第22講 加法原理和乘法原理 （教師版）

第22講加法原理和乘法原理（教師版）一、第22講加法原理和乘法原理1.從甲地到乙地，可以乘火車，汽車和輪船．火車有4班，汽車有8班，輪船有3班．從甲地到乙地共有多少種不同的走法?【答案】解：從甲地到乙地，共有三類辦法：一類是乘火車，有4種不同的走法；一類是乘汽車，有8種不同的走法；另一類是乘輪船，有3種不同的走法；

根據(jù)加法原理：從甲地到乙地走法共有：4+8+3=15（種）.

答：從甲地到乙地共有15種不同的走法.【解析】【分析】做一件事情，完成它有n類辦法；在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第三類辦法中有m3種不同的方法，……在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有m1+m2+m3+……+mn.根據(jù)加法原理計算即可.2.一個盒中有5個小球，另一個盒中有6個小球，這些小球各不相同．問：（1）從這兩個盒中任取一個小球，有多少種不同的取法?（2）從這兩個盒中各取一個小球，有多少種不同的取法?【答案】（1）解：從兩個盒中任取一個小球，有兩類辦法，第一類辦法是從第一個盒中取球，共有5種不同的方法；第二類辦法是從第二個盒中取球，共有6種不同的方法．

由加法原理，共有5+6=11種不同的取法．

（2）解：從兩個盒子中各取一球，可分兩步進行．第一步是從第一個盒中取一球，有5種不同的方法；第二步是從第二個盒子中取一球，有6種不同的取法；

這二步都完成了，這件事(從兩個盒中各取一球)才完成．

根據(jù)乘法原理，共有5×6=30種不同的取法．

【解析】【分析】使用乘法原理與加法原理的不同之處在于：用加法原理時，完成一件事情有n類辦法，不論用哪一類辦法，都能完成這件事．而用乘法原理時，完成一件事情可分為n步，但不論哪一步，都只是完成這件事情的一部分，只有每一步都完成了；這件事情才得以完成．因此，這n步缺一不可．這就是使用乘法原理還是使用加法原理的主要區(qū)別．3.甲、乙、丙三個組，甲組6人，乙組5人，丙組4人．每組各選1人一起參加會議，共有多少種選法?如果三個組共同推選一個代表，有多少種選法?

【答案】解：①若每組各選1人一起參加會議，則每組選一人只是完成整個選舉的一步．應(yīng)用乘法原理，共有6×5×4=120種選法．②若三組共同推選一個代表，則任一組選出一個代表，整個選舉就已經(jīng)完成．應(yīng)用加法原理，共有6+5+4=15種選法．【解析】【分析】使用乘法原理與加法原理的不同之處在于：用加法原理時，完成一件事情有n類辦法，不論用哪一類辦法，都能完成這件事．

而用乘法原理時，完成一件事情可分為n步，但不論哪一步，都只是完成這件事情的一部分，只有每一步都完成了；這件事情才得以完成．因此，這n步缺一不可．這就是使用乘法原理還是使用加法原理的主要區(qū)別．根據(jù)加法原理和乘法原理計算即可.4.三個多項式(≠0)相乘，在合并同類項之前，乘積至多有多少項?合并同類項后，乘積至多有多少項?【答案】解:三個多項式分別有l(wèi)+1、m+1、n+1(其中可能有些項系數(shù)為0)．相乘時，從這三個多項式各取一項相乘，然后再合并同類項，所以根據(jù)乘法原理，在合并同類項前，乘積至多有(l+1)(m+1)(n+1)項(如果都不為0，0≤i≤1，0≤j≤m，。0≤k≤n那么恰好有(l+1)(m+1)(n+1項))．乘積的最高次項的次數(shù)為1+m+n，所以合并同類項后，至多有1+m+n項．【解析】【分析】做一件事情，完成它可分成n步；做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第三步有m3種不同的方法，……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有m1·m2·m3·……·mn.根據(jù)乘法原理計算即可.5.如圖是一個5×5的正方形．將A、B、C、D、E五個棋子放在方格里，每行和每列只能出現(xiàn)一個棋子．一共有多少種放法?

【答案】解：將A、B、C、D、E五個棋子放到5×5的方格中，可分五步走．第一步放A，它可以放在這5×5=25個方格的任一個小方格中，所以共有25種放法。第二步放B，根據(jù)題意，B不能與A同行，也不能與A同列．在A占用一個小方格后，這個小方格所在的行與列都不能再放B．因此，B有4×4=16(去掉A所占的一行一列還剩4×4個方格)種放法．同樣地，第三步放C，C不能與A、B同行同列，只有3×3=9種放法．第四步放D，D不能與A、B、C同行同列，只有2×2=4種放法．第五步放E，E不能與A、B、C、D同行同列，只有1×1=1種放法．

根據(jù)乘法原理，符合題意的放法共有：25×16×9×4×1=14400(種)．【解析】【分析】做一件事情，完成它可分成n步；做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第三步有m3種不同的方法，……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有m1·m2·m3·……·mn.根據(jù)乘法原理計算即可.6.如圖為某市管轄的七個縣的地圖．用紅、綠、藍、紫、黑五種顏色給地圖染色，使任意兩個相鄰的縣顏色不同．有多少種不同的染色方法?【答案】解：為便于觀察，在保持各縣相鄰關(guān)系不變的前提下，可以將題圖改畫成下圖，按照A、B、C、D、E、F、G的順序染色：A有5種染法；B不能與A同色，有4種染法；C不能與A、B同色，有3種染法；D不能與A、C同色，有3種染法；E不能與A、D同色，有3種染法；F不能與A、E同色，有3種染法；G不能與C、D同色，有3種染法.根據(jù)乘法原理，地圖有5×4×3×3×3×3×3=4860種的染色方法．【解析】【分析】做一件事情，完成它可分成n步；做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第三步有m3種不同的方法，……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有m1·m2·m3·……·mn.根據(jù)乘法原理計算即可.7.由0、1、2、3、4、5、6這7個數(shù)字，可以組成（1）多少個四位數(shù)?其中有多少個奇數(shù)，有多少個偶數(shù)?（2）多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?其中有多少個奇數(shù)，多少個偶數(shù)?【答案】（1）解：逐一分析：這個四位數(shù)的最高位不能是0，有6種選法(即選1～6中的任一個數(shù)字)；

其余各位，可以從0～6這7個數(shù)字中任選，都有7種不同的選法．共有6×7×7×7=2058（個）．

這些四位數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)可用類似方法獲得．即：

最高位不能為0，有6種選法．百位，十位可從0～6中任選，各有7種選法；個位數(shù)字只能為1、3、5，有3種選法．

因此，其中的奇數(shù)個數(shù)為6×7×7×3=882（個）．

這些四位數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)可用下面兩種方法獲得．

方法一，與獲得奇數(shù)個數(shù)的方法完全一樣，不難得到，偶數(shù)的個數(shù)為6×7×7×4=1176（個）．

方法二，偶數(shù)的個數(shù)等于四位數(shù)的個數(shù)減去其中的奇數(shù)個數(shù)，即2058-882=1176（個）．

（2）解：用同樣的方法求出有多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．

最高位不能是0，因此只能有6種選法；百位不能與最高位的數(shù)字相同，在0～6這7個數(shù)字中去掉最高位所選的數(shù)字，有6種選法；十位不能與百位和最高位相同，有5種選法；個位不能與十位、百位及最高位相同，有4種選法；

所以，沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有6×6×5×4=720(個)．

其中奇數(shù)的個數(shù)可通過下面的方法得到：個位數(shù)字只能為1、3、5，有3種選法；最高位不能為0，也不能與個位相同，有5種選法；百位不能與個位和最高位相同，有5種選法；十位不能與個位、最高位及百位相同，有4種選法；

因此，其中奇數(shù)的個數(shù)為：3×5×5×4=300(個)．

其中偶數(shù)的個數(shù)為：720-300=420(個)．【解析】【分析】（1）做一件事情，完成它可分成n步；做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第三步有m3種不同的方法，……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有m1·m2·m3·……·mn.根據(jù)乘法原理計算即可.

（2）在求沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)時，也可用下面的方法：這樣的偶數(shù)可分為兩類．一類個位數(shù)字為0，千位有6種、百位有5種、十位有4種，故有6×5×4=120種．另一類個位為2、4、6，有3種取法．這時千位有5種(不為0、不與個位同)，百位有5種(不與個位、千位同)，十位有4種，故有3×5×5×4=300種．由加法原理，這樣的偶數(shù)共有120+300=420種．結(jié)果和前面一致．這種解法綜合應(yīng)用了加法原理與乘法原理。8.將十個人任意分成甲、乙兩組，每組至少1人．問有多少種不同的分法?【答案】解：由于每個人都可分