2024-2025學(xué)年北師大版高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第一章 直線與圓 單元測(cè)試（含解析）

第一章直線與圓單元測(cè)試9.已知直線/：的-丁一機(jī)=0(機(jī)61<)與圓。:％2+》2=/&>0)交于人，B兩點(diǎn)，點(diǎn)。為線段A5的中點(diǎn)，且點(diǎn)

T的坐標(biāo)為(3,0).當(dāng)加=1時(shí)，卜內(nèi)，則()

一、單選題

A.r=2B.|用的最小值為2檔

I.若直線/斜率為比向量用在直線/上，且向量加在，.=(1,0)方向上的投影的模是其在j=(o,l)方向上投影

C.存在點(diǎn)A,使/ATO=45。D.存在加，使。。?。丁=一：

的模的2倍，則該直線的斜率上的值為()

10.下列說(shuō)法正確的是()

A.2B.-

2

A.已知直線/過(guò)點(diǎn)尸(2,1),且在％軸上截距等于y軸上截距2倍，則直線/的方程為x+2y-4=0

C.±2D.+-

2B.直線％+1=0沒(méi)有傾斜角

2.已知圓M：Y+(,+1)2=］與圓N：(%_+(y-=1關(guān)于直線/對(duì)稱，貝?。?的方程為()

C.acR,bwR,“直線以+2》-1=0與直線(〃+1)%-2到+1=0垂直”是“〃=3”的必要不充分條件

A.x-2y-l=0B.x-2y+l=0

D.已知直線/的斜率上滿足-1?左<1,則它的傾斜角a的取值范圍是o?<45或135Wa<180

C.x+2y-3=0D.2x+y-3=0

11.已知直線/：%+y2a=0在九軸和y軸上的截距相等，則。的值可以是()

3.已知直線2%-y+r=0與圓C：(x+lp+(y-3)2=產(chǎn)(尸,。)交于4,B兩點(diǎn),且線段AB關(guān)于圓心對(duì)稱，

A.0B.1C.-1D.-2.

則r=()三、填空題

12.已知斜率均為負(fù)的直線/：樂(lè)+ay=0與直線加:奴+2勿+。=0平行，則兩條直線之間的距離為_(kāi)_.

A.1B.2C.4D.5

13.已知圓C:%2+(y_2)2=i和圓。：％2+,2一6%一10\+30=0,M、N分別是圓C、。上的動(dòng)點(diǎn)，尸為x軸上

4.已知點(diǎn)A(0,l),8(1,0),C(f,0),點(diǎn)M是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，若41421MBi恒成立,則最小正整數(shù)方=()

的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值是____.

A.1B.2C.3D.4

5.已知定點(diǎn)尸(-2,0)和直線/:(3+㈤％+4y—3+3m=0(根eR),則點(diǎn)尸到直線/的距離d的最大值為()14.過(guò)點(diǎn)(-1,5),且與直線;+與=1垂直的直線方程是.

四、解答題

A.2&B.而C.2#>D.2石

15.圓/+》2=8內(nèi)有一點(diǎn)尸(一1,2),A3為過(guò)點(diǎn)尸且傾斜角為a的弦.

6.若點(diǎn)尸在直線3x+4y-12=0上，點(diǎn)。在圓了?+產(chǎn)=1上，則線段尸。長(zhǎng)度的最小值為()

(1)當(dāng)［=與37r時(shí)，求的長(zhǎng)；

A.2B.1C."D.必4

5555(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)尸平分時(shí)，寫出直線的方程.

7.萊莫恩(Lemoine)定理指出：過(guò)VABC的三個(gè)頂點(diǎn)A民。作它的外接圓的切線，分別和3C,C4,AB所在直

線交于點(diǎn)P，Q，R,則尸，。小三點(diǎn)在同一條直線上，這條直線被稱為三角形的Lemoine線.在平面直角坐標(biāo)系％。y16.圓。過(guò)(0,3)、(4,5)兩點(diǎn)，且圓心。在直線X—y+8=0上.

中，若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,l),3(2,0),C(0,Y),則該三角形的Lemoine線的方程為()

⑴求圓。的方程；

A.2x—3y—2=0B.2x+3y—8=0(2)若直線/在％軸上的截距是y軸上的截距的2倍，且被圓C截得的弦長(zhǎng)為6,求直線/的方程.

C.3%+2y-22=0D.2x-3y-32=0

8.直線/過(guò)點(diǎn)4-1,1),8(2,4),則直線/的方程為()17.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與點(diǎn)尸(3,0)的距離是它與原點(diǎn)O的距離的2倍.

A.y=x-2B.y=-x-2C.y=-x+2D.y=x+2⑴求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；

二、多選題⑵求％7的最小值；

⑶經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0的兩條互相垂直的直線分別與軌跡后相交于A,8兩點(diǎn)和c,O兩點(diǎn)，求四邊形ACa）的面

積S的最大值.

參考答案因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在/上，所以

,_］=_<(尤_1),BPx+2y-3=0.

1.D

【分析】設(shè)出〃z=(a,b),求出向量沉在故選：C.

3.D

i=(l,O)和_/=(0,1)方向上的投影的模，從而

【分析】先求得圓心C的坐標(biāo)，進(jìn)而列出關(guān)

a

得到K=2,求出直線斜率.于「的方程，解之即可求得廠的值.

b

【詳解】圓C：(x+l)2+(y—3)2=/的圓心

【詳解】設(shè)機(jī)=(”,6),

C(-l,3),

則向量而在i=(LO)方向上的投影的模為由圓心C(-l,3)在直線2x-y+r=0上，可得

-2-3+r=0,

解之得r=5.

向量加在)=(0,1)方向上的投影的模為故選：D

4.D

【分析】先設(shè)出M(x,y),得到AM的方程為：

x+ty-t=O,由|M4|W21MBi得到圓的方程,

a

則7=2,

b結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，求出，的最小值

故該直線的斜率左=2b=±19即可.

a2

【詳解】設(shè)M(x,y),由“在AC上，得：

故選：D

Y

一+y=l,BPx+ty-t=G,

2.Ct

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求其中點(diǎn)坐標(biāo)以由|阿得：

及斜率，根據(jù)對(duì)稱軸與兩對(duì)稱點(diǎn)連接線段的

x2+(y_l)244［(x—l『+y］，化簡(jiǎn)得

關(guān)系，可得答案.

(一)"+八|，

【詳解】由題意得M(0,-1),N(2,3),則

依題意，線段4W與圓(x-§2+(y+；)2=|,

跖V的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(1」)，

至多有一個(gè)公共點(diǎn)，

直線的斜率3N===2.

2—U故［；'一］到直線的距離不小于4，即

由圓”與圓N關(guān)于/對(duì)稱，得/的斜率

Ind>E，解得：出2+6或”2-6,因?yàn)閳A心到直線3x+4y-12=0的距離為

f是使卜恒成立的最小正整數(shù)，127

所以線段P。長(zhǎng)度的最小值為

由于有<

3<2+4,.■.t=4故選：B

故選：D7.B

【分析】待定系數(shù)法求出外接圓方程，從而

得到外接圓在AC處的切線方程，進(jìn)而求出

尸,R的坐標(biāo)，得到答案.

【詳解】VABC的外接圓設(shè)為

x2+y2+Dx+Ey+F-0,

1+E+F=QFD=0

解得<

【分析】先求得直線/所過(guò)定點(diǎn)，然后根據(jù)<4+2D+F=0,E=3,

16-4E+F=0[F=-4

兩點(diǎn)間的距離公式求得正確答案.

【詳解】直線夕卜接圓方程為x?+>2+3y-4=0,即

Z:（3+m）x+4^-3+3m=0（mGR）,

即加（x+3）+3x+4y—3=0,由

易知外接圓在A處切線方程為7=1,

fx+3=04=—3

AQ解得《&'又比弓+乏=令得，

[3x+4y—3=0[y=31,y=lx=|,

2—42

所以直線/過(guò)定點(diǎn)Q（-3,3）,

所以d的最大值為

在C(0,-4)處切線方程為y=T,

\PQ\=7（-2+3）2+（0-3）2=M.

X

XAB:-+y=1,令y=-4得x=10,

故選：B

??.R(IOT),

6.B

【分析】求出圓的圓心和半徑，判斷直線與則三角形的Lemoine線的方程為

圓的位置關(guān)系，則線段P0長(zhǎng)度的最小值為y+4_x-10

174=5-：,即2x+3y-8=0

-----1U

圓心到直線的距離減去半徑即可.2

【詳解】圓尤2+^=1的圓心為。（0,0）,半故選：B.

8.D

徑r=1,

【分析】根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程運(yùn)算求解./:y=/n(x—l)OeR)過(guò)定點(diǎn)C(1,O),

【詳解】因?yàn)?1/2,174,則線/的方程為

則|OQ「+|QC「=k，即

整理得y=x+2,

4-1-2-(-1)x2+y2+(x-l)2+y2=l2,

所以直線/的方程為y=x+2.

化簡(jiǎn)為+/=1,為點(diǎn)Q的軌跡方

故選：D.

9.AD程，

【分析】利用圓的弦長(zhǎng)公式判斷A、B；假若QO-QT=-；,則一尤?（3-x）+y2=-：,

設(shè)存在點(diǎn)A,求出直線AT方程，判斷與圓

艮|]―尤?（3_彳）+尤_彳2=_g,得無(wú)=*e[O,l],

的位置關(guān)系，判斷C,求出點(diǎn)。的軌跡方程,

故存在存在小，使QO-QT=-4，D正確.

可判斷D.4

【詳解】當(dāng)加=1時(shí)，直線/：x-y-l=O,故選：AD.

圓心。到直線的距離〃=號(hào)=爭(zhēng)10.CD

【分析】根據(jù)截距的概念可判定A,根據(jù)傾

又|AB\=2^r2—d2=2Jr?_；=^/14,解得

斜角的定義可判定B,利用兩直線垂直的位

丫=2,A正確；

置關(guān)系可判定C,根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系

由上可知圓。:無(wú)之+丁=4,

可判定D.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸的截

圓心。到直線的距禺d=/=

Vm2+1距都是。時(shí)，顯然直線方程為y=；x,故A

則

錯(cuò)誤；

\AB\=2^lr2-d2=2=2」3T—Y—>叫印8,直線x+l=0傾斜角是90,故B

Vm2+1

,B錯(cuò)誤;錯(cuò)誤;

若ZATO=45°,則直線AT斜率為-1,對(duì)于C,若直線G+2y-l=0與直線

從而直線AT：x+y-3=0,（a+l）x-2oy+l=0垂直，貝U有

此時(shí)圓心。到直線的距離

+1）-4a=0="a=0或q=3,所以不滿

|-3|_3A/2

cl-——----->2—rj

02足充分性，

則直線AT與圓。相離，即不存在點(diǎn)A,使

反之a(chǎn)=3時(shí)，此時(shí)兩直線垂直，滿足必要

ZATO=45°,C錯(cuò)誤；

性，故C正確；

設(shè)點(diǎn)。（羽田，因?yàn)橹本€

對(duì)于D,由直線的斜率左與傾斜角的關(guān)系知:

滿足-1W左<1的直線，【分析1先得到+|7W|>|pq+附-3,

則它的傾斜角a的取值范圍是0<a<45

當(dāng)且僅當(dāng)P，M,C三點(diǎn)共線，且尸,三點(diǎn)

或135<tz<180，故D正確.

共線時(shí)，等號(hào)成立，設(shè)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)

故選：CD

C(0,-2),求出|尸。|+|尸。|的最小值,進(jìn)而

11.ABCD

得到的最小值.

【分析】求出兩坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)而判斷|PM|+|PN|

a的可能取值.【詳解】C：Y+(y_2)2=l的圓心為C(0,2),

【詳解】令>=。，得到直線在x軸上的截距

半徑為1，

是2+a,

Z):x2+y2-6x-10y+30=0=>(%-3)2+(j；-5)2=4

令x=0,得到直線在y軸上的截距為2+a,

,圓心為。(3,5),半徑為2,

不論。為何值，直線/在無(wú)軸和y軸上的

截距總相等.結(jié)合兩圓位置可得，

故選：ABCD.\PM\+\PN\>\PC\-\CM\+\PE\-\DN\^\PC\+\PD\-3

12.^/-V3

33

【分析】利用斜率為負(fù)的兩直線平行，找到當(dāng)且僅當(dāng)P,M,C三點(diǎn)共線，且P,N,O三點(diǎn)

a=?，表示出直線，利用兩平行線間的共線時(shí)，等號(hào)成立，

距離公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)樾甭示鶠樨?fù)的直線

l:bx+ay=O與直線m:ax+2by+a=0平行,

所以同號(hào)，且2解得：

a2ba

a-y/2b，

所以直線/:x+0y=O與直線設(shè)C關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)C(O,-2)，連接CD,

與軸交于點(diǎn)此點(diǎn)即為所求，

m:x+y/2y+1=0,xP,

此時(shí)CD=J(3-+(5+2『二而,

所以這兩條直線之間的距離為

故病即為PC+1尸口的最小值，

故|PM|+|PN|的最小值為屈-3

故答案為：叵.

3

故答案為：屈-3

13.病-3

14.%—3y+16=0（2）因?yàn)橄褹3被尸平分，所以O(shè)P_LAB,

2-01

【分析】根據(jù)垂直求出斜率，再由點(diǎn)斜式方又因?yàn)?=—「不=-2,所以勉=彳，

—1—UZ

程可得答案.

所以AB:y—2=；卜一（一1））,即

【詳解】直線;+）=1的斜截式為

26AB:%—2y+5=0.

y=—3x+6,

故斜率是-3,所以所求直線的斜率是《，

所以所求直線方程是y-5=g（x+l）,

gpx-3y+16=0.

故答案為：%-3y+16=0.

15.（1）730

⑵x-2y+5=0

【分析】（1）根據(jù)傾斜角以及P（T2）求解

（2）島±y=0,尤+2y-16-46=0,

出直線A3的方程，再根據(jù)半徑、圓心到直

X+2J-16+4A/5=0

線的距離、半弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形求解出

【分析】（1）先求得兩點(diǎn)（0,3）,（4,5）的中

垂線方程，再與》_y+8=0聯(lián)立，求得圓心

（2）根據(jù)條件判斷出OP，AB,結(jié)合kAB和

即可；

P點(diǎn)坐標(biāo)可求直線AB的方程.

（2）先由直線/且被圓C截得的弦長(zhǎng)為6,

【詳解】（1）圓V+y2=8的圓心。（0,0）,

求得圓C到直線/的距離，再分截距為零和

半徑r=20，不為零求解.

3兀

因?yàn)椤??,所以直線AB的斜率【詳解】（1）解：兩點(diǎn)（0,3）,（4,5）的中垂

4

73兀1線方程為：2x+y-8=0,

^AB=tan-=-l,

聯(lián)立x-y+8=0,解得圓心C（0,8）,

所以—2=即

則r=5,

AB:x+y—l=O9

故圓C的方程為：%2+（y-8）2=25；

所以圓心。到A3的距離d==

Vl+l2

所以=2介一/=25二］=屈；（2）由直線/且被圓C截得的弦長(zhǎng)為6,

故圓心C到直線I的距離為d=7F工7=4，

A.若直線過(guò)原點(diǎn)，可知直線的斜率存在，2222

7(x-3)+y=2yjx+y,

設(shè)直線為：y=kx,

化簡(jiǎn)得尤2+/+2尤一3=0,即

"=三^=4=左=±近，此時(shí)直線/的方

J1+左2

(x+l)2+,2=4,

程為：A/3X±y=0

所以動(dòng)點(diǎn)”的軌跡石的方程為：

A.若直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線為：

(x+l)2+y2=4；

-----PJ=1=>x+2y—2a=0,

2aa(2)法一：設(shè)x-y=f,得卜=%-/,

|16-2?|r~

d1=—/=4=>a=8±2v5,

代入軌跡E的方程消去，并整理得

此時(shí)直線/的方程為：x+2y-16-4退=0,2廠+2(1-r)x+(廠-3)=0,

x+2y-16+4>/5=0/.A=4(l-r)2-8(r-3)>0,即

綜上：直線/的方程為：氐土y=0,〃+2/-7<0,

解得-l-2j^V/V-l+2及，故x—y的最小

x+2y-