，中，已知=1,

AAXAB=ZAtAD=ZBAD=60°,則下列選項中錯誤的一項是（）

A.直線4c與BD所成的角為90°

B.線段4c的長度為Q

C.直線4c與8片所成的角為90。

直線4c與平面ABCD所成角的正弦值為如

D.

3

5.已知向量a=（o,o,i）,^=（i,-i,i）,向量a+B在向量a上的投影向量為（）.

A.（0,0,2）B.（0,0,1）

C.（0,0,-1）D.（0,0-2）

6.（2024?山東荷澤?二模）如圖，在正方體中，AXD^\ADX=E,CDX[\CXD=F,則下列結(jié)

論中正確的是（）

A.55］//平面NCRB.平面平面/C2

C.EF_L平面BDD4D.平面4844內(nèi)存在與EF平行的直線

7.定義一個集合Q,集合中的元素是空間內(nèi)的點集，任取用鳥存在不全為0的實數(shù)4，為人,使

得4而1+4麗+4西=0.已知（l,O,O）eQ,貝（1（0,0,1）任。的充分條件是（）

A.（0,0,0）eQB.（-l,0,0）eQ

C.（0,1,0）eQD.（0,0,-l）eQ

8.（2024?河南信陽?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為36的正方體NBC。-4與G2中，8Q與平面NCR交于點

E,與平面48G交于點尸，點M,N分別在線段4G，￡廠上運動，則線段的取值范圍為（）

A.［孚3局孚3司。.［竽'3司D.］孚,3百

9.（多選題）（2024?河南?模擬預(yù)測）如圖,在底面為等邊三角形的直三棱柱ABC—AXBXCX中，/C=2,BBX=y/2,

D,￡分別為棱BC,的中點，則（）

A.4田〃平面40G

B.ADLC.D

C.異面直線/c與DE所成角的余弦值為巫

5

D.平面4DG與平面/3C的夾角的正切值為近

10.（多選題）（2024?山東淄博?二模）如圖，在平行六面體/BCD-中，以頂點/為端點的三條

棱長都是1,且它們彼此的夾角都是方，M為4G與BQ］的交點.若93AD=b，AA^c,則下列

說法正確的是（）

-----------(,-----------(,7T

B.CM,AC,=-

3

C.BD]=a+b+cD.ADBD^l

11.（多選題）（2024?河北?模擬預(yù)測）已知正方體Z5CD-4片G。,尸為叫中點，。為3c中點，貝IJ（）

A.直線尸〃與直線。區(qū)平行B.直線尸G與直線。2垂直

C.直線尸0與直線48相交D.直線尸0與直線。片異面

12.（2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）空間內(nèi)四點次0,0,0）,5（1,0,0）,c（L且,0）,。可以構(gòu)成正四面體，則點。

22

的坐標是.

13.（2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）在平面直角坐標系xQy中，設(shè)/卜0,0）,2（30,0）,若沿直線/：y=x把

平面直角坐標系折成大小為e的二面角后，以劃=3及，則。的余弦值為.

14.（2024?高三?廣東深圳?期中）在長方體N3CD-中，9=必=4,M=2,點p為側(cè)面/班以內(nèi)

一動點，且滿足GP//平面，則G尸的最小值為,此時點P到直線4G的距離為.

15.（2024?天津薊州?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐尸-/5CD中，已知棱48,4D,/尸兩兩垂直，長度分別為

1,2,2,若灰=4萬，且向量定與而夾角的余弦值為巫■.

15

p

/4

⑴求實數(shù)九值；

(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;

(3)求平面PBD與平面尸CD夾角的余弦值.

16.（2024?河北?模擬預(yù)測）如圖，四棱錐/-3CEZ）中，平面ABCI平面BCED,AB=AC,AD=AE,BC//DE,

BD=CE,BC=2DE=473,ZDAE=-ABAC,AD=ABsinZDAE.設(shè)8c中點為a,過點H的平面a同時垂

2

直于平面BAD與平面CAE.

⑴求sin/DZE

(2)求平面a與平面BCED夾角的正弦值；

(3)求平面a截四棱錐/一BCED所得多邊形的周長.

17.(2024?山東淄博?二模)已知直角梯形48。，ZADC=90°,AB//CD,AB=1CD=4b,AD=43,M

為對角線/C與BD的交點.現(xiàn)以NC為折痕把A4DC折起，使點。到達點尸的位置，點。為P8的中點，如

圖所示：

⑴證明：/C，平面PBM；

(2)求三棱錐P-NCQ體積的最大值；

(3)當三棱錐尸-/C。的體積最大時，求直線AB與平面P3C所成角的正弦值.

18.(2024?黑龍江牡丹江?一模)如圖，在四棱錐P-/2C。中，P/_L平面/BCO,AD1CD,AD//BC,

PF1

PA=AD=CD=2,BC=3.E為尸。的中點，點廠在PC上，且k=§?

⑴求證：4E_L平面尸CD；

(2)求平面AEF與平面PAD夾角的余弦值.

PG

⑶設(shè)點G在M上，且*=；3判斷直線/G是否在平面4￡尸內(nèi)，說明理由.

PB4

㈤3

1.(2024年北京高考數(shù)學真題)如圖，在四棱錐尸-48CD中，BCI/AD,AB=BC=l,40=3,點E在4。

上，且尸ESAD,PE=DE=2.

p

(1)若尸為線段尸E中點，求證：BF〃平面PCD.

(2)若平面R4D,求平面P/8與平面尸8夾角的余弦值.

2.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題)如圖，在以/,B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，四邊形

48。與四邊形尸均為等腰梯形，EFHAD,BC//AD,AD=4,4B=BC=EF=2,ED=5,FB=2也,

/為3的中點.

(1)證明：5河//平面。?！?；

(2)求二面角尸-5M-E的正弦值.

3.(2024年天津高考數(shù)學真題)已知四棱柱/BCO-中，底面/8Q5為梯形，ABHCD,平

面/8C￡>,AD1AB,其中48=/4=2,/D=OC=l.N是gG的中點，”是。Q的中點.

(1)求證2N〃平面CAM；

(2)求平面CBXM與平面BBQG的夾角余弦值;

⑶求點B到平面Cg"的距離.

4.(2024年新課標全國II卷數(shù)學真題)如圖，平面四邊形4BCD中，48=8,CD=3,4D=5。，ZADC=90°,

___2__,___1___

NBAD=30°,點、E,尸滿足羽=《75,AF=-AB,將沿環(huán)翻折至！PEE,使得尸C=4/L

(1)證明：EFLPD-,

(2)求平面PCD與平面PAF所成的二面角的正弦值.

5.(2023年北京高考數(shù)學真題)如圖，在三棱錐P-/3C中，平面NBC,PA=AB=BC=1,PC=6

(1)求證：BC_L平面以8；

(2)求二面角/-PC-B的大小.

6.（2023年新課標全國I卷數(shù)學真題）如圖，在正四棱柱ABCD-4臺￡2中，48=2,/4=4.點4,劣,C2,3

分別在棱,BB、,CC,,DD,±,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴證明：B2C2//A2D2；

(2)點尸在棱上，當二面角尸-4C2-Q為150。時，求82P.

7.(2023年新課標全國II卷數(shù)學真題)如圖，三棱錐中，DA=DB=DC,BDLCD,

AADB=ZADC=60°,E為5c的中點.

AF

(1)證明：BCLDA；

(2)點尸滿足麗=而，求二面角。-48-尸的正弦值.

8.(2022年新高考天津數(shù)學高考真題)如圖，在直三棱柱451G中，4CLAB,點、D、E、尸分別

為4月,，4，。。的中點，AB=AC=A4=2.

⑴求證：E尸〃平面4BC；

(2)求直線BE與平面CC.D所成角的正弦值;

(3)求平面4CD與平面CCQ夾角的余弦值.

9.(2022年新高考浙江數(shù)學高考真題)如圖，已知48CD和CZ)跖都是直角梯形，AB//DC,DCIIEF,

AB=5,DC=3,EF=l,N&4D=/CUE=60。，二面角尸-。C-B的平面角為60。.設(shè)M,N分別為

的中點.

EF

AB

(1)證明：FNLAD.

(2)求直線8M與平面4DE所成角的正弦值.

10.(2022年新高考全國n卷數(shù)學真題)如圖，尸。是三棱錐尸-4BC的高，PA=PB,AB，AC,E是PB

的中點.

⑴證明：OE//平面P/C；

(2)若NA8。==30。，PO=3,PA=5,求二面角C-/E-8的正弦值.

11.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題)在四棱錐尸-/8C。中，底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6.

P

(1)證明：BDLPA-,

(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.

12.（2022年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）如圖，四面體/BCO中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,

E為/C的中點.

⑴證明：平面平面/CD；

（2）設(shè)48=助=2,44cs=60。，點F在BD上,當A//C的面積最小時，求CF與平面43。所成的角的正弦

值.

13.（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）如圖，直三棱柱4G的體積為4,A43C的面積為2收.

（1）求/到平面48c的距離;

（2）設(shè)。為4c的中點，AAt=AB,平面4BCL平面N544,求二面角/一8。一。的正弦值.

14.（2021年全國新高考H卷數(shù)學試題）在四棱錐。-/BCD中，底面是正方形，若

AD=2,QD=QA=45,QC=3.

Q

（1）證明：平面。4D_L平面48cZ）；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

15.（2021年北京市高考數(shù)學試題）如圖：在正方體/8CA-43C2中，E為4A中點,4G與平面CDE

交于點尸.

（1）求證：E為瓦G的中點；

（2）點/是棱4片上一點，且二面角M-FC-E的余弦值為置，求*的值.

3”內(nèi)

16.（2021年全國高考乙卷數(shù)學（理）試題）如圖，四棱錐P-/8CO的底面是矩形，如，底面N3CD,PD=

DC=1,〃■為8c的中點，且PB_LAM.

(1)求BC；

(2)求二面角/-尸的正弦值.

第05講空間向量及其應(yīng)用

目錄

01模擬基礎(chǔ)練...................................................................2

題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算..........................................2

題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用..................................................3

題型三：空間向量的數(shù)量積運算....................................................3

題型四：三點共線問題............................................................4

題型五：多點共面問題............................................................5

題型六：證明直線和直線平行......................................................6

題型七：證明直線和平面平行......................................................7

題型八：證明平面與平面平行......................................................8

題型九：證明直線與直線垂直......................................................9

題型十：證明直線與平面垂直.....................................................11

題型十一：證明平面和平面垂直...................................................12

題型十二：求兩異面直線所成角...................................................13

題型十三：求直線與平面所成角...................................................14

題型十四：求平面與平面所成角...................................................15

題型十五：求點面距'線面距、面面距.............................................17

題型十六：點到直線距離、異面直線的距離.........................................18

02重難創(chuàng)新練..................................................................19

03真題實戰(zhàn)練..................................................................24

題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算

1.如圖，已知空間四邊形。48C,M,N分別是邊CM,8c的中點，點G滿足礪=2而，設(shè)d=之，OB^b>

OC^c>則詬=（）

A.-a+-b+-c

333

【答案】B

+方+麗）

-OA+OB-OA+-BC

22

-OA+OB-OA+-

22

=-OA+-OB+-OC,

633

1一1一1一

=—a+—b+—c.

633

故選：B.

2.如圖，在四面體O-。中，5是V/BC的重心，G是。5上的一點，且OG=2GG],若

OG=xOA+yOB+zOC,貝lj(x4,z)為()

o

【答案】D

—>1—?—?

【解析】因為石是8。中點，所以O(shè)E=5（OB+OC），

2

。是V/5C的重心，則

——?2—?2—?―?

所以4Gl=-AE=-{OE-OA）,

因為OG=2GG]

所以

OG=-OG,=-（OA+AG.）=-OA+-（OE-OA）=-OA+-OE=-OA+-（OB+OC）=-OA+-OB+-OC,

3131399999999

__,__kk,2

^OG=xOA+yOB+zOC,則x=〉=z='.

故選：D.

3.（2024?高三?山東臨沂?期末）正方體-中，〃是棱CG的中點.記AB、=a,AC=b，4D1=c,

4A/用。，B,5表示為（）

A—3匚1-「3一11-

A.—ClH—bH—cB?一ClH—brH—c

444444

八1-113-「1-313-

C.—ciH—bH—cD.—a+—b+—c

444444

【答案】A

【解析】AC^AB+AD，函

=AB+AAX,ADX=AD+AAX,

三個式子相加得就+福+詬\=2[AB+AD+AA^=2AClf

AM=^（ACl+AC）=^AC-—函+g西+回

1—?3—?1——?1'1-

=-AB+-AC+-AD.=-a+--b+—c.

4y444“14

D\G

4.（2024?高三?浙江?開學考試）在平行六面體/BCQ-4鳥。12中，￡為62的中點，尸為B片的中點,

AE=a,AF=b,AD=c,則石尸（）

43-4-4

A.-a一一b-cB.-a-b——c

3233

八4一214一「一314一

C.—a——b——cD.a——b——c

33323

【答案】C

【解析】設(shè)44=m,AB=n則AE=a=m+^fi+c,AF=b=n+^m.

-11、42-4

所以萬=6——m,a=m+—\b——m\+c,所以而二-G——b——c.

22[2）333

題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用

5.如圖，在三棱柱48C-44G中，尸為空間一點，且滿足麗=2瑟+〃函，2,Ae[0,l],則下列說法

錯誤的是（）

A\G

A.當2=0時，點P在棱8月上

B.當2=〃時，點P在線段4c上

C.當〃=1時，點尸在棱4G上

D.當彳+〃=1時，點尸在線段4c上

【答案】B

【解析】對于A,當2=0時，麗=〃甌，

所以麗//麗，則點P在棱上，故A正確；

對于B,當彳=〃時，BP=A（BC+BB^,2e[0,l],

即加二2晅，即麗//西

所以點P在線段8G上，故B錯誤；

對于C,當〃=1時，BP=ABC+'BBl,Ae[0,l],

所以2反=而-函,所以率=2反=九瓦1,即瓦R//瓦以，

所以點尸在棱4。上，故c正確；

對于D,當彳+〃=1時，

所以麗=20+（1-/I）函，2e[0,l],

所以刀_熊=4灰_疝瓦,

即印=7麻，即率//瓦心，

所以點尸在線段用C上，故D正確.

故選：B.

6.（2024?河北?模擬預(yù)測）在空間直角坐標系中，A（l,-2,a）,B（0,3,l）,C（b,-l,2）,若4民C三點共線，則

ab=.

【答案、】|Q

【解析】由題得益=（-1,5,1-°）,而=3.-4,1）,