2024秋高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.2演繹推理學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-2.1.2演繹推理自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入在生活中，我們常常會(huì)遇到這樣一些推斷：人生病要吃藥，小明生病了，因此，小明要吃藥；摩擦生熱，冬天雙手相互摩擦，手就不冷了；隨意四邊形的內(nèi)角和為360°，梯形是四邊形，因此梯形的內(nèi)角和是360°，……這些推理都是從一般的原理動(dòng)身，推出某個(gè)特別狀況下的結(jié)論的，與前一節(jié)所學(xué)的合情推理不同，這屬于另一種推理——演繹推理．新知導(dǎo)學(xué)1．演繹推理從__一般性的原理__動(dòng)身，推出__某個(gè)特別__狀況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理，簡(jiǎn)言之，演繹推理是由__一般到特別__的推理．2．演繹推理與合情推理的主要區(qū)分與聯(lián)系(1)合情推理與演繹推理的主要區(qū)分：歸納和類比都是常用的合情推理，從推理形式上看，歸納是由__部分__到__整體__、__個(gè)別__到__一般__的推理，類比是由__特別__到__特別__的推理；而演繹推理是由__一般__到__特別__的推理．從推理所得的結(jié)論來(lái)看，合情推理的結(jié)論不肯定正確，有待于進(jìn)一步的證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論肯定正確．(2)就數(shù)學(xué)而言，演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程，但數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)覺，主要靠合情推理．因此，我們不僅要學(xué)會(huì)證明，更要學(xué)會(huì)猜想．3．三段論(1)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的__一般原理__；②小前提——所探討的__特別狀況__；③結(jié)論——依據(jù)一般原理，對(duì)特別狀況做出的__推斷__.其一般推理形式為大前提：M是P.小前提：S是M.結(jié)論：__S是P__.(2)利用集合學(xué)問說(shuō)明“三段論”：若集合M的全部元素都具有性質(zhì)P，S是M的一個(gè)子集，那么__S中全部元素也都具有性質(zhì)P__.4．其他演繹推理形式(1)假言推理：“若p?q，p真，則q真”．(2)關(guān)系推理：“若aRb，bRc，則aRc”R表示一種傳遞性關(guān)系，如a∥b，b∥c?a∥c，a≥b，b≥c?a≥c等．注：假言推理、關(guān)系推理在新課標(biāo)中未給定義，但這種推理形式是常常見到的，為表述記憶便利，我們也一塊給出，以供學(xué)生擴(kuò)展學(xué)問面．(3)完全歸納推理是把全部可能的狀況都考慮在內(nèi)的演繹推理規(guī)則．預(yù)習(xí)自測(cè)1．關(guān)于下面推理結(jié)論的錯(cuò)誤：“因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y＝logax是增函數(shù)(大前提)，又y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))x是對(duì)數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))x是增函數(shù)(結(jié)論)．”下列說(shuō)法正確的是(A)A．大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤B．小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤C．推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤D．大前提和小前提都錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤[解析]大前提錯(cuò)誤，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(0＜a＜1)是減函數(shù)，故選A.2．“全部9的倍數(shù)都是3的倍數(shù)，某奇數(shù)是9的倍數(shù)，故某奇數(shù)是3的倍數(shù)．”上述推理是(A)A．完全正確B．推理形式不正確C．錯(cuò)誤，因?yàn)榇笮∏疤岵灰粯覦．錯(cuò)誤，因?yàn)榇笄疤徨e(cuò)誤3．給出下列結(jié)論：①演繹推理的特征為，前提為真時(shí)，結(jié)論肯定為真．②演繹推理的特征為，前提為真時(shí)，結(jié)論可能為真．③由合情推理得到的結(jié)論肯定為真．④演繹推理和合情推理都可以用于證明．⑤合情推理不能用于證明，演繹推理可用于證明．其中正確結(jié)論的序號(hào)為__①⑤__.互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?三段論推理模式的理解與應(yīng)用典例1將下列演繹推理改寫為三段論推理的形式，并注明大前提、小前提、結(jié)論．(1)函數(shù)f(x)＝x4的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；(2)全部的奇數(shù)都不能被4整除，所以23不能被4整除；(3)通項(xiàng)公式為an＝3n－1的數(shù)列{an}是等差數(shù)列．[思路分析]分析各個(gè)命題，明確它們的大前提、小前提、結(jié)論，若有省略，則應(yīng)補(bǔ)齊，然后再改寫為三段論模式．[解析](1)全部偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，大前提函數(shù)f(x)＝x4是偶函數(shù)，小前提所以函數(shù)f(x)＝x4的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．結(jié)論(2)全部的奇數(shù)都不能被4整除，大前提23是奇數(shù)，小前提所以23不能被4整除．結(jié)論(3)在數(shù)列{an}中，假如當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1為同一個(gè)常數(shù)，那么{an}為等差數(shù)列，大前提通項(xiàng)公式為an＝3n－1的數(shù)列{an}中，當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝3n－1－[3(n－1)－1]＝3為常數(shù)，小前提所以通項(xiàng)公式為an＝3n－1的數(shù)列{an}是等差數(shù)列．結(jié)論．『規(guī)律總結(jié)』用三段論寫演繹推理的過程時(shí)，關(guān)鍵是明確其中的大前提、小前提、結(jié)論，其中大前提是指一般性的原理，一般都是省略不寫的；小前提指出了一種特別狀況，有時(shí)也是省略的，大小前提結(jié)合起來(lái)，揭示了一般原理與特別狀況的內(nèi)在聯(lián)系，得到結(jié)論．┃┃跟蹤練習(xí)1__■將下列演繹推理改寫為三段論推理的形式，并注明大前提、小前提、結(jié)論．(1)直角三角形的內(nèi)角和等于180°；(2)三角函數(shù)是周期函數(shù)，y＝tanx是三角函數(shù)，所以y＝tanx是周期函數(shù)；(3)在數(shù)列{an}中，an＝3·4n，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．[解析](1)因?yàn)槿咳切蔚膬?nèi)角和都等于180°，大前提直角三角形是三角形，小前提所以直角三角形的內(nèi)角和等于180°.結(jié)論(2)因?yàn)槿咳呛瘮?shù)都是周期函數(shù)，大前提y＝tanx是三角函數(shù)，小前提所以y＝tanx是周期函數(shù)．結(jié)論(3)假如在數(shù)列{an}中，eq\f(an＋1,an)＝q(q是與n無(wú)關(guān)的常數(shù))，那么{an}是等比數(shù)列，大前提數(shù)列{an}當(dāng)an＝3·4n時(shí)，eq\f(an＋1,an)＝4，小前提所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列．結(jié)論命題方向?演繹推理在幾何證明中的應(yīng)用典例2已知平面α∥平面β，直線l⊥α，l∩α＝A，如圖所示，求證：l⊥β.[思路分析]本題可由線面垂直的定義證明l⊥β.[解析]在平面β內(nèi)任取一條直線b，平面γ是經(jīng)過點(diǎn)A與直線b的平面．設(shè)γ∩α＝a.①假如兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行，大前提α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，小前提所以a∥b.結(jié)論②假如一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線都垂直，大前提l⊥α，a?α，小前提所以l⊥a.結(jié)論③假如一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么它也與另一條垂直，大前提a∥b，且l⊥a，小前提所以l⊥b.結(jié)論④假如一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直，大前提因?yàn)閘⊥b，且直線b是平面β內(nèi)的隨意一條直線，小前提所以l⊥β.結(jié)論『規(guī)律總結(jié)』在幾何推理過程中，多數(shù)狀況采納的都是三段論推理模式，其中大前提通常是：兩個(gè)三角形全等、相像的判定定理，線面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理，面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理等，因此都可以省略不寫．┃┃跟蹤練習(xí)2__■用三段論證明，并指出每一步推理的大前提和小前提．如圖所示，在銳角△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足．證明：AB的中點(diǎn)M到D、E的距離相等．[證明](1)∵有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，大前提在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，小前提∴△ABD是直角三角形．結(jié)論同理，△AEB也是直角三角形．(2)∵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，大前提而M是Rt△ABD斜邊AB的中點(diǎn)，DM是斜邊上的中線，小前提∴DM＝eq\f(1,2)AB.結(jié)論同理，EM＝eq\f(1,2)AB.∴DM＝EM.學(xué)科核心素養(yǎng)用三段論證明代數(shù)題典例3(2024·菏澤高二檢測(cè))已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函數(shù)f(x)＝ax，若實(shí)數(shù)m，n滿意f(m)>f(n)，則m，n的大小關(guān)系是__m<n__.[解析]當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax為減函數(shù)，(大前提)a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，(小前提)所以函數(shù)f(x)＝(eq\f(\r(5)－1,2))x為減函數(shù)，(結(jié)論)故由f(m)>f(n)，得m<n.『規(guī)律總結(jié)』五類代數(shù)問題中的三段論(1)函數(shù)類問題：比如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性等．(2)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和最值，證明與函數(shù)有關(guān)的不等式等．(3)三角函數(shù)問題：利用三角函數(shù)公式進(jìn)行三角恒等變換，證明三角恒等式．(4)數(shù)列問題：數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，證明等差數(shù)列和等比數(shù)列．(5)不等式類問題：如不等式恒成立問題，線性規(guī)劃以及基本不等式的應(yīng)用問題．┃┃跟蹤練習(xí)3__■設(shè)a>0，f(x)＝eq\f(ex,a)＋eq\f(a,ex)是R上的偶函數(shù)．(1)求a的值；(2)證明：f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)．[解析](1)因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù)，所以對(duì)一切x∈R，都有f(x)＝f(－x)，即eq\f(ex,a)＋eq\f(a,ex)＝eq\f(e－x,a)＋eq\f(a,e－x)＝eq\f(1,aex)＋aex，整理得(eq\f(1,a)－a)(ex－eq\f(1,ex))＝0對(duì)一切x∈R恒成立．因ex－eq\f(1,ex)不恒為0，故eq\f(1,a)－a＝0，所以a＝±1.又a>0，所以a＝1.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1<x2.則f(x1)－f(x2)＝ex1＋eq\f(1,ex1)－ex2－eq\f(1,ex2)＝(ex2－ex1)·(eq\f(1,ex1＋x2)－1)＝ex1(ex2－x1－1)·eq\f(1－ex1＋x2,ex1＋x2).因?yàn)閤1>0，x2>0且x1<x2，所以x2－x1>0，x1＋x2>0，所以ex2－x1>1,1－ex1＋x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．易混易錯(cuò)警示三段論推理中大(小)前提錯(cuò)誤致誤典例4如圖，已知S為△ABC所在平面外一點(diǎn)，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求證：AB⊥BC.[錯(cuò)因分析]在立體幾何中，線面平行、垂直等位置關(guān)系的證明基本都是演繹推理三段論的過程，而這是一個(gè)難點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn)，其中主要的錯(cuò)誤在于搞錯(cuò)大前提，有時(shí)甚至隨意編造有關(guān)定理作為大前提，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤．[正解]證明：如圖，過點(diǎn)A作直