2024-2025學(xué)年安徽省合肥市高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)教學(xué)診斷檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年安徽省合肥市高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)教學(xué)診斷檢測(cè)試題一、單選題，本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.圖中的U是全集，A，B是U的兩個(gè)子集，則表示）的陰影部分是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)集合運(yùn)算的定義，結(jié)合韋恩圖分析即可得解.【詳解】對(duì)于A，圖中陰影部分表示，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，圖中陰影部分表示，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圖中陰影部分表示，故C正確；對(duì)于D，圖中陰影部分表示，故D錯(cuò)誤.故選：C.2.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由已知可得，即的周期為，可得，即可求范圍.【詳解】解：，，即，即，所以4上函數(shù)的一個(gè)周期，，.故選：C.3.直線：，：，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.0 B.1 C.0或1 D.或1【正確答案】C【分析】根據(jù)兩直線垂直的公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，：垂直，所以，解得或，將，代入方程，均滿足題意，所以當(dāng)或時(shí)，.故選.4.若函數(shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由導(dǎo)數(shù)在上存在變號(hào)零點(diǎn)即可求解.【詳解】由題可得，若函數(shù)在上不單調(diào)，則時(shí)，，故，則．故選：A．5.為應(yīng)對(duì)塑料袋帶來(lái)的白色污染，我國(guó)于2008年6月1日起開始實(shí)施的“限塑令”明確規(guī)定商場(chǎng)?超市和集貿(mào)市場(chǎng)不得提供免費(fèi)塑料購(gòu)物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料購(gòu)物袋.“限塑令”實(shí)施后取得了一定的成效，推動(dòng)了環(huán)保塑料袋產(chǎn)業(yè)的發(fā)展.環(huán)保塑料袋以易降解為主要特點(diǎn).已知某種環(huán)保塑料袋的降解率與時(shí)間（月）滿足函數(shù)關(guān)系式（其中為大于零的常數(shù)）.若經(jīng)過(guò)2個(gè)月，這種環(huán)保塑料袋降解了，經(jīng)過(guò)4個(gè)月，降解了，那么這種環(huán)保塑料袋要完全降解，至少需要經(jīng)過(guò)（）（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：）A.5個(gè)月 B.6個(gè)月 C.7個(gè)月 D.8個(gè)月【正確答案】A【分析】由題意可計(jì)算出、的值，再令，代入所給函數(shù)關(guān)系式計(jì)算即可得.【詳解】由題意可得，，即有，即，則，令，即，即，則.故這種環(huán)保塑料袋要完全降解，至少需要經(jīng)過(guò)5個(gè)月.故選：A.6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)角終邊上一點(diǎn)，若，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)求出，由的范圍及求得，最后由公式求值即可.【詳解】由點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)得，，，又，，∴，∴，∴.故選：D7.若函數(shù)且為常數(shù)在（為常數(shù)）上有最小值，則在上（）A.有最大值12 B.有最大值6C.有最小值 D.有最小值【正確答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得最大值，由得解.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋缘亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，即為奇函數(shù)，且，因?yàn)樵谏嫌凶钚≈?，所以在上有最小值，由奇函?shù)的對(duì)稱性知，在上有最大值，所以在上有最大值，故選：A8.已知函數(shù)（表示不超過(guò)的最大整數(shù)），，若對(duì)任意的，總存在三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，則在極小值和極大值之間，又，列不等式求的取值范圍.【詳解】，，解得或，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)，有極大值；時(shí)，有極小值，時(shí)，；時(shí)，，若對(duì)任意的，總存在三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，，使得，則有，，，即，所以，解得.故選：D.點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題除了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，關(guān)鍵點(diǎn)是理解的意義，得到和的結(jié)論.二、多選題：本題共3小題，共15分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知正數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】A直接應(yīng)用基本不等式判斷；B由代入目標(biāo)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)判斷；C、D利用基本不等式“1”的代換判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，且，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，正確．對(duì)于B，由，得，又，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，正確．對(duì)于C，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，錯(cuò)誤．對(duì)于D，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，正確．故選：ABD10.已知，且，則（）A. B.C. D.【正確答案】BD【分析】A選項(xiàng)，兩式平方后相加得到；D選項(xiàng)，由得到；B選項(xiàng)，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到；C選項(xiàng)，先求出的值，利用正切二倍角公式得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)椋瑑墒狡椒胶笙嗉涌傻?，所以，故A錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，又，故，由于，故，又，所以，故D正確；B選項(xiàng)，，故B正確；C選項(xiàng)，，故，故C錯(cuò)誤.故選：BD.11.已知函數(shù)關(guān)于的方程，下列命題正確的是（）A.若，則方程恰有4個(gè)不同的解B.若，則方程恰有5個(gè)不同的解C.若方程恰有2個(gè)不同的解，則或D.若方程恰有3個(gè)不同的解，則【正確答案】BC【分析】由得或，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解在不同條件下的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋?，所以或，的圖象如圖所示，由圖可知與有兩個(gè)交點(diǎn).對(duì)于A，若且，則方程恰有2個(gè)不同的解，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則與有3個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)方程恰有5個(gè)不同的解，故B正確；對(duì)于C，若方程恰有2個(gè)不同的解，當(dāng)與沒有交點(diǎn)時(shí)滿足題意，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，方程恰有2個(gè)不同的解，此時(shí)，故若方程恰有2個(gè)不同的解，則或，故C正確；對(duì)于D，若方程恰有3個(gè)不同的解，則，則與有1個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)或，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.“”是“一元二次方程有實(shí)數(shù)解”的______條件．（填“充分不必要”或“必要不充分”）【正確答案】充分不必要【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若一元二次方程有實(shí)數(shù)解，則，解得，所以由推得出一元二次方程有實(shí)數(shù)解，故充分性成立，由一元二次方程有實(shí)數(shù)解推不出，故必要性不成立；所以“”是“一元二次方程有實(shí)數(shù)解”的充分不必要條件.故充分不必要13.已知，，則______．【正確答案】【分析】由已知條件展開可求得，,代入即可.【詳解】由得：,由得：,所以，,所以.故14.已知函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝kx－2的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．【正確答案】(01)∪(1,4)【詳解】y＝函數(shù)y＝kx－2的圖象恒過(guò)定點(diǎn)M(0，－2)，kMA＝0，kMB＝4.當(dāng)k＝1時(shí)，直線y＝kx－2在x＞1或x≤－1時(shí)與直線y＝x＋1平行，此時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，∴k∈(0,1)∪(1,4)時(shí)，兩函數(shù)圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)．點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的范圍的常用方法，(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．四、解答題：本題共4小題，共50分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)f（x）＝x2－ax＋2．（1）若f（x）≤－4的解集為[2，b]，求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x不等式f（x）≥1－x2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式和一元二次方程的關(guān)系得出實(shí)數(shù)a，b的值；（2）不等式f（x）≥1－x2等價(jià)于，結(jié)合基本不等式得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】若f（x）≤－4的解集為[2，b]，則的解集為[2，b]所以，解得【小問(wèn)2詳解】由f（x）≥1－x2得對(duì)恒成立即在區(qū)間恒成立，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)所以，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為16.已知函數(shù).（1）若時(shí)，求的最小值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）.【分析】（1）求導(dǎo)，令，可得，進(jìn)而可得左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，可求最小值；（2）分離變換可得，令，可得，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，f′x<0，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，f′x>0，在上單調(diào)遞增，.【小問(wèn)2詳解】由，令，可得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.17.已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的恒成立，求的最小值.【正確答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，得到，再分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)條件，利用（1）中結(jié)果得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出的最小值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】易知，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，得到，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增，時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，時(shí)，，由（1）知，要使對(duì)任意的恒成立，則，且恒成立，即恒成立，得到，所以，令，則，由，得到，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故的最小值為.18.若至少由兩個(gè)元素構(gòu)成的有限集合，且對(duì)于任意的，都有，則稱為“集合”．（1）判斷是否為“集合”，說(shuō)明理由；（2）若雙元素集為“集合”，且，求所有滿足條件的集合；（3）求所有滿足條件的“集合”．【正確答案】（1）不，理由見解析；（2）；（3），其中.【分析】（1）根據(jù)集合新定義直接判斷即可；（2）設(shè)，進(jìn)而研究或是否存在正整數(shù)解即可；（3）討論“集合”為雙元素集或含有兩個(gè)以上的元素，同（2）分析及反證法研究是否存在正整數(shù)解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以不是“一集合”．【小?wèn)2詳解】設(shè)．若，則或．由，解得（舍去），此時(shí)；由化為，而，故方程無(wú)正整數(shù)解．若，則或，由，解得，此時(shí)；由化為，而，故方程無(wú)正整數(shù)解．綜上，所有滿足條件的集合為．