2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：集合背景下的新定義壓軸解答題（四大題型）（學(xué)生版+解析）

拔高點突破01集合背景下的新定義壓軸解答題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：定義新概念............................................................................2

題型二：定義新運算.............................................................................3

題型三：定義新性質(zhì).............................................................................5

題型四：定義新背景.............................................................................6

03過關(guān)測試.....................................................................9

亡法牯自與.柒年

//\\

1、解答新定義型創(chuàng)新題的基本思路是：

（1）正確理解新定義；

（2）根據(jù)新定義建立關(guān)系式；

（3）結(jié)合所學(xué)的知識、經(jīng)驗將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題；

（4）運用所學(xué)的公式、定理、性質(zhì)等合理進(jìn)行推理、運算，求得結(jié)果.

2、集合中的新概念問題，往往是通過重新定義相應(yīng)的集合或重新定義集合中的某個要素，結(jié)合集合

的知識加以創(chuàng)新，我們還可以利用原有集合的相關(guān)知識來解題.

3、集合中的新運算問題是通過創(chuàng)新給出有關(guān)集合的一個全新的運算規(guī)則.按照新的運算規(guī)則，結(jié)合

數(shù)學(xué)中原有的運算和運算規(guī)則，通過相關(guān)的集合或其他知識進(jìn)行計算或邏輯推理等，從而達(dá)到解答的目的.

4、集合中的新性質(zhì)問題往往是通過創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)衍生而來的.我們通過可以結(jié)合相

應(yīng)的集合概念、關(guān)系、運算等相關(guān)知識，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法來解答有關(guān)的集合的新性質(zhì)問題.

題型一：定義新概念

【典例1-1】（2024?北京順義?二模）已知點集〃“=｛（和另），（々，%），，（x””）｝（〃N3）滿足0V%,%,

乙+y<2。=1,2,?，耳.對于任意點集若其非空子集A,8滿足Ac3=0,AB=Mn,則稱集合對

（4功為風(fēng),的一個優(yōu)劃分.對任意點集M“及其優(yōu)劃分（A3）,記A中所有點的橫坐標(biāo)之和為X（A）,B中

所有點的縱坐標(biāo)之和為丫⑻.

⑴寫出M3=｛（1,1）,（2,0）,（0,2）｝的一個優(yōu)劃分（A3）,使其滿足X（A）+F（3）=3；

（2）對于任意點集M，求證：存在M的一個優(yōu)劃分（A,3）,滿足X（A）+F（B）43；

（3）對于任意點集此，求證：存在此的一個優(yōu)劃分（A3）,滿足X（A）V等且y（B）w等.

【典例1-2】（2024?浙江臺州?二模）設(shè)A,8是兩個非空集合，如果對于集合A中的任意一個元素x,按照

某種確定的對應(yīng)關(guān)系了,在集合8中都有唯一確定的元素y和它對應(yīng)，并且不同的x對應(yīng)不同的y；同時8

中的每一個元素》都有一個A中的元素x與它對應(yīng)，則稱/：A-3為從集合A到集合8的一一對應(yīng)，

并稱集合A與2等勢，記作了=7.若集合A與8之間不存在一一對應(yīng)關(guān)系，則稱A與B不等勢，記作

A^B-

例如：對于集合4=?4*,?BupM-eN*},存在---對應(yīng)關(guān)系y=2x（xwA,yeB）,因此］=

（1）已知集合C={（X,y）\x2+/=1）,O=",y）I［+?=1，，試判斷"方是否成立?請說明理由；

（2）證明：①（0,1）=（-8,+8）；

②N*wN*}.

【變式1-1］（2024.江西九江.二模）定義兩個"維向量q=（知,％,2,…,，勺=（%,專2,…,勺,“）的數(shù)量積

q.aj=%+?！?…+（i,JeN+）,at=a：，記\k為at的第左個分量（無三〃且左eN+）.如三

維向量q=（2,1,5）,其中％的第2分量62=1.若由〃維向量組成的集合A滿足以下三個條件：①集合中含

有w個力維向量作為元素；②集合中每個元素的所有分量取?；?；③集合中任意兩個元素q,aJ,滿足

a"=a：=T（T為常數(shù)）且q嗎=1.則稱A為T的完美〃維向量集.

⑴求2的完美3維向量集；

（2）判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由；

⑶若存在A為T的完美w維向量集，求證：A的所有元素的第左分量和1=T.

題型二：定義新運算

【典例2-1］（2024?海南海口?一模）在計算機(jī)科學(xué)中，〃維數(shù)組X=（占，w，.,天）,玉e{0,l},ieN+，〃N2是

一種基礎(chǔ)而重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它在各種編程語言中被廣泛使用.對于"維數(shù)組

A=(al,a2,L,an),B=(bvb2,L,b.),定義A與B的差為A-B=(|q-"他一么|，…，|凡一切)，人與5之間的距

離為或A,B)=t|a廠修.

1=1

⑴若〃維數(shù)組C=(O,O,,0),證明：J(AC)+J(B,C)>J(AB)；

(2)證明：對任意的數(shù)組A8,C,<rf(A-C,B-C)=J(A,B)；

⑶設(shè)集合,二^因二任,3，、%)，^^。/｝，*、,〃^｝,/^^,若集合P中有機(jī)(〃后2)個“維數(shù)組，記

尸中所有兩元素間的距離的平均值為"(P),證明：/尸)一(加一1)-

【典例2-2】(2024.浙江紹興.二模)己知左?N*,集合=｛小=2辦+2"+…+2",0*0<,<%,其中

io工，…，heN｝.

⑴求X2中最小的元素；

⑵設(shè)a=2i+23eX],beX[,且a+beX]，求6的值；

氏+1b

⑶記匕二看門啰+,"""],"eN*,若集合匕中的元素個數(shù)為4,求X苛?.

【變式2-1](2024?浙江嘉興?二模)已知集合A=[g2"“0W4</<<am,a;eN|,定義：當(dāng)根=r時，把

集合A中所有的數(shù)從小到大排列成數(shù)列例6｝,數(shù)列作⑺“｝的前n項和為S(6.例如：公2時，

23

6(2)]=2°+2]=3,b(2)2=2°+2?=5,6(2%=2'+2=6,&(2)4=2°+2=9,,

S(2)4=b(2\+/28+伙2%+伙2)4=23.

⑴寫出伙2)5,仇2%,并求義2)1°；

(2)判斷88是否為數(shù)歹隆6(3)“｝中的項.若是，求出是第幾項；若不是，請說明理由；

⑶若2024是數(shù)列｛6⑺“｝中的某一項。(片)傳，求務(wù),％及S%)取的值.

題型三：定義新性質(zhì)

【典例3-1］（2024.云南昆明.一模）若非空集合A與8,存在對應(yīng)關(guān)系力使A中的每一個元素a,8中總

有唯一的元素6與它對應(yīng)，則稱這種對應(yīng)為從A到B的映射，記作力A—B.

設(shè)集合4={-5,-3,-1,1,3,5},3=也也，,2}"eN*，n<6）,且設(shè)有序四元數(shù)集合

「=國門=（4程￡，匕），尤"4且'=1，2,3,4},0={中=（%,%,%，”）}.對于給定的集合8,定義映射力

PTQ,記為y=/（x）,按映射/,若（i=1,2,3,4）,則M=%+1；若x陛B（f=1,2,3,4）,則

4

%=%.記SB（y）=?，.

1=1

⑴若3={_5,1},X=（1,-3,-3,5）,寫出匕并求%（丫）；

（2）若3={4也也}，X=（1,-3-3,5）,求所有SB（V）的總和；

4

⑶對于給定的X=（百,%2，玉,工4）,記工為="7,求所有邑（丫）的總和（用含機(jī)的式子表示）.

1=1

【典例3-2】（2024?廣東江門.一模）將2024表示成5個正整數(shù)占，巧，x3,x4,天之和，得到方程

國+9+三+匕+%=2024①，稱五元有序數(shù)組（%,9,七,4三）為方程①的解，對于上述的五元有序數(shù)組

（西,々，8及廣5），當(dāng)時，若11^（%-勺）=W€2,則稱（石,彳2，玉，及，三）是/一密集的一組解.

⑴方程①是否存在一組解（冷電，￡，4%），使得1-X,1=1,2,3,4）等于同一常數(shù)?若存在，請求出該常數(shù);

若不存在，請說明理由；

⑵方程①的解中共有多少組是1-密集的？

5

（3）記5=￡尤"問$是否存在最小值?若存在，請求出s的最小值；若不存在，請說明理由.

Z=1

【變式3-1］（2024.廣東.模擬預(yù)測）已知集合A中含有三個元素為y，z,同時滿足①x<y<z；②x+y>z；

③x+y+z為偶數(shù)，那么稱集合A具有性質(zhì)尸.已知集合S.={1,2,3,；2n}（?eN*,?>4）,對于集合S“的非

空子集8,若S“中存在三個互不相同的元素a,。,c,使得a+瓦》+c,c+a均屬于8,則稱集合B是集合S”的

“期待子集”.

（1）試判斷集合A=｛1,2,3,5,7,9｝是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

⑵若集合3=｛3,4,a｝具有性質(zhì)產(chǎn)，證明：集合B是集合及的“期待子集”；

（3）證明：集合M具有性質(zhì)P的充要條件是集合M是集合Sn的“期待子集”.

題型四：定義新背景

【典例4-1】（2024?全國?模擬預(yù)測）拓?fù)鋵W(xué)是一個研究圖形（或集合）整體結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的一門幾何學(xué)，以

抽象而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言將幾何與集合聯(lián)系起來，富有直觀和邏輯.已知平面￡2=｛（X，y）|Vx,yeR｝,定義對

4（沖y）,4（和%），其度量（距離）1（4,4）=一.y+（%.并稱（比力為一度量平

面.設(shè)尤0€（爐，d）,“R+,稱平面區(qū)域3（尤0，￡）=｛尤€（或%）＜￡｝為以毛為心，￡為半徑的

球形鄰域.

（1）試用集合語言描述兩個球形鄰域的交集；

（2）證明：（￡2,力中的任意兩個球形鄰域的交集是若干個球形鄰域的并集；

（3）一個集合稱作“開集”當(dāng)且僅當(dāng)其是一個無邊界的點集.證明：（序，d）的一個子集是開集當(dāng)且僅當(dāng)其可

被表示為若干個球形鄰域的并集.

【典例4-2】（2024.安徽蕪湖.二模）對稱變換在對稱數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義.若一個平面圖形K在相

（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對稱性，并記相為K的一個對稱變

換.例如，正三角形R在叫（繞中心。作120。的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與我重合（如圖1圖2所示），所以

網(wǎng)是R的一個對稱變換，考慮到變換前后R的三個頂點間的對應(yīng)關(guān)系，記肛=1]2；又如，氏在自

（關(guān)于對稱軸片所在直線的反射）的作用下仍然與R重合（如圖1圖3所示），所以《也是R的一個對稱變

fl23、

換，類似地，記4=132.記正三角形R的所有對稱變換構(gòu)成集合S?一個非空集合G對于給定的代

數(shù)運算.來說作成一個群，假如同時滿足:

I.VQ,Z?￡G,ab^G；

II.Ya,b,ceG,Z;)c=4(Z?c)；

III.eG,X/aGG,ae=e〃=〃；

IV.\/aGG,3a~xGG?aax=axa=e-

對于一個群G,稱HI中的e為群G的單位元，稱W中的/為〃在群G中的逆元.一個群G的一個非空子

集”叫做G的一個子群，假如“對于G的代數(shù)運算來說作成一個群.

1

⑴直接寫出集合S(用符號語言表示s中的元素);

(2)同一個對稱變換的符號語言表達(dá)形式不唯一，如

23、H「21233H/323121、H/32213}對于集合S中的元素，定義

父*僅1b2=%生］

一種新運算*,規(guī)則如下:

^3J、G。2C3J\C1C1C3J

、偽b2

{4，%,%}={4也也}={<:“2，。3}={1,2,3}.

①證明集合S對于給定的代數(shù)運算*來說作成一個群；

②已知”是群G的一個子群，e,e'分別是G,X的單位元，aeH,a',"分別是。在群G,群反中的

逆元.猜想e,e'之間的關(guān)系以及“一，"之間的關(guān)系，并給出證明;

③寫出群S的所有子群.

【變式4-1](2021.北京西城?二模)設(shè)A是正整數(shù)集的一個非空子集，如果對于任意xeA,都有x-leA

或x+leA,則稱A為自鄰集.記集合4={1,2,〃}(">2,〃eN)的所有子集中的自鄰集的個數(shù)為與.

⑴直接寫出4的所有自鄰集；

(2)若〃為偶數(shù)且〃>6,求證：4的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數(shù)是偶數(shù)；

⑶若n>4,求證：an<2an_x.

0

過關(guān)測試\\

1.（2024?北京豐臺?一模）已知集合此={xeN*,V2〃}（"eN,?>4）,若存在數(shù)陣

4%a、，廿□

T=,,,糊足：

他％2」

①a“}U他也,也}=M.；

②@K-4=k（k=1,2,…,n）.

則稱集合”“為“好集合”，并稱數(shù)陣T為知“的一個“好數(shù)陣”.

xyz6

（1）已知數(shù)陣/=,?,c是加4的一個“好數(shù)陣”，試寫出X,九z,W的值；

7w12

（2）若集合為“好集合”，證明：集合A/,,的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個；

（3）判斷％=5,6）是否為“好集合”.若是，求出滿足條件”找4,%，,凡}的所有“好數(shù)陣”；若不是，說

明理由.

2.（2024?湖南益陽?模擬預(yù)測）我們知道，二維空間（平面）向量可用二元有序數(shù)組&,4）表示；三維空

間向盤可用三元有序數(shù)組（4，%,/）表示.一般地，〃維空間向量用，元有序數(shù)組3,%，，凡）表示，其中

%（左=1,2,稱為空間向量的第％個分量，上為這個分量的下標(biāo).對于“（九23）維空間向量（qg,

定義集合A（租）={用以=九左=1,2,,〃}.記A?）的元素的個數(shù)為|A（叫（約定空集的元素個數(shù)為0）.

（1）若空間向量（弓,02M3，4，。5M,求A（5）及|A（5）|；

⑵對于空間向量a，%,，%）?若點+島+1

+而『=求證：皿六{12，叭若，則

qw%；

（3）若空間向量（％,%,%M〃）的坐標(biāo)滿足A（以_2+以-1）={k}Mi=%=1，當(dāng)心3時，求證:

a；+a；++a；>1an_xan.

3.(2024?北京?模擬預(yù)測)對給定的正整數(shù)"，令。"={。=(%,生，…9)lqe{0,l},z.=l,2,…㈤，對任意的

+x

x=(xl,x2,—,xn),尸也,%,…,%)??！?，定義二與y的距離d(x,y)=|再一切+區(qū)一為|+\n~y.\■設(shè)A

是?！暗暮兄辽賰蓚€元素的子集，集合。={d(x,y)|xNeA)中的最小值稱為A的特征，記作力⑷

(1)當(dāng)〃=3時，直接寫出下述集合的特征：

A={(O,O,O),(l,l,l)},B={(O,O,O),(O,l,l),(l,O,l),(l,l,O)},C={(O,O,O),(O,O,l),(O,l,l),(l,l,l)}；

(2)當(dāng)〃=2020時，設(shè)4^^202。且力(4)=2,求A中元素個數(shù)的最大值；

o2020

⑶當(dāng)”=2020時，設(shè)4a。2期且力(4)=3,求證：A中的元素個數(shù)小于^—.

2021

4.(2024.北京延慶一模)已知數(shù)列{%},記集合7={5(，,/)|5億/)=卬+4+|+...+%,14，＜刀,/€1\[*}.

(1)若數(shù)列{%}為1,2,3,寫出集合人

⑵若%=2〃，是否存在/"eN*,使得S(i")=512?若存在，求出一組符合條件的V；若不存在，說明

理由；

(3)若％=〃，把集合T中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為4也,…，⑥，…，若勾42024,求機(jī)的最大

值.

5.(2024?湖南邵陽?二模)給定整數(shù)席3,由"元實數(shù)集合戶定義其隨影數(shù)集。={卜-訓(xùn)羽、€尸,無片".若

min(2)=l,則稱集合尸為一個"元理想數(shù)集，并定義尸的理數(shù)r為其中所有元素的絕對值之和.

⑴分別判斷集合S={-2,-1,2,3},T={43,-1.2,2.1,2.5}是不是理想數(shù)集；(結(jié)論不要求說明理由)

⑵任取一個5元理想數(shù)集尸，求證：|min(P)|+|max(P)|“；

⑶當(dāng)尸={%%,、々3}取遍所有2024元理想數(shù)集時，求理數(shù)r的最小值.

注：由〃個實數(shù)組成的集合叫做〃元實數(shù)集合，max(P),min(P)分別表示數(shù)集尸中的最大數(shù)與最小數(shù).

6.(23-24高三上?北京昌平?期末)已知。：生,&，S為有窮正整數(shù)數(shù)列，且qW4W.-W4,集合

X={-1,0,1}.若存在%wX,i=l,2,,k,使得占4+9%++xkak=t,則稱t為左-可表數(shù)，稱集合

T=t=xlal+x2a2++xkak,xteX,z=l,2,,，無}為左-可表集.

⑴若左=10此=2"七=1,2,,k,判定31,1024是否為人-可表數(shù)，并說明理由;

中—1

⑵若{1,2,,“}17,證明：〃4七」；

(3)設(shè)％=3-、=1,2,,k,若{1,2,,2024}=T,求左的最小值.

7.設(shè)機(jī)為給定的正奇數(shù)，定義無窮數(shù)列4：q=l,%=，2""㈤為偶數(shù))，其中〃eN*.若應(yīng)是數(shù)列"中

。"+機(jī)(4,為奇數(shù))

的項，則記作出e4.

(1)若數(shù)列4的前6項各不相同，寫出機(jī)的最小值及此時數(shù)列的前6項；

(2)求證：集合3=keN*|6e4，%>2時是空集；

⑶記集合S,"={x|xeA〃}，S={TV正奇數(shù)〃?,xeS,“},求集合S.(若加為任意的正奇數(shù)，求所有數(shù)列4的

相同元素構(gòu)成的集合S.)

8.已知集合4={4，%,?3……%}=N*,其中“eN且〃23嗎<a3V……若對任意的

x,yeA(x^y),都有,一了上詈，則稱集合A具有性質(zhì)加仆

(1)集合4={1,2,可具有性質(zhì)心，求。的最小值；

11n-1

(2)已知A具有性質(zhì)Ms，求證：------

(3)已知A具有性質(zhì)Me求集合A中元素個數(shù)的最大值，并說明理由.

9.(2023?河南?模擬預(yù)測)已知數(shù)列{%}是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)歹曜2-1}是公比為2的等比數(shù)列，且

%=瓦,%"3=20.

⑴求數(shù)列{%},{〃}的通項公式；

⑵設(shè)國表示不超過x的最大整數(shù)($□：[3.5]=3,[-1.5]=-2),求集合

{fceN*|a,?<[log2bk]<a2m,l<m<I。}中元素的個數(shù).

10.(2023?北京西城?模擬預(yù)測)已知A為有限個實數(shù)構(gòu)成的非空集合，設(shè)A+A={a,+%|a,,%eA},

4-4={勾-%卜,,為€可，記集合A+A和A-A其元素個數(shù)分別為M+H，設(shè)

77(A)=|A+A|—|A—4例如當(dāng)A={1,2}時,A+A={2,3,4},A—A=1—1,0,11,|A+A|=|A—A|,所以

M(A)=O.

⑴若A={1,3,5},求w(A)的值；

⑵設(shè)A是由3個正實數(shù)組成的集合且(A+A)A=0,A'=A30}；,證明：為定值；

(3)若{4}是一個各項互不相同的無窮遞增正整數(shù)列，對任意“eN*,設(shè)從76,孫…，％}，2=〃(4).已

知4=1,a2=l,且對任意“eN*,bn>Q,求數(shù)列{叫的通項公式.

11.(2023?北京?模擬預(yù)測)正整數(shù)集合4=?/,生，嗎},且<an,n>3,B中所有元素和

為T網(wǎng),集合C={T(B)|B=A}.

(1)若4={1,2,5},請直接寫出集合C；

(2)若集合8中有且只有兩個元素，求證“陽出嗎，，4,為等差數(shù)列”的充分必要條件是‘集合C中有2〃-3個

元素

⑶若C={1,2,3,,2023},求九的最小值，以及當(dāng)〃取最小值時，?！白钚≈?

12.(2023.北京通州.模擬預(yù)測)設(shè)集合A為含有w個元素的有限集.若集合A的％個子集A，4,

4滿足：

①A，4均非空；

②A，4,…，4中任意兩個集合交集為空集；

③4口4口-口4=A.

則稱4，4,為集合A的一個機(jī)階分拆.

⑴若A={1,2,3},寫出集合A的所有2階分拆(其中A，4與a，A為集合A的同一個2階分拆)；

(2)若4={1,2,3,1,〃},A，4為A的2階分拆，集合4所有元素的平均值為P,集合4所有元素的平均值

為Q，求歸-。|的最大值；

⑶設(shè)4，4，A為正整數(shù)集合A={4%，“}(“eN*,心3)的3階分拆.若A，4,A滿足任取集

合A中的一個元素?構(gòu)成A={4},其中云{1,2,3,,〃},且人與《中元素的和相等.求證：”為奇數(shù).

13.(2023?北京延慶?一模)已知"為正整數(shù)，集合〃={㈤。=(4氏,L,巧“)，x,e{_l,l},1=1,2,L,2〃}具有性

質(zhì)P:“對于集合A中的任意元素。=(4,三,L,三“)，方+三+L+三“=0,且為+三+L+蒼HO,其中

i=l,2,集合A中的元素個數(shù)記為I產(chǎn)(A)|.

(1)當(dāng)”=2時，求I尸(A)|；

(2)當(dāng)”=9時，求玉+為+L+%的所有可能的取值；

(3)給定正整數(shù)〃,求I尸(A)|.

14.(2023?北京順義?一模)已知實數(shù)集4={%,出，,an}(n>3),定義程(A)={q勺，嗎eH/}.

(1)若4={-2,0,1,2},求夕(A)；

⑵若0(A)={0,-6-8,-12,12,18,24},求集合A；

(3)若A中的元素個數(shù)為9,求e(A)的元素個數(shù)的最小值.

拔高點突破01集合背景下的新定義壓軸解答題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：定科概念............................................................................2

題型二：定Of運算............................................................................3

題型三：定義新性質(zhì).............................................................................5

題型四：定義新背景.............................................................................6

03過關(guān)測試.....................................................................9

亡法牯自與.柒年

//\\

1、解答新定義型創(chuàng)新題的基本思路是：

（1）正確理解新定義；

（2）根據(jù)新定義建立關(guān)系式；

（3）結(jié)合所學(xué)的知識、經(jīng)驗將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題；

（4）運用所學(xué)的公式、定理、性質(zhì)等合理進(jìn)行推理、運算，求得結(jié)果.

2、集合中的新概念問題，往往是通過重新定義相應(yīng)的集合或重新定義集合中的某個要素，結(jié)合集合

的知識加以創(chuàng)新，我們還可以利用原有集合的相關(guān)知識來解題.

3、集合中的新運算問題是通過創(chuàng)新給出有關(guān)集合的一個全新的運算規(guī)則.按照新的運算規(guī)則，結(jié)合

數(shù)學(xué)中原有的運算和運算規(guī)則，通過相關(guān)的集合或其他知識進(jìn)行計算或邏輯推理等，從而達(dá)到解答的目的.

4、集合中的新性質(zhì)問題往往是通過創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)衍生而來的.我們通過可以結(jié)合相

應(yīng)的集合概念、關(guān)系、運算等相關(guān)知識，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法來解答有關(guān)的集合的新性質(zhì)問題.

題型一：定義新概念

【典例1-1】（2024?北京順義?二模）已知點集％=｛（%,%）,（%,%）,％）｝（此3）滿足0W%,y”

%+?<2。=1,2,對于任意點集M“，若其非空子集A,2滿足AcB=0,AB=Mn,則稱集合對

（A,8）為上的一個優(yōu)劃分.對任意點集州及其優(yōu)劃分（A3）,記A中所有點的橫坐標(biāo)之和為X（A）,B中

所有點的縱坐標(biāo)之和為Y（3）.

⑴寫出1）,（2,0）,（0,2）｝的一個優(yōu)劃分（AB）,使其滿足X（A）+F（3）=3；

（2）對于任意點集區(qū)，求證：存在M的一個優(yōu)劃分（A3）,滿足X（A）+“B）43；

（3）對于任意點集此，求證：存在M的一個優(yōu)劃分（A3）,滿足X（A）V當(dāng)一且卜（8）43一.

【解析】（1）由題因為“3=｛。,1）,（2,0）,（0,2）｝,

所以若使X（A）+y（3）=3,則可以4=｛。,1）｝,3=｛（2,0）,（0,2）｝,

此時x（A）=i,y（B）=2,x（A）+y（B）=3,滿足題意.

（2）根據(jù)題意對于任意點集機(jī)=｛（西,％）,（々，％），（演，%）｝，不妨設(shè)玉Vx2Vx3,

且OVx”%,人+》<2（i=l,2,3）,

若毛=1,則04%41,

則X（A）=%+%=2,y（3）=為（l，此時恒有X（A）+F（3）<3；

若百43VI，尤3>1，則>3<1，可令4=｛（%，％），（馬，%）｝，區(qū)=｛（工3，%）｝，

此時乂（4）=%+々42,丫（3）=為<1,則X（A）+y（3）<3,滿足題意；

若占41,1<尤24迅，則令人=｛（&%）｝，3=｛（$，%），（/，%）｝，

此時x（a）=%vi,y（3）=%+%<2,則x（A）+y（8）<3,滿足題意;

若1<%4%2?%3，貝!1%，內(nèi)，必<1，貝!J必42—％W2—再，%?2—％242—％1，

令4=｛（%，乂）｝，8=｛（七，％卜（々，%）｝，

止匕時X（A）=X|,y（3）=%+%V4—2X],則X（A）+y（3）W4—玉<3,滿足題意；

所以對于任意點集M，都存在“3的一個優(yōu)劃分（A3）,滿足X（A）+y（B）43.

（3）不妨設(shè)°<占V尤2…V2,

w+1

若%+%++x?<^-,則3取其中一點即可滿足；

n+1

右石+%++Xn>，

72+1

+X

則必存在正整數(shù)上使得玉+%2+k———<X1+X2++/+/+1，

九+]z"+]

則有<玉+/++/+/+1工（%+1）及+1，于是2（1+1）</+1'

又因為%+1+%+2++%（（2—%+1）+（2-/+2）++（2-天）

（〃+]'

<（2_%+1）+（2_4+2）++（2_天）《（〃_左）（2_/+1）<（〃_k）2—2（,+]）

=[〃+1-（左+1）][-段,g（〃+l）[2優(yōu)+1）+制，

<|（?+1）-2（?+1）=^,當(dāng)且僅當(dāng)人=—■時取等號；

于是取4=｛（冷M）,…,（々,％）｝,3=｛（々+1，%+1）,…,（4,%）｝,

即可滿足X（A）V*—且y（B）v*-,命題得證.

【典例1-2】（2024?浙江臺州?二模）設(shè)A,B是兩個非空集合，如果對于集合A中的任意一個元素X,按照

某種確定的對應(yīng)關(guān)系/，在集合8中都有唯一確定的元素y和它對應(yīng)，并且不同的x對應(yīng)不同的y；同時8

中的每一個元素y,都有一個A中的元素尤與它對應(yīng)，則稱A-3為從集合A到集合B的一一對應(yīng)，

并稱集合A與3等勢，記作］=］.若集合A與8之間不存在一一對應(yīng)關(guān)系，則稱A與8不等勢，記作

A^B-

例如：對于集合4=1\［*,2={2葭,eN*},存在---對應(yīng)關(guān)系y=2MxeAye3),因此］=

(1)已知集合C={(x,y)\x2+/=1),D=，(x,試判斷1行是否成立?請說明理由；

(2)證明：①(0,1)=(-8,+8)；

②N*W{小三N*}.

%—2x

【解析】(1)設(shè)P(%,%)eC,Q=(x,y)e。，令:

U=J3%,

則C與。存在一一對應(yīng)，所以集合3=5.

(2)①取函數(shù)>=12!1兀［尤-3，其中xe(O,l),兩個集合之間存在---對應(yīng)，故

(0,1)=(-00,+00).

備注：函數(shù)舉例不唯一，只要保證定義域為(0,1),值域為R即可，

—2,0<%<一,In2x,0<xW—,

,X2T2AyrAyrr

如：y=<等等均可,

x-122

②設(shè)A=N*,2={小=川'},

假設(shè)］=］，即存在對應(yīng)關(guān)系九Af8為一一對應(yīng)，

對于集合8中的元素{1},{2},{1,2},至少存在一個xeA且彳22)與這三個集合中的某一個對

應(yīng)，所以集合A中必存在無任，(尤).

記￡>={xe4上任/(》)},則￡)聶4,故

從而存在aeA,使得

若ae￡>,則ae/(a)=。，矛盾；

若a拓Z),貝!|ae/(a)=Z),矛盾.

因此，不存在A到2的---對應(yīng)，所以

【變式1-1］(2024.江西九江.二模)定義兩個“維向量6=(稅,％,2,…,X,"),叼=(%,號2,…，馬.)的數(shù)量積

a」％=%+%濟(jì)2+?■?+\?xjn(z,jeN+),%.%=a：，記%*為ai的第上個分量(左4”且％€、).如三

維向量4=(2,1,5),其中4的第2分量&2=1.若由,維向量組成的集合A滿足以下三個條件：①集合中含

有〃個〃維向量作為元素；②集合中每個元素的所有分量取?；?；③集合中任意兩個元素q,aj,滿足

a：=a：=T"為常數(shù))且qq=l.則稱A為T的完美"維向量集.

⑴求2的完美3維向量集；

(2)判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由；

(3)若存在A為T的完美"維向量集，求證：A的所有元素的第左分量和1=7.

【解析】(1)由題意知，集合A中含有3個元素%(，=1,2,3),且每個元素中含有三個分量，

因為62=%=%=2,所以每個元素中的三個分量中有兩個取1，一個取0.

所以q=(LL。)，％=(1,1,0),q=(0,LD，

y.al-a2=a1-a3=a2-a3=l,

所以2的完美3維向量集為A={。,1,0),(1,0,1),(0,1』)}.

(2)依題意，完美4維向量集B含有4個元素〃(，=1,2,3,4),且每個元素中含有四個分量，

Te{0,1,2,3,4},

(i)當(dāng)7=0時，b,e{(0,0,0,0)),與集合中元素的互異性矛盾，舍去；

(ii)當(dāng)T=1時，bte{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)},不滿足條件③，舍去；

(iii)當(dāng)7=2時，.e{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)},

因為(1,1,0,0).(0,0,1,1)=0,故(1,1,0,0)與(0,0,1,1)至多有一個在2中，

同理：(1,0,1,0)與(0/,0,1)至多有一個在2中，(L0,0』)與(0,LL0)至多有一個在2中，

故集合8中的元素個數(shù)小于4,不滿足條件①，舍去；

(iv)當(dāng)T=3時，bte{(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)},不滿足條件③，舍去；

(v)當(dāng)7=4時，6{(1,1,1,1)},與集合中元素的互異性矛盾，舍去；

綜上所述，不存在完美4維向量集.

(3)依題意，T的完美〃維向量集C含有〃個元素q(i=L2,,〃)，且每個元素中含有〃個分量，

因為cj=T,所以每個元素中有T個分量為1,其余分量為0,

所以5]+邑+?+Sn==nT(*),

由(2)知，7片0」,〃，故2VT<”，

假設(shè)存在左，使得T+1WSE，不妨設(shè)T+l<44〃.

(i)當(dāng)S|=〃時，如下圖，

此時S1+S2++S?<ZZ+(M-1)=2/J-I<2n<nT,與(*)矛盾，不合題意.

XX

不妨設(shè)%=%T+\,l=1,X“J=0,Xn2=X.,3=?,T+!—1,

下面研究c：,c；,&,L,的前T+l個分量中所有含1的個數(shù).

一方面，考慮G，c；,C；,L,4M中任意兩個向量的數(shù)量積為1,

故X],八x2j,L,xT+1j(j=2,3,??■,T+1)中至多有1個1,

故q,c；,C3，L,%二的前T+1個分量中，

所有含1的個數(shù)至多有(T+1)+T=(2T+D個1(**).

另一方面，考慮c「c,=l(Z=l,2,-,T+1),

故q,Q,C3,L,的前T+l個分量中，含有(T+l)+(T+l)=(2T+2)個1,與(**)矛盾，不合題意.

故對任意上〈〃且keN+，Sk<T,由(*)可得&=T.

題型二：定義新運算

【典例2-1】（2024?海南?？?一模）在計算機(jī)科學(xué)中，〃維數(shù)組X=（%，w，…,當(dāng)）,%e{O,l},ieN+，〃22是

一種基礎(chǔ)而重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它在各種編程語言中被廣泛使用.對于“維數(shù)組

A=（a1,?2,L,?n）,B=（&I,Z?2,L,bn）,定義A與B的差為A-8=（|q-聞他一汕，|凡一切）,人與B之間的距

離為d（A,B）=f㈤-用.

1=1

⑴若〃維數(shù)組C=（O,O,,0）,證明：d?（AC）+J（B,C）＞J（AB）；

（2）證明：對任意的數(shù)組A,B,C,^d（A-C,B-C）=d（A,B）.

⑶設(shè)集合S“={x|x=（x”w，,%）,無”{0,l}"eN+，〃22},尸aS“，若集合P中有機(jī)（心2）個〃維數(shù)組，記

P中所有兩元素間的距離的平均值為d（P）,證明：“（尸”2（〃一）,

【解析】（1）設(shè)A與B中對應(yīng)項中同時為0的有x（04x4〃）個，同時為1的有y（04y4〃-％）個，

則對應(yīng)項不同的為,―x—y個，所以d（A3）=〃-x-y.

所以d（A0）+d（5,C）=2y+_y=d（A,5）；

（2）設(shè)AH4%…，4）,3=（乙也，..，2）,C=（C1，C2//）￡?；,

因為A-c=（|%-q|M-c2|,，|%-qj），

B-C=（|Z?I-CI|,|Z?2-C2|,

所以d（A_C,B_C）=￡k-GH々一qII，

Z=1

因為Ge{0,l},7=1,2,,n.

所以當(dāng)G=0時，料一4-也-c』=|4一同，

當(dāng)c,=1時，忖-4-向-4=|（1-4）-（1-4）|=L-可，

所以d（A-C,B-C）=￡|何-c卜性-cj=f-4=d（A,B）；

z=li=l

（3）記集合P中所有兩個元素間距離的總和為fd仍,q）,

i,六1

一1_嗎

則7（p）=k?￡d（E，弓）.

i,j=T

設(shè)集合P中所有元素的第Kk=1,2,,n）個位置的數(shù)字共有tk個1,〃一4個o,

m〃

則￡“片，弓）=ZX（，”G，

i,J=lk=\

因為小機(jī)-人>0,

所以小

所以f"仍，號)=tX("zTj〈丁，

i,j=lk=l4

ll-T/f1Sjc八\,2nm2mn

所以d(尸)二-?Zd(月，q)<-———?—=———?

c；,■>>!'7m(m-l)420-1)

【典例2-2】(2024?浙江紹興?二模)已知此N*,集合{小=2%+2%+…+2"0*<%<.<二,其中

席,…4eN}.

(1)求X2中最小的元素；

⑵設(shè)a=>+23eX1,beXIt且。+beX-求匕的值；

*1h

⑶記4=X&C(2ZI,2"+"],"eN*,若集合匕中的元素個數(shù)為a，求Z聲.

加=12

【解析】(1)X2中的最小元素為2。+?+22=7.

(2)由題得4=21+23=10,設(shè)6=2)+2‘，0<z<j(z,jeN).

①當(dāng)/<3時，6=23+2?=12或6=23+7=10或6=23+2°=9或6=2?+2=6或6=22+2°=5或

6=2+2°=3.

42

經(jīng)檢驗，當(dāng)〃=10時，a+Z?=20=2+2,符合題意，

所以分=10.

②當(dāng)/=4時，6=24+23=24或6=24+2?=20或6=24+21=18或6=24+2°=17.

經(jīng)檢驗，當(dāng)6=24時，0+6=34=25+2、符合題意，

所以6=24.

③當(dāng),25時，不符合題意.

因此，3=24或10.

(3)設(shè)xe%,則x=2'。+2,+…+2%,其中，[=左+"-1,

0<i0<i1<---<ik_l<k+n-l,所以=C：+,_],

攵+1〃111

設(shè)&=二聲，則&=c+^C3+^cL2+-+^ct.

因為c^=c3+c窗,

所以1+i=C：：+gc：：；+:c/+…+，c黑]+C

=4+1(cLi+c：：；)+*?+2+c￡；)+…+9(c]+c工)+/(c/+i+cXi)

=[c；+；C：+]+Jc：+2+…++擊c%

f~>k+\,f~^k+\?f~>k+\

+?11..11

-^k+l+^k+2+,?,+2Hl

=&+)k+l,10k

2k+2+5rL2k+1

田"1a一（2左+1）!1（2—2）!（2Z+1）!一（2k+l）!

因為2ui22-一■（1］）!2『+1）!化+1）!-X!優(yōu)+1）!一'

所以Sx=1+gSz，所以&包=21,

又因為H=l+gc；=2,所以'=21

mI

【變式2-1］（2024.浙江嘉興.二模）己知集合4=^2°'|0<?[<a2<<a,?,a;GNL定義：當(dāng)=r時，把

集合A中所有的數(shù)從小到大排列成數(shù)列{伏)},數(shù)列他⑺“}的前〃項和為S().例如：/=2時,

2123

6(2)1=20+%=3,b(2)2=20+2=5,/?(2)3=2+2=6,/?(2)4=2°+2=9,,

S(2)4=b(2)[+仇2)z+b(2)3+/2'=23.

⑴寫出b(2b涉(2%,并求S⑵i。；

(2)判斷88是否為數(shù)列抄(3)“}中的項.若是，求出是第幾項；若不是，請說明理由；

⑶若2024是數(shù)列抄⑺“}中的某一項6(片)由，求2％及S億)陽的值.