2024-2025學年滬教版高二數學期末模擬卷（全解全析）

2024-2025學年高二數學上學期期末模擬卷

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：滬教版2020必修第三冊+空間向量+平面解析幾何。

5.難度系數：0.66?

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)

1.空間中兩條直線的位置關系有.

【答案】平行、相交、異面

【解析】空間中兩條直線的位置關系有：平行、相交、異面.

故答案為：平行、相交、異面.

22

2.雙曲線土-匕=1的漸近線方程為

45

【答案】y=±^-x

2

【解析】由題意可知，/=4,/=5，

則雙曲線的漸近線方程為y=±2x=士YL.

a2

故答案為：y=±^-x

2

3.已知圓心C(-M)且經過點圓的標準方程為.

［答案］(x+l)2+(y_l『=8

【解析】圓的半徑廠=|/。=亞百=2/，

所以圓的標準方程為(x+l)2+(y-l)2=8.

故答案為：(x+l)2+(y-l)2=8

4.直線x++1=0與直線6x+y+］=0的夾角為.

TT

【答案】彳/30。

6

【解析】直線x+A+l=O的斜率為一專=-g,傾斜角為，；

直線6x+y+l=0的斜率為-6,傾斜角為7甘7r，

所以兩條直線的夾角為羋-§

636

7T

故答案為：7

0

5.已知直線/的一個方向向量為2=(1,2,-1),平面C的一個法向量7=(為-4,2),若///a,則實數

x=.

【答案】10

【解析】因為///a,所以直線/的方向向量與平面a的法向量垂直，

即￡Z=(X,-4,2>(1,2,-1)=X-8-2=0,解得：x=10.

故答案為：10

6.中國古代數學著作主要有《周髀算經》《九章算術》《海島算經》《四元玉鑒》《張邱建算經》，若從上述5

部書籍中任意抽取2部，則抽到《九章算術》的概率為.

2

【答案】j/0.4

【解析】將這5部書籍依次記為。,6,c,d,e,其中《九章算術》為編號。，

則從這5部書籍中任意抽取2部的樣本空間。={ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de},共有10個樣本點，

其中抽到《九章算術》的樣本點為ac,a4,ae,共有4個樣本點，

42

所以所求概率「=而=『

2

故答案為：j

7.已知a,6是兩條不同的直線，a,乃是兩個不同的平面，且au〃，a^\/3=b,則“a尸a”是“a〃6”的

_____________條件.

【答案】充要

【解析】充分性，aPa,au/3,a^p=b,由線面平行的性質得到。〃6；

必要性，=故6ua,

又。〃6,bua,。不在平面二內，由線面平行的判定得。尸a,

所以au〃，aC0=b,則Pa”是“a〃6”的充要條件.

故答案為：充要

8.“共享單車，綠色出行”是近年來火爆的廣告詞，現對某市10名共享單車用戶一個月內使用共享單車的次

數進行統計，得到數據如莖葉圖所示，下列關于該組數據的說法錯誤的是

①極差為36；②眾數為34；③第50百分位數為27；④平均數為32.

17

23567

3244

49

53

【答案】③

【解析】由數據的莖葉圖可知，最大為53,最小為17,,則極差為53-17=36,故①正確；

其中僅有數據34出現了兩次，其余數據都只有1次，故眾數為34,②正確；

把數據按從小到大的順序排列，第五個和第六個數據分別為27和32,該組數據共有10個，由10x50%=5

是整數，

故第50百分位數應該是第五個和第六個數據的平均數，即受絲=29.5,而不是27,故③錯誤；

2

-1

運用平均數公式可得平均數為苫=m(17+23+25+26+27+32+34+34+49+53)=32,故④正確.

故答案為：③.

9.已知關于x的方程2+早)二發(fā)(x+3)+l有兩個不同的實數根，則實數上的范圍.

?依心、.3+2^/6

【答案】1,---

.7

【解析】設(=,%="(x+3)T,圖像如圖所示,

當直線與半圓相切時，圓心。到直線k的距離d=r,即"2,

解得：3-276(舍)，^3+2^

55

當直線過點(-2,0)時，可求得直線4的斜率與==蘭=1,

則利用圖像得：實數后的范圍為1,2鏟

.7

J-i-AA-efaiL13+2^6

故答案為：L---------

10.已知正三棱錐所有棱長均為近，且四個頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為.

【答案】371

【解析】構造一個各棱長為1的正方體，連接各面的對角線可作出一個正四面體，

此四面體各棱為VL

而此四面體的外接球即為正方體的外接球.

此球的直徑為正方體的體對角線，即次，

所以該球表面積S=4兀R2=?rx(J^)=3兀.

故答案為3m

11.拋物線產=4x的焦點為尸，準線為/,48是拋物線上的兩個動點，且滿足=,設線段的中

\MN\

點M在準線/上的投影為N,則上3的最大值是

\AB\

【答案】1

【解析】設忸尸|=6,如圖所示，根據拋物線的定義，

可知M戶|=|/Q|,\BF\=\BP\,

在梯形尸0中，有|"v|=；g+6),

Z\ABF中，|A,B『=Q2+Z>2-2ab,cosci^+6?-ab-(a+b)?-3ab,

▽7+?/m2、(a+6)2i,r>i、q+6

又ab<I—^―IAB|>--=\AB\>,

.河<g（"+'）\MN\

=1，故。?的最大值是L

"\AB\~"b\AB\

故答案為：1.

12.已知點P在正方體NBC。-44GA的表面上，尸到三個平面/BCD、ADDM、中的兩個平面

的距離相等，且尸到剩下一個平面的距離與P到此正方體的中心的距離相等，則滿足條件的點P的個數

為.

【答案】6

【解析】若尸到平面/5C。、4DA4距離相等，根據對稱性知p在平面/DC幽上,

/。_1平面四月8,/Ou平面/DC圈，故平面

ADCR，平面//避田,

故尸到平面ABBXAX的距離即P到ABX的距離,

設正方體的中心為。，即&_陽=|尸。|，故尸的軌跡為平面區(qū)內的一條拋物線,

不妨取正方體邊長為4,工4中點為以M。所在的直線為x軸，

以線段M。的垂直平分線為V軸，建立直角坐標系，

拋物線方程為_/=4x,x=2時，歹=±2逝，故拋物線與棱3c和40相交，

故共有2x3=6個點滿足條件.

故答案為：6

二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個正

確選項）

13.若忖,反可構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）

A.b?c,a+bB.B,a+c,a+b

C.a—bfI，a+bD.a—b>a-\-b

【答案】D

【解析】對于A,若向量c,萬+B共面，則5+5=弦+〃。，尢〃無解，所以向量B,c,5+B不共面，

故A錯誤；

對于B,若向量a+c,萬+B共面，貝+B="++無解，所以向量B,a+c,不+B不共面,

故B錯誤；

對于C,若向量彳一］，c,萬+B共面，貝U萬+B=/i（Q—石）+〃。，無解，所以向量5—3，己,不+3不共面，

故C錯誤；

對于D,若向量B,a-b<a+B共面，貝!|@+3=/l（a-小〃B,即11,>解得4=1,〃=2,所以向量B,

a-b-a+B共面，故D正確.

故選：D.

14.現有以下兩項調查：①從40臺剛出廠的大型挖掘機中抽取4臺進行質量檢測；②在某校800名學生中，

。型、A型、2型和AB型血的學生依次有300,200,180,120人.為了研究血型與色弱的關系，需從中抽取一個

容量為40的樣本.完成這兩項調查最適宜采用的抽樣方法分別是（）

A.①②都采用簡單隨機抽樣

B.①②都采用分層隨機抽樣

C.①采用簡單隨機抽樣，②采用分層隨機抽樣

D.①采用分層隨機抽樣，②采用簡單隨機抽樣

【答案】c

【解析】由題意對于①，40臺剛出廠的大型挖掘機被抽取的可能性一樣，故為簡單隨機抽樣，

對于②，為了研究血型與色弱的關系，說明某校800名學生被抽取的可能性要按照血型比例分層抽取，故

為分層隨機抽樣.

故選：C.

15.如圖，在正方體/BCD-44GA中，E、尸為正方體內（含邊界）不重合的兩個動點，下列結論錯誤的

是（）

A.若EeBD1,FwBD,貝!]_L/C

B.若EeBD(,FeBD,則平面跳尸_L平面43G

C.若￡eAC,FwCD、,貝UEB〃面48G

D.若EeAC,FeCD,,貝IJE尸〃

【答案】D

【解析】

如圖所示，對于選項A,易知/C_L8。，底面48CD,/Cu底面48CD,

所以?？贚/C,

又BDcDD[=D,BD、DDXc平面AD。，所以4C_L平面區(qū)D",

E尸u平面所以跖_LNC,故A正確；

對于選項B,易知4G〃/C,所以平面

因為4。u平面A&B,所以平面1平面BDD、,

顯然平面出汨1即平面8所，故B正確；

如上圖所示，對于C項，由正方體的特征可知/D"/2G，48//AC,

因為4。戶平面68匚平面4。田，所以4DJ/平面

同理CD]a平面4。避，48u平面4GB，所以c。"/平面

顯然ADXnCD]=D],AD｝、CDXu平面AD,C,

所以平面〃平面

由￡Fu平面4DC可得所//平面故C正確；

CECF

對于D項，顯然片片高時，E廠與40|不平行，故D不正確.

AEFD]

故選：D

16.曲線G；.：xk+yk=4（k>0,keQ）,下列兩個命題：

命題甲：當左=’時，曲線與坐標軸圍成的面積小于128；

2

命題乙：當Q2",〃eN*時，曲線圍成的面積總大于4；

下面說法正確的是（）

A.甲是真命題，乙是真命題B.甲是真命題，乙是假命題

C.甲是假命題，乙是真命題D.甲是假命題，乙是假命題

【答案】A

【解析】命題甲：當A=2時，曲線C：1+姬_4是端點為（16,0），（0，16）,在第一象限的曲線段,

22人十）一什

由始+必=4，佝y=（"/了=x+16-84，0<x<16,

而(16-X)-(X+16-8^)=/-2X=G(4C)2(,當且僅當x=0或尤=16時取等號,

即有16-x2x+16-86，則曲線G除兩個端點外均在直線了=16-x的下方,

2

因此曲線q除端點(16,0),(0,16)外，在直線無+>=16與坐標軸圍成的區(qū)域內,

2

直線X+y=16交X,>軸分別于點4(16,0),5(0,16),S-=04H。⑷=128,

即曲線。2"關于x軸對稱，也關于y軸對稱，且在平行直線x=±需和平行直線了=±2在所圍成矩形及內部,

曲線。2.是封閉曲線，其面積是曲線與x軸的非負半軸、y軸的非負半軸所圍面積S的4倍，

顯然P+產<4,即點(1,1)在曲線內，而以點(。，0)，￡0)，(1，1),(0,1)為頂點的正方形面積為1，

曲線上的點(x/)(x>0,y>0),當x在0到1間任意取值時，y均大于1,當y在0到1間任意取值時，

x均大于1,

因此S>1,所以曲線圍成的面積4s>4恒成立，乙是真命題.

故選：A

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)

17.已知圓G:x?+/—2x—2y—1=0和圓C2x~+=8.

⑴證明：圓。和C?相交；

(2)求圓q和c2公共弦所在的直線方程.

【解析】(1)圓C|：(x-l)2+(yT?=3,圓心為(1,1),半徑為百

圓C?：/+/=8,圓心為(0,0),半徑為2亞

圓心距|GGI=百e(2應-2亞+,故圓G和G相交.

(2)由(1)可得圓Cj和G相交,

x?+，—2x~2.y—l—0

聯立兩圓方程,

x2+y2-8=o

并上下相減可得圓G和G公共弦所在的直線方程為2x+2y-7=0.

18.如圖，圓錐的底面直徑與母線長均為4,尸。是圓錐的高，點C是底面直徑A8所對弧的中點，點。是

母線E4的中點.

(1)求該圓錐的體積；

(2)求直線CD與平面PAB所成角的大小.

【解析】(1)依題意可知圓錐的底面半徑，，=2,高0尸="-22=26,

所以圓錐的體積為乃、22*2百=巫.

33

(2)連接OD,由于。是尸”的中點，所以。。=1尸4=2,

由于C是弧的中點，所以OC_L4B,

根據圓錐的幾何性質可知OCLOP,ABcOP=O,

所以OCL平面尸/B,所以/O0C是直線與平面以8所成角的平面角.

JT7T

在MAODC中，ZCOD=-,OD=OC=2,所以NQDC=-.

24

TT

即直線CD與平面PAB所成角的大小為二.

19.如圖，某苗圃有兩個入口A、B,1^1-100,欲在苗圃內開辟一塊區(qū)域種植觀賞植物.現有若干樹苗放

在苗圃外的C處，已知|G4|=80,|CS|=88,以所在直線為x軸，N3中點為原點建立直角坐標系.

(1)工人計劃將樹苗分別沿C-/-尸和C-8-尸兩條折線段路線搬運至尸(7,1)處，請判斷哪條搬運路線最

短？并說明理由；

(2)工人準備將C處樹苗運送到苗圃內的點尸處，計劃合理設計點P的位置，使得沿/-尸和C-8-尸兩

條折線段路線運輸的距離相等.請寫出所有滿足要求的點尸的軌跡方程.

【解析】(1)由題意可得/(-50,0),5(50,0),尸(7,1),

\AP\=J(7+50/+(1-0『=57130，\BP\=^(7-50)2+(1-0)2=5774，

路線C-Z-尸的長度：|C4|+|4P|=80+5麗,

路線C-8-尸的長度:|。a+忸尸|=88+5內,

因為80+5Vi布＞88+5萬，則路線C-8-P的長度最短.

(2)設點尸(x/),已知|G4|+|ZP|=|C川+即

可得\P^\-\PB\=|CS|-|G4|=8<100=\AB\,

所以點尸所有可能的位置是以A、8為焦點的雙曲線的右支并且在苗圃內的部分,

222

貝1]2。=8,即。=4,又因為c=50,Z，=c-a=2500-16=2484,

22

則點P的軌跡方程為—-=1(X>0/>0).

162484''

20.將連續(xù)正整數1,2,3,L,〃(〃eZ+)從小到大排列構成一個123…〃，尸(〃)為這個數的位數.例如:

當”=12時，此時為123456789101112,共有15個數字，則尸(12)=15.現從這個數中隨機取一個數字，P⑺

為恰好取到0的概率.

⑴求尸(100)；

(2)當"W2023時，求歹(")得表達式;

(3)令g⑺為這個數中數字0的個數，/(〃)為這個數中數字9的個數,/z(?)=/(w)-g(M),

S=!??|/?(?)=1,?<100,,求當“eS時，尸(〃)的最大值.

【解析】(1)當〃=100時，尸(100)=9+90x2+3=192,

即這個數中共有192個數字，其中數字0的個數為11,

則恰好取到0的概率為P(100)=備；

(2)當1W〃<9時，這個數有1位數組成，尸⑺=〃；

當10V〃V99時，這個數有9個1位數組成，〃-9個兩位數組成，則尸(〃)=2〃-9；

當100W〃V999時，這個數有9個1位數組成，90個兩位數組成，〃-99個三位數組成，尸(〃)=3〃-108；

當1000W”V2023時，這個數有9個1位數組成，90個兩位數組成，900個三位數組成”-999個四位數組成,

/⑺=41107；

n,\<n<9

2/?-9,10<n<99

綜上所述：尸(“)=<

3〃-108,100(n<999

4A7-1107,1000<n<2023

(3)〃=6(l<b49,6￡N*)時，g⑺=0,

當〃=10左+6(1(左W9,0WbW9,《￡N*,6￡N*)時，g(〃)=左;

0,1<?<9

當〃=100時，g(〃)=11,即g(〃)=<。,〃=10左+b,l<k<9,0<b<9,kGNGN

ll,n=100

0,l<n<8

/、k,n=10k+b-l,l<k<S,0<b<9,keN*/JGN*

同理有〃")=VOR,

?-80,89<w<98

20,^=99,100

由M")="")-g(”)=1,可知〃=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,

所以當“V100時，S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90},

91

當”=9時，P(9)=0,當〃=90時，P(90)=—=—,

當”=10左+9(14人W8,keN*)時，P(n)=里典=」^=—-—,

(>V7F(n)2n-920k+9

k1Q1

由y=士-=X——關于左單調遞增，

20A-+9202020左+9

故當〃=10左+9(14左48,AreN*)時，有尸(〃)的最大值為尸(89)=白，

Q11

又名<3,所以當時，尸⑺的最大值為A?

1691919

22

21.已知橢圓J:?+g=l的左、右焦點分別為片和鳥,經過點片且斜率為左的直線/交橢圓J于民。兩點,

其中點C在第二象限.如圖所示，將J的上半部分(半橢圓)沿著長軸翻折使得點C翻折至點/且二面角

N-4耳-8為直二面角.設三角形8〃和三角形月的周長分別為CABCE和C△師.

(1)證明:?！?監(jiān)<CXBCF?=8；

⑵若k=Y，求異面直線/瑪和BFX所成角的大??；

82

⑶若金，叫=行,求左的直

【解析】(1)解:由橢圓定義可得:c△.=|3C|+|y|+|典1=8,

G.=|“同+M閭+忸周

<|明|+囪|+上&+陽|

=|/周+M閶+|3|+忸閶

=8,

故得證<CABC4=8；

(2)由題知橢圓片:+!=1,

所以片

因為左=—V3,

所以直線/的方程為：y=-V3（x+l）,

卜--1

聯立43

y——V3(x+1)

可得：5x2+8x=0,

Q

解得：xB=09xc=--,

代入直線方程可得：^（0,-V3）,C

因為片(-1,0),近(1,0),

所以理|=/皆+（河=g

M=%=Jl+（可=2,

\OB\=V3,

所以尸2,

分別取凹,3所。鳥的中點為。，瓦0,

連接OB,OD,OE,DE,QE,DQ如圖所示:

所以周=g,|/￡|=：,上周=2,

電1=|，閨。卜飄閶=日

\OD\=^,\OE\=1,\QE\=^,

在△州￡及A。々。中分別由余弦定理可得:

61433

5

代入數值可得: