2024-2025學年高一數(shù)學同步試題（人教A版2019）4.3 對數(shù)（九大題型）

4.3對數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：對數(shù)的定義 2題型二：指數(shù)式與對數(shù)式互化及其應用 3題型三：利用對數(shù)恒等式化簡求值 5題型四：積、商、冪的對數(shù) 5題型五：一類與對數(shù)有關方程的求解問題 6題型六：對數(shù)運算法則的應用 7題型七：換底公式的運用 8題型八：由已知對數(shù)求解未知對數(shù)式 9題型九：證明常見的對數(shù)恒等式 10【重難點集訓】 11【高考真題】 18【題型歸納】題型一：對數(shù)的定義1．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）使對數(shù)有意義的的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】使對數(shù)有意義的需滿足,解得．故選B．2．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）在中，實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由對數(shù)的定義知，解得或.故選C．3．（2024·高一·全國·隨堂練習）對數(shù)中實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為對數(shù)式的底數(shù)為大于零不等于1的實數(shù)，真數(shù)為正實數(shù)，所以有，故選：C4．（2024·高一·貴州貴陽·階段練習）使式子有意義的的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．，【答案】C【解析】由式子有意義，則滿足，解得且.故選：C.題型二：指數(shù)式與對數(shù)式互化及其應用5．（2024·高一·全國·專題練習）將下列指數(shù)式、對數(shù)式互化.(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）由，得；（2）由，得；（3）由，得；（4）由，得.6．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）將下列指數(shù)式與對數(shù)式進行互化．(1)(2)(3).【解析】（1）由可得.（2）由，可得.（3）由，可得.7．（2024·高一·江蘇·假期作業(yè)）將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化．(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）因為，所以；（2）因為，所以；（3）因為，所以；（4）因為，所以.8．（2024·高一·全國·專題練習）將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)；(6)；(7)；(8)．(9)；(10)；(11)；(12)．【解析】（1）因為，所以；（2）因為，所以；（3）因為，所以；（4）因為，所以.（5），可得.（6），可得.（7），可得.（8），可得.（9）（10）（11）（12）題型三：利用對數(shù)恒等式化簡求值9．（2024·貴州·遵義四中高一期末）______．【答案】【解析】．故答案為：．10．求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【解析】（1）由題意可得：.（2）由題意可得：.（3）由題意可得：原式.題型四：積、商、冪的對數(shù)11．（2024·高一·江蘇泰州·階段練習）求值：．【答案】216【解析】設，則，，故，因此，故，因此，故答案為：21612．（2024·高一·浙江杭州·期末）.【答案】9【解析】原式可化為.故答案為：913．計算：.【答案】9【解析】由題意可得：.故答案為：9.14．（2024·高一·江蘇淮安·學業(yè)考試）計算【答案】【解析】.故答案為：.15．（2024·高一·江蘇南通·階段練習）計算：．【答案】11【解析】.故答案為：題型五：一類與對數(shù)有關方程的求解問題16．（2024·高一·上?！て谀┓匠痰慕?【答案】11【解析】因為，所以，解得，故答案為：11.17．（2024·高一·江西贛州·階段練習）方程：的解是.【答案】【解析】因為，即，所以，即，解得，則，或無實根.故答案為：18．（2024·高一·廣東江門·階段練習）甲、乙兩人解關于x的方程，甲寫錯了常數(shù)b，得到的根為或，乙寫錯了常數(shù)c，得到的根為或，則原方程的根是.【答案】或【解析】令，則方程轉化為，即.由題意，甲寫錯了常數(shù)b，得到的根為或，由韋達定理.乙寫錯了常數(shù)c，得到的根為或，由韋達定理.故原方程為，即，故解得或.故答案為：或19．（2024·高一·江蘇·專題練習）方程的實數(shù)解為.【答案】【解析】由，得，所以，即，即，所以或（舍去），所以.故答案為：.題型六：對數(shù)運算法則的應用20．求下列各式的值：(1)；(2)（a、b、c均為不等于1的正數(shù)）；(3)；(4).【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.21．（2024·高一·海南?？凇るA段練習）求下列各式的值(1)(2)【解析】（1）．（2）．題型七：換底公式的運用22．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）．【答案】1【解析】．故答案為：1．23．（2024·高一·上海·隨堂練習）計算下列各式的值．；；．【答案】262【解析】第一空：；第二空：；第三空：故答案為：2；6；224．（2024·全國·高考真題）已知且，則．【答案】64【解析】由題，整理得，或，又，所以，故故答案為：64.25．（2024·高一·云南昆明·期中）若，則.【答案】1【解析】因為，所以，所以.故答案為：1.題型八：由已知對數(shù)求解未知對數(shù)式26．（2024·高一·天津·階段練習），，試用a，b表示（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，則.故選：B27．（2024·高一·江蘇鹽城·期末）若，，則用，表示（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由對數(shù)運算性質(zhì)可得，故選：D.28．（2024·高一·江蘇宿遷·期末）已知，，用a，b表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，.故選：C.題型九：證明常見的對數(shù)恒等式29．（2024·高一·全國·隨堂練習）已知，求證：．【解析】設，可知且，則，可得，所以，即.30．（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）已知在中，，角A，B，C所對應的三條邊長分別為a，b，c．求證：．【解析】證明：在中，因為，所以，因為，所以.31．（2024·高一·江蘇·假期作業(yè)）已知(，且；，且)，試探究a與b的關系，并給出證明．【解析】或.證明如下：設，則，所以，因為，且，所以，即.當時，，所以；當時，，所以.所以或.【重難點集訓】1．17世紀初，約翰?納皮爾為了簡化計算而發(fā)明了對數(shù).對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學史上的重大事件，恩格斯曾經(jīng)把笛卡爾的坐標系?納皮爾的對數(shù)?牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為17世紀的三大數(shù)學發(fā)明.我們知道，任何一個正實數(shù)可以表示成的形式，這便是科學記數(shù)法，若兩邊取常用對數(shù)，則有.現(xiàn)給出部分常用對數(shù)值（如下表），則可以估計的最高位的數(shù)值為（

）真數(shù)2345678910（近似值）0.301030.477120.602060.698970.778150.845100.903090.954241.000A． B． C． D．【答案】D【解析】設，因為，所以.由表格可知，，所以的最高位的數(shù)值為.故選：D.2．已知函數(shù)，，則（

）A．-5 B．-1 C．3 D．4【答案】C【解析】設，則，所以是奇函數(shù)，則，所以，因為，所以，則，因為，所以.故選：C．3．已知函數(shù)，則（

）A．2025 B．3 C． D．【答案】B【解析】因為時，所以所以，所以.故選：B.4．若，則（

）A． B．2 C． D．5【答案】C【解析】由，得，，，.故選:C.5．已知，，，，則下列等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，兩式相除得，又，所以.故選：B.6．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由換底公式得，，，所以.故選：D.7．已知實數(shù)，且，則以下說法正確的是（

）A． B．的值為4或8 C． D．的值為【答案】B【解析】因，則，又，則或.則或，結合，得或.A選項，當時，；當時，，故A錯誤；B選項，當時，；當時，，故B正確；C選項，當時，；當時，，故C錯誤；D選項，當時，；當時，，故D錯誤.故選：B8．已知函數(shù)，則的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】因為，所以.故選：.9．（多選題）圍棋是我國發(fā)明的古老的也是最復雜的智力競技活動之一.現(xiàn)代圍棋棋盤共有19行19列，361個格點，每個格點上可能出現(xiàn)黑子?白子?空三種情況，因此整個棋盤上有種不同的情況，下面對于數(shù)字的判斷正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．的個位數(shù)是3 B．的個位數(shù)是1C．是173位數(shù) D．是172位數(shù)【答案】AC【解析】對于AB,由，個位數(shù)分別為以4為周期循環(huán)往復，因為的余數(shù)為1，故的個位數(shù)與的個位數(shù)相同，即的個位數(shù)為3，故A正確，B錯誤；對于CD，因為，所以，因為，所以為173位數(shù)，故C正確，D錯誤.故選：AC.10．（多選題）下列命題中正確的是（）A．已知，，則B．的值為1C．若，則的值為D．若且，則【答案】ABC【解析】因為，則，且，則則，故A正確；，故B正確；由可得，則，故C正確；因為，則，則，所以，所以，故D錯誤；故選：ABC11．（多選題）已知，，且．則下列選項正確的是（

）A．且 B．C． D．【答案】ABC【解析】依題意，，，且，則，由，得，所以；由，得，所以，所以A選項正確.，當且僅當時等號成立，所以B選項正確.由得，則，所以，當且僅當時等號成立，所以C選項正確.當時，，所以D選項錯誤.故選：ABC12．已知，則.【答案】【解析】因為，即，所以.故答案為：.13．設正實數(shù)滿足，則．【答案】【解析】由，得．所以．故答案為：14．如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時間（單位：月）的關系為．關于下列說法正確的命題序號是．（1）這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為3；（2）浮萍每月增加的面積都相等；（3）第4個月時，浮萍面積不超過；（4）若浮萍曼延到、、所經(jīng)過的時間分別是、、，則．【答案】（1）（4）【解析】，將代入，即，則，則（1）正確；因為所以浮萍每月增加的面積是上一個月增加的面積的3倍，不相等，故（2）錯誤；令，代入，解得，則（3）錯誤；令，求得；令，求得；令，求得；則，則（4）正確.故答案為：（1）（4）.15．已知，，，求的值（2）設（都是不為1的正數(shù)，），求：的充要條件【解析】（1）由，得，則，于是，整理得，即，解得，即，所以.（2）令，依題意，且，則，于是，，所以的充要條件是.16．求值：；（2）設，，用m，n來表示．【解析】（1）原式.（2），因為，所以，即，所以，即，所以，故.【高考真題】1．（2024年北京高考數(shù)學真題）生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個評價指標，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（