福建省寧德市第一中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

/福建省寧德市第一中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù),定義:使為整數(shù)的數(shù)叫作企盼數(shù),則在區(qū)間[1,1000]內(nèi)這樣的企盼數(shù)共有(

)個(gè).

A.7

B.8

C.9

D.10

參考答案：D略2.

設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則f(5)=(

)A．0

B．1

C．

D．5參考答案：C3.若α∈（0，π），且，則cos2α=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．【專題】計(jì)算題．【分析】通過對(duì)表達(dá)式平方，求出cosα﹣sinα的值，然后利用二倍角公式求出cos2α的值，得到選項(xiàng)．【解答】解：（cosα+sinα）2=，而sinα＞0，cosα＜0cosα﹣sinα=﹣，cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=﹣=，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡求值，二倍角公式的應(yīng)用，本題的解答策略比較多，注意角的范圍，三角函數(shù)的符號(hào)的確定是解題的關(guān)鍵．4.函數(shù)與函數(shù)的圖像（

）A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B.關(guān)于x軸對(duì)稱C.關(guān)于y軸對(duì)稱

D.關(guān)于直線y=x對(duì)稱參考答案：D5.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則為

（

）A．7

B．15

C．30

D．31參考答案：D略6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線B1C與直線A1C1所成角是（

）A.45° B.60° C.90° D.120°參考答案：B【分析】直線與直線所成角為，為等邊三角形，得到答案.【詳解】如圖所示：連接易知：直線與直線所成角為為等邊三角形，夾角為故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力.7.參考答案：B略8.（5分）已知三點(diǎn)A（﹣2，﹣1），B（x，2），C（1，0）共線，則x為（） A． 7 B． ﹣5 C． 3 D． ﹣1參考答案：A考點(diǎn)： 直線的斜率．專題： 直線與圓．分析： 由三點(diǎn)共線可得kAB=kAC，代入向斜率公式求得x的值．解答： ∵三點(diǎn)A（﹣2，﹣1），B（x，2），C（1，0）共線，∴kAB=kAC，即，解得：x=7．故選：A．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直線的斜率的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題．9.函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：B10.已知集合A{x|y=2|x|+1,y∈Z}，B={y|y=22|x|+1,x∈Z},則A，B的關(guān)系是

（

）A．A=B

B。AB

C。BA

D。A∩B=φ參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）已知函數(shù)f（x）=，則f（f（））= ．參考答案：-2考點(diǎn)： 三角函數(shù)的化簡求值．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 利用分段函數(shù)求出f（）的值，然后求解即可．解答： 因?yàn)椋詅（）==﹣1，所以=f（﹣1）=2（﹣1）3=﹣2．故答案為：﹣2．點(diǎn)評(píng)： 本題考查函數(shù)值的求法，分段函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．12.定義關(guān)于x的不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的解集稱為A的B鄰域．若a+b﹣3的a+b鄰域是區(qū)間（﹣3，3），則a2+b2的最小值是

．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】根據(jù)新定義由題意得：|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b的解集為區(qū)間（﹣3，3），從而得到關(guān)于a，b的等量關(guān)系，再利用基本不等式求得a2+b2的最小值．【解答】解：由題意可得|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b的解集為（﹣3，3），|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b等價(jià)于（﹣3，2（a+b）﹣3），∴2（a+b）﹣3=3，求得a+b=3，∴a2+b2≥=，故a2+b2的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查絕對(duì)值不等式的解法、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．13.已知函數(shù)f(x)=，若f（a）=2，則實(shí)數(shù)a=

．參考答案：e2【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】當(dāng)a＜0時(shí)，f（a）=a﹣2=2；當(dāng)a＞0時(shí)，f（a）=lna=2．由此能求出實(shí)數(shù)a．【解答】解：∵函數(shù)，f（a）=2，∴當(dāng)a＜0時(shí)，f（a）=a﹣2=2，解得a=，不成立；當(dāng)a＞0時(shí)，f（a）=lna=2，解得a=e2．∴實(shí)數(shù)a=e2．故答案為：e2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．14.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為

.參考答案：試題分析：連接DE，設(shè)AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是異面直線AE與BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE="3"，∴cos∠DAE==．15.給出下列四種說法：⑴函數(shù)與函數(shù)的定義域相同；⑵函數(shù)的值域相同；⑶函數(shù)均是奇函數(shù)；⑷函數(shù)上都是增函數(shù)。其中正確說法的序號(hào)是

。參考答案：（1）、（3）略16.與互相垂直，則實(shí)數(shù)___；參考答案：略17.A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|x＞a}，A?B，則a取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣2）【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】集合．【分析】借助于子集概念得到兩集合端點(diǎn)值的關(guān)系，求解不等式得到m的范圍．【解答】解：因?yàn)锳={x|﹣2≤x≤5}，B={x|x＞a}，A?B，所以a＜﹣2，故答案為（﹣∞，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知A（1，1），B（5，4），C（2，5），設(shè)向量是與向量垂直的單位向量．（1）求單位向量的坐標(biāo)；（2）求向量在向量上的投影；（3）求△ABC的面積S△ABC．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；平面向量及應(yīng)用．【分析】（1）設(shè)=（x，y），根據(jù)向量的數(shù)量積和向量的模得到，解方程得，（2）設(shè)向量與向量的夾角為θ，在上的投影為h，根據(jù)向量的投影即可求出．（3）根據(jù)三角形的面積公式即可求出．【解答】解：（1）設(shè)=（x，y），依題意有，=（4，3），||=5，||=1，⊥，即=0，有，解得，或，所以，=（﹣，）或=（，﹣），（2）設(shè)向量與向量的夾角為θ，在上的投影為h，則h=||cosθ==?，=（1，4），當(dāng)=（﹣，）時(shí)，h=1×（﹣）+4×=，當(dāng)=（，﹣）時(shí)，h=1×+4×（﹣）=﹣，（3）S△ABC=|||h|=×5×=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量的模的計(jì)算，以及向量的投影和三角形的面積．19.已知A（﹣1，2），B（2，8），（1）若=，=﹣，求的坐標(biāo)；（2）設(shè)G（0，5），若⊥，∥，求E點(diǎn)坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（1）利用向量的數(shù)乘運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、三角形法則即可得出．（2）利用向量的共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．【解答】解：（1）∵=（3，6），∴==（1，2），=﹣=（﹣2，﹣4），∴==（2，4）﹣（1，2）=（1，2）．（2）設(shè)E（x，y），則=（x+1，y﹣2），=（x﹣2，y﹣8），∵=（﹣2，﹣3），⊥，∥，∴，解得．∴E點(diǎn)坐標(biāo)（﹣，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)乘運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、三角形法則、向量的共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20.函數(shù)f（x）=x2﹣mx（m＞0）在區(qū)間[0，2]上的最小值記為g（m）（Ⅰ）若0＜m≤4，求函數(shù)g（m）的解析式；（Ⅱ）定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函數(shù)h（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）=g（x），若h（t）＞h（4），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】（I）f（x）=．由0＜m≤4，可得，對(duì)m分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．（II）由題意可得：當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）=g（x）=，由于h（x）是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函數(shù)，可得h（x）=，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由于h（t）＞h（4），h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，可得|t|＜4，解出即可．【解答】解：（I）f（x）=．當(dāng)0＜m＜4時(shí)，，∴函數(shù)f（x）在上時(shí)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．∴當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，=﹣．當(dāng)m=4時(shí)，=2，函數(shù)f（x）在[0，2]內(nèi)單調(diào)遞減，∴當(dāng)x==2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，=﹣=﹣1．綜上可得：g（m）=﹣．（II）由題意可得：當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）=g（x）=，∵h(yuǎn)（x）是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函數(shù)，∴h（x）=，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．∵h(yuǎn)（t）＞h（4），及h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴|t|＜4，解得﹣4＜t＜4，且t≠0．∴t的取值范圍是（﹣4，0）∪（0，4）．21.（本小題滿分14分）已知數(shù)列的首項(xiàng)．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，若，求最大正整數(shù)的值；（3）是否存在互不相等的正整數(shù)，使成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列？如果存在，請(qǐng)給予證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案：解：（1）因?yàn)?，所以………?分又因?yàn)?，所以，所以?shù)列為等比數(shù)列.………4分（2）由（1）可得，所以，，………6分若，則，所求最大正整數(shù)的值為100.…………8分（3）假設(shè)存在滿足題意的正整數(shù)，則，，………9分因?yàn)?，所以，………?1分化簡得，，因?yàn)?，………?3分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又互不相等，所以滿足題意的正整數(shù)不存在.…………14分略22.（本小題滿分13分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足關(guān)系式(2＋t)Sn＋1－tSn＝2t＋4(t≠－2，t≠0，n＝1，2，3，…)(1)當(dāng)a1為何值時(shí)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(2)在(1)的條件下，設(shè)數(shù)列{an}的公比為f(t)，作數(shù)列{bn}使b1＝1，bn＝f(bn－1)(n＝2，3，4，…)，求bn；(3)在(2)條件下，如果對(duì)一切n∈N＋，不等式bn＋bn＋1＜恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．參考答案：解析：(1)(2＋t)Sn＋1－tSn＝2t＋4①n≥2時(shí)，(2＋t)Sn－tSn－1＝2t＋4②兩式相減：(2＋t)(Sn＋1－Sn)－t(Sn－Sn－1)＝0，(2＋t)an＋1－tan＝0，＝．即n≥2時(shí)，為常數(shù)．當(dāng)n＝1時(shí)，(2＋t)S2－tS1＝2t＋4，(2＋t