2024-2025學(xué)年滬教版七年級數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)：分式 知識歸納與題型突破（20類題型清單）解析版

分式知識歸納與題型突破（20類題型）

01思維導(dǎo)圖

02知識速記

知識點1.分式的有關(guān)概念

分式有意義的條件是分母不為零；分式無意義的條件是分母等于零；分式值為零的條件是分子為零且分母

不為零.

注意：分式有意義的條件是分母不為o,無意義的條件是分母為o.

分式值為0要滿足兩個條件，分子為0,分母不為。.

知識點2.分式的性質(zhì)

分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變.用式子表示為

AACAA^C

(CwO)(CwO)

BBCBB；C

注意：

(1)分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論依據(jù)，所有分式變形都不得與此相違背，否則分式的值改變；

(2)將分式化簡，即約分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多項式，要先將它們分別分

解因式，然后再約分，約分應(yīng)徹底；

(3)巧用分式的性質(zhì)，可以解決某些較復(fù)雜的計算題，可應(yīng)用逆向思維，把要求的算式和已知條件由兩頭

向中間湊的方式來求代數(shù)式的值.

知識點3.分式的加減運算

加減法法則：①同分母的分式相加減：分母不變，分子相加減

②.異分母的分式相加減：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減.

注意：

(1)分式加減運算的運算法則：同分母分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母分式相加減，先通分,

變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p.

(2)異分母分式通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分時應(yīng)確定幾個分式的最簡公分母..求最簡公分母的方

法是：①將各個分母分解因式；②找各分.母系數(shù)的最小公倍數(shù)；③找出各分母中不同的因式，相同因式中

取次數(shù)最高的，滿足②③的因式之積即為各分式的最簡公分母.

知識點4.分式的乘除運算

(1)乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.乘方法則：分式的乘方,

把分子、分母分別乘方.

(2)除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘.

注意：分式乘除法的運算與因式分解密切相關(guān)，分式乘除法的本質(zhì)是化成乘法后，約去分式的分子分母中

的公因式，因此往往要對分子或分母進行因式分解(在分解因式時注意不要出現(xiàn)符號錯誤)，然后找出其中

的公因式，并把公因式約去.

知識點5.分式的混合運算

在分式的混合運算中，應(yīng)先算乘方，再將除法化為乘法，進行約分化簡，最后進行加減運算.若有括號，

先算括號里面的.靈活運用運算律，運算結(jié)果必須是最簡分式或整式.

知識點6.分式方程的有關(guān)概念

(1)分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

(2)分式方程的增根:分式方程化成整式方程解得的未知數(shù)的值，如果這個值令最簡公分母為零則為增根.

基本方法歸納：判斷分式方程時只需看分母中必須有未知數(shù)；分式方程的解只需帶入方程看等式是否成立

即可.

知識點7：分式方程的解法

解分式方程的步驟：解分式方程的思想是將'分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”.它的一般解法是：

(1)去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母

(2)解所得的整式方程

(3)驗根：將所得的根代入最簡公分母，-若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根.

基本方法歸納：分式方程首要是方程兩邊同乘以分母最簡公分母、去掉分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解，其次

注意一定要驗根.

歸納：分式方程首要是方程兩邊同乘以分母最小公倍數(shù)、去掉分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解，其次注意一定

要驗根.

知識點8.分式方程的應(yīng)用

(1)分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：

(1)審題，分析題中已知什么，未知什么，明確各量之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系.

(2)設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么.為x,但有時也可以間接設(shè)未知數(shù).

(3)列方程，把相等關(guān)系左右兩邊的量用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，列出方程.

(4)解方程.

(5)檢驗，看方程的解是否符合題意.

(6)寫出答案.

(2)解應(yīng)用題的書寫格式:

設(shè)一根據(jù)題意一解這個方程一答.

基本方法歸納：解題時先理解題意找到等量關(guān)系列出方程再解方程最后檢驗即可.

注意問題歸納：找對等量關(guān)系最后一定要檢驗.

03題型歸納

題型一分式的定義

1.下列各式中是分式的是()

1

A.±B.-1C"bD.-xy

2a7i

【答案】A

A

【分析】本題考查了分式的定義，一般地，如果A、8表示兩個整式，且8中含有字母，那么式子有就叫

D

做分式，其中A稱為分子，8稱為分母，根據(jù)分式的定義逐項判斷即可得出答案，熟練掌握分式的定義是

解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、二滿足分式的定義，是分式，故符合題意；

B、中分母不含有字母，不是分式，故不符合題意；

71

C、半中分母不含有字母，不是分式，故不符合題意；

D、中分母不含有字母，不是分式，故不符合題意；

故選：A.

3XTC1

2.下列各式①工②x+5y,③笠，④「中，是分式的有()

x24.x

A.①④B.①③④C.①③D.①②③④

【答案】A

【分析】本題主要考查了分式定義，關(guān)鍵是掌握分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不

含字母.注意萬是實數(shù)不是字母.

A

根據(jù)分式定義：一般地，如果48表示兩個整式，并且8中含有字母,那么式子有叫做分式，據(jù)此進行分

D

析即可.

【詳解】解：根據(jù)分式的定義，①士3，1,是分式;

x4%

②、+5、，③彳中，分母中不含字母，不是分式;

故選：A.

式子］x+5223x-1

3.x2中屬于分式的有（）個.

2

兀X+43xx+2

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】本題考查分式的定義，能夠準確判斷代數(shù)式是否為分式是解題的關(guān)鍵.看分母中是否含有字母,

如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，根據(jù)此依據(jù)逐個判斷即可.

【詳解】解：式子-ij,--工4的分母中含有字母，屬于分式，共有3個.

x+4xx+2

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

1.有下列各式：①2；②手；③片；④也.其中是分式的是（）

x5x3-71

A.①②B.③④C.①③D.①②③④

【答案】C

【分析】本題考查了分式的定義，根據(jù)分母中含有字母的式子是分式，可得答案，分母中含有字母的式子

是分式，否則是整式，注意TT是常數(shù)不是字母.

【詳解】解：①2,③二是分式，②手，④五二不是分式，

xx53-71

故選：C.

2.代數(shù)式比，《，N，土中分式有______個.

62xa+b7i

【答案】2

【分析】根據(jù)分式的定義進行判斷即可.

【詳解】解：代數(shù)式妥，F(xiàn)，T，二中分式有F，Y，共2個.

62xa+b7i2xa+b

故答案為：2.

【點睛】本題考查分式的定義，分母中含有字母的式子就叫做分式；注意兀是一個具體的數(shù)，不是字母.

3.在下列代數(shù)式中，哪些是分式？哪些是整式？

](x+2),(4?+2),?(?>3),弓.

【答案】1是分式，其余的都是整式.

t

【分析】判斷分式的依據(jù)是：兩個整式相除，且分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含

有字母則不是分式.

【詳解】解：代數(shù)式;，f(x+2),(4"+2),?(?>3),T中，只有;是分式，

3+2),(4〃+2),?(?>3),三分母中都不含字母，不是分式，是整式，

答：1是分式，其余的都是整式.

t

【點睛】本題主要考查分式的定義.熟練掌握分式的定義是解決本題的關(guān)鍵.

題型二分式的規(guī)律性問題

￡x3X5x1X9X11

4.給定一列分式：...(其中>*0),按此規(guī)律，那么這列分式中

>'2尸4尸16/'32/'

的第"個分式為()

2〃+12?-12〃-1鐘

「工TA

A.------JLJ..

Tyn2ny"-'2y?2〃-『

【答案】c

【分析】本題考查分式規(guī)律問題，確定分別找準分母系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律、分子次數(shù)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.分

別判斷系數(shù)，字母之間的關(guān)系，即可找出答案.

【詳解】解：第一個分式為：

y

r3F2T

第二個分式知行二行,

V5'2x37

第三個分式為：$

Y704-1

第四個分式為：府二萬,

2x5-1

第五個分式為：,，

zy

...,

丫2〃-1

按此規(guī)律，那么這列分式中的第〃個分式為，r，

2V

故選：c.

5.按一定規(guī)律排列的代數(shù)式「白,2b23b34Z>4

,…，第9個代數(shù)式是（)

4a55a6

、8/「9/c9/c9嚴

A.一一B?一而c___D.--

9a910a1110a12

【答案】B

nbn

【分析】先由前面幾個代數(shù)式歸納可得第〃個代數(shù)式為：（T）'x項產(chǎn),從而可得答案?

【詳解】解II;3b34b4

第〃個代數(shù)式為：（T）"x/…2

In+ija

9b9

當(dāng)“=9是，第9個代數(shù)式為:

10a11

故選B

【點睛】本題考查的是分式的規(guī)律題，掌握探究的方法并利用歸納得到的規(guī)律解題是關(guān)鍵.

11

6.一列數(shù)外,%，。3，…，其中〃1=不，an=77（〃為不小于2的整數(shù)），則處的值為（）

a

21+n-l

58「138

A.—B.—C.—D.—

85813

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，代入計算，根據(jù)分式的混合運算即可求解.

11

【詳解】解：％=彳，—（〃為不小于2的整數(shù)），

112~11311518

%-鼠&一］+?%一］+/一^^一百，

11Hz1HJ1~\31H

2358

故選：D.

【點睛】本題主要考查分式的運算,掌握代入求值，分式的運算法則是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

1按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：一.，。,-箸黑

第9個代數(shù)式是（）

A.-駕

9a9?10。"?10。”.10/2

【答案】B

【分析】先由前面幾個代數(shù)式歸納可得第〃個代數(shù)式為：~-7T,從而可得答案.

【詳解】解「一方『3b34/

4a5

???第〃個代數(shù)式為：㈠）隈西J產(chǎn)

9b9

當(dāng)〃=9是，第9個代數(shù)式為:

10a11

故選B

【點睛】本題考查的是分式的規(guī)律題，掌握探究的方法并利用歸納得到的規(guī)律解題是關(guān)鍵.

2ss1

2.一組按規(guī)律排列的式子：絲/,，-與h,勺h,-h勺'，…（成工0）,則第〃的個式子是.

aaaa

63〃-1

【答案】（-1）2J

a

【分析】本題主要考查分式規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是得到代數(shù)式的一般規(guī)律；由題意易得奇數(shù)項為負數(shù),

偶數(shù)項為正數(shù)，分母符合屋，分子的指數(shù)則符合3〃-1,進而問題可求解.

【詳解】解：由幺/,-h勺5,b勺s,一b1勺1，…可知:

aaaa

73x1-173x2-1工3x3-173x4-1

/.\i+ib/i、2+ib/i、3+ib/i、4+ib/.

㈠）一，㈠）,一^，（T）?―^，㈠）一…（"w0），

aaaa

人3”一l

.??第”個式子是（-1）用J;

an

戶-1

故答案為：（-I）"”」.

Y3V5Y7V9

3.觀察下面一列分式：一，-與，—,,...（其中xwO）.

yyyy

（i）根據(jù)上述分式的規(guī)律寫出第6個分式;

（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出第〃（"為正整數(shù)）個分式，并簡單說明理由.

V13

【答案】⑴-二

y

2n+l

1x

（2）（-1）見解析

【分析】此題主要考查了分式的規(guī)律性問題以及數(shù)字規(guī)律的探索問題，得出分子與分母的變化規(guī)律即可解

題.

（1）根據(jù)已知分式的分子與分母的次數(shù)與系數(shù)關(guān)系進而得出答案;

（2）利用（1）中數(shù)據(jù)變化規(guī)律，進而得出答案.

【詳解】（1）解：觀察各分式的規(guī)律可得第6個分式為-三.

y

（2）解：根據(jù)題意得：第〃（〃為正整數(shù)）個分式為（-1）義》.理由：

???分母的底數(shù)為乃次數(shù)是連續(xù)的正整數(shù)，分子的底數(shù)是x,次數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)，且第偶數(shù)個分式的系數(shù)為

負，

.丫2"+1

二第"（"為正整數(shù)）個分式為（-1）x土廠.

題型三分式有無意義的條件

2

7.對于分式二有意義，則x應(yīng)滿足的條件是（）

x-3

A.x>3B.x>3C."3D.x<3

【答案】c

【分析】本題考查了分式有意義的條件.根據(jù)分式有意義的條件：分母不等于0即可得出答案.

【詳解】解：由題意得x-3wO,

x片3,

故選：C.

8.分式二無意義，則未知數(shù)取值為（）.

x+5

A.x=lB.x=0C.x=-5D.x=l或x=-5

【答案】c

【分析】本題考查了分式無意義的條件，根據(jù)分母為o即可求解，掌握分式無意義的條件是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???分式一無意義，

x+5

x+5=0,

x=—5,

故選：C.

9.若分式二無意義，則實數(shù)x的值是（）

x+4

A.x=3B.x=—3C.x=4D.x=—4

【答案】D

【分析】本題主要考查了分式無意義的條件，根據(jù)分式無意義，分母等于0列式計算即可得解.

【詳解】解：根據(jù)題意可得出x+4=0,

解得：x=-4,

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.若分式二有意義，則x的取值范圍是（）

2x+l

A.x>lB.xw-lC.x^--D.x<1

2

【答案】c

【分析】本題考查了分式有意義的條件，分式有意義，則分母不為零，據(jù)此求解即可.

【詳解】根據(jù)題意得：2X+1W0,

解得：

故選：C.

2.若分式一的值不存在，則x的值為.

【答案】-1

【分析】此題主要考查了分式無意義的條件，正確把握分式無意義的條件：分式無意義的條件是分母等于

零是解題關(guān)鍵.直接利用分式無意義的條件得出無的值，進而得出答案.

【詳解】解：??,分式一■的值不存在，

X+1

x+1=0,

解得：x=-l,

故答案為：-1.

3.x為何值時，分式”無意義？

【答案】x=

4

【分析】分式無意義的條件是分母等于0,根據(jù)分母等于0,列出方程，求出X的值即可.

【詳解】解：???分式汽無意義.

4x+l

4x+1=0,

1

X=—,

4

1

故答案為:x=—

4

【點睛】本題主要是考查了分式無意義的條件，掌握“分式的分母為0,分式無意義”是解決本題的關(guān)鍵.

題型四分式值為零的條件

10.若分式的值為零，則。的值是（）

a+2

A.±2B.2C.-2D.0

【答案】B

/_4fa2-4=0

【分析】本題主要考查了分式值為零的條件，根據(jù)分式的值為零得出.A，求出。的值即可,

解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的值為零，分子為零，分母不為零.

【詳解】解：：分式式心的值為零，

Q+2

.1?2-4=0

[a+2w0

解得：a=2.

故選：B.

11.若式子忖二的值為0,則X的值為（）

x—2

A.0B.-2C.2D.±2

【答案】B

【分析】本題主要考查了分式值為0的條件，分式有意義的條件，根據(jù)分式值為0的條件是分子為0,分母

不為0進行求解即可.

【詳解】解：:分式一的值為0,

x—2

.購一2二0

"[x-2^0'

解得：x=-2，

故選：B.

12.若分式紇1的值為0,則。的值為（）

<2+3

A.-3B.0C.2D.2或-3

【答案】C

【分析】本題考查分式的值為零的條件，熟練掌握分母不為零且分子為零的條件是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)分母不為零且分子為零的條件進行解題即可.

【詳解】解：由題可知，

Q—2=0且Q+3W0,

解得：〃二2,

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

I.若分式坦二上的值為0,則（）

"-16

A.m=4B.m=-4

|m|—4

C.m=+4D.不存在加的值，使得'—=0

m2-16

【答案】D

【分析】本題考查了分式值為零的條件，熟練掌握分式的值為零的條件為：分子為0,分母不為0,是解題

的關(guān)鍵.

[1ml—4=0

根據(jù)題意可得FA，此方程組無解.

[加-16.0

【詳解】解：根據(jù)題意可得：

-4=0

Im2-16W0,

故無解，

故選：D.

國-3

2.當(dāng)“=一時,分式(」2；93)的值為①

【答案】-3

【分析】本題主要考查了分式值為0的條件，分式值為0的條件是分子為0,分母不為0,據(jù)此求解即可.

1x1-3

【詳解】解：???分式(x+2)”)的值為°，

『卜3=0

[(x+2)(x-3)w0

x=—3,

故答案為：-3.

(1)如果x=l,那么y取何值時，分式無意義？

(2)如果了=1,那么x取何值時，分式無意義？

(3)使分式無意義的x,y有多少對？

(4)要使得分式有意義，x,y應(yīng)有什么關(guān)系？

(5)如果x=T,那么了取什么值時，分式的值為零？

【答案】⑴尸-g

(2)x=-2

(3)無數(shù)對

(4)x*-2y

⑸V=T

【分析】(1)根據(jù)分式無意義的條件可得x+2y=0,再把x=l代入可得V的值;

(2)根據(jù)分式無意義的條件可得x+2y=0,再把夕=1代入可得x的值；

(3)根據(jù)分式值為零的條件可得當(dāng)2x+y=0；

(4)x+2”0時，即"-2丁時，分式有意義；

(5)-l-y=O且-l+2yw0,即了=-1時，分式的值為零.

【詳解】(1)解：當(dāng)x+2y=0時，分式無意義，把x=l代入可得y=分式無意義；

(2)當(dāng)x+2y=0時，分式無意義，把了=1代入可得當(dāng)；r+2=0,即x=-2時，分式無意義；

(3)當(dāng)x+2y=0,即x=-2了時，分式無意義，分式無意義的x,y有無數(shù)對；

(4)當(dāng)x+2yw0時，即xN-2y時，分式有意義；

(5)x-y=O且x+2yw0時，分式值為0,把x=-l代入，當(dāng)-l-y=0且-1+2尸0,即了=一1時，分式的

值為零.

【點睛】此題主要考查了分式無意義，分式值為零，分式的值的條件，關(guān)鍵是注意分式有意義，分母n0.

題型五求分式值為正負數(shù)、整數(shù)時未知數(shù)的的范圍

13.若分式y(tǒng)的值為正，則。的取值范圍是()

a+1

A.。。一1B.QWOC.a>3D.a<3

【答案】c

【分析】根據(jù)/+1>0可得〃-3>0即可使分式好的值為正.

a+1

【詳解】解：

.??。-3>0時，分式R的值為正，

a+1

。>3,

故選：C.

【點睛】本題考查分式的值，當(dāng)分子分母同為正或同為負時，分式的值為正.

14.對于分式上；下列說法不正確的是()

x-3

A.x=0時，分式值為0B.x=3時，分式無意義

C.x<0時，分式值為負數(shù)D.x>3時，分式的值為正數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)分式的分子與分母的不同取值，進行判斷即可.

【詳解】A、x=O時，分式上=白=0,A正確，但不符合題意；

x-30-3

B、x=3時，分式的分母為0,故分式無意義，B正確，但不符合題意;

Y

C、x<0時，x-3<0,則分式一->0,分式值為正數(shù)，C不正確，但符合題意；

x-3

Y

D、%>3時，x-3>0,且x>0,于是---->0,D正確，但不符合題意.

x-3

故選：C.

【點睛】本題考查了分式的值為0、為正數(shù)、為負數(shù)、無意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟知分式在分母為。時

無意義.

15.若分式一M的值是正整數(shù)，則用可取的整數(shù)有（）

m-2.

A.4個B.5個C.6個D.8個

【答案】A

【分析】本題主要考查了分式的值，利用已知條件得到關(guān)于加的不等式，再利用有理數(shù)的整除的性質(zhì)解答

即可.

【詳解】解：若分式工的值是正整數(shù)，且用為整數(shù)，

m-2

則加一2是6的約數(shù)，m-2>0.

???加一2=6或加一2=3或加一2二2或加一2=1,

即用的值為8或5或4或3,共4個.

鞏固訓(xùn)練

Y-I-4

1.已知分式號的值是非負數(shù)，那么X的取值范圍是（）

A.%>-4且xwOB.x>-4C.xwOD.1之-4且xwO

【答案】D

【分析】本題考查分式值的正負性問題，也考查了解一元一次不等式.根據(jù)號Y+的4值是非負數(shù)得到x+420

且xwO,進而能求出X的取值范圍.

【詳解】解：??Y?+安4之0,

%+420且xw0,

二?x2—4且xW0.

故選：D.

2.能使分式等f值為整數(shù)的整數(shù)x有一個.

【答案】8

6x+2130

【分析】此題主要考查了分式的值，正確化簡分式是解題關(guān)鍵.將轉(zhuǎn)化為3+Qq,進一步求解即

2x-32%-3

可.

6x+216x-9+303(2x-3)+30工

【詳解】解:=3+

2x—32x-32x-32x-3

???分式的值為整數(shù),

丹30；的值為整數(shù),

2%-3

2x-3=±1,±2,±3,±5,±6,±10,±15,±30,

也是整數(shù),

A2x-3=±l,±3,±5,±15,

角軍得：1=2,x==3,x=0,x=4,x=-l,x=9,x=—6；

???能使分式竽與值為整數(shù)的整數(shù)X有8個.

2x-3

故答案為：8.

3.我們知道，假分數(shù)可以化為整數(shù)與真分數(shù)和的形式，例如：43=1+-I.在分式中，對于只含有一個字母

22

的分式，當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”，例如：2壬2x：當(dāng)分子的次數(shù)大于

x-2x~+l

2

或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分數(shù)"，例如：=X+]上Y一?類似的，假分式也可以化為整式與真分

x-1x—2

式的和的形式，例如:

+2=1+2；

X-1x—1x—1X—1x—1

X2X2_4+4_(X-2)(X+2)+44

——A?I

x—2x—2x—2x—2

(1)請根據(jù)以上信息，任寫一個真分式;

Y—1

(2)將分式=化為整式與真分式的和的形式;

x-2

至二的值為整數(shù)，求X的整數(shù)值.

(3)如果分式

X+1

3

【答案】⑴U(答案不唯一)

x-2

1I

（3）、=0或％=-2或％=1或、=-3

【分析】（1）根據(jù)定義即可求出答案；

（2）根據(jù)假分式可以化為整式與真分式的和的形式來進行計算即可;

（3）先化為帶分式，然后根據(jù)題意列出方程，即可求出x的值.

本題考查了分式和新定義問題，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義以及分式的運算.

【詳解】（1）解：???當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，稱之為“真分式”

???分式一3二是真分式,

x-2

故答案為：一3三（答案不唯一）;

x-2

x-1

（2）解:

x—2

x—2+1

x-2

1

=1+

x—2

3X2-1

(3)解:

x+\

3尤2-3+2

x+1

3k2T+2

x+1

3(x+l)(x-l)+2

x+1

3(X-1)+2

'7x+1

?.?分式的值為整數(shù)，尤為整數(shù),

x+1=±1或x+l=±2,

解得x=0或％=—2或x=l或％=—3,

???當(dāng)x=0或x=或x=］或x=-3時，分式過一-的值為整數(shù).

x+1

【點睛】

題型六分式的基本性質(zhì)

16.下列各式中，正確的是（）

22

,a+b\+bx~y_x~y

A.------=------B.-T\2

abbx+歹（x+＞）

Cx-3_1D-x+yx+y

'尤2_9\_32_2

【答案】B

【分析】本題主要考查了利用分式的基本性質(zhì)對分式進行變形，解題關(guān)鍵是熟練掌握分式的基本性質(zhì).根

據(jù)分式的基本性質(zhì)進行變形，再進行判斷即可.

,b

【詳解】A.a+b〃一1+"故A錯誤，不符合題意;

—豐-------

abbb

x-y_(x+y)(x-y)_x2-y2

B.,故B正確，符合題意;

x+y(x+y)(x+y)(x+y)2

x-3x-31‘士,故c錯誤,不符合題意;

C.

X2-9(X+3)(X-3)X+3

-x+yx—yx+y

D.,故D錯誤，不符合題意.

222

故選：B.

17.下列分式變形從左到右一定成立的是（)

aa+mamaaama_a-m

A.-=-------B.C.

bb+mbmbbbmbb—m

【答案】B

【分析】本題考查了分式的化簡，根據(jù)分式的性質(zhì)依次進行判斷即可得；掌握分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.?=產(chǎn)不成立，例如gw詈=：,,選項說法錯誤，不符合題意；

B.?=/成立，選項說法正確，符合題意；

bmb

C.當(dāng)加*0時，:=辛,選項說法錯誤，不符合題意；

bbm

D.￡=產(chǎn)不成立，例如:w]==0,選項說法錯誤，不符合題意；

bb-m22-1

故選：B.

18.將分式手中的x和y都變?yōu)樵瓉淼?倍，那么分式的值變?yōu)樵瓉淼模ǎ?/p>

2xy

A.8倍B.3倍C.不變D.。倍

J6

【答案】A

【分析】把后變成與再化簡,即可得出答案?本題考查了分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，能理解題意

是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：將分式卡中的X和了都變?yōu)樵瓉淼?倍,

2xy

.3x+3y_1x+y

**2-3x-3^-3,2xy'

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

1.下列各式從左到右的變形正確的是（）

x+y111

A.--=A0B.—+—=-------

x+yaba+b

C24+c）2D,Xr—1

-a+3（6+c）a+3-x2+y2-2xyx-y

【答案】D

【分析】此題考查了分式的基本性質(zhì)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐項計算即可判斷求解，掌握分式的基本性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、蟲=1，原變形錯誤，該項不符合題意；

x+y

B、1+：=*，原變形錯誤，該選項不符合題意；

abab

2（b+c}2

C、（\=—，原變形錯誤，該選項不符合題意；

x-y1

D、原式=記丁==，原變形正確，該選項符合題意；

故選：D.

2.如果把分式包中的x、V同時擴大為原來的2倍，那么該分式的值____.

xy

【答案】縮小為原來的;

【分析】此題主要考查了分式的基本性質(zhì)，正確化簡分式是解題關(guān)鍵.

直接利用分式的性質(zhì)化簡得出答案.

【詳解】解：把分式一^中的X和y都擴大為原來的2倍，

xy

則原式可變?yōu)椋后?*，

2x?2y4xy2xy2xy

故分式的值縮小為原來的;.

故答案為：縮小為原來的;.

3.不改變分式的值，把下列各分式的分子和分母中各項系數(shù)化為整數(shù).

/、0.02—0.2x

(1)----------；

“70.3X-0.03

11

—x——y

23

⑵21

—x——y

32

2-20%

【答案】⑴

30%-3

3x-2y

⑵4x-3y

【分析】本題考查了分式基本性質(zhì)的應(yīng)用，掌握分式基本性質(zhì)是關(guān)鍵.

(1)根據(jù)分式分子分母中小數(shù)最多是兩位小數(shù)，由分式基本性質(zhì)，分式分子分母都乘100即可;

(2)分子、分母的最小公倍數(shù)都為6,分式的分子分母都乘6即可.

0.02-0.2x

【詳解】(1)解:

0.3x—0.03

(0.02-0.2x)x100

(0.3%—0.03)x100

2-20x

30x-3；

11

-X——y

23

(2)解:

21

—x——y

32

111,

—x——yx6

23，

21)

—x——yx6

32

3x-2y

4x-3歹

題型七最簡分式與最簡公分母

19.下列各式中，是最簡分式的是()

2aQ+1a2

A-a+ab

」?2r

301ba+1a+3〃'a2-b2

【答案】B

【分析】本題主要考查了最簡分式判斷,根據(jù)分式的分子分母不含有公因式的分式叫最簡分式判斷即可.

【詳解】解：A.雪=三，不是最簡分式，故該選項不符合題意；

3ab3ab

B.”是最簡分式，故該選項符合題意；

a+1

aa1

c.=TV=-T,不是最簡分式，故該選項不符合題意；

a+3Q磯a+3)a+3

a2+aba(a+b}a

D.^^=7X，廠―不是最簡分式，故該選項不符合題意;

a-b(a-b)(Q+b)a-b

故選：B.

20.分式和1■的最簡公分母是(

1

A.歹B.3T9C.6y2D.6y3

【答案】C

【分析】本題考查了最簡公分母.熟練掌握最簡公分母是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)最簡公分母的定義求解作答即可.通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次幕的積作公分母,

這樣的公分母叫做最簡公分母.

【詳解】解：由題意知，最簡公分母為6/,

故選：C.

x-32x

2L分式加②、(xf(x+l)的最簡公分母是()

A.2(x+2)(x-l)

B.2(x+2)(x-l)(x+l)

C.2(x+2)(x+l)

D.(x+2)(x-l)(x+l)

【答案】B

【分析】本題主要考查了最簡公分母，解題的關(guān)鍵在于能夠熟記最簡公分母的定義.

根據(jù)最簡公分母的定義：各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次幕的乘積，進行求解即可

x—3

【詳解】解：根據(jù)題意可得：分式而可、+的最簡公分母是2（x+2）（x-l）（尤+1）,

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

1.下列各式中最簡分式是（）

「Q2+2Q+1D.X

a2-la+b

【答案】D

【分析】本題主要考查最簡分式，根據(jù)最簡分式的定義判斷即可,解題的關(guān)鍵是掌握一個分式的分子與分

母沒有公因式時，叫最簡分式.

【詳解】解：A、學(xué)=型，故選項不符合題意；

XX

X—V

B、--=-1,故選項不符合題意；

y-x

C、"二2"+1=￡±1,故選項不符合題意；

D、±是最簡分式，故選項符合題意；

a+b

故選：D.

27.有下列分式：①二三；②-3、；③④J]⑤口^其中是最簡分式的

3-4尤-xy21（。-b）x-6x+9a-b

有.（填序號）

【答案】④⑤

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義進行判斷即可.

a+2a+21

【詳解】解：~荷=—7,原式不是最簡分式；

a-4+-2）a-2

5xy5xy5y

②=；原式不是最簡分式；

③:4”=^原式不是最簡分式；

2l{a-b）3（a-b）

x+3x+3

④原式是最簡分式;

⑤中與是最簡分式；

a-b

綜上分析可知，最簡分式有④⑤.

故答案為：④⑤.

【點睛】本題主要考查了最簡分式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握定義，在化簡結(jié)果中(利用約分的方

法)，分子和分母已沒有公因式，這樣的分式稱為最簡分式.

3.求下列各式的最簡公分母，并通分.

⑴正，訴’W；

2x+2'爐+2%+1'8—4x

【答案】(1)最簡公分母為24//02；通分后為4灰：,3/,8;二

24。27c224。262c224a2b2c2

2(V—4)(x+l)8(x—2)-3(x+l)2

(2)最簡公分母為4(X+1)2(X-2),通分后為一

4(X+1)2(X-2)'4(X+1)2(X-2)'4(x+l)2(x-2)

【詳解】(1)???鼻c,-Jnr，三h的最簡公分母是24//°2

6ab8bc3ac

.、田八u4，4Z)c33a3Sab3

,?刀后/S———~

24a&c~24alAa^b^c1

4加T.38ab3

故答案為：最簡公分母為24//,2；通分后為笠%a

24a2b2c224a2b2c224a2b2c2

x+2_x+22_23_3

2x+2--2(x+l)'X2+2X+1(X+1)2'8-4x-4(2-x)

.x+2230廿八八e斗“