專題06 最短距離問題（勾股定理的應(yīng)用） 帶解析

2022-2023學(xué)年湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題06最短路徑問題（勾股定理的應(yīng)用）姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________評(píng)卷人得分一、選擇題(每題2分，共22分)1．(本題2分)（2022秋·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，有一個(gè)圓柱形倉庫，它的高為，地面直徑為，在該倉庫下地面A處有一只螞蟻，它想吃相對(duì)一側(cè)外面中點(diǎn)B處的食物，螞蟻爬行的速度是，那么螞蟻吃到食物至少需要爬行（取3）（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】將圓柱體展開，利用勾股定理求出螞蟻爬行的最短路徑，利用路程除以速度求出時(shí)間，即可得解．【規(guī)范解答】解：由題意，得：螞蟻爬行的最短路徑為線段的長(zhǎng)，如圖所示：設(shè)圓柱底面直徑為，高為，則：，，∵，∴，∵螞蟻爬行的速度是，∴螞蟻吃到食物至少需要爬行；故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查勾股定理的應(yīng)用．根據(jù)題意，利用勾股定理求出最短路徑，是解題的關(guān)鍵．2．(本題2分)（2022秋·廣東茂名·八年級(jí)茂名市第一中學(xué)?？计谥校┕潭ㄔ诘孛嫔系囊粋€(gè)正方體木塊（如圖①），其棱長(zhǎng)為，沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線（圖中虛線）去掉一角，得到如圖②所示的幾何體木塊，一只螞蟻沿著該木塊的表面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，將圖②展開，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【規(guī)范解答】解：如圖，正方體上表面的對(duì)角線為，將圖②展開，連接交于點(diǎn)，線段的長(zhǎng)度即為螞蟻爬行的最短路程，由題意可知：為等邊三角形，為等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，∵正方體的棱長(zhǎng)為，∴，，在中，，在中，，∴；故選A.【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查勾股定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵，是將立體圖像展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定最短路徑．3．(本題2分)（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一長(zhǎng)方體木塊長(zhǎng)，寬，高，一直螞蟻從木塊點(diǎn)A處，沿木塊表面爬行到點(diǎn)位置最短路徑的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【思路點(diǎn)撥】要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．注意不同的展法，答案不同，需要分別分析．【規(guī)范解答】解：如圖將長(zhǎng)方體展開，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”知，線段即為最短路線．①如圖1，∵，，，∴在中，，，∴；②如圖2，∵，，，∴，∴，∴．②如圖3，∵，，，∴，，∴．∵，∴螞蟻所行路程的最小值為．故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了最短路徑問題．解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握用勾股定理的應(yīng)用，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．(本題2分)（2021秋·陜西咸陽·八年級(jí)咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（

）A． B．25 C． D．35【答案】B【思路點(diǎn)撥】要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【規(guī)范解答】解：只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖1，∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖2，∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：∴；只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖3，∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：∴；∵，∴螞蟻爬行的最短距離是25，故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查兩點(diǎn)之間線段最短，關(guān)鍵是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．5．(本題2分)（2022秋·全國·八年級(jí)期末）如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其長(zhǎng)、寬、高分別為4，2，9，用一根細(xì)線繞側(cè)面綁在點(diǎn)A，B處，不計(jì)線頭，細(xì)線的最短長(zhǎng)度為（

）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【思路點(diǎn)撥】把長(zhǎng)方體沿邊剪開，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【規(guī)范解答】如圖所示，連接，則即為所求的最短長(zhǎng)度，，在中，故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，把長(zhǎng)方體沿邊剪開得到矩形是解題的關(guān)鍵．6．(本題2分)（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是2cm，高是4cm的長(zhǎng)方體紙盒的A點(diǎn)沿紙盒面爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是（）A．cm B．cm C．cm D．8cm【答案】B【思路點(diǎn)撥】將長(zhǎng)方體紙盒按照不同方式展開，分別根據(jù)勾股定理求出不同展開圖中AB的長(zhǎng)，再找到其中最短者即為螞蟻所行的最短路程．【規(guī)范解答】解：將長(zhǎng)方體紙盒按照兩種不同方式展開，①如圖所示：，根據(jù)勾股定理；②如圖所示：，根據(jù)勾股定理，∵所以最短路徑為故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了平面展開-最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是將長(zhǎng)方體展開，構(gòu)造直角三角形，然后利用勾股定理解答．7．(本題2分)（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，圓柱底面半徑為，高為18cm，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且點(diǎn)B在點(diǎn)A的正上方，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長(zhǎng)度最短為（）A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm【答案】C【思路點(diǎn)撥】要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，常用“化曲面為平面”的思想，將圓柱體的側(cè)面展開，利用勾股定理計(jì)算斜邊長(zhǎng)度．【規(guī)范解答】解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的最短路線是；即在圓柱體的展開圖長(zhǎng)方形中，將長(zhǎng)方形平均分為3個(gè)小長(zhǎng)方形，A沿著3個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線運(yùn)動(dòng)到B的最短路線：；圓柱體地面半徑為cm，cm圓柱體的高cm，cm在中，．故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查勾股定理在計(jì)算最短路徑中的應(yīng)用，要求學(xué)生具有一定空間想象能力，利用化曲面為平面的思想，準(zhǔn)確畫出側(cè)面展開圖并結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算是本題的解題關(guān)鍵．8．(本題2分)（2022秋·河南三門峽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處的最短距離為（

）（杯壁厚度不計(jì)）．A．14 B．18 C．20 D．25【答案】C【思路點(diǎn)撥】如圖（見解析），將杯子側(cè)面展開，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即為所求，利用勾股定理求解即可得．【規(guī)范解答】解：如圖，將杯子側(cè)面展開，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)、、在同一條直線上時(shí)，取得最小值，最小值為的長(zhǎng)度，由題意可知，，，則，即螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處的最短距離為，故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了平面展開---最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．9．(本題2分)（2022春·河北廊坊·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為16cm，AC是底面圓的直徑，點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn)，且，．一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P最短路程是（

）A．17 B．16 C．15 D．13【答案】A【思路點(diǎn)撥】先畫出圓柱的側(cè)面展開圖，再根據(jù)勾股定理求解即可．【規(guī)范解答】如圖所示，∵圓柱的底面周長(zhǎng)為16cm，∴AC=8cm，∵BC=20cm，，∴PC=15cm，在中，∴．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是平面展開--最短路徑問題，根據(jù)題意畫出圓柱的側(cè)面展開圖是解答此題的關(guān)鍵．10．(本題2分)（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線的距離分別為，，且，要在高速公路上C，D之間建一個(gè)出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個(gè)最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意畫出圖形，再利用軸對(duì)稱求最短路徑的方法得出P點(diǎn)位置，進(jìn)而結(jié)合勾股定理得出即可．【規(guī)范解答】解：如圖所示：作A點(diǎn)關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，再連接，交直線MN于點(diǎn)P，則此時(shí)最小，過點(diǎn)B作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵AC=2km，BD=4km，CD=8km，∴（km），=4km，∴km，km，在中，（km），則的最小值為：10km．故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決最短問題．11．(本題2分)（2022秋·陜西西安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于9cm，底面上圓的周長(zhǎng)等于24cm，在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食物，則螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是（

）A．15cm B．17cm C．18cm D．20cm【答案】A【思路點(diǎn)撥】如圖把圓柱體展開，連接AB，然后可知AC=12cm，BC=9cm，進(jìn)而可由兩點(diǎn)之間，線段最短可知AB即為所求．【規(guī)范解答】解：如圖所示：∵圓柱的高等于9cm，底面上圓的周長(zhǎng)等于24cm，∴AC=12cm，BC=9cm，∴，∴螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是15cm．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查利用勾股定理求最短路徑，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．評(píng)卷人得分二、填空題(每題2分，共18分)12．(本題2分)（2023秋·陜西西安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長(zhǎng)度最短為___________cm．【答案】15【思路點(diǎn)撥】要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【規(guī)范解答】解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動(dòng)最短路線是：；即在圓柱體的展開圖長(zhǎng)方形中，將長(zhǎng)方形平均分成3個(gè)小長(zhǎng)方形，A沿著3個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線運(yùn)動(dòng)到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為∴長(zhǎng)方形的寬即是圓柱體的底面周長(zhǎng)：；又∵圓柱高為，∴小長(zhǎng)方形的一條邊長(zhǎng)是；根據(jù)勾股定理求得；∴；故答案為：15．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了平面展開--路徑最短問題．圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長(zhǎng)方形，此長(zhǎng)方形的寬等于圓柱底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側(cè)面展開成長(zhǎng)方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．13．(本題2分)（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，有一圓柱體，它的高為，底面直徑為．在圓柱的下底面處有一個(gè)蜘蛛，它想吃到上底面上與點(diǎn)相對(duì)的點(diǎn)處的蒼蠅，需要爬行的最短路徑是______（結(jié)果用帶根號(hào)和的式子表示）【答案】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，將圓柱體側(cè)面展開，如圖所示，利用勾股定理求出對(duì)角線長(zhǎng)即可得到答案．【規(guī)范解答】解：如圖所示：根據(jù)題意，蜘蛛想吃到上底面上與點(diǎn)相對(duì)的點(diǎn)處的蒼蠅，需要爬行的最短路徑是長(zhǎng)，在中，，，，則（），故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查圓柱側(cè)面展開圖及勾股定理求線段長(zhǎng)，讀懂題意，找準(zhǔn)圓柱側(cè)面展開圖是解決問題的關(guān)鍵．14．(本題2分)（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是某滑雪場(chǎng)U型池的示意圖，該U型池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為3的半圓，其邊緣，點(diǎn)在上，．一名滑雪愛好者從點(diǎn)滑到點(diǎn)時(shí)，他滑行的最短路程約為______（取3）．【答案】15【思路點(diǎn)撥】要使滑行的距離最短，則沿著的線段滑行，先將半圓展開為長(zhǎng)方形，展開后，A、D、E三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，為斜邊，和為直角邊，求出和的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度即可．【規(guī)范解答】解：將半圓面展開可得，如圖所示：∵滑行部分的斜面是半徑為3的半圓∴，∵，，∴，在中，．故答案為：15．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和兩點(diǎn)之間線段最短，解題關(guān)鍵是把U型池的側(cè)面展開成長(zhǎng)方形，“化曲面為平面”，再利用勾股定理求解．15．(本題2分)（2022秋·遼寧阜新·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，有一個(gè)圓柱，底面圓周長(zhǎng)為，高，為的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面爬到點(diǎn)的最短距離為______．【答案】##厘米【思路點(diǎn)撥】把圓柱的側(cè)面展開，連接，利用勾股定理即可得出的長(zhǎng)，即螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短距離；【規(guī)范解答】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，連接；∵圓柱底面周長(zhǎng)為、高，為的中點(diǎn)∴，在中，（）∴螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面爬到點(diǎn)的最短距離為；故答案為：【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用；根據(jù)題意畫出圓柱的側(cè)面展開圖，然后利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．16．(本題2分)（2022秋·江蘇無錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)E的邊上，，點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段上一動(dòng)點(diǎn)，___________．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，___________【答案】

10

##【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理即可求出；作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)P，通過證明得出，，進(jìn)而得出，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【規(guī)范解答】解：在中，由勾股定理可得：，作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)P．∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得：，即，解得：．故答案為：10，．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，根據(jù)題意做出輔助線構(gòu)建全等三角形，根據(jù)勾股定理列出方程求解．17．(本題2分)（2022秋·重慶·八年級(jí)重慶一中校考階段練習(xí)）如圖，在桌面上的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)為8米，寬為6米，高為4米，點(diǎn)在棱上，且．一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn)，則它爬行的最短路程為______米．【答案】【思路點(diǎn)撥】先求解，再分三種情況討論：如圖，把長(zhǎng)方體沿前面與上面展開，過作于，如圖，把長(zhǎng)方體沿左邊面與上面展開，如圖，把長(zhǎng)方體沿左邊面與后面展開，過作于，再利用勾股定理求解即可．【規(guī)范解答】解：∵長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)為8米，，∴，如圖，把長(zhǎng)方體沿前面與上面展開，過作于，則，∴，如圖，把長(zhǎng)方體沿左邊面與上面展開，則，∴，如圖，把長(zhǎng)方體沿左邊面與后面展開，過作于，則，∴，而，∴一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn)，則它爬行的最短路程為米，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，立體圖形的表面展開圖的認(rèn)識(shí)，掌握“利用勾股定理構(gòu)建直角三角形”是解本題的關(guān)鍵．18．(本題2分)（2022秋·廣東佛山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是12cm，8cm，30cm．在AB的中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲沿外表面從D處爬到C處去吃，有無數(shù)種走法，則最短路程是_____cm；此長(zhǎng)方體盒子能放入木棒的最大長(zhǎng)度是_____cm．【答案】

25

【思路點(diǎn)撥】（1）要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．（2）利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)，連接AG，BG利用勾股定理解答即可．【規(guī)范解答】解：（1）將長(zhǎng)方體沿AB剪開，使AB與D在同一平面內(nèi)，得到如圖所示的長(zhǎng)方形，連接CD，∵長(zhǎng)方體盒子（無蓋）的長(zhǎng)、寬、高分別是12cm，8cm，30cm，即，∴，故答案為：25；（2）連接AP，BP，在中，，由勾股定理得，，在中，，，由勾股定理得，．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了平面展開—最短路徑問題，關(guān)鍵是畫出圖形知道求出哪一條線段的長(zhǎng)，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，切記要進(jìn)行分類討論．19．(本題2分)（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）在一個(gè)長(zhǎng)米，寬為4米的長(zhǎng)方形草地上，如圖推放著一根三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長(zhǎng)平行且大于場(chǎng)地寬，木塊的主視圖的高是米的等腰直角三角形，一只螞蟻從點(diǎn)A處到C處需要走的最短路程是___________．【答案】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)幾何體的展開圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短計(jì)算．【規(guī)范解答】解：因?yàn)槟緣K的主視圖的高是米的等腰直角三角形，所以等腰直角三角形的腰為2，斜邊長(zhǎng)為，將木塊展開如下，所以，所以，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了幾何體的展開圖中計(jì)算最短距離，熟練掌握幾何展開圖是解題的關(guān)鍵．20．(本題2分)（2022秋·重慶江北·八年級(jí)校考期末）如圖，在中，，，，是的平分線，若M、N分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】【思路點(diǎn)撥】如圖，作N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，在中，勾股定理解出，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得到：，最后利用等積法求解即可【規(guī)范解答】如圖，作N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，連接在中，，，，是的平分線，與關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)最小，由即解得故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查軸對(duì)稱——最短問題，解直角三角形等知識(shí)；解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題，再利用等面積法結(jié)算線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．評(píng)卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，A，B兩個(gè)村莊在河CD的同側(cè)，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個(gè)村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設(shè)水管所用材料最省時(shí)的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）(2)經(jīng)預(yù)算，修建水廠需20萬元，鋪設(shè)水管的所有費(fèi)用平均每千米為3萬元，其他費(fèi)用需5萬元，求完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬元．【答案】(1)見解析；(2)50萬元.【思路點(diǎn)撥】（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于M點(diǎn)，即M為所求；（2）連接交于H點(diǎn)，過點(diǎn)B作，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．【規(guī)范解答】（1）解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于M點(diǎn)，即M為所求.（2）解：如圖，連接交于H點(diǎn)，過點(diǎn)B作，由題意可知：，，，∴，∴在中，，∴在中，，由對(duì)稱性質(zhì)可知：，水管長(zhǎng)，完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為（萬元）【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問題，勾股定理，題目比較典型，是一道比較好的題目，考查了學(xué)生的動(dòng)手操作能力和計(jì)算能力．22．(本題6分)（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm，寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B與點(diǎn)C的距離為5cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的側(cè)面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B那么需要爬行的最短距離是多少？【答案】25cm【思路點(diǎn)撥】畫出長(zhǎng)方體的側(cè)面展開圖，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【規(guī)范解答】解：只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第1個(gè)圖：長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是5，，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第2個(gè)圖：長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是5，，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第3個(gè)圖：長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是5，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；，螞蟻爬行的最短距離是25．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是平面展開最短路徑問題，根據(jù)題意畫出長(zhǎng)方體的側(cè)面展開圖，根據(jù)勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．23．(本題8分)（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，，兩個(gè)工廠位于一段直線形河的異側(cè)，廠距離河邊，B廠距離河邊，經(jīng)測(cè)量，現(xiàn)準(zhǔn)備在河邊某處(河寬不計(jì))修一個(gè)污水處理廠．(1)設(shè)，請(qǐng)用的代數(shù)式表示的長(zhǎng)；(2)為了使兩廠的排污管道最短，污水廠的位置應(yīng)怎樣來確定此時(shí)需要管道多長(zhǎng)？(3)通過以上的解答，充分展開聯(lián)想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，請(qǐng)你猜想的最小值為多少？【答案】(1)(2)連接與的交點(diǎn)就是污水處理廠的位置，此時(shí)最少需要管道(3)的最小值為【思路點(diǎn)撥】（1）在和中，根據(jù)勾股定理可得，的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解；（2）連接與的交點(diǎn)就是污水處理廠的位置，過點(diǎn)作⊥于，在△中，勾股定理即可求解；（3）當(dāng)、、共線時(shí)，求出的值即為原式的最小值，在△中，勾股定理即可求解．【規(guī)范解答】（1）解：在和中，根據(jù)勾股定理可得，，∴，（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，連接與的交點(diǎn)就是污水處理廠的位置．過點(diǎn)作⊥于，則有，．．在△中，，此時(shí)最少需要管道．（3）根據(jù)以上推理，可作出下圖，設(shè)，，，，當(dāng)、、共線時(shí)，求出的值即為原式的最小值．在△中，，，由勾股定理可得：，的最小值為．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．24．(本題8分)（2022秋·陜西漢中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．【知識(shí)運(yùn)用】(1)如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），，，垂足分別為A、B，千米，千米，則兩個(gè)村莊的距離為米．(2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，現(xiàn)要在上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖中作出P點(diǎn)的位置并求出的距離．(3)【知識(shí)遷移】借助上面的思考過程與幾何模型，則代數(shù)式（其中）最小值為．【答案】(1)；(2)P點(diǎn)的位置見解析，的距離為16千米；(3)15．【思路點(diǎn)撥】（1）連接，作于點(diǎn)E，根據(jù)，得到，，由平行線間的距離處處相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD兩地之間的距離；（2）連接，作的垂直平分線交于P，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，點(diǎn)P即為所求；設(shè)千米，則千米，分別在和中，利用勾股定理表示出和，然后根據(jù)建立方程，解方程即可；（3）如圖3，，，，，，設(shè)，則，然后根據(jù)軸對(duì)稱求最短路線的方法求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：如圖1，連接，作于點(diǎn)E，∵，，∴，，∴千米，千米，∴千米，∴（千米），即兩個(gè)村莊的距離為千米，故答案為：；（2）解：如圖2，連接，作的垂直平分線交于P，點(diǎn)P即為所求，設(shè)千米，則千米，在中，，在中，，∵，∴，解得，即的距離為16千米；（3）解：如圖3，，，，，，設(shè)，則，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)F作于E，則是的最小值，即代數(shù)式的最小值，∵，，，∴代數(shù)式最小值為：，故答案為：15．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，線段垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱—最短路線問題等知識(shí)，（3）中構(gòu)造出是解本題的難點(diǎn)．25．(本題8分)（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)新鄉(xiāng)市第一中學(xué)校考期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E是棱B'C'的中點(diǎn)，已知．一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)沿長(zhǎng)方體的表面到E點(diǎn)處覓食，求小蟲爬行的最短距離．【答案】小蟲爬行的最短距離為【思路點(diǎn)撥】將長(zhǎng)方體沿進(jìn)行展開，將長(zhǎng)方體沿進(jìn)行展開，將長(zhǎng)方體沿進(jìn)行展開，分別計(jì)算出三種情況下的長(zhǎng)度即可得到答案．【規(guī)范解答】解：如圖1所示，將長(zhǎng)方體沿進(jìn)行展開，∴；如圖2所示，將長(zhǎng)方體沿進(jìn)行展開，∴；如圖3所示，將長(zhǎng)方體沿進(jìn)行展開，∴；∵，∴小蟲爬行的最短距離為．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了長(zhǎng)方體表面上的最短距離問題，勾股定理，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．26．(本題8分)（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，設(shè)CD＝x．(1)用含x的代數(shù)式表示AC＋CE的值；(2)探究：當(dāng)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC＋CE的值最??？最小值是多少？(3)根據(jù)（2）中的結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)造圖形求代數(shù)式的最小值．【答案】(1)(2)5(3)13【思路點(diǎn)撥】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；（2）若點(diǎn)C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最??；（3）由（1）（2）的結(jié)果可作BD=12，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，則AE的長(zhǎng)即為代數(shù)式的最小值，然后構(gòu)造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值．（1）解：∵AB⊥BD，ED⊥BD在中，∴AC＝＝，CE＝＝，∴AC+CE＝；（2）當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最小，過A作AF⊥DE交ED的延長(zhǎng)線于F，∴DF＝AB＝2，∴AE＝＝5，∴AC+CE的最小值是5；（3）如圖2所示，作BD＝12，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，連接AE交BD于點(diǎn)C，設(shè)BC＝x，則AE的長(zhǎng)即為代數(shù)式的最小值．過點(diǎn)A作AFBD交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，得矩形ABDF，則AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，所以AE＝＝＝13，即的的最小值為13．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了最短路線問題，綜合利用了勾股定理，及用數(shù)形結(jié)合的方法求代數(shù)式的值的方法，利用兩點(diǎn)之間線段最短是解決問題的關(guān)鍵．27．(本題8分)（2022秋·江蘇·八年級(jí)期末）將沿AD折疊，使點(diǎn)C剛好落在AB邊上的點(diǎn)E處．展開如圖1．【操作觀察】（1）圖1中，，．①則_______；②若，則_______；【理解應(yīng)用】（2）如圖2，若，試說明：；【拓展延伸】（3）如圖3，若，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，且．點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PG、PC．求的最小值．【答案】（1）①2；②12；（2）見解析