2024秋高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.2直接證明與間接證明2.2.1綜合法與分析法課時作業(yè)含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-其次章2.22.2.1請同學(xué)們仔細完成練案[16]A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．用分析法證明不等式：欲證①A>B，只需證②C<D，這里①是②的(D)A．既不充分也不必要條件B．充要條件C．充分條件D．必要條件[解析]∵②?①，但①不肯定推出②，故選D．2．下圖是解決數(shù)學(xué)問題的思維過程的流程圖：在此流程圖中，①、②兩條流程線與“推理與證明”中的思維方法匹配正確的是(C)A．①綜合法，②反證法 B．①分析法，②反證法C．①綜合法，②分析法 D．①分析法，②綜合法[解析]由已知到可知，進而得到結(jié)論的應(yīng)為綜合法；由未知到需知，進而找到與已知的關(guān)系為分析法，故選C．3．(2024·德州高二檢測)在R上定義運算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿意x⊙(x－2)<0的實數(shù)x的取值范圍為(BA．(0,2) B．(－2,1)C．(－1,2) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析]由定義得x(x－2)＋2x＋x－2<0，即x2＋x－2<0，∴－2<x<1.故選B．4．若兩個正實數(shù)x、y滿意eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，且不等式x＋eq\f(y,4)<m2－3m有解，則實數(shù)m的取值范圍是(B)A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)[解析]∵x>0，y>0，eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，∴x＋eq\f(y,4)＝(x＋eq\f(y,4))(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))＝2＋eq\f(y,4x)＋eq\f(4x,y)≥2＋2eq\r(\f(y,4x)·\f(4x,y))＝4，等號在y＝4x，即x＝2，y＝8時成立，∴x＋eq\f(y,4)的最小值為4，要使不等式m2－3m>x＋eq\f(y,4)有解，應(yīng)有m2－3m>4，∴m<－1或m>4，故選5．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么(D)A．x<eq\f(x＋y,2)<y<2xy B．2xy<x<eq\f(x＋y,2)<yC．x<eq\f(x＋y,2)<2xy<y D．x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y[解析]∵y>x>0，且x＋y＝1，∴設(shè)y＝eq\f(3,4)，x＝eq\f(1,4)，則eq\f(x＋y,2)＝eq\f(1,2)，2xy＝eq\f(3,8).所以有x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y，故解除A、B、C，選D．6．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a、b∈R＋，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，則A、B、C的大小關(guān)系為(A)A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A[解析]eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，又函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,2))x在(－∞，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，∴f(eq\f(a＋b,2))≤f(eq\r(ab))≤f(eq\f(2ab,a＋b))．二、填空題7．假如aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，則實數(shù)a、b應(yīng)滿意的條件是__a≠b且a≥0，b≥0__.[解析]aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)?aeq\r(a)＋beq\r(b)－aeq\r(b)－beq\r(a)>0?a(eq\r(a)－eq\r(b))＋b(eq\r(b)－eq\r(a))>0?(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))>0?(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))2>0只需a≠b且a，b都不小于零即可．8．已知x1是方程x＋2x＝4的根，x2是方程x＋log2x＝4的根，則x1＋x2的值是__4__.[解析]∵x＋2x＝4，∴2x＝4－x，∴x1是y＝2x與y＝4－x交點的橫坐標．又∵x＋log2x＝4，∴l(xiāng)og2x＝4－x，∴x2是y＝log2x與y＝4－x交點的橫坐標．又y＝2x與y＝log2x互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y＝x對稱，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4－x，,y＝x))得x＝2，∴eq\f(x1＋x2,2)＝2，∴x1＋x2＝4.三、解答題9．已知n∈N*，且n≥2，求證：eq\f(1,\r(n))>eq\r(n)－eq\r(n－1).[證明]要證eq\f(1,\r(n))>eq\r(n)－eq\r(n－1)，即證1>n－eq\r(nn－1)，只需證eq\r(nn－1)>n－1，∵n≥2，∴只需證n(n－1)>(n－1)2，只需證n>n－1，只需證0>－1，最終一個不等式明顯成立，故原結(jié)論成立．10．已知a，b，c表示△ABC的三邊長，m＞0，求證：eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m).[證明]要證明eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m)，只需證明eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)－eq\f(c,c＋m)＞0即可．∵eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)－eq\f(c,c＋m)＝eq\f(ab＋mc＋m＋ba＋mc＋m－ca＋mb＋m,a＋mb＋mc＋m)，∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，∵△ABC中隨意兩邊之和大于第三邊，∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，∴eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m).B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)關(guān)于綜合法和分析法說法正確的是(ABC)A．綜合法和分析法是干脆證明中最基本的兩種證明方法B．綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч–．分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法D．綜合法和分析法都是因果分別互推的兩頭湊法[解析]選項A成立，選項B和C是綜合法的思路就是由因?qū)Чǎ头治龇ǖ母拍?，是?zhí)果索因法，正確．選項D不符合定義，解除D選項．故選ABC．2．(多選題)在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N*，且對隨意m、n都有：(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；給出下列三個結(jié)論①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26.其中結(jié)論正確的是(ABC)A．① B．②C．③ D．都不正確[解析]∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)組成首項為f(m,1)，公差為2的等差數(shù)列，∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(m,1)構(gòu)成首項為f(1,1)，公比為2的等比數(shù)列，∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，二、填空題3．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，則cos(α－β)＝__－eq\f(1,2)__.[解析]由題意sinα＋sinβ＝－sinγ，①cosα＋cosβ＝－cosγ，②①，②兩邊同時平方相加得，2＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ＝1，2cos(α－β)＝－1，cos(α－β)＝－eq\f(1,2).4．我國唐代天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家張逐曾以“李白喝酒”為題編寫了如下一道題：“李白街上走，提壺去買酒，遇店加一倍，見花喝一斗(計量單位)，三遇店和花，喝光壺中酒．”問最終一次遇花時有酒__1__斗，原有酒__eq\f(7,8)__斗．[解析]因為最終一次喝光酒，且見花喝一斗，所以最終一次遇花時有酒1斗，設(shè)原有酒x斗，由他三遇店和花，遇店加一倍，見花喝一斗得：第一次見店又見花后酒有2x－1斗，其次次見店又見花后酒有2(2x－1)－1斗，第三次見店又見花后酒有2[2(2x－1)－1]－1斗，因為最終一次喝光酒，所以2[2(2x－1)－1]－1＝0，解得x＝eq\f(7,8).三、解答題5．用分析法證明eq\r(6)＋eq\r(10)＞2eq\r(3)＋2.[解析]要證eq\r(6)＋eq\r(10)＞2eq\r(3)＋2，只要證(eq\r(6)＋eq\r(10))2＞(2eq\r(3)＋2)2，即證16＋2eq\r(60)＞16＋8eq\r(3)，即證240＞192，因為240＞192明顯成立，所以原不等式成立．6．已知a、b是不等正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2，求證：1<a＋b<eq\f(4,3).[證明]∵a3－b3＝a2－b2且a≠b，∴a2＋ab＋b2＝a＋b，由(a＋b)2＝a2