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波約·格爾文定理的應(yīng)用與高考題高考題(02年全國)(I)給出兩塊相同正三角形紙片,要求用其中一塊剪拼成一個正三棱錐模型,另一塊剪拼成一個正三棱柱模型,使它們的全面積都與原三角形的面積相等,該拼圖題的本質(zhì)是:設(shè)計一種剪拼方法。把一個正三角形剪拼成一個與之面積相同的正三棱錐或一個正三棱柱的表面展開圖。正三棱錐的制作:把正三角形剖分為9個小正三角形,取其中1個作為正三棱錐底面,余下8個經(jīng)過剖分拼成正三棱錐的三個側(cè)面。
該題有無窮多解。正三棱柱的制作:把正三角形剖分為9個小正三角形,取其中2個作為正三棱柱底面,余下7個經(jīng)過剖分拼成正三棱錐的三個側(cè)面。
更一般的制作法另一個經(jīng)典問題:
用長方形紙板制作體積最大的無蓋長方體怎樣將一張長2a、寬2b的矩形紙板做成一只體積最大的無蓋長方體紙盒?制作:剪掉邊長為x的4個小正方形,再折起來。于是V=x(2a-2x)(2b-2x),求得最大值點(diǎn)有兩種方法:初等方法——基本不等式;高等方法——導(dǎo)數(shù)。如果要求不浪費(fèi)材料呢?可先不考慮如何制作。不浪費(fèi)材料制作體積最大的無蓋長方體盒子用一張長2a、寬2b的矩形紙板制作無蓋長方體盒子,怎樣設(shè)計使長方體盒體積最大?解:由于4ab=xy+2yz+2zx為定值,而xy×2yz×2zx=4x2y2z2=4v2.故當(dāng)xy=2yz=2zx,即x=y=2z時,體積v最大。此時無蓋長方體是半個正方體,其側(cè)面積是底面積的兩倍。如果制作的是有蓋(即封閉)的長方體,何時體積最大呢?能否把“無蓋”的問題轉(zhuǎn)化為“有蓋”的問題嗎?一個實(shí)例如何用一張長8、寬6的長方形紙板制作一個體積最大的無蓋長方體紙盒?計算可知:體積最大的無蓋長方體紙盒,其底面是邊長為4的正方形,高為2。更一般的問題:表面積為定值體積最大的柱體如何?表面積為定值,體積最大的柱體為圓柱。首先證:表面積為定值s體積最大的柱體C必為直柱體。用反證法證明。假設(shè)柱體C不是直柱體,那么柱體C的側(cè)面展開圖必是一個非矩形的平行四邊形。構(gòu)造一個底面與柱體C的底面全等且表面積仍為s的直柱體A,則直柱體A的側(cè)面積與柱體C的側(cè)面積相等。由于柱體的側(cè)面展開圖是兩邊分別為底面周長和側(cè)棱長的平行四邊形,而直柱體A的側(cè)面展開圖是矩形,因此直柱體A的側(cè)棱長(即A的高)與柱體C的斜高相等。由假設(shè)柱體C不是直柱體,可知其高小于其斜高,所以直柱體A的體積大于柱體C的體積。這與C是體積最大的柱體矛盾。所以柱體C必是直柱體。以下進(jìn)一步證明直柱體C是圓柱。仍用反證法。假設(shè)直柱體C的底面不是圓,構(gòu)造一底面與柱體C的底面面積相等且側(cè)面積也相等的圓柱Q。由等周定理可知,圓柱Q的底面周長比柱體C的底面周長小,于是圓柱Q的高比柱體C的高大,這與柱體C是體積最大矛盾,所以柱體C必是圓柱。
同理可證:表面積為定值,體積最大的n棱柱體為正n棱柱。體積最大的柱體(含正n棱柱和圓柱),其大小如何?側(cè)面積是底面積和的兩倍。變式:如果柱體是無蓋的,怎么解決?重新審視:02年全國高考第22題(II)比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小;(III)如果給你一塊任意三角形的紙片,要求剪拼成一個直三棱柱模型,使它的全面積與原三角形的面積相等,請設(shè)計一種剪拼方法,并作簡要說明.進(jìn)一步問題的解決:對(III),若要使該直三棱柱體積最大,形狀、大小如何?如何用已知的多邊形制作該棱柱呢?一般的,制作表面積相等且體積最大的三棱柱與正三棱錐,哪個更大?1個高考題用一塊鋼板制作一個容積為4m3的無蓋長方體水箱,可用的長方形鋼板有四種不同的規(guī)格,若既要夠用,又要所剩最少,則應(yīng)選擇的鋼板規(guī)格(單位均為m)是()A.2×5B.2×5.5C.2×6.1D.3×5分析:首先要知道容積為4m3的無蓋長方體水箱表面積最少是多少?問題探討:體積一定,表面積最小的柱體。問題探討1.體積為定值表面積最小的n棱柱(有蓋)的形狀如何?說明理由。正n棱柱。2.體積為定值v,表面積最小的n棱柱體(有蓋)大小如何?該正n棱柱的側(cè)面積是底面積的4倍時表面積最小。3.體積為定值v,表面積最小的柱體(有蓋)的形狀如何?其大小呢?圓柱。且其側(cè)面積是底面積的4倍時表面積最小。如果體積為定值的柱體是無蓋的,情況又如何?如何將問題轉(zhuǎn)化為有蓋的?實(shí)際中“最好”的柱形桶
在實(shí)際中,對于體積一定的柱體形桶容器(有蓋),桶底和桶壁材料費(fèi)用不同。這時如果從桶的制作成本來看,最好的桶應(yīng)使得桶底和桶壁材料的費(fèi)用總和最小。
可證“最好的”的柱體形桶仍為圓柱。設(shè)圓柱形桶的體積為V,底半徑為r,
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