2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期專項(xiàng)復(fù)習(xí)：直線方程（解析版）

直線方程

（易錯(cuò)必刷36題15種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）

題型大泰合

>點(diǎn)斜式方程綜合應(yīng)用>對(duì)稱：光學(xué)性質(zhì)

>截距式方程綜合應(yīng)用>對(duì)稱：最小值

>一般式直線理論>對(duì)稱：兩點(diǎn)距離公式幾何意義

>直線與坐標(biāo)軸圍成面積>對(duì)稱：將軍飲馬型

>含參直線過(guò)定點(diǎn)>對(duì)稱：疊紙型

>點(diǎn)到直線距離最值型>直線關(guān)于直線對(duì)稱

>平行線距離最值范圍>直線綜合

>對(duì)稱：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

盛型大通關(guān)

一.點(diǎn)斜式方程綜合應(yīng)用（共3小題）

1.（22-23高二上?北京?期中）已知直線4：y=；x+2,直線/2是直線"繞點(diǎn)尸（-2,1）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到的直

線.則直線。的方程是（）

A.y=%+3B.y=-2x-3

C.y=4x+9D.y=3x+7

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，求得的斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程即可.

【詳解】設(shè)直線4,4的傾斜角分別為巴分，則tana=；,Q=a+45。,

故tan￡=tan（a+45°）=：+tan“=3,又點(diǎn)尸在直線（上，

故直線4的方程為>7=3（X+2）,整理得：y=3x+7.

故選：D.

2.(21-22高二上?新疆省直轄縣級(jí)單位?期中)已知ZUBC的三個(gè)頂點(diǎn)/(3,0),8(-1,2),。(1,-3),則△NBC的

高CD所在的直線方程是()

A.x+5y—5=0B.x+2y+5=0

C.2x+y—5—0D.2x—y—5—0

【答案】D

【分析】先求出G，進(jìn)而得到七°,再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程即可.

,0-211c

【詳解】由題意知：kAB^—?jiǎng)t上。=-==2,故所在的直線方程為y+3=2(x-l),即

3-(-1)2kAB

2x-y-5=0.

故選：D.

3.(21-22高一上,江蘇南通,期中)已知點(diǎn)P(x,y)到40,4)和8(-2,0)的距離相等，則2、+4V的最小值為

A.2B.4C.872D.472

【答案】D

【解析】首先求得線段的垂直平分線的方程，由此求得陽(yáng)夕的關(guān)系式，利用基本不等式求得2*+4〉的最

小直

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸(x,y)到4(0,4)和3(-2,0)的距離相等，

4-0

所以點(diǎn)尸(x,y)在線段的垂直平分線上，且過(guò)的中點(diǎn)(-1,2),七8=西百=2,垂直平分線的斜率

為-5，由點(diǎn)斜式得y-2=-](x+l),

所以垂直平分線的方程為：x+2y-3=0即x+2y=3,

因?yàn)?*+4-=2"+2?>，且2*>0,2如>0,

所以2*+4〉=2*+22y>2,2g=2萬(wàn)=472?

所以2*+4〉的最小值為4行，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查線段垂直平分線方程的求法，考查基本不等式求最值，屬于中檔題.

二.截距式方程綜合應(yīng)用(共3小題)

4.(23-24高二上?廣東東莞?期中)直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(-M),在x軸上的截距的取值范圍是則其斜率

的取值范圍為()

【分析】設(shè)出直線方程，求得其在在X軸上的截距，建立不等式，解出即可.

【詳解】設(shè)直線的斜率為左，則直線方程為V-l=Mx+l）,

令y=o,得x=故直線在x軸上的截距為,令

kkk

得左>1或者左故選：D.

5.（23-24高二上,陜西榆林?期中）直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（4,-3）,在x軸上的截距為°,在V軸上的截距為6,且

滿足log/=2,則直線/的斜率為（）

A.2B.-1C.-3D.-1或-3

【答案】C

【分析】由題意設(shè)直線/的方程為±+4=1,列出關(guān)于。,6的方程組，求解即可.

ab

【詳解】由題意設(shè)直線/的方程為土+2=1,則生+F=1①，

abab

又log/=2,,?力=〃2②,

由①②解得4=3,b=9或4=1,b=\,

又由k）g?=2知a>0,awl,b>0,則〃=3,b=9,

則直線/的斜率為-2=-3.

a

故選：c.

6.（21-22高二上?江蘇南通?期中）過(guò)點(diǎn)尸（1,2）,且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線有（）

A.4條B.2條C.3條D.1條

【答案】C

【分析】考慮截距為0,截距相等且不為0,截距互為相反數(shù)且不為0,求出相應(yīng)的方程，得到答案.

【詳解】當(dāng)截距為。時(shí)，設(shè)直線方程為N=船，將尸（1,2）代入y=依，求得k=2,

故方程為了=2x；

當(dāng)截距不為。時(shí),

①截距相等時(shí)，設(shè)方程為二+上=1,

aa

io

將尸（1,2）代入，即一+—=1,解得：。=3,故方程為x+y=3；

aa

②截距互為相反數(shù)時(shí)，設(shè)直線方程為±-2=1,

aa

io

將尸（1,2）代入，即——=1,解得：=-l,故方程為x-y+l=O；

aaa

一條是截距為0,一條是截距相等（不為0）,一條是截距互為相反數(shù)（不為0）,共3條.

故選：c

三.一般式直線理論（共2小題）

7.（21-22高二上海浦東新?期中）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)州（國(guó),弘），N（%,%）為不同的兩點(diǎn)，直線/的

cax+by+c

方程為"+勿+。=0,6=y廣一，下面四個(gè)命題中的假命題為（）

A.存在唯一的實(shí)數(shù)3,使點(diǎn)N在直線/上

B.若5=1,則過(guò)N兩點(diǎn)的直線與直線/平行

C.若6=-1,則直線經(jīng)過(guò)線段M,N的中點(diǎn)：

D.若6>1,則點(diǎn)M,N在直線/的同側(cè)，且直線/與線段M,N的延長(zhǎng)線相交；

【答案】A

【分析】根據(jù)題意對(duì)5——分析，逐一驗(yàn)證.

0ax,+bv，+c

【詳解】解：對(duì)于A,3=----------化為：axt+byi+c-8（ax2+by2+c）=0（ax2+by2+c^0）,即點(diǎn)N（%,%）

ax2+by2+c

不在直線/上，因此A不正確.

對(duì)于8,5=1,則a（x「％）+優(yōu)%-%）=0，即過(guò)/，N兩點(diǎn)的直線與直線/的斜率相等，又點(diǎn)N（X2,V2）

不在直線/上，因此兩條直線平行，故8正確；

對(duì)于C,5=-1,則3+如+c+（a^+勿2+c）=。，化為a」,愛(ài)+》％+c=0,因此直線/經(jīng)過(guò)線段的

中點(diǎn)，故C正確；

對(duì)于。，5>1,貝！|（叼+加+c）x（%+奶+c）=S32+奶+c）2>0,則點(diǎn)Af,N在直線/的同側(cè)，故。正確；

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了直線系方程的應(yīng)用、平行直線的判定、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算

能力，屬于難題.

8.（21-22高二上?北京?期中）設(shè)NG?,%）為不同的兩點(diǎn)，直線/：/x+2y+C=0.記

2=J"：?：；，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

①不論彳為何值，點(diǎn)N都不在直線/上；

②若2=1,則過(guò)的直線與直線/相交；

③若幾=-1,則直線/經(jīng)過(guò)的中點(diǎn).

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.3個(gè).

【答案】C

【分析】①通過(guò)分母不為0,確定/七+8%+。*0,可以判斷①的對(duì)錯(cuò)；②③通過(guò)對(duì)條件整理變形，利

用直線的相關(guān)性質(zhì)判斷.

【詳解】因?yàn)椋?彳二〃分母不為0,所以/Xz+B為+CwO,所以不論彳為何值，點(diǎn)N都不在直線

AX2+By2+C

/上，①正確；

當(dāng)彳=1時(shí)，-SAxx+Byl+C=Ax2+By2+C=k,（后#0）,則”（占,乂），N?,%）為直線機(jī)：/x+8y+C=左上

的兩個(gè)點(diǎn)，顯然直線/與直線加平行，故過(guò)的直線與直線/不會(huì)相交，②錯(cuò)誤：

12

當(dāng)/{.=—1時(shí)，Ax}+Byx+C+AX2+By2+C=0,整理得：A+B+C=0,因?yàn)榍ㄕ?乂），

Ng,yJ,所以MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為迤,丐左J,故若4=-1,則直線/經(jīng)過(guò)的中點(diǎn).③正確；正確的

個(gè)數(shù)為2個(gè)

故選：C

四.直線與坐標(biāo)軸圍成面積（共4小題）

9.（2022高三?全國(guó)?期中）直線》-2歹+6=0與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積不大于1,那么b的取值范

圍是（）

A.[-2,2]B.（―,一2]U[2,y）c.[-2,O）U（O,2]D.（-8,+力）

【答案】C

【解析】令X=O,可得＞=g;令＞=0,可得x=-6,可得找x（⑹|W1,b大0,解出即可.

【詳解】解：令x=0,可得y=，；令，=0,可得》=-6,

3gx（~b）<1,b力0,

解得-2QW2,且bwO.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線的截距意義、三角形的面積計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.（21-22高二上?安徽?期中）過(guò)點(diǎn)尸（1,2）且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4的直線的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】設(shè)直線的斜率為左（％=0）,得到丁=米-無(wú)+2,分別求得直線在坐標(biāo)軸上的截距，根據(jù)題意列出方程

即可求解.

【詳解】由題意知，所求直線的斜率一定存在，設(shè)直線的斜率為左（左/0）,

則直線方程為了-2=稔-1）,^y=kx-k+2,

k-2

令x=0,可得y=2-左；令y=0,可得x=1—,

k

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（l,2）且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4,

可得；|2-斗尸=4,整理得與2=8,

當(dāng)左<0時(shí)，可得-%二2匚=8,解得左=-2；

k

當(dāng)心0時(shí)，可得長(zhǎng)?=8,解得左=6-4亞或左=6+4行，

k

所以滿足條件的直線方程共有3條.

故選：C.

11.（22-23高二上?河南期中）已知直線I過(guò)點(diǎn)M（l,3）,且分別交兩直線了=xJ=t于x軸上方的48兩點(diǎn),

。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為（）

A.8B.9C.3際D.20

【答案】A

【分析】判斷直線斜率存在并設(shè)直線/的方程為》-3=左屏-1）,求出48兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，表示出三角形的面

積，并化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式即可求得答案.

【詳解】由題意知直線/的斜率一定存在，斜率設(shè)為比則直線/的方程為"3=小-1）,

2—kk一2

分別與v=x,y=-x聯(lián)立可得48兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)：q=片,4=片，

1-k上+1

故%0B=3閨“?西XJ=|X/B|=,42兩點(diǎn)都在x軸的上方,

2.I—KK+1

故-1〈左＜1,

.4(1一左)1+左..4(—)1+0,

=4+———-+——>4+2,

2+若左+1l-k左+1l-k'

當(dāng)且僅當(dāng)號(hào)二罟，即t時(shí)等號(hào)成立,

故△408面積的最小值為8,

故選：A.

12.（21-22高二下,江蘇南京,期中）直線/:土+:=1中，ae{1,3,5,7},be{2,4,6,8}.若/與坐標(biāo)軸圍成的三

ab

角形的面積不小于10,則這樣的直線的條數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.16

【答案】B

【解析】根據(jù)題意求出三角形的面積，找到滿足的條件，列舉即可解出.

【詳解】因?yàn)?。?/＞0,所以直線/與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S=ga6,于是:a6210nH）220,

22

若。=1時(shí)，沒(méi)有這樣的6滿足條件；若。=3時(shí)，6=8；若。=5時(shí)，be{4,6,8}；若a=7時(shí)，be{4,6,8）,

所以這樣的直線的條數(shù)為7.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的截距式方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

五.含參直線過(guò)定點(diǎn)（共2小題）

13.（23-24高二上?河北石家莊?期中）不論人為任何實(shí)數(shù)，直線（2"1卜-（4+3”-（＞11）=0恒過(guò)定點(diǎn)，若

直線加x+號(hào)=2過(guò)此定點(diǎn)其中加，〃是正實(shí)數(shù)，則±3+「1的最小值是（）

m2n

21272127

A.—-B.—C.—D.—

4422

【答案】B

【分析】根據(jù)題意求出加，〃的關(guān)系，然后利用基本不等式求出±3+；1的最小值.

m2n

【詳解】由直線（2左一1）%_化+3》_化_ll）=0n（2x_y_l欣_%_3y+U=0,

2x-y-l=O\x=2

得:-x-3j+11=0[y=3,即恒過(guò)點(diǎn)（2,3）,

因?yàn)橹本€加x+町=2過(guò)此定點(diǎn)，其中"2,〃是正實(shí)數(shù)

所以2加+3〃=2,

311(31。、1〃39〃加、

貝1一+丁=T—+丁(2m+37?)=-6+-+—+—,

m2n2\m2nJ212mnJ

2；1(+2,^'*：卜],當(dāng)且僅當(dāng)加=3〃=g時(shí)取等號(hào);

故選：B

14.（2023高二上?全國(guó)?期中）己知。，b滿足24+8=1,則直線"+3y+6=0必過(guò)定點(diǎn)（

【答案】D

【分析】利用已知條件消去6,令。的系數(shù)為0即可.

【詳解】由2a+b=l,得6=1-2%

代入直線方程ax+3y+b=0中，

得辦+3y+1-2a=0,即a(x-2)+3y+1=0,

[x-2=0\X=2

令a4記解得y=>'

[3y+l=0[~2

所以該直線必過(guò)定點(diǎn)0,

故選：D

六.點(diǎn)到直線距離最值型(共3小題)

15.(2023高二上?江蘇?期中)點(diǎn)尸(-2,-1)到直線/:(1+3彳卜+(1+義)尸2-4X=0(XeR)的距離最大時(shí)，

其最大值以及此時(shí)的直線/方程分別為()

A.而；x+y-2=QB.而；3x+y-4=0

C.1/13';3x+2y-5=0D.^/n；2x—3y+l=0

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，得到直線/過(guò)定點(diǎn)。。,1),若使得尸(-2,-1)到直線/的距離最大，則尸求得

23

k=~,得到號(hào)=-；，進(jìn)而得到直線方程.

PQ32

【詳角軍】由直線/:(l+34)x+(l+/l)y—2—4/l=0(4￡R),

可得化為％+y-2+4(3x+y-4)=0,

fx+y-2=0fx=1/、

聯(lián)立方程組*X+y_4=0,解得即直線/過(guò)定點(diǎn)。(U)，

若要尸(-2,-1)到直線/的距離最大，只需尸。1/,

此時(shí)點(diǎn)尸(-2,-1)到直線/的最大距離，即為線段尸。的長(zhǎng)度，可得忸。|=可，

1-(-1)2

又由直線尸。的斜率為kPQ=r)T,

T-2)3

3

因?yàn)槭?/,可得W-1,可得左=一］,

故此時(shí)直線/的方程為=即3x+2y-5=0,

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)2=；,上述直線/的方程能夠成立.

故選：C.

16.(23-24高二上?北京海淀?期中)點(diǎn)尸(-2,-1)到直線/:mx+y-w-l=0(meR)的距離最大時(shí)，直線/的方

程為()

A.2X-3歹一2=0B.3x+2y+8=0

C.3x+2〉—5=0D.2x—3y+1=0

【答案】c

【分析】由直線方程確定定點(diǎn)根據(jù)P0，/時(shí)點(diǎn)線距離最大，求出直線P。的斜率，進(jìn)而可得直線/

的斜率，進(jìn)而寫(xiě)出直線/的方程.

【詳解】由直線/：僅x+y-7〃-l=0（加eR）的方程整理可得：優(yōu)（x-l）+y-l=O,

可得直線/恒過(guò)定點(diǎn)所以⑥°-=1:-1=彳?，

當(dāng)尸。1/時(shí)，尸到直線/的距離最大，

33

可得直線/的斜率為-〃7=-],即機(jī)=],

所以直線/的方程為3x+2尸3-2=0,

即3x+2y-5=0.

故選：C.

17.（23-24高二上,全國(guó),期中）若動(dòng)點(diǎn)工（匹,％）,以％,%）分別在直線/|：》+〉-7=0和/2：%+匕5=0上移動(dòng),

則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為（）

A.372B.2C.V2D.4

【答案】A

【分析】由題意，知點(diǎn)“在直線//與4之間且與兩直線距離相等的直線上，設(shè)該直線方程為x+v+c=o,

然后利用兩平行線間的距離公式列方程可求出。的值，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果.

【詳解】由題意，知點(diǎn)”在直線4與4之間且與兩直線距離相等的直線上，

設(shè)該直線方程為x+y+c=。，則??6?,即c=-6,

??.點(diǎn)M在直線x+y-6=0上，

???點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值就是原點(diǎn)到直線x+y-6=0的距離，即號(hào)=3后.

故選：A.

七.平行線距離最值范圍（共2小題）

18.（22-23高二上?四川成都?期中）已知A,5兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1,0）,（-1,2）,若兩平行直線4，%分

別過(guò)點(diǎn)）,B,則4，乙間的距離的最大值為（）

A.1B.V2C.2D.2A/2

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線之間的距離轉(zhuǎn)化為一直線上的點(diǎn)到平行線之間的距離，可結(jié)合圖形分析4,4間的距離

的最大值為M卻，即可求得.

【詳解】解：由題可知/（1,0）,8（-1,2）,如圖，兩平行直線乙，4分別過(guò)點(diǎn)/,B,

因?yàn)樗孕￠g的距離即點(diǎn)A到直線4的距離〃，由圖可知，卻

當(dāng)4，4垂直時(shí)，4，4間的距離取最大值，即最大值為|/同，

又由兩點(diǎn)間的距離公式可知，\AB\=7（1+1）2+22=272.

故選：D.

19.（21-22高二上?黑龍江哈爾濱?期中）夾在兩平行直線4:3x-4y=0與4：3x-4y-20=0之間的圓的最大

面積等于

A.2/B.4/C.8乃D.12萬(wàn)

【答案】B

【解析】夾在兩平行直線之間的面積最大的圓與這兩條直線都相切，求出直徑即可得到面積

【詳解】?jī)善叫兄本€4：3%-句，=0與4：3*-4了-20=0之間的距離：

夾在兩平行直線4:3x-4〉=0與4：3x-4y-20=。之間的圓半徑最大值為2,

所以該圓的面積為4〃.

故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查求兩條平行直線之間的距離，關(guān)鍵在于熟記距離公式正確求解.

八.對(duì)稱：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱（共2小題）

20.（23-24高二上?安徽?期中）已知在ZUBC中，頂點(diǎn)工。,1）,點(diǎn)2在直線公-了+2=0上，點(diǎn)。在x軸上,

則△4BC的周長(zhǎng)的最小值為（）

A.45B.275C.475D.—

2

【答案】B

【分析】利用對(duì)稱將三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為四點(diǎn)共線問(wèn)題，求出兩點(diǎn)之間距離即可.

【詳解】設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線/比->+2=。的對(duì)稱點(diǎn)為4(玉,%)，點(diǎn)/(1』)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為4(x2,%)，連

接44交/于2,交X軸于C,

再一1

則此時(shí)△N8C的周長(zhǎng)取最小值，且最小值為|44|，與4(U)關(guān)于直線/對(duì)稱,

上一旦里+2=0

22

再二［,；.4(-1,3),易求得闔=26，即△ABC周長(zhǎng)的最小值為26.

解得

h=3

故選：B.

21.(22-23高二上?江蘇南京期中)已知△N2C的一條內(nèi)角平分線。的方程為x+y-2=0,兩個(gè)頂點(diǎn)為

4(1,2)、5(-1,-1),則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

1_7]_5

A.B.

353353

C.(-3,5)D.(3,-1)

【答案】B

【分析】計(jì)算出點(diǎn)A關(guān)于直線x+>-2=。的對(duì)稱點(diǎn)4的坐標(biāo)，可求得直線的方程，聯(lián)立直線/H、CD

的方程，可得出點(diǎn)C的坐標(biāo).

【詳解】設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x+y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)為(a,6),

線段44'的中點(diǎn)為,等J,貝U點(diǎn)E在直線》+了-2=0上,

所以，?+等一2=0,即。+6=1,①

因?yàn)橹本€NH與直線x+y_2=0垂直，直線x+y_2=0的斜率為T,貝②

a-\

聯(lián)立①②可得a=o,6=1,即點(diǎn)4（0,1）,

-1-1

kA,B=--=2,所以，直線的方程為歹=2x+l,

—1—(J

1

x=—

y=2x+l3

由題意可知，點(diǎn)。為直線48、CQ的交點(diǎn)，聯(lián)立解得

x+>—2=05

y=-

3

因此，點(diǎn)。的坐標(biāo)為

九.對(duì)稱：光學(xué)性質(zhì)（共2小題）

22.（23-24高二上?福建三明?期中）已知4（-3,0）,3（0,3）,從點(diǎn)尸（-1,0）射出的光線經(jīng)y軸反射到直線45

上，又經(jīng)過(guò)直線他反射到尸點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程為（）

A.2V10B.6C.275D.2遙

【答案】C

【分析】利用光線反射定理結(jié)合點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)即可求得光線所經(jīng)過(guò)的路程.

【詳解】直線的方程為x-V+3=0,尸點(diǎn)關(guān)于），軸的對(duì)稱點(diǎn)為5（1,0）,

設(shè)點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為尸（招了）,

Zz2=_i

X1，解之得x=-3

則-n，則尸（一3,4）

巴-匯+3=。y=4

I22

設(shè)點(diǎn)P（T,0）射出的光線交y軸于點(diǎn)C,交直線48于點(diǎn)。，則光線所經(jīng)過(guò)的路程為

22

\PC\+\CD\+\DP\=\EC\+\CD\+|DP|=\ED\+\DP\=|FP|=7(-3+1)+(4-0)=275

y>

故選：c

zPO\EX

23.（23-24高二上?安徽?期中）如圖，已知某光線從點(diǎn)4（-2,0）射出，經(jīng)過(guò)直線了=》上的點(diǎn)3后第一次反射,

此反射光線經(jīng)過(guò)直線x=4上的點(diǎn)C后再次反射，該反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)。（2,10）,則直線8c的斜率為（）

【答案】D

【分析】分別求出點(diǎn)2（-2,0）關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為4以及點(diǎn)。（2,10）關(guān)于X=4的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后根

據(jù)光的反射原理，即可得出答案.

S=Trx=0

【詳解】設(shè)點(diǎn)2（-2,0）關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為4國(guó),%），貝第西+2,解得為二所以，

必+0_再一2

4（0,-2）.

又點(diǎn)。（2,10）關(guān)于X=4的對(duì)稱點(diǎn)為4（6,10）,根據(jù)光的反射原理，可知點(diǎn)4（0,-2）與點(diǎn)A（6,10）,均在直線

3c上，所以左二=10一（-2）=2.故選：D.

十.對(duì)稱：最小值（共2小題）

24.（23-24高二上?河南洛陽(yáng)?期中）已知直線3x+2y-6=0分別與軸交于43兩點(diǎn)，若直線x+y-l=O

上存在一點(diǎn)c,使|C4|+|C3|最小，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

2]_6_￡44￡

A.B.C.D.

3535，-53，-3555

【答案】A

【分析】作點(diǎn)8關(guān)于直線x+y-l=O對(duì)稱的點(diǎn)片，連接片/交直線x+y_l=O于點(diǎn)C,求出C坐標(biāo)即可.

【詳解】由題直線3x+2y-6=0分別與2軸交于兩點(diǎn)，則/（2,0）,3（0,3）,

%-3=1

x0——2/、

設(shè)點(diǎn)8關(guān)于直線x+V-1=0對(duì)稱的點(diǎn)為片（%,%）,貝卜/n°1，所以與(一2,1),

^LA±2-I7o

[2+2=0

2

11x=—

則直線/4：y=?(x-2)=尸-1+1,聯(lián)立，V=——x+—3

42A

1

x+y-1=0y=-

3

2J_

所以。.故選：A

353

25.（23-24高二上?四川達(dá)州?期中）已知直線/：無(wú)一2y-8=0和點(diǎn)/（-2,0）,點(diǎn)8（2,4）,點(diǎn)尸是直線/上一

動(dòng)點(diǎn),當(dāng)歸旬+1尸目最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（)

A.(-2,-5)B.（0，-4）

C.(2,-3)D.（4，-2）

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件求出/關(guān)于直線x-2y-8=0的對(duì)稱點(diǎn)/坐標(biāo)，求出直線48方程，與已知直線方程

聯(lián)立即可求解.

【詳解】依題意，設(shè)/（TO）關(guān)于直線》-2了-8=0的對(duì)稱點(diǎn)/（根,〃）,

n-0

=-2

m+2m=2

所以,解得,所以H(2,-8),

m-2〃+0n=-8

-2x-8=0

22

由直線的對(duì)稱性知，|尸川=|尸旬，則1Pzi+|尸山=|尸川+|尸92|/劃,

當(dāng)且僅當(dāng)尸,4,8三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，即歸d+|尸卻取到最小,

/、[x-2y-8=0Ix=2/、

由4(2,-8)及8(2,4)知直線48的方程為x=2,聯(lián)立；,解得,即尸(2,-3).

IX=2Ijv=—J

所以|「/|+|尸目最小時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（2,-3）.故選：C

十一.對(duì)稱：兩點(diǎn)距離公式幾何意義（共3小題）

26.（23-24高二上?河北?期中）已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x-y+2=。，則后可丁+6豆方二不不癡的

最小值為（）

A.3而B(niǎo).10+V13C.108D.117

【答案】A

【分析】將，@-9）2+F+1/+/一4工一4夕+8轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)（灰力至1尸（9,0）,。（2,2）兩點(diǎn)距離之和，再結(jié)合

直線的對(duì)稱問(wèn)題，即可解決距離和的最小值.

【詳解】7（x-9）2+y2+7x2+y2-4x-4y+8=^x-9）2+y2+7（x-2）2+（y-2）2

??.該式表示直線/：2x-y+2=0上一點(diǎn)到P（9,0）,。（2,2）兩點(diǎn)距離之和的最小值.

易知P,。兩點(diǎn)在/的同一側(cè)，

設(shè)點(diǎn)尸關(guān)于/對(duì)稱的點(diǎn)尸’（%,%）,

]AZ2=_1

則％,解得

-92「PE，

lxXQ+9_A+0+2=0

I22

+7X2+/-4X-4J；+8>\P'Q\=J（-7-2）+（8_2『=3萬(wàn).

故選：A.

27.(23-24高二上?河南新鄉(xiāng)?期中),5x2-4x+l+j5/+4x+4的最小值為()

A.B.3C.D.2V2

55

【答案】C

【分析】根據(jù)題意將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為V=2x上一點(diǎn)尸到/(0,1),2(-2,0)兩點(diǎn)的距離之和的最小值，可求出點(diǎn)

8(-2,0)關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為,可得答案.

【詳解】因?yàn)閥j5x2-4x+l+V5x2+4x+4=yjx2+(2x-l)~+J(x+2)~+(2x)~

表示直線y=2x上一點(diǎn)尸到/(0,1),8(-2,0)兩點(diǎn)的距離之和.

二一6

j21x=—

Y+25

設(shè)點(diǎn)5(-2,0)關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為c(x,y),所以＜’,解得

，2占8

122

6_82|2V205

即8

C，-,所以盧H+歸理=|尸H+|PC4|/C|=0--I+11+-

5555

即V5x2-4X+1++4x+4的最小值為.

28.(23-24高二上?江蘇鹽城期中)已知工+歹=0,則后行二亞W0+的最小值為()

A.275B.V15C.V17D.272

【答案】C

【分析】根據(jù)目標(biāo)式的幾何意義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)/(U)和8(3,0)的距離之和的最小值問(wèn)題,

然后求出點(diǎn)A關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)為4(%,%),結(jié)合圖形可解.

【詳解】因?yàn)?+/-2苫-2尸2+加-3)"="了+壯-球+J(x-3『+y2,

所以，目標(biāo)式表示動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)/(1,1)和8(3,0)的距離之和.

點(diǎn)P(x,y)在直線/：x+y=0上，設(shè)點(diǎn)/關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)為4卜0，%),

9X（-I）=T

x°T-

則解得天=-1,盟=-1,由對(duì)稱性可知，|尸4|+網(wǎng)=|尸+附N卻="2+1=如,

%+1?%+1_O

22

當(dāng)H,P,3三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,

所以，舊+/-2x-2y+2+J(x-3'+/的最小值為炳.故選:C

十二.對(duì)稱：將軍飲馬型(共2小題)

29.(22-23高二上?江西景德鎮(zhèn)?期中)唐代詩(shī)人李頑的詩(shī)《古從軍行》：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交

河"，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題一一"將軍飲馬"問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先

到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為

5(-1,0),若將軍從山腳下的點(diǎn)N。,。)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+2》=4,則"將軍飲馬"的最短總路

程為()

_V13516

A.4B.5L.-------D.

5y

【答案】A

【分析】作圖，求出點(diǎn)A關(guān)于直線x+2y=4對(duì)稱的點(diǎn)4,再由兩點(diǎn)間的距離公式即可得解.

【詳解】如圖,設(shè)點(diǎn)/(1,0)關(guān)于直線x+2歹=4對(duì)稱的點(diǎn)為/(26),

1+Q_0+b11

------+2x-------a=-?------------------——

解得，，則“將軍飲馬”的最短總路程為48=/-1-1)2+(0-乜)2=4.

b--'

I5

故選：A.

30.（22-23高二上?河北石家莊?期中）唐代詩(shī)人李頑的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃

昏飲馬傍交河，"詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題一一"將軍飲馬"問(wèn)題，即將軍在觀望火之后從山腳下某處

出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路最短？試求4r7T+&-2X+5最小（）

A.V5B.Jl0C.1+yfsD.2+5/2

【答案】B

【分析】將已知變形設(shè)出“0,1）,2（1,2）,則正1+J--2x+5為點(diǎn)S",0）分別到點(diǎn)*0,1）,。（1,2）的

距離之和，則|PS|+|QS|2|PQ|,即可根據(jù)兩點(diǎn)間距離計(jì)算得出答案.

［詳解］+&一2x+5,=7（^-0）2+（0-1）2+7（X-1）2+（0-2）2,

設(shè)尸（0,1）,S（x,0）,則行7T+VZ與E為點(diǎn)s（x,o）分別到點(diǎn)尸（0,1）,。（1,2）的距離之和,

點(diǎn)尸關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為P（0,-1）,連接尸'。,

嗎

2-夕Q

則|PS|+|QS|>\P'Q\=^(1-0)2+[2-(-1)]2=Vio，

0；s1X

I

P'-1

當(dāng)且僅當(dāng)P,S,。三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故選：B.

十三.對(duì)稱：疊紙型（共2小題）

12-6

31.（23-24高二上?河北石家莊?期中）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)（。,0）和點(diǎn)重合，點(diǎn)（7,3）和

T5T

點(diǎn)（加㈤重合，則加+〃=（）

34362832

A.—B.—C.—D.—

5533

【答案】A

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于折線對(duì)稱，先求出折線方程，再根據(jù)(7,3)與(私77)關(guān)于折線對(duì)稱求出加，〃即可.

12-6

【詳解】設(shè)點(diǎn)。(0,0)和尸，線段OP中點(diǎn)為點(diǎn)X,折線即為線段。尸的中垂線,

則°+丁6,°3,所以直線OP的斜率為不!—=-"則折線斜率為2,

F藍(lán)^^一35；(02

所以折線方程為：J=2k-13

《ny=2x-3,由題知(7,3)與(加,〃)關(guān)于折線對(duì)稱,

n—3_1_

m-722?+m=13

則兩點(diǎn)中點(diǎn)在直線上且兩點(diǎn)連線與直線垂直，所以r化簡(jiǎn)得

n+3、m+7n-2m=5