【教無憂】高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修二）第03講 3.1.3 組合與組合數(shù)【KS5U 高考】

.1.3組合與組合數(shù)TOC\o"1-3"\h\u題型1組合的概念 2題型2組合數(shù)公式的應(yīng)用 8◆類型1組合數(shù)公式的選取 8◆類型2組合數(shù)的性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n) 11◆類型3組合數(shù)的性質(zhì)2：Ceq\o\al(m＋1,n)＋Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1) 13◆類型4組合數(shù)有關(guān)的方程 15◆類型5組合數(shù)有關(guān)的不等式 17題型3有關(guān)組合數(shù)的證明 18題型4簡(jiǎn)單的組合問題 19題型5有條件限制的組合問題 22題型6不同元素的分組分配問題 26題型7相同元素的分組分配問題 30知識(shí)點(diǎn)一．組合的概念從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．【注意】組合概念的兩個(gè)要點(diǎn)：（1）取出的對(duì)象是不同的；（2）“只取不排”，即取出的m個(gè)對(duì)象與順序無關(guān)，無序性是組合的特征性質(zhì).知識(shí)點(diǎn)二．組合數(shù)的概念、公式、性質(zhì)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)表示法Ceq\o\al(m,n)組合數(shù)公式乘積式Cnm階乘式Cn性質(zhì)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)備注①n，m∈N*且m≤n，②規(guī)定：Ceq\o\al(0,n)＝1知識(shí)點(diǎn)三.排列與組合的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)名稱排列組合相同點(diǎn)二者都是從n個(gè)不同的元素中取m(n≥m)個(gè)元素，元素?zé)o重復(fù)不同點(diǎn)1.排列與元素的順序有關(guān)2.兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列的元素及其排列順序完全相同.1.組合與元素的順序無關(guān)2.兩個(gè)組合相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)組合的元素完全相同.聯(lián)系A(chǔ)nm題型1組合的概念【方法總結(jié)】區(qū)分排列與組合的方法：區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標(biāo)志是有無順序，而區(qū)分有無順序的方法是：把問題的一個(gè)選擇結(jié)果寫出來，然后交換這個(gè)結(jié)果中任意兩個(gè)元素的位置，看是否會(huì)產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題.【例題1】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）以下四個(gè)問題，屬于組合問題的是（

）A．從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)排成一列B．老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星D．從13位司機(jī)中任選出兩位開同一輛車往返甲、乙兩地【答案】C【分析】根據(jù)組合的定義即可得到答案.【詳解】只有從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星，與順序無關(guān)，是組合問題，而A,B,D均與順序有關(guān).故選：C.【變式1-1】1．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）以下5個(gè)命題，屬于組合問題的有（

）①從1，2，3，…，9九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，組成一個(gè)三位數(shù)；②從1，2，3，…，9九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，然后把這3個(gè)數(shù)字相加得到一個(gè)和，這樣的和的個(gè)數(shù)；③從a，b，c，d四名學(xué)生中選兩名去完成同一份工作的選法；④5個(gè)人規(guī)定相互通話一次，通電話的次數(shù)；⑤5個(gè)人相互寫一封信，所有信的數(shù)量．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)排列組合的定義即可判斷.【詳解】①當(dāng)取出3個(gè)數(shù)字后，如果改變3個(gè)數(shù)字的順序，會(huì)得到不同的三位數(shù)，所以此問題不但與取出元素有關(guān)，而且與元素的安排順序有關(guān)，是排列問題；②取出3個(gè)數(shù)字之后，無論怎樣改變這3個(gè)數(shù)字的順序，其和均不變，此問題只與取出的元素有關(guān)，而與元素的安排順序無關(guān)，是組合問題；③兩名學(xué)生完成的是同一份工作，沒有順序，是組合問題；④甲與乙通一次電話，也就是乙與甲通一次電話，無順序區(qū)別，為組合問題；⑤發(fā)信人與收信人是有區(qū)別的，是排列問題，綜上，屬于組合問題的有3個(gè).故選：B．【變式1-1】2．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)下列問題中為組合問題是（）A．從全班50人中選出5名組成班委會(huì)；B．從全班50人中選出5名分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記、學(xué)習(xí)委員、生活委員；C．從1，2，3，?，9中任取出兩個(gè)數(shù)求積；D．從1，2，3，?，9中任取出兩個(gè)數(shù)求差或商.【答案】AC【分析】根據(jù)排列與組合的區(qū)別：有序與無序進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)組合定義可知AC是組合，BD與順序有關(guān)是排列，故選AC.【變式1-1】3．（2021·福建省平和第一中學(xué)高二階段練習(xí)）(多選)下列問題屬于組合問題的是（

）A．從4名志愿者中選出2人分別參加志愿服務(wù)工作B．從0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)不同的數(shù)字，組成一個(gè)三位數(shù)C．從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)出席大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式D．從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)分別擔(dān)任班長(zhǎng)?副班長(zhǎng)和學(xué)習(xí)委員【答案】AC【分析】根據(jù)組合問題只需選出元素即可，而排列問題是對(duì)選出的元素還需進(jìn)行排序，對(duì)每一選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出答案.【詳解】選項(xiàng)A.從4名志愿者中選出2人分別參加志愿服務(wù)工作，只需選出2人即可，無排序要求，故是組合問題.選項(xiàng)B.從0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)不同的數(shù)字，組成一個(gè)三位數(shù),選出3個(gè)不同數(shù)字，還需對(duì)3個(gè)數(shù)字進(jìn)行排序成三位數(shù)，故是排列.選項(xiàng)C.從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)出席大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式,只需選出3人即可，無排序要求，故是組合問題.選項(xiàng)D.從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)分別擔(dān)任班長(zhǎng)?副班長(zhǎng)和學(xué)習(xí)委員先從全班選出3人，再安排其職務(wù)，即需排序，故是排列問題.所以B，D項(xiàng)均為排列問題，A，C項(xiàng)是組合問題.故選：AC【變式1-1】4．（2022·全國·高二單元測(cè)試）(多選)下列問題中是組合問題的有（

）.A．某鐵路線上有4個(gè)車站，則這條鐵路線上需準(zhǔn)備多少種車票B．從7本不同的書中取出5本給某同學(xué)C．3個(gè)人去做5種不同的工作，每人做一種，有多少種分工方法D．把3本相同的書分給5個(gè)學(xué)生，每人最多得一本，有多少種分配方法【答案】BD【分析】根據(jù)排列和組合的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】A．車票與起點(diǎn)、終點(diǎn)順序有關(guān)，例如“甲→乙”與“乙→甲”的車票不同，故它是排列問題.B．從7本不同的書中取出5本給某同學(xué)，取出的5本書并不考慮書的順序，故它是組合問題.C．因?yàn)橐环N分工方法就是從5種不同工作中取出3種，按一定順序分給3人去干，故它是排列問題.D．因?yàn)?本書是相同的，把3本書無論分給哪3個(gè)人都不需要考慮順序，故它是組合問題.故選：BD【變式1-1】5．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）從10個(gè)不同的非零的數(shù)中任取2個(gè)數(shù)，求其和、差、積、商這四個(gè)問題中，屬于組合的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)加法、減法、乘法、除法的運(yùn)算律確定正確答案.【詳解】因?yàn)闇p法和除法運(yùn)算中交換兩個(gè)數(shù)的位置對(duì)計(jì)算結(jié)果有影響，而加法和乘法運(yùn)算滿足交換律，交換兩個(gè)數(shù)的位置對(duì)計(jì)算結(jié)果沒有影響.所以屬于組合的有加法和乘法，共2個(gè).故選：B【變式1-2】1．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）下面四組元素，是相同組合的是（

）A．a(chǎn)，b，c—b，c，a B．a(chǎn)，b，c—a，c，bC．a(chǎn)，c，d—d，a，c D．a(chǎn)，b，c—a，b，d【答案】ABC【分析】根據(jù)組合的概念，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】根據(jù)同一組合的概念，可知選項(xiàng)D中，a,b,c中有c，沒有d，但是a,故選：ABC.【變式1-2】2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）用列舉法寫出下列組合：(1)從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的所有組合；(2)從5個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素的所有組合．【答案】(1)答案詳見解析(2)答案詳見解析【分析】（1）利用列舉法求得正確答案.（2）利用列舉法求得正確答案.(1)設(shè)4個(gè)不同元素為1,2,3,4，從中任取3個(gè)元素，所有組合為：1,2,3,設(shè)5個(gè)不同元素為1,2,3,4,5，從中任取2個(gè)元素，所有組合為：1,2,1,3,【變式1-2】3．（2021·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）寫出從a，b，c這3個(gè)元素中，每次取出2個(gè)元素的所有組合．【答案】ab，ac，bc【分析】根據(jù)題意，可按a→【詳解】可按a→所以所有組合為ab,【變式1-2】4．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）寫出：(1)從a，b，c，d，e五個(gè)元素中取兩個(gè)元素的所有組合；(2)從a，b，c，d，e五個(gè)元素中取三個(gè)元素的所有組合．【答案】(1)ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.(2)abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde.【分析】（1）利用組合的定義即可得出；（2）利用組合的定義即可得出.(1)從5個(gè)元素a，b，c，d，e中任取兩個(gè)元素的所有組合共有C5(2)從5個(gè)元素a，b，c，d，e中任取三個(gè)元素的所有組合共有C5【變式1-2】5．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）寫出從A，B，C，D，E5個(gè)元素中，依次取3個(gè)元素的所有組合.【答案】ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE.【分析】根據(jù)條件按含A，不含A含B，不含A、B三類寫出含三個(gè)元素的組合即可.【詳解】含A的三個(gè)元素有：ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE，不含A含B的三個(gè)元素有：BCD、BCE、BDE，不含A、B的三個(gè)元素有：CDE，所以取3個(gè)元素的所有組合是ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE.題型2組合數(shù)公式的應(yīng)用◆類型1組合數(shù)公式的選取【方法總結(jié)】關(guān)于組合數(shù)計(jì)算公式的選取1.涉及具體數(shù)字的可以直接用公式C2.涉及字母的可以用階乘式C【例題2-1】（2022·浙江·高二階段練習(xí)）C5A．25 B．30 C．35 D．40【答案】B【分析】根據(jù)組合數(shù)公式直接求解即可.【詳解】C5【變式2-1】1．（2022·河北張家口·高二期末）A4A．2 B．22 C．12 D．10【答案】A【分析】根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)锳42=4×3=12,【變式2-1】2．（2022·廣東肇慶·高二期末）A3A．0 B．6 C．12 D．18【答案】C【分析】利用排列數(shù)公式和組合數(shù)公式直接計(jì)算即可【詳解】因?yàn)锳32=3×2=6，C【變式2-1】3．（2022·江蘇連云港·高二期中）求值：7C【答案】0【分析】根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算求解即可【詳解】7C【變式2-1】4．（2022·河北保定·高二階段練習(xí)）7!CA．15 B．30 C．35 D．42【答案】B【分析】由題直接計(jì)算出結(jié)果.【詳解】7!C【變式2-1】5．（2022·江蘇泰州·高二期末）C7【答案】64【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算公式求解即可【詳解】C故答案為：64【變式2-1】6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知n，m為正整數(shù)，且n≥①A63=120；②A12A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)及排列數(shù)公式計(jì)算可得.【詳解】解：對(duì)于①A6對(duì)于②因?yàn)镃127=對(duì)于③因?yàn)镃n對(duì)于④Cn【變式2-1】7．（2022·重慶·萬州純陽中學(xué)校高二階段練習(xí)）(多選)下列等式正確的是（

）A．n+1AnC．Cnm=【答案】ABD【分析】利用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】對(duì)于A，n+1對(duì)于B，n!對(duì)于C，Cnm=Anmm!，而對(duì)于D，1n【變式2-1】8．（2022·河北·高二期中）已知C4m2【答案】2【分析】根據(jù)組合數(shù)公式化簡(jiǎn)，得到關(guān)于m的一元二次方程，求解即可.【詳解】根據(jù)組合數(shù)公式化簡(jiǎn)，可得12化簡(jiǎn)整理得m2?13m+22=0，解得m=2或m故答案為：2.◆類型2組合數(shù)的性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)【方法總結(jié)】組合數(shù)的性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).注意：(1)“互補(bǔ)性”；(2)等式兩邊下標(biāo)相同，上標(biāo)的和等于下標(biāo)．【例題2-2】計(jì)算：Ceq\o\al(2021,2022)＝________，Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(n－2,n)＝__________.【答案】2022n(【解析】Ceq\o\al(2021,2022)＝Ceq\o\al(1,2022)＝2022，Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(n－2,n)＝Ceq\o\al(1,n＋1)·Ceq\o\al(2,n)＝n(n2?1)2.【變式2-2】1.（2022·山東濟(jì)南·高二期末）若C20A．2 B．4 C．6 D．2或6【答案】D【分析】根據(jù)組合數(shù)的定義及組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由C20x=C203x?4，得所以實(shí)數(shù)x的值為2或6.故選：D.【變式2-2】2．（2022·云南臨滄·高二期中）若C203x【答案】2或3##3或2【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】∵C203x+2=C20x故答案為：2或3.【變式2-2】3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）若C11【答案】1或4【分析】解方程2x－1＝x或2x－1＋x＝11，即得解.【詳解】解：∵C11經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1或x＝4滿足題意.故答案為：1或4．【變式2-2】4.若Ceq\o\al(6,n)＝Ceq\o\al(5,n)，則Ceq\o\al(10,n)等于()A．1B．10C．11D．55【答案】C【解析】由Ceq\o\al(6,n)＝Ceq\o\al(5,n)，得n＝6＋5＝11，Ceq\o\al(10,n)＝Ceq\o\al(10,11)＝Ceq\o\al(1,11)＝11.【變式2-2】5.若Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18)，則Ceq\o\al(n,8)＝____________.【答案】28【解析】由Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18)，得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，解得n＝2或n＝8(舍去)，故Ceq\o\al(2,8)＝28.【變式2-2】6.計(jì)算：Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,n＋21)的值．【解析】解：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(38－n≤3n，,3n≤21＋n，))∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10.∴Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n)＝Ceq\o\al(28,30)＋Ceq\o\al(30,31)＝Ceq\o\al(2,30)＋Ceq\o\al(1,31)＝eq\f(30×29,2×1)＋31＝466.【變式2-2】7.（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：C13+【答案】124【分析】由組合數(shù)的定義確定n的取值，然后由組合數(shù)性質(zhì)計(jì)算．【詳解】由已知，得n需滿足3n≤13+n17?n≤2n【小結(jié)】性質(zhì)“Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)”的意義及作用◆類型3組合數(shù)的性質(zhì)2：Ceq\o\al(m＋1,n)＋Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)【方法總結(jié)】組合數(shù)的性質(zhì)2：Ceq\o\al(m＋1,n)＋Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1).注意：(1)下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與大的相同的一個(gè)組合數(shù)；(2)體現(xiàn)了“含”與“不含”的分類思想．注意：性質(zhì)2常用于有關(guān)組合數(shù)式子的化簡(jiǎn)或組合數(shù)恒等式的證明．應(yīng)用時(shí)要注意公式的正用、逆用和變形用．正用是將一個(gè)組合數(shù)拆成兩個(gè)，逆用則是“合二為一”，使用變形Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)－Ceq\o\al(m,n)，為某些項(xiàng)前后抵消提供了方便，在解題中要注意靈活應(yīng)用．【例題2-3】（2022·陜西西安·高二期末（理））C3A．C63 B．C53 C．【答案】B【分析】利用組合數(shù)的運(yùn)算公式計(jì)算，得到答案.【詳解】C33+【變式2-3】1.已知m≥4，Ceq\o\al(3,m)－Ceq\o\al(4,m＋1)＋Ceq\o\al(4,m)等于()A．1B．mC．m＋1D．0【答案】D【解析】Ceq\o\al(3,m)－Ceq\o\al(4,m＋1)＋Ceq\o\al(4,m)＝Ceq\o\al(3,m)＋Ceq\o\al(4,m)－Ceq\o\al(4,m＋1)＝Ceq\o\al(4,m＋1)－Ceq\o\al(4,m＋1)＝0.【變式2-3】2.若Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，則n等于()A．12B．13C．14D．15【答案】C【解析】Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(7,n)＋Ceq\o\al(8,n)＝Ceq\o\al(8,n＋1)，∴n＋1＝7＋8，n＝14.【變式2-3】3.Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(2019,2022)等于()A．Ceq\o\al(2,2020)B．Ceq\o\al(3,2021)C．Ceq\o\al(3,2022)D．Ceq\o\al(4,2023)【答案】D【解析】原式＝Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(2019,2022)＝Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(2019,2022)＝Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(2019,2022)＝…＝Ceq\o\al(2018,2022)＋Ceq\o\al(2019,2022)＝Ceq\o\al(2019,2023)＝Ceq\o\al(4,2023).【變式2-3】4.Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,18)等于()A．Ceq\o\al(3,18)B．Ceq\o\al(3,19)C．Ceq\o\al(3,18)－1D．Ceq\o\al(3,19)－1【答案】B【解析】Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,18)＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,18)＝Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,18)＝Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,18)＝…＝Ceq\o\al(3,19).【變式2-3】5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）計(jì)算：C5【答案】490【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)Cn【詳解】C5故原式=C12【變式2-3】6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若C32+【答案】13【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】由C32+即C33+C32+C4又n是正整數(shù)，解得n=13【變式2-3】7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知32≤1nC【答案】6,7,8,9,10中的任意一個(gè)數(shù)【分析】令Sn=Cn1+2C【詳解】令Sn則Sn=n∴兩式相加得：2Sn=∴Sn=∴32≤2n?1≤512，解得：6≤n故答案為：6,7,8,9,10中的任意一個(gè)數(shù).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)Cnm=【變式2-3】8.填空：Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,5)＋…＋Aeq\o\al(2,100)＝________.【解析】解法1：原式＝Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＋…＋Ceq\o\al(2,100)Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,100))·Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,100)－Ceq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,100)－Ceq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,100)－Ceq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(2,2)……＝(Ceq\o\al(3,101)－Ceq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(3,101)－1)·Aeq\o\al(2,2)＝2Ceq\o\al(3,101)－2＝333298.解法2：由Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)，∴Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)－Ceq\o\al(m,n).∴Ceq\o\al(2,3)＝Ceq\o\al(3,4)－Ceq\o\al(3,3)，Ceq\o\al(2,4)＝Ceq\o\al(3,5)－Ceq\o\al(3,4)，Ceq\o\al(2,5)＝Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,5)，……Ceq\o\al(2,100)＝Ceq\o\al(3,101)－Ceq\o\al(3,100)，以上各式累加得Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,100)＝Ceq\o\al(3,101)－Ceq\o\al(3,3)∴Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,5)＋…＋Aeq\o\al(2,100)＝(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…Ceq\o\al(2,100))·Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(3,101)－Ceq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(2,2)＝(Ceq\o\al(3,101)－1)·Aeq\o\al(2,2)＝333298.◆類型4組合數(shù)有關(guān)的方程【例題2-4】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若xC【答案】4【分析】利用排列組合公式，將方程化為關(guān)于x的一元二次方程求解，注意x的范圍.【詳解】由題設(shè)，x2+x(x?1)(x?2)=2x(【變式2-4】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）方程3C【答案】11【分析】利用排列組合數(shù)公式即得.【詳解】因?yàn)?Cx?34=5Ax?42，所以3所以x=11【變式2-4】2.（2022·江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）解下列方程：(1)4A(2)Cx【答案】(1)x=5(2)【分析】（1）（2）利用排列數(shù)和組合數(shù)公式化簡(jiǎn)可得出關(guān)于x的方程，結(jié)合x的取值范圍可解得x的值.(1)解：因?yàn)?Ax3整理得2x所以2x2x(2)解：因?yàn)镃x+2x?1+即x+3因?yàn)閤≥2，x∈N，所以【變式2-4】3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知Cn【答案】5【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)以及計(jì)算公式即可求解.【詳解】由Cnx=Cn2x可得x＝2x（舍去）或x＋2x＝n，所以x=n【變式2-4】4．（2022·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高二階段練習(xí)）解方程：Cx【答案】4【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的公式及性質(zhì)，化簡(jiǎn)得到x2【詳解】由Cx+2x?2+Cx+2x?3=110Ax因?yàn)閤?2>0且x?2∈N?，即x>2◆類型5組合數(shù)有關(guān)的不等式【例題2-5】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若Cn4>【答案】6,7,8,9【分析】根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式即可求解.【詳解】因?yàn)镃n4>Cn6，所以因?yàn)閚∈N?，所以n=6,7,8,9．所以n的取值集合為【變式2-5】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）不等式1C【答案】5,6,7,8,9,10,11【分析】根據(jù)組合數(shù)計(jì)算公式求解即可得出答案.【詳解】由題意，得x≥5，x∈N即x2?11x?12<0，解得?1<x<12.又故答案為：5，6，7，8，9，10，11.【變式2-5】2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）不等式C10【答案】n【分析】利用組合數(shù)公式求解.【詳解】根據(jù)題意，得0≤n+2≤10,10!10?n!?n∴原不等式的解集為n0≤n【變式2-5】3.求關(guān)于n的不等式7C【分析】根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算公式計(jì)算即可得出答案.【答案】不等式7Cn4>5C又因n≥6，所以關(guān)于n的不等式7Cn【變式2-5】4.解不等式C8【答案】{7,8}；【分析】根據(jù)給定條件利用組合的意義及組合數(shù)計(jì)算公式化簡(jiǎn)不等式，再解不等式即可.【詳解】在不等式C8原不等式化為：8!(m?1)!(9?m)!>3×8!題型3有關(guān)組合數(shù)的證明【例題3】求證：①Cnm=【答案】①證明見解析；②證明見解析.【分析】利用組合數(shù)計(jì)算公式變形，計(jì)算推理作答.【解析】①nn?m②因Cnk?Cn?k所以Cn【變式3-1】1.證明下列各等式．(1)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(m＋1,n＋1)Ceq\o\al(m＋1,n＋1)；(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n＋1)＋Ceq\o\al(2,n＋2)…＋Ceq\o\al(m－1,n＋m－1)＝Ceq\o\al(m－1,n＋m).證明：(1)右邊＝eq\f(m＋1,n＋1)·eq\f(n＋1！,m＋1！[n＋1－m＋1]！)＝eq\f(m＋1,n＋1)·eq\f(n＋1！,m＋1！n－m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)＝Ceq\o\al(m,n)＝左邊，∴原式成立．(2)左邊＝(Ceq\o\al(0,n＋1)＋Ceq\o\al(1,n＋1))＋Ceq\o\al(2,n＋2)＋Ceq\o\al(3,n＋3)＋…＋Ceq\o\al(m－1,n＋m－1)＝(Ceq\o\al(1,n＋2)＋Ceq\o\al(2,n＋2))＋Ceq\o\al(3,n＋3)＋…＋Ceq\o\al(m－1,n＋m－1)＝(Ceq\o\al(2,n＋3)＋Ceq\o\al(3,n＋3))＋…＋Ceq\o\al(m－1,n＋m－1)＝(C3n＋4＋Ceq\o\al(4,n＋4))＋…＋Ceq\o\al(m－1,n＋m－1)＝…＝Ceq\o\al(m－2,n＋m－1)＋Ceq\o\al(m－1,n＋m－1)＝Ceq\o\al(m－1,n＋m)＝右邊，∴原式成立.【變式3-1】2.證明：mCeq\o\al(m,n)＝n·Ceq\o\al(m－1,n－1)(m≤n，m，n∈N＋)．【解析】原式左邊＝m·eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(n！,m－1！n－m！)右邊＝n·eq\f(n－1！,m－1！n－m！)＝eq\f(nn－1！,m－1！n－m！)＝eq\f(n！,m－1！n－m！).∴左邊＝右邊，故原等式成立．題型4簡(jiǎn)單的組合問題【方法總結(jié)】解簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題的方法：解簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題時(shí)，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問題與取出元素的順序無關(guān).2.要注意兩個(gè)基本原理的運(yùn)用，即分類與分步的靈活運(yùn)用.注意∶在分類和分步時(shí)，一定注意有無重復(fù)或遺漏.【例題4】（2022·北京平谷·高二期末）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦.在所有重卦中恰有3個(gè)陽爻的個(gè)數(shù)是（

）A．20 B．8 C．9 D．120【答案】A【分析】根據(jù)題意在6個(gè)爻選3個(gè)作為陽爻求解即可【詳解】由題意，在所有重卦中恰有3個(gè)陽爻的個(gè)數(shù)是C6【變式4-1】1．（2022·河北·高二期中）從8瓶酸牛奶和4瓶純牛奶中任意選取4瓶，則恰有1瓶是酸牛奶的選取方法共有（

）A．24種 B．32種 C．48種 D．64種【答案】B【分析】根據(jù)題意，即從8瓶酸牛奶種任意選1瓶，從4瓶純牛奶中任意選3瓶，利用組合數(shù)計(jì)算即可求解.【詳解】解：恰有1瓶是酸牛奶的選取方法有C8【變式4-1】2．（2022·山東棗莊·高二期中）從5人中選3人參加座談會(huì)，其中甲必須參加，則不同的選法有（

）A．6種 B．12種 C．36種 D．60種【答案】A【分析】根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算即可求解.【詳解】從5人中選3人參加座談會(huì)，其中甲必須參加，因此只需要從剩下4人選出兩個(gè)即可，即C4故選：A【變式4-1】3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）面對(duì)突如其來的新冠疫情，全國人民眾志成城，齊心抗疫，甲、乙兩位老師在上課之余.積極參加某社區(qū)的志愿活動(dòng)，現(xiàn)該社區(qū)計(jì)劃連續(xù)三天行核酸檢測(cè)，需要多名志愿者協(xié)助工作，因工作關(guān)系，甲、乙不能在同一天參加志愿活動(dòng)，那么甲、乙每人至少參加其中一天的方案有（

）A．6種 B．9種 C．12種 D．24種【答案】C【分析】分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列組合知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】分為三類：①甲、乙各一天，有A32=6種；②甲2天，乙1天，有C【變式4-1】4．（2022·北京順義·高二期末）某學(xué)校擬邀請(qǐng)5位學(xué)生家長(zhǎng)中的3位參加一個(gè)座談會(huì)，其中甲同學(xué)家長(zhǎng)必須參加，則不同的邀請(qǐng)方法有___________種.【答案】6【分析】從剩下的四位家長(zhǎng)中選2位即可得．【詳解】甲同學(xué)家長(zhǎng)必須參加，則還需從剩下的4位家長(zhǎng)中選2位，方法數(shù)為C4【變式4-1】5．（2022·廣東梅州·高二期末）某班從3名男同學(xué)和5名女同學(xué)中，選取3人參加學(xué)校的“創(chuàng)文知識(shí)"競(jìng)賽，要求男女生都有，則不同的選法共有___________種．【答案】45【分析】利用間接法：在所有組合中排除全為男生和全為女生的情況，利用組合數(shù)Cn【詳解】在所有組合中排除全為男生和全為女生的情況，則共有C8題型5有條件限制的組合問題【方法總結(jié)】有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類(1)“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計(jì)數(shù)．(2)“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準(zhǔn)對(duì)立面，確保不重不漏．【例題5】（2022·湖南省祁東縣育賢中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，“天宮空間站”是我國自主建設(shè)的大型空間站，其基本結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙三個(gè)部分.假設(shè)有6名航天員(4男2女)在天宮空間站開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排4人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人，且兩名女航天員不在一個(gè)艙內(nèi)，則不同的安排方案種數(shù)為（

）A．14 B．18 C．30 D．36【答案】B【分析】先求出總的安排方案數(shù)，再求出兩名女航天員在一個(gè)艙內(nèi)的方案數(shù)，兩者相減即可.【詳解】將6名航天員安排在3個(gè)實(shí)驗(yàn)艙的方案數(shù)為C64C21【變式5-1】1．（2022·上海市向明中學(xué)高三開學(xué)考試）某醫(yī)院從7名男醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師），6名女醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）中選派4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生支援抗疫工作，若要求選派的醫(yī)生中有主任醫(yī)師，則不同的選派方案數(shù)為_________________．【答案】550【分析】分選派的主任醫(yī)師只有一名男主任，只有一名女主任，男，女主任醫(yī)師均選派，三種情況，結(jié)合組合知識(shí)進(jìn)行求解，再相加即可.【詳解】若選派的主任醫(yī)師只有一名男主任，此時(shí)再從剩余的6名男醫(yī)生選派3名男醫(yī)生，從5名女醫(yī)生（主任醫(yī)師除外）選派3名醫(yī)生，有C6若選派的主任醫(yī)師只有一名女主任，此時(shí)再從剩余的6名男醫(yī)生（主任醫(yī)師除外）中選派4名男醫(yī)生，從5名女醫(yī)生中選派2名醫(yī)生，有C6若男，女主任醫(yī)師均選派，此時(shí)再從剩余的6名男醫(yī)生中選派3名，5名女醫(yī)生中選派2名，有C6【變式5-1】2．（2022·浙江省杭州第九中學(xué)高二期中）“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時(shí)代中國特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)已日益成為老百姓了解國家動(dòng)態(tài)，緊跟時(shí)代脈搏的熱門app.該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”和“視聽學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)板塊和“每日答題”、“每周答題”、“專項(xiàng)答題”、“挑戰(zhàn)答題”四個(gè)答題板塊.某人在學(xué)習(xí)過程中，將六大板塊依次各完成一次，則“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間最多間隔一個(gè)答題板塊的學(xué)習(xí)方法有________種.【答案】432【分析】分成“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)版塊之間無間隔和間隔一個(gè)答題版塊兩種情況討論即可.【詳解】若“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”相鄰，則有A2若“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”相隔一個(gè)答題版塊，則有A2故共有240+192=432種可能.故答案為：432.【變式5-1】3．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）大國泱泱，大潮滂滂．喜迎祖國73華誕，現(xiàn)有10張卡片，每張卡片上寫有“我”“愛”“你”“中”“國”中兩個(gè)不同的字，且任意兩張卡片上的字不完全相同．將這10張卡片放入標(biāo)號(hào)為“我”“愛”“你”“中”“國”的五個(gè)盒子中，“我”“愛”“你”“中”“國”依次編號(hào)為1,2,3,4,5，規(guī)定寫有i，j的卡片只能放在i號(hào)或j號(hào)盒子中．一種放法稱為"好的"，如果1號(hào)盒子中的卡片數(shù)多于其他每個(gè)盒子中的卡片數(shù)．則"好的"放法共有____________種．【答案】120【分析】首先確定1號(hào)卡片數(shù)不能小于3，然后按1號(hào)盒子中卡片為3或4分類討論可得．【詳解】下面用數(shù)字代替文字，"好的"放法中1號(hào)盒子中卡片數(shù)不能小于3，否則若1號(hào)盒子中至多有2張卡片，則至少剩下8張卡片放到其他4個(gè)盒子中，至少有一個(gè)盒子中卡片數(shù)不小于2，不滿足題意，（1）若1號(hào)盒子中有4張卡片，則為12,13,14,15四張，則剩下的23,24,25,34,35,45共6張卡片各有2種放法，總方法數(shù)為26（2）若1號(hào)盒子中有3張卡片，有C43種方法，例如是12,13,14，則5號(hào)盒子中只有1張卡片時(shí)，25,35,45三張卡片只能在分別在2，3，4盒子中，剩下的23,24,34三張卡片只有2種放法，5號(hào)盒子中有2張卡片時(shí)，可再從25,35,45中任選一張，有3種方法，例如是25，由35,45只能分別在3號(hào)和4號(hào)盒子中，還有23,24,34共3張卡片，4號(hào)盒子中如果只有1張，剩下的23,24,34放在2或3號(hào)盒子中，24卡片在2號(hào)盒子中，34在3號(hào)盒子，23有2種放法，4號(hào)盒子中如果有2張卡片，24,34中任選一張，有2種選法，例如選的是24，還有23,34兩張卡片有2種放法，方法數(shù)為C43[2+3×(2+2)]=56故答案為：120．【變式5-1】4.課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊(duì)長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人主持某項(xiàng)活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？(1)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(2)至多有兩名女生當(dāng)選；(3)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女生當(dāng)選．【解析】(1)Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825(種)．(2)至多有2名女生當(dāng)選含有三類：有2名女生當(dāng)選；只有1名女生當(dāng)選；沒有女生當(dāng)選，所以共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966(種)選法．(3)分兩類：第一類：女隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選，有Ceq\o\al(4,12)＝495(種)選法，第二類：女隊(duì)長(zhǎng)沒當(dāng)選，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4)＝295(種)選法，所以共有495＋295＝790(種)選法．【變式5-1】5．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）從1到9這九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)偶數(shù)和4個(gè)奇數(shù)，試問：(1)能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？(2)在（1）中的七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起的有多少個(gè)？(3)在（1）中的七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起、4個(gè)奇數(shù)也排在一起的有多少個(gè)？(4)在（1）中的七位數(shù)中，任意2個(gè)偶數(shù)都不相鄰的有多少個(gè)？【答案】(1)100800(2)14400(3)5760(4)28800【分析】（1）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可先選后排進(jìn)行求解，（2）根據(jù)相鄰問題捆綁法即可求解，（3）根據(jù)相鄰問題捆綁法進(jìn)行求解，（4）根據(jù)不相鄰問題插空法即可求解.（1）分三步完成：第一步，在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，有C4第二步，在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，有C5第三步，將3個(gè)偶數(shù)，4個(gè)奇數(shù)進(jìn)行全排列，有A7所以符合題意的七位數(shù)有C4（2）在（1）中的七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起的有C4（3）在（1）中的七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起，4個(gè)奇數(shù)也排在一起的有C4（4）在（1）中的七位數(shù)中，任意2個(gè)偶數(shù)都不相鄰，可先把4個(gè)奇數(shù)排好，再將3個(gè)偶數(shù)分別插入到5個(gè)空位中，共有C4題型6不同元素的分組分配問題【方法總結(jié)】“分組”與“分配”問題的解法(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：①完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n??；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．(2)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個(gè)分配，也可以分組后再分配．【例題6】（2022·黑龍江·賓縣第二中學(xué)高二期末）現(xiàn)有6本不同的書，如果滿足下列要求，分別求分法種數(shù)．(1)分成三組，一組3本，一組2本，一組1本；(2)分給三個(gè)人，一人3本，一人2本，一人1本；(3)平均分成三個(gè)組每組兩本．【答案】(1)60；(2)360；(3)15.【分析】（1）根據(jù)題意，由分步計(jì)數(shù)原理直接計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，先將6本書分為1、2、3的三組，再將分好的三組分給3人，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；（3）根據(jù)題意，由平均分組公式計(jì)算可得答案．（1）根據(jù)題意，第一組3本有C63種分法，第二組2本有所以共有C6（2）根據(jù)題意，先將6本書分為1、2、3的三組，有C6再將分好的三組分給3人，有A3所以共有60×6=360種分法.（3）根據(jù)題意，將6本書平均分為3組，有C6【變式6-1】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知有6本不同的書.(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？【答案】(1)15(2)60【分析】直接利用排列組合中的“平均分組”與“不平均分組”的計(jì)算方法計(jì)算即可.（1）6本書平均分成3堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為C6（2）從6本書中，先取1本作為一堆，再從剩下的5本中取2本作為一堆，最后3本作為一堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為C6【變式6-1】2．（2022·浙江·高二階段練習(xí)）現(xiàn)要安排8名醫(yī)護(hù)人員前往四處核酸檢測(cè)點(diǎn)進(jìn)行核酸檢測(cè)，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)安排兩名醫(yī)護(hù)人員前往.已知甲?乙兩人不能安排在同一處檢測(cè)點(diǎn).(1)求不同的安排方法總數(shù)；(2)記四處檢測(cè)點(diǎn)分別為A,B,C,【答案】(1)2160(2)1260【分析】（1）先安排兩人與甲、乙前往兩個(gè)不同檢測(cè)點(diǎn)，再將剩余4人平均分配到另外兩個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果；（2）將所有安排方法分為乙前往A檢測(cè)點(diǎn)和不前往A檢測(cè)點(diǎn)兩類，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算可求得每一類的方法數(shù)，由分類加法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.（1）第一步：選擇兩人與甲、乙前往兩個(gè)不同的檢測(cè)點(diǎn)，則共有C6第二步：將剩余4人安排到剩余的兩處檢測(cè)點(diǎn)，共有C4由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：不同的安排方法有360×6=2160種.（2）若乙前往A檢測(cè)點(diǎn)，則有C6若乙不前往A檢測(cè)點(diǎn)，則有C6由分類加法計(jì)數(shù)原理得：不同的安排方法有540+720=1260種.【變式6-1】3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將4個(gè)編號(hào)為1、2、3、4的不同小球全部放入4個(gè)編號(hào)為1、2、3、4的4個(gè)不同盒子中.求：(1)每個(gè)盒至少一個(gè)球，有多少種不同的放法？(2)恰好有一個(gè)空盒，有多少種不同的放法？(3)每盒放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少種不同的放法？(4)把已知中4個(gè)不同的小球換成四個(gè)完全相同的小球（無編號(hào)），其余條件不變，恰有一個(gè)空盒，有多少種不同的放法？【答案】(1)24(2)144(3)8(4)12【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理逐一分析即可求解.（1）根據(jù)題意知，每個(gè)盒子里有且只有一個(gè)小球，所求放法種數(shù)為A4（2）先將4個(gè)小球分為3組，各組的球數(shù)分別為2、1、1，然后分配給4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，所求的放法種數(shù)為C4（3）考查編號(hào)為1的盒子中放入編號(hào)為1的小球，則其它3個(gè)球均未放入相應(yīng)編號(hào)的盒子，那么編號(hào)為2、3、4的盒子中放入的小球編號(hào)可以依次為3、4、2或4、2、3，因此，所求放法種數(shù)為2×4=8（種）；（4）按兩步進(jìn)行，空盒編號(hào)有4種情況，然后將4個(gè)完全相同的小球放入其它3個(gè)盒子，沒有空盒，則只需在4個(gè)完全相同的小球所形成的3個(gè)空（不包括兩端）中插入2塊板，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，所求的放法種數(shù)為4C【變式6-1】4．（2021·江西·金溪一中高二階段練習(xí)（理））學(xué)校組織甲、乙、丙、丁4名同學(xué)去A，B，C，3個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每名同學(xué)只能去1個(gè)工廠.(1)問有多少種不同的分配方案？(2)若每個(gè)工廠都有同學(xué)去，問有多少種不同的分配方案？(3)若同學(xué)甲、乙不能去工廠A，且每個(gè)工廠都有同學(xué)去，問有多少種不同的分配方案？（結(jié)果全部用數(shù)字作答）【答案】(1)81(2)36(3)14【分析】（1）由分步乘法原理，可得答案；（2）由分組分配的計(jì)數(shù)方法，可得答案；（3）由分類加法原理結(jié)合分組分配，可得答案.（1）每名同學(xué)都有3種分配方法，則不同的分配方案有34（2）先把4個(gè)同學(xué)分3組，有C42種方法；再把這3組同學(xué)分到A，B，C，3個(gè)工廠，有A3（3）同學(xué)甲、乙不能去工廠A，分配方案分兩類：①另外2名同學(xué)都去工廠A，甲、乙去工廠B，C，有A2②另外2名同學(xué)中有一名去工廠A，有C2所以不同的分配方案共有2＋12＝14（種）.【變式6-1】5．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）某市新冠疫情封閉管理期間，為了更好的保障社區(qū)居民的日常生活，選派6名志愿者到甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)進(jìn)行服務(wù)，每人只能去一個(gè)地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有（