第03講 定義命題定理（知識(shí)串講考點(diǎn)提升過(guò)關(guān)檢測(cè)）-2025年人教版七年級(jí)《數(shù)學(xué)》寒假自學(xué)提升講義

PAGE1第03講定義，命題，定理模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1.理解命題，定理及證明的概念，會(huì)區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論2.會(huì)判斷真假命題，知道證明的意義及必要性，了解反例的作用，通過(guò)討論、探究、交流等形式，使學(xué)生在辯論中獲得新知體驗(yàn)1.命題定義：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題.組成：命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．表達(dá)形式：可以寫(xiě)成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論．2.真命題、假命題內(nèi)容舉例注意真命題如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題，叫做真命題?對(duì)頂角相等說(shuō)明一個(gè)命題是真命題，需從已知出發(fā),經(jīng)過(guò)一步步推理，最后得出正確結(jié)論假命題命題中題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立的命題，叫做假命題?相等的角是對(duì)頂角判定一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子(反例)，使它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論即可【注意】只要是對(duì)一件事情作出判斷的句子就是命題，與判斷的結(jié)果正確與否無(wú)關(guān)，命題一定是陳述句，但是陳述句不一定是命題，而祈使句和疑問(wèn)句一定不是命題.如語(yǔ)句“對(duì)頂角相等”是一個(gè)命題，這里的事物是“對(duì)頂角”,對(duì)它的判斷是“相等”.又如語(yǔ)句“a的絕對(duì)值與b的絕對(duì)值”不是命題，這里沒(méi)有對(duì)事物進(jìn)行任何判斷.3.公理、定理公理：如果一個(gè)命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理.如：兩點(diǎn)之間線段最短.定理：如果一個(gè)命題可以從公理或其他命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的命題叫做定理．【溫馨提示】1）公理和定理都是真命題，都可作為證明其他命題是否為真命題的依據(jù)．2）由定理直接推出的結(jié)論，并且和定理一樣可作為進(jìn)一步推理依據(jù)的真命題叫做推論．4.證明證明：從命題的題設(shè)出發(fā)，通過(guò)推理來(lái)判斷命題的結(jié)論是否成立的過(guò)穆叫做證明.【溫馨提示】1）一般地，要判定一個(gè)命題是真命題，必須加以證明，2）在證明過(guò)程中，推理的每一步都要合乎邏輯.考點(diǎn)一：判斷是否是命題1．（23-24七年級(jí)下·湖南湘西·期末）下列語(yǔ)句，不是命題的是（

）A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．在同一個(gè)平面內(nèi)兩直線不平行就相交C．連接A，B兩點(diǎn) D．對(duì)頂角相等【答案】C【分析】本題考查了命題：判斷一件事情的語(yǔ)句叫做命題，正確的命題稱(chēng)為真命題，錯(cuò)誤的命題稱(chēng)為假命題．命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成的．根據(jù)命題的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．兩點(diǎn)之間線段最短，是命題；B．在同一個(gè)平面內(nèi)兩直線不平行就相交，是命題；C．連接A，B兩點(diǎn)，為描述性語(yǔ)言，不是命題；D．對(duì)頂角相等，是命題．故選：C．2．（23-24七年級(jí)下·遼寧鞍山·期中）下面的語(yǔ)句中，哪個(gè)不是命題（

）A．任何一個(gè)三角形一定有一個(gè)角是直角B．對(duì)頂角相等C．如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行D．過(guò)直線m外一點(diǎn)A作m的平行線AB【答案】D【分析】本題考查了命題的定義，根據(jù)判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題，命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由題設(shè)事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，逐一判斷即可．【詳解】解：A、如果一個(gè)圖形是三角形，那么一定有一個(gè)角是直角，是一個(gè)假命題，故不符合題意；B、如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等，是一個(gè)真命題，故不符合題意；C、如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，是一個(gè)真命題，故不符合題意；D、過(guò)直線m外一點(diǎn)A作m的平行線AB，這不是命題，故符合題意；故選：D．3．（23-24七年級(jí)下·福建龍巖·期中）下列句子中，是命題的是（

）A．對(duì)頂角相等 B．a(chǎn)，b兩條直線平行嗎C．畫(huà)一個(gè)角等于已知角 D．過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線【答案】A【分析】本題考查了命題的定義：一般的，在數(shù)學(xué)中我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．分析是否是命題，需要分別分析各選項(xiàng)是否是用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句即可．【詳解】解：A、對(duì)頂角相等，符合命題的概念，故本選項(xiàng)符合題意；B、a，b兩條直線平行嗎，是問(wèn)句，未做判斷，故本選項(xiàng)不符合題意；C、畫(huà)一個(gè)角等于已知角，不符合命題的概念，故本選項(xiàng)不符合題意，D、過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線，不符合命題的概念，故本選項(xiàng)不符合題意；故選A．4．（23-24七年級(jí)下·山東東營(yíng)·階段練習(xí)）下列句子，是命題的是（）A．今天的空氣好清新 B．2021年6月17日，神舟十二號(hào)發(fā)射升空C．作一條長(zhǎng)為5cm的線段 【答案】D【分析】本題考查命題的判斷，熟知命題的定義：判斷一件事情的句子叫做命題，數(shù)學(xué)中的命題常可以寫(xiě)成：如果…，那么…，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、今天的空氣好清新，沒(méi)有作出判斷，不是命題，不符合題意；B、2021年6月17日，神舟十二號(hào)發(fā)射升空，沒(méi)有作出判斷，不是命題，不符合題意；C、作一條長(zhǎng)為5cmD、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，作出判斷，是命題，符合題意；故選：D．5．（20-21七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）下列句子：①爸爸你去哪兒呢?②舌尖上的中國(guó)；③中國(guó)好聲音是選秀節(jié)目；④邱波是喀山世錦賽十米跳臺(tái)的冠軍；⑤你不是調(diào)皮搗蛋的壞孩子；⑥奔跑吧兄弟!是命題的有（只填序號(hào)）．【答案】③④⑤【分析】直接根據(jù)命題的定義進(jìn)行判斷．【詳解】①是疑問(wèn)句，沒(méi)有判斷；②沒(méi)有對(duì)事情作出判斷；⑥是祈使句，不含判斷的意思；只有③④⑤是對(duì)某一件事情作出判斷的語(yǔ)句．故答案為：③④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查命題的判斷，熟練掌握命題是對(duì)一件事情作出判斷的語(yǔ)句是解題的關(guān)鍵．6．（22-23七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）判斷下列語(yǔ)句是否是命題，如果是，改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式，并分別指出它們的題設(shè)和結(jié)論，同時(shí)判斷其真假（1）作直線AB的垂線．（2）相等的角是對(duì)頂角．（3）你喜歡數(shù)學(xué)嗎？（4）OC平分∠AOB．（5）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．（6）同角的補(bǔ)角相等．【答案】（1）是作圖語(yǔ)言，不符合命題的定義，不是命題；（2）是命題；如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角；題設(shè)是兩個(gè)角相等；結(jié)論是這兩個(gè)角是對(duì)頂角；此命題是假命題；（3）表示疑問(wèn)的句子，沒(méi)有對(duì)事情做出判斷，所以此語(yǔ)句不是命題；（4）陳述了一個(gè)事情，沒(méi)有做出判斷，不是命題；（5）是命題；如果兩平行線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯(cuò)角相等；題設(shè)是兩平行線被第三條直線所截，結(jié)論是內(nèi)錯(cuò)角相等；此命題是真命題；（6）是命題；如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等；題設(shè)是兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，結(jié)論是這兩個(gè)角相等；此命題是真命題．【分析】判斷語(yǔ)句是否為命題要緊扣兩條：（1）命題必須是一個(gè)完整的陳述句；（2）必須對(duì)某件事情做出肯定或否定的判斷．這二者缺一不可．【詳解】（1）是作圖語(yǔ)言，不符合命題的定義，不是命題；（2）是命題；改寫(xiě)：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角；題設(shè)：兩個(gè)角相等；結(jié)論：這兩個(gè)角是對(duì)頂角；此命題是假命題；（3）表示疑問(wèn)的句子，沒(méi)有對(duì)事情做出判斷，所以此語(yǔ)句不是命題；（4）陳述了一個(gè)事情，沒(méi)有做出判斷，不是命題；（5）是命題改寫(xiě)：如果兩平行線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯(cuò)角相等；題設(shè)：兩平行線被第三條直線所截；結(jié)論：內(nèi)錯(cuò)角相等；此命題是真命題；（6）是命題改寫(xiě)：如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等；題設(shè)：兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角；結(jié)論：這兩個(gè)角相等；此命題是真命題．【點(diǎn)睛】本題考查了命題的概念，判斷語(yǔ)句是否為命題的兩個(gè)條件是做題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二：寫(xiě)出命題的題設(shè)與結(jié)論7．（20-21七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）把下列命題改寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式：（1）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．．（2）同角的補(bǔ)角相等．．【答案】如果兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線互相平行如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等【分析】找出原命題的條件和結(jié)論即可得出答案．【詳解】（1）“兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等”是命題的條件，“這兩條直線互相平行”是條件的結(jié)論．（2）“兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角”是命題的條件，“這兩個(gè)角相等”是條件的結(jié)論．故答案為：（1）如果兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線互相平行．（2）如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了將原命題寫(xiě)成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結(jié)論，解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的條件和結(jié)論，比較簡(jiǎn)單．8．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）把下列句子改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式，并回答題設(shè)是什么，結(jié)論是什么．(1)∠A=30°,∠B=60°,∠A和∠B互余；(2)兩個(gè)互補(bǔ)的角是鈍角；(3)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等．【答案】(1)如果∠A=30°,∠B=60°，那么∠A和∠B互余；題設(shè)是∠A=30°,∠B=60°，結(jié)論是∠A和∠B互余(2)如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么這兩個(gè)角是針角；題設(shè)是兩個(gè)角互補(bǔ)，結(jié)論是這兩個(gè)角是鈍角(3)如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等；題設(shè)是兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，結(jié)論是這兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等【分析】本題主要考查命題，熟練掌握命題的形式是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意找出題設(shè)和結(jié)論即可求解；（2）根據(jù)題意找出題設(shè)和結(jié)論即可求解；（3）根據(jù)題意找出題設(shè)和結(jié)論即可求解【詳解】（1）解：如果∠A=30°,∠B=60°，那么∠A和∠B互余；題設(shè)是∠A=30°,∠B=60°，結(jié)論是∠A和∠B互余．（2）如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么這兩個(gè)角是針角；題設(shè)是兩個(gè)角互補(bǔ)，結(jié)論是這兩個(gè)角是鈍角．（3）如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等；題設(shè)是兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，結(jié)論是這兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等．9．（23-24七年級(jí)下·陜西渭南·階段練習(xí)）請(qǐng)將下列命題改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式：(1)等角的補(bǔ)角相等；(2)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行【答案】(1)如果兩個(gè)角是相等的角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等（或如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角的補(bǔ)角相等）(2)如果在同一平面內(nèi)，兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行【分析】本題主要考查了將原命題寫(xiě)成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結(jié)論，解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的條件和結(jié)論，比較簡(jiǎn)單．根據(jù)命題的概念解答即可．【詳解】（1）如果兩個(gè)角是相等的角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等（或如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角的補(bǔ)角相等）；（2）如果在同一平面內(nèi)，兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．10．（23-24七年級(jí)下·河北滄州·階段練習(xí)）請(qǐng)指出下列命題的條件和結(jié)論，并判斷它們的真假．(1)如果兩個(gè)角是直角，那么這兩個(gè)角相等；(2)絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)相等；(3)兩個(gè)鈍角的和一定大于180°．【答案】(1)條件：兩個(gè)角是直角；結(jié)論：這兩個(gè)角相等；真命題(2)條件：兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等；結(jié)論：這兩個(gè)數(shù)相等；假命題(3)條件：兩個(gè)角是鈍角；結(jié)論：這兩個(gè)角的和一定大于180°；真命題【分析】本題考查命題的真假性，熟知相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，寫(xiě)出條件和結(jié)論，再進(jìn)行判斷真假即可；（2）根據(jù)題意，寫(xiě)出條件和結(jié)論，再進(jìn)行判斷真假即可；（3）根據(jù)題意，寫(xiě)出條件和結(jié)論，再進(jìn)行判斷真假即可．【詳解】（1）解：條件：兩個(gè)角是直角；結(jié)論：這兩個(gè)角相等；直角為90°，故原命題是真命題；（2）解：條件：兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等；結(jié)論：這兩個(gè)數(shù)相等；絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)，還可以互為相反數(shù)，不一定相等，故原命題是假命題；（3）解：條件：兩個(gè)角是鈍角；結(jié)論：這兩個(gè)角的和一定大于180°；鈍角大于90°，故兩個(gè)鈍角的和一定大于180°，故原命題是真命題．11．（22-23七年級(jí)下·河南駐馬店·期中）指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個(gè)反例．(1)兩個(gè)角的和等于平角時(shí)，這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；(2)內(nèi)錯(cuò)角相等；(3)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【答案】(1)題設(shè)：如果兩個(gè)角的和等于平角時(shí)，結(jié)論：那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；是真命題(2)題設(shè)：如果兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，結(jié)論：這兩個(gè)角相等；是假命題，舉反例見(jiàn)解析；(3)題設(shè)：如果兩條平行線被第三條直線所截，結(jié)論：那么同旁內(nèi)角互補(bǔ)．是真命題【分析】（1）如果引出的部分就是命題的題設(shè)，那么引出的部分就是命題的結(jié)論，題設(shè)成立，結(jié)論也成立命題是真命題，否則是假命題，據(jù)此結(jié)合補(bǔ)角的定義判定即可；（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角才相等，畫(huà)出不平行的直線形成的內(nèi)錯(cuò)角即可；（3）利用平行線的性質(zhì)判定即可；【詳解】（1）解：題設(shè)：如果兩個(gè)角的和等于平角時(shí)，結(jié)論：那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；是真命題；（2）解：題設(shè)：如果兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，結(jié)論：這兩個(gè)角相等；是假命題，如圖∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，∠2<∠1；

（3）解：題設(shè)：如果兩條平行線被第三條直線所截，結(jié)論：那么同旁內(nèi)角互補(bǔ)．是真命題．【點(diǎn)睛】本題考查了命題，掌握命題的概念和真假命題的判定方法是解題的關(guān)鍵．12．（20-21八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）把下列命題改寫(xiě)成“如果…那么…”的形式．（1）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）同角的補(bǔ)角相等；（3）三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（4）等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【答案】（1）如果兩直線平行，那么內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）如果兩個(gè)角是同角的補(bǔ)角，那么在兩個(gè)角相等；（3）如果兩個(gè)三角形三條邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等；（4）如果一個(gè)三角形是等腰三角形，那么它的兩個(gè)底角相等．【分析】根據(jù)如果后面是題設(shè)，那么后面是結(jié)論把各個(gè)命題寫(xiě)成“如果…那么…”的形式．【詳解】解：（1）如果兩直線平行，那么內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）如果兩個(gè)角是同角的補(bǔ)角，那么在兩個(gè)角相等；（3）如果兩個(gè)三角形三條邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等；（4）如果一個(gè)三角形是等腰三角形，那么它的兩個(gè)底角相等．【點(diǎn)睛】本題考查將原命題寫(xiě)成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結(jié)論，解題關(guān)鍵是找到相應(yīng)的條件和結(jié)論．考點(diǎn)三：判斷命題的真假13．（21-22七年級(jí)下·北京延慶·期末）已知：在同一平面內(nèi)，三條直線a，b，c．下列四個(gè)命題為真命題的是．（填寫(xiě)所有真命題的序號(hào)）①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；

②如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c；

④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．【答案】①③④【分析】分別根據(jù)每種情況畫(huà)出符合條件的圖形，再結(jié)合垂直的定義，平行線的判定逐一判斷即可．【詳解】解：如圖，a∥b，a⊥c，則b⊥c，故①符合題意；如圖，b⊥a，c⊥a，則b∥如圖，a∥b，c∥b，則a∥c；故③符合題意；故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本題考查的是平面內(nèi)直線與直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)，垂直的定義，命題真假的判斷，掌握“平行公理，平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線平行”是解本題的關(guān)鍵．14．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·期中）下列命題中：①兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；②過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③若∠1=40°,∠2的兩邊與∠1的兩邊分別平行，則∠2=40°或140°；④若b⊥c,a⊥c，則b∥a．其中假命題的是（填寫(xiě)序號(hào)）．【答案】①②【分析】逐個(gè)判斷各個(gè)命題的真假即可．【詳解】解：①兩條平行，同位角相等，故①為假命題，符合題意；②過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；故②為假命題，符合題意；③若∠1=40°,∠2的兩邊與∠1的兩邊分別平行，如圖：則∠2=40°或140°；故③為真命題，不符合題意；④若b⊥c,a⊥c，則b∥a，故④為真命題，不符合題意；綜上：假命題有①②，故答案為：①②．【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷命題的真假，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)．15．（20-21七年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí)）下列命題：①如果AC=BC，那么點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)；②不相等的兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角；③直角三角形的兩個(gè)銳角互余；④同位角相等；⑤兩點(diǎn)之間直線最短，其中是真命題的有．(填寫(xiě)序號(hào))【答案】②③/③②【分析】利用線段中點(diǎn)的定義、對(duì)頂角的定義、直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及線段的性質(zhì)分別判斷后，即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：①如果AC=BC，那么點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，或點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；②不相等的兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角，正確，是真命題，符合題意；③直角三角形的兩個(gè)銳角互余，正確，是真命題，符合題意；④兩直線平行，同位角相等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；⑤兩點(diǎn)之間線段最短，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意，真命題有②③．故答案為：②③．【點(diǎn)睛】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解線段中點(diǎn)的定義、對(duì)頂角的定義、直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及線段的性質(zhì)等知識(shí)，難度不大．16．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）下列四個(gè)命題：①對(duì)頂角相等；②同旁內(nèi)角互補(bǔ)；③鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；④兩直線平行，同位角相等．其中是真命題的是（填序號(hào)）．【答案】①③④【解析】略17．（21-22七年級(jí)下·河北石家莊·期末）在長(zhǎng)度為2、5、6、8的四條線段中，任取三條線段，可構(gòu)成個(gè)不同的三角形；如圖，有下列三個(gè)條件：①DE∥BC；②∠1=∠2；③∠B=∠C．若從這三個(gè)條件中任選兩個(gè)作為題設(shè)，另一個(gè)作為結(jié)論，組成一個(gè)命題，一共能組成

【答案】23【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到能組成三角形的個(gè)數(shù)；根據(jù)平行線的性質(zhì)可判斷第一個(gè)和第二個(gè)命題，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義及平行線的判定可判斷第三個(gè)命題．【詳解】解：∵從長(zhǎng)度分別為2、5、6、8的四條線段中任取三條，一共有四種情況：①2、5、6，因?yàn)?+5>6，則此三條線段能構(gòu)成三角形；②2、5、8，因?yàn)?+5<8，則此三條線段不能構(gòu)成三角形；③2、6、8，因?yàn)?+6=8，則此三條線段不能構(gòu)成三角形；④5、6、8，因?yàn)?+6>8，則此三條線段能構(gòu)成三角形；∴能組成不同三角形的有：2、5、6；5、6、8，共兩種情況，故答案為：2；在條件①DE∥BC；②∠1=∠2；③第一個(gè)：如果DE∥BC，∠1=∠2，那么∵DE∥∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，則該命題是真命題；第二個(gè)：如果DE∥BC，∠B=∠C，那么∵DE∥∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠B=∠C，∴∠1=∠2，則該命題是真命題；第三個(gè)：如果∠1=∠2，∠B=∠C，那么DE∥∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∠1=∠2，∴∠1=1∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=∠C，∴∠B=1∴∠1=∠B，∴DE∥∴一共能組成3個(gè)真命題，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，命題的定義和真命題的定義，平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．掌握命題的定義，三角形的三邊關(guān)系及平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（22-23七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）命題：同位角相等(1)請(qǐng)將上述命題改寫(xiě)：“如果······，那么·····”，并指出這個(gè)命題的條件與結(jié)論；(2)判斷這個(gè)命題是真命題還是假命題．【答案】(1)如果兩個(gè)角是同位角，那么這兩個(gè)角相等；條件是：兩個(gè)角是同位角，結(jié)論是：這兩個(gè)角相等；(2)假命題【分析】（1）根據(jù)如果后面為條件，那么后面為結(jié)論，進(jìn)行改寫(xiě)即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：如果兩個(gè)角是同位角，那么這兩個(gè)角相等；條件是：兩個(gè)角是同位角，結(jié)論是這兩個(gè)角相等；（2）解：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，所以此命題為假命題．【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判斷，命題條件，結(jié)論的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行，同位角相等．19．（23-24七年級(jí)下·江西新余·階段練習(xí)）如圖，①AB∥CD，②BE平分∠ABD，③∠1+∠2=90°，④DE平分∠BDC．(1)若以②③④為條件，①為結(jié)論組成一個(gè)命題，則這個(gè)命題是_______（“真”或“假”）命題；(2)證明（1）中的結(jié)論．【答案】(1)真(2)證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了判斷命題真假，平行線的判定，角平分線的定義：（1）由角平分線的定義得到∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，再根據(jù)已知條件可證明∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°，即可證明（2）同（1）證明即可．【詳解】（1）解：當(dāng)以②③④為條件，①為結(jié)論組成一個(gè)命題時(shí)，∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC∴∠ABE=∠1，又∵∠1+∠2=90°∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°，∴AB∥∴以②③④為條件，①為結(jié)論組成一個(gè)命題，這個(gè)命題是真命題；故答案為：真；（2）證明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC∴∠ABE=∠1又∵∠1+∠2=90°，∴∠ABE+∠CDE+∠1+∠2=180°，∴AB∥考點(diǎn)四：舉例說(shuō)明真假命題20．（2024·北京東城·二模）當(dāng)a=，b=時(shí)，可以說(shuō)明“若a>b，則a2>b2”是假命題（寫(xiě)出一組【答案】1（答案不唯一）?2（答案不唯一）【分析】本題考查了舉例說(shuō)明命題的真假，由當(dāng)a=1，b=?2時(shí)，得出a>b，但a2=1，b2【詳解】解：當(dāng)a=1，b=?2時(shí)，a>b，但a2=1，b2故當(dāng)a=1，b=?2時(shí)，可以說(shuō)明“若a>b，則a2故答案為：1，?2（答案不唯一）．21．（23-24七年級(jí)下·河南駐馬店·階段練習(xí)）命題“如果x2=y2，那么【答案】假【分析】本題考查了命題的真假，如果能找出一個(gè)反例，就能證明是假命題，即可作答．【詳解】解：∵?22=4=但?2≠2，與x=y相矛盾∴“如果x2=y故答案為：假22．（23-24七年級(jí)下·江蘇泰州·期中）能說(shuō)明命題“若a>b，則a2>b2”是假命題的一個(gè)反例可以是：a=3，b=【答案】?4（答案不唯一）【分析】本題考查了命題與定理，熟記：要判斷一個(gè)命題是假命題，舉出一個(gè)反例即可．作為反例，要滿足條件但不能得到結(jié)論，然后根據(jù)這個(gè)要求求解即可．【詳解】解：當(dāng)a=3，b=?4時(shí)，有a>b，但a2故答案為：a=3，b=?4．23．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）對(duì)于命題“若a2>b2，則a>b”，下面四組a，①a=3，b=2；

②a=?3，b=2；③a=3，b=?1；

④a=?1，b=3．【答案】②【分析】本題考查了舉例說(shuō)明假（真）命題，將四組a，b的值代入命題進(jìn)行驗(yàn)證即可求解．【詳解】解：①a=3，b=2，滿足a2>b

②a=?3，b=2，滿足a2>b③a=3，b=?1，滿足a2>b④a=?1，b=3，不滿足a2故答案為：②．24．（23-24七年級(jí)下·山西大同·開(kāi)學(xué)考試）（1）判斷下列語(yǔ)句是不是命題，若是，寫(xiě)成“如果……那么……”的形式，并判斷其是真命題還是假命題．①同位角相等，兩直線平行；②延長(zhǎng)BA到點(diǎn)C；③同角的補(bǔ)角相等．（2）舉反例說(shuō)明下列命題是假命題：①相等的角是同位角；②大于90°的角為鈍角．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】本題考查了命題：（1）先判斷命題的真假，若是真命題，寫(xiě)成“如果……那么……”的形式；（2）根據(jù)每個(gè)命題寫(xiě)出反例即可．【詳解】解：（1）①是命題、且是真命題，寫(xiě)成“如果……那么……”的形式為：如果兩條直線被第三條直線所截得的同位角相等，那么這兩條直線平行．②不是命題．③是命題，且是真命題，寫(xiě)成“如果……那么……”的形式為：如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等．（2）①反例：對(duì)頂角相等，但不是同位角．②反例：180°的角不是鈍角．25．（23-24七年級(jí)下·陜西渭南·階段練習(xí)）指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出個(gè)反例．(1)兩個(gè)角的和等于直角時(shí)，這兩個(gè)角互為余角；(2)同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【答案】(1)題設(shè)：兩個(gè)角的和等于直角時(shí)，結(jié)論：這兩個(gè)角互為余角．這個(gè)命題是真命題(2)題設(shè)：兩個(gè)角是同旁內(nèi)角，結(jié)論：這兩個(gè)角互補(bǔ)，這個(gè)命題是假命題；詳見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了將原命題寫(xiě)成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結(jié)論，解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的條件和結(jié)論，比較簡(jiǎn)單．（1）根據(jù)命題的概念解答即可；（2）根據(jù)命題的概念解答即可．【詳解】（1）題設(shè)：兩個(gè)角的和等于直角時(shí)，結(jié)論：這兩個(gè)角互為余角．這個(gè)命題是真命題．（2）題設(shè)：兩個(gè)角是同旁內(nèi)角，結(jié)論：這兩個(gè)角互補(bǔ)，這個(gè)命題是假命題．反例：如圖中∠1與∠2是同旁內(nèi)角，∠1+∠2≠180°，26．（2023七年級(jí)下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）判斷下列語(yǔ)句是否是命題，若是，寫(xiě)成“如果…那么…”的形式，并判斷其是真命題還是假命題．(1)同位角相等，兩直線平行；(2)延長(zhǎng)BA到點(diǎn)C；(3)同角的補(bǔ)角相等；(4)平方后等于1的數(shù)是1．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析(4)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)命題的定義和平行線的判定方法進(jìn)行判斷；（2）根據(jù)命題的定義進(jìn)行判斷；（3）根據(jù)命題的定義和補(bǔ)角的定義進(jìn)行判斷；（4）根據(jù)命題的定義得到平方后等于1的數(shù)是1是命題，然后利用?1的平方等于1判斷它為假命題．【詳解】（1）解：同位角相等，兩直線平行是真命題，寫(xiě)成“如果…那么…”的形式為：如果兩直線被第三條直線所截，同位角相等，那么這兩直線平行；（2）延長(zhǎng)BA到點(diǎn)C不是命題；（3）同角的補(bǔ)角相等是真命題；寫(xiě)成“如果…那么…”的形式為∶如果兩個(gè)角都是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等；（4）∵12=1，∴平方后等于1的數(shù)是1是假命題，寫(xiě)成“如果…那么…”的形式為：如果一個(gè)數(shù)的平方等于1，那么這個(gè)數(shù)為1．【點(diǎn)睛】本題考查命題：判斷事物的語(yǔ)句叫命題；正確的命題稱(chēng)為真命題；錯(cuò)誤的命題稱(chēng)為假命題．掌握命題的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．27．（22-23七年級(jí)下·河北保定·階段練習(xí)）將下列命題改寫(xiě)成“如果…，那么…”的形式，并判斷它們是真命題還是假命題，若是假命題，請(qǐng)舉出反例．(1)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零；(2)同旁內(nèi)角互補(bǔ)；(3)等角的余角相等．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】分析題意，先找出各個(gè)命題的條件和結(jié)論，再根據(jù)如果+條件，那么+結(jié)論，即可進(jìn)行改寫(xiě)，再判斷真假．【詳解】（1）解：如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零；是真命題；（2）如果兩個(gè)角是同旁內(nèi)角，那么它們互補(bǔ)；是假命題，反例：如圖，∠1和∠2是同旁內(nèi)角，但兩直線不平行，故∠1和∠2不互補(bǔ)；（3）如果兩個(gè)角相等，那么它們的余角也相等；是真命題．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個(gè)命題非真即假．要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．QUOTE考點(diǎn)五：定理與證明28．（22-23七年級(jí)下·河北滄州·階段練習(xí)）“過(guò)平面上兩點(diǎn)，有且只有一條直線”屬于（

）A．定義 B．定理 C．基本事實(shí) D．以上答案都不對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)定義、定理、基本事實(shí)的概念判斷即可．【詳解】“過(guò)平面上兩點(diǎn)，有且只有一條直線”屬于基本事實(shí)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查定義、定理、基本事實(shí)的區(qū)分，牢記定義、定理、基本事實(shí)的概念是解題的關(guān)鍵．29．（20-21八年級(jí)上·浙江寧波·期中）下列語(yǔ)句中，是定義的是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線C．三角形的角平分線是一條線段 D．同角的余角相等【答案】B【分析】任何定義都由被定義項(xiàng)、定義項(xiàng)和定義聯(lián)項(xiàng)三部分組成。被定義項(xiàng)是需要明確的概念，定義項(xiàng)是用來(lái)明確被定義項(xiàng)的概念，定義聯(lián)項(xiàng)則是用來(lái)聯(lián)接被定義項(xiàng)和定義項(xiàng)的按定義三項(xiàng)進(jìn)行排查即可．【詳解】A.兩點(diǎn)確定一條直線是畫(huà)圖語(yǔ)句不是定義，B.在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線是定義，平行線是被定義項(xiàng)，不相交的兩條直線是定義項(xiàng)，叫做是定義聯(lián)項(xiàng)，C.三角形的角平分線是一條線段說(shuō)明角平分線的形狀不是定義，D.同角的余角相等是定理不是定義．故選擇：B．【點(diǎn)睛】本題考查定義問(wèn)題，掌握定義是由三部分組成被定義項(xiàng)、定義項(xiàng)和定義聯(lián)項(xiàng)三，能區(qū)別語(yǔ)句中的定義，定理，作圖語(yǔ)句是解題關(guān)鍵．30．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法不正確的是（）A．證實(shí)命題正確與否的推理過(guò)程叫做證明B．定理是命題，而且是真命題C．“對(duì)頂角相等”是命題，但不是定理D．要證明一個(gè)命題是假命題只要舉出一個(gè)反例即可【答案】C【分析】本題考查了定理于命題的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，掌握命題，定理和證明的概念是關(guān)鍵.【詳解】解：證實(shí)命題正確與否的推理過(guò)程叫做證明，故A正確，不符合題意；定理是命題，而且是真命題，故B正確，不符合題意；對(duì)頂角相等”是命題，此命題是通過(guò)推理證實(shí)得出的真命題，所以它是定理，故C錯(cuò)誤，符合題意；要證明一個(gè)命題是假命題只要舉出一個(gè)反例即可，故D正確，不符合題意；故選：C31．（23-24七年級(jí)下·湖北黃石·階段練習(xí)）“同位角相等，兩直線平行”是（）A．公理 B．定理 C．定義 D．待證的命題【答案】A【分析】本題考查的是命題和定理，根據(jù)公理的概念判斷即可．【詳解】解：“同位角相等，兩直線平行”是基本事實(shí)，是公理，故選：A．考點(diǎn)六：寫(xiě)出一個(gè)命題的已知、求證及證明過(guò)程32．（22-23七年級(jí)下·河北石家莊·階段練習(xí)）試說(shuō)明“若∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°，∠A=∠C，則∠B=∠D”是真命題．以下是排亂的推理過(guò)程：①因?yàn)椤螦=∠C（已知）；②因?yàn)椤螦+∠B=180°，∠C+∠D=180°（已知）；③所以∠B=180°?∠A，∠D=180°?∠C（等式的性質(zhì)）；④所以∠B=∠D（等量代換）；⑤所以∠B=180°?∠C（等量代換）．正確的順序是(

)A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④【答案】C【分析】寫(xiě)出正確的推理過(guò)程，進(jìn)行排序即可．【詳解】證明：因?yàn)椤螦+∠B=180°，∠C+∠D=180°（已知），所以∠B=180°?∠A，∠D=180°?∠C（等式的性質(zhì)）；因?yàn)椤螦=∠C（已知），所以∠B=180°?∠C（等量代換）．所以∠B=∠D（等量代換）．∴排序順序?yàn)椋孩凇邸佟荨埽蔬xC．【點(diǎn)睛】本題考查推理過(guò)程．熟練掌握推理過(guò)程，是解題的關(guān)鍵．33．（21-22八年級(jí)上·廣西梧州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)D在AB上，直線DG交AF于點(diǎn)E．請(qǐng)從①DG∥AC，②AF平分∠BAC，③已知：______，求證：______．（只須填寫(xiě)序號(hào)）證明：【答案】①②，③，證明見(jiàn)解析．（答案不唯一）【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DEA=∠EAC，再由角平分線的性質(zhì)可得∠DAE=【詳解】解：已知①②，求證∶③，證明∶∵DG∥∴∠DEA=∵AF平分∠BAC∴∠DAE=∴∠DAE=∠DEA．故答案為∶①②；③．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的定義、證明以及平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．QUOTE考點(diǎn)七：已知證明過(guò)程填寫(xiě)理論依據(jù)34．（20-21八年級(jí)上·廣西百色·期中）補(bǔ)充完成下列證明過(guò)程，并填上推理的依據(jù)．已知：如圖，∠BEC=∠B+∠C．求證：AB//CD．證明：延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)F，則∠BEC=∠EFC+∠C．（

）又∵∠BEC=∠B+∠C，∴∠B=_______，（等量代換）∴AB//CD．（

）

【答案】三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；∠EFC；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】第一個(gè)空是三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，第二個(gè)空根據(jù)等量代換得出∠B=∠EFC，第三個(gè)空是平行線的判定．【詳解】解：延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)F，則∠BEC=∠EFC+∠C．（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）又∵∠BEC=∠B+∠C，∴∠B=∠EFC，（等量代換）∴AB//CD．（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）【點(diǎn)睛】本題考查推理與證明，解題的關(guān)鍵是掌握推理與證明過(guò)程中理由的書(shū)寫(xiě)，平行線的性質(zhì)和三角形外角的定理．35．（23-24七年級(jí)下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）補(bǔ)全下列推理過(guò)程：如圖，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，試說(shuō)明DG∥BA．解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知），∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定義），∴DG∥BA（____________）．∴∠2=∠3（____________）．∵∠1=∠2（已知），∴____________（等量代換）．∴DG∥AB（____________）．【答案】答案見(jiàn)詳解；【分析】本題考查證明補(bǔ)充條件，根據(jù)條件與結(jié)論因果關(guān)系直接填寫(xiě)即可得到答案；【詳解】解：∵EF⊥BC，AD⊥BC（已知），∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定義），∴EF∥AD（同位角相等，兩直線平行），∴∠2=∠3（兩直線平行，同位角相等），∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠3（等量代換），∴DG∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．36．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）補(bǔ)全下列推理過(guò)程：如圖，已知AB∥CE，∠A=∠E，試說(shuō)明：∠CGD=∠FHB，解：∵AB∥CE（已知）∴∠A=∠ADC（______）∵∠A=∠E（已知）∴∠E=∠ADC（______）∴AD∥EF（______）∴∠CGD=∠GHE（______）∵∠FHB=∠GHE（______）∴∠CGD=∠FHB【答案】答案見(jiàn)詳解；【分析】本題考查證明補(bǔ)充條件，平行線的性質(zhì)與判定，根據(jù)條件及結(jié)論逐個(gè)寫(xiě)明理由即可得到答案；【詳解】解：∵AB∥CE（已知），∴∠A=∠ADC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠A=∠E（已知），∴∠E=∠ADC（等量代換），∴AD∥EF（同位角相等，兩直線平行），∴∠CGD=∠GHE（兩直線平行，同位角相等），∵∠FHB=∠GHE（對(duì)頂角相等），∴∠CGD=∠FHB．37．（21-22七年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）推理填空：如圖，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．求證：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．證明：∵∠B＝∠CGF（已知），∴AB∥CD（）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CD∥EF（）．∴AB∥EF（）．∴∠B＋∠F＝180°（）．又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（），∠BGC＝∠F（已知），∴∠F＋∠BGD＝180°（）．【答案】同位角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；平行公理的推論；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；平角的定義；等量代換【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）；∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行），∵∠BGC＝∠F（已知）；∴CD∥EF（同位角相等，兩直線平行），∴AB∥EF（平行公理的推論）∴∠B＋∠F＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定義），∠BGC＝∠F（已知），∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代換）．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)及推理論證，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理．考點(diǎn)八：根據(jù)給出的論斷組命題并證明38．（22-23七年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，射線CE在∠DCA的內(nèi)部．給出下列信息：①AB∥CE；②CE平分∠DCA；③【答案】答案見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)及判定，角平分線定義及等量代換即可得到證明；【詳解】解：選擇①②作為條件，③作為結(jié)論．理由如下：∵AB∥∴∠A=∠ECA，∠B=∠ECD，∵∠A=∠B，∴∠ECA=∠ECD，∴CE平分∠DCA；選擇①③作為條件，②作為結(jié)論．理由如下：∵AB∥∴∠A=∠ECA，∠B=∠ECD，∵CE平分∠DCA，∴∠ECA=∠ECD，∴∠A=∠B；選擇②③作為條件，①作為結(jié)論．理由如下：∵CE平分∠DCA，∴∠ECA=∠ECD，∵∠A=∠B，∠A+∠B=∠ACD=∠ECD+∠ECA，∴∠A=∠ECA=∠B=∠ECD，∴AB∥【點(diǎn)睛】本題考查書(shū)寫(xiě)命題，平行線的性質(zhì)與判定及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是正確書(shū)寫(xiě)命題．39．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，給出三個(gè)論斷：①∠A=∠B；②AB∥CD；③(1)請(qǐng)用其中的兩個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，寫(xiě)出所有的真命題（用序號(hào)寫(xiě)出命題，如：如果*，*，那么*）．(2)選擇（1）中你寫(xiě)出的任一命題，說(shuō)明它的正確性．【答案】(1)如果①，②，那么③；如果②，③，那么①；如果①，③，那么②(2)見(jiàn)解析【詳解】解：（1）如果①，②，那么③；如果②，③，那么①；如果①，③，那么②．（2）命題一：如果①，②，那么③．說(shuō)明如下：因?yàn)锳B∥CD，所以∠A=∠DCE,∠B=∠BCD．因?yàn)椤螦=∠B，所以∠BCD=∠DCE．（2）命題一：如果①，②，那么③．說(shuō)明如下：因?yàn)锳B∥CD，所以∠A=∠DCE,∠B=∠BCD．因?yàn)椤螧CD=∠DCE，所以∠A=∠B．命題三：如果①，③，那么②．說(shuō)明如下：因?yàn)椤螦+∠B=180°?∠BCA,∠BCE=180°?∠BCA，所以∠BCE=∠A+∠B，即∠BCD+∠DCE=∠A+∠B．因?yàn)椤螧CD=∠DCE,∠A=∠B，所以∠A=∠DCE，∠B=∠BCD，所以AB∥CD．以上3個(gè)命題，任寫(xiě)一個(gè)即可．40．（21-22七年級(jí)下·江蘇泰州·期末）如圖，已知直線EF∥GH，給出下列信息：①AC⊥BC；②BC平分∠DCH；③∠ACD=∠DAC．(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結(jié)論組成一個(gè)真命題，你選擇的條件是，結(jié)論是(只要填寫(xiě)序號(hào))，并說(shuō)明理由．(2)在（1）的條件下，若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度數(shù)．【答案】(1)①②；③；理由見(jiàn)解析(2)59°【分析】（1）由角平分線的定義可得∠BCD=∠BCH，再根據(jù)等角的余角相等可得出∠ACD=∠ACG，再由平行線的性質(zhì)可得∠ACG=∠DAC，從而結(jié)論得證；（2）由（1）得：∠ACG+∠BCH=90°，根據(jù)∠ACG比∠BCH的2倍少3度，可得關(guān)系式∠ACG=2∠BCH?3°，求得∠BCH=31°，∠ACG=59°，再根據(jù)∠DAC=∠ACG即可得到∠DAC的度數(shù)．【詳解】（1）解：條件：①②，結(jié)論：③．理由如下：∵BC平分∠DCH，∴∠BCD=∠BCH，∵AC⊥BC，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACG+∠BCH=90°，∴∠ACD=∠ACG，∵EF∥GH，∴∠ACG=∠DAC，∴∠ACD=∠DAC．故答案為：①②；③．（2）由（1）得：∠ACG+∠BCH=90°，∵∠ACG比∠BCH的2倍少3度，∴∠ACG=2∠BCH?3°，∴2∠BCH?3°+∠BCH=90°，解得：∠BCH=31°，∴∠ACG=90°?∠BCH=59°，∴∠DAC=∠ACG=59°．∴∠DAC的度數(shù)59°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，等角的余角相等，平行線的性質(zhì)，解方程組等知識(shí)．理解和掌握平行線的性質(zhì)，等角的余角相等是解題的關(guān)鍵．QUOTE5?11．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列四個(gè)命題：①相等的角是對(duì)頂角；②(?4)2的平方根是?4；③經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行；④同旁內(nèi)角互補(bǔ)；⑤有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；其中真命題的個(gè)數(shù)是（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】本題考查命題與定理，對(duì)頂角，平方根，平行線的性質(zhì)，數(shù)軸，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)對(duì)頂角，平方根，平行線的性質(zhì)，數(shù)軸對(duì)命題進(jìn)行判斷即可求解；【詳解】解：①相等的兩個(gè)角不一定是對(duì)頂角，原命題是假命題；②(?4)2的平方根是±4③經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，原命題是真命題；④兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，原命題是假命題；⑤實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，原命題是假命題；綜上所述，有一個(gè)正確的；故選：A2．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）有下列說(shuō)法：①在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交、垂直三種；②平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；④同角或等角的補(bǔ)角相等.其中正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系、垂直的定義、平行公理、補(bǔ)角的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：①在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交、平行兩種，垂直只是相交的特殊情形，故說(shuō)法①錯(cuò)誤；②平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故說(shuō)法②正確；③過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故說(shuō)法③正確；④同角或等角的補(bǔ)角相等，故說(shuō)法④正確；綜上所述，正確的說(shuō)法有②③④，共3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷命題真假，平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系，垂直的定義，平行公理，補(bǔ)角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握真假命題的判斷方法是解題的關(guān)鍵：要說(shuō)明一個(gè)命題是正確的，需要根據(jù)命題的題設(shè)和已學(xué)的有關(guān)公理、定理進(jìn)行說(shuō)明（推理、證明），要說(shuō)明一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可．3．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）能說(shuō)明命題“對(duì)于任何有理數(shù)a，a>?a”是假命題的一個(gè)反例可以是（

A．a(chǎn)=?2 B．a(chǎn)=13 C．a(chǎn)=1 【答案】A【分析】本題考查舉反例，分別把各個(gè)選項(xiàng)的數(shù)值代入a>?a，使a【詳解】解：A、當(dāng)a=?2時(shí)，a=?a=2，aB、當(dāng)a=13時(shí)，13C、當(dāng)a=1時(shí)，1>?1，aD、當(dāng)a=3.14時(shí)，3.14>?3.14，a故選：A．4．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）給出下列命題：①數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)一一對(duì)應(yīng)；②同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行；③兩點(diǎn)之間，線段最短．其中是假命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．分別根據(jù)平行線的判定、數(shù)軸、兩點(diǎn)之間線段最短對(duì)各小題進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：①數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，原命題是假命題；②同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行，是真命題；③兩點(diǎn)之間，線段最短，是真命題；綜上分析可知，是假命題的有1個(gè)，故選：B．5．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列命題的逆命題是真命題的是（

）A．如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等 B．若a2>C．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 D．對(duì)頂角相等【答案】C【分析】本題考查了判斷命題的真假，分別寫(xiě)出各命題的逆命題，再判斷真假即可【詳解】解：如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等的逆命題為：如果兩個(gè)角相等，那么它們是直角，該命題為假命題，不符合題意；若a2>b2，則a>b的逆命題為：若a>b，則a2兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的逆命題為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；該命題為真命題，符合題意；對(duì)頂角相等的逆命題為：相等的角為對(duì)頂角，該命題為假命題，不符合題意；故選：C6．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（

）①兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；②對(duì)頂角相等；③過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；④從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離；⑤在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、垂線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等、平行線公理，點(diǎn)到直線的距離，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確掌握相關(guān)性質(zhì)和概念，正確進(jìn)行判斷．根據(jù)平行線的性質(zhì)、垂線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等、平行線公理，點(diǎn)到直線的距離逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：①兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；②對(duì)頂角相等，選項(xiàng)正確，是真命題，符合題意；③過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；④從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；⑤在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，選項(xiàng)正確，是真命題，符合題意．綜上所述，真命題的個(gè)數(shù)是2個(gè)．故選：B．7．（23-24八年級(jí)下·重慶南岸·期中）對(duì)于命題“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能說(shuō)明它是假命題的反例是（

）A．∠1=50°,∠2=40° B．∠1=50°,∠2=50°C．∠1=40°,∠2=40° D．∠1=45°,∠2=45°【答案】D【分析】考查了命題與定理的知識(shí)，能說(shuō)明是假命題的反例就是能滿足已知條件，但不滿足結(jié)論的例子．【詳解】解：A、滿足條件∠1+∠2=90°，也滿足結(jié)論∠1≠∠2，故A不符合題意；B、不滿足條件，故B不符合題意；C、不滿足條件，也不滿足結(jié)論，故C不符合題意；D、滿足條件，不滿足結(jié)論，故D符合題意．故選：D．8．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）命題“兩直線平行，同旁內(nèi)角相等”是（填“真”或“假”）命題．【答案】假【分析】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解平行線的性質(zhì)，難度比較?。闷叫芯€的性質(zhì)對(duì)命題進(jìn)行判斷即可確定答案．【詳解】解：∵兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，∴命題“兩直線平行，同旁內(nèi)角相等”錯(cuò)誤，是假命題，故答案為：假．9．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）（1）兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．（2）垂直于同一直線的兩條直線平行．（3）一個(gè)角的余角一定小于這個(gè)角的補(bǔ)角．（4）如果∠1和∠3互余，∠2與∠3的余角互補(bǔ)，那么∠1和∠2互補(bǔ)．（5）兩個(gè)無(wú)理數(shù)相加一定是無(wú)理數(shù)．（6）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)．其中是假命題的是．【答案】（1），（2），（5）【分析】本題考查了學(xué)生對(duì)命題與定理的理解及對(duì)常用知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力，根據(jù)真命題的定義對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而判定真命題的個(gè)數(shù)．【詳解】解：（1）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，故原命題是假命題．（2）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行，故原命題是假命題．（3）一個(gè)角的余角一定小于這個(gè)角的補(bǔ)角，故原命題是真命題．（4）如果∠1和∠3互余，∠2與∠3的余角互補(bǔ)，那么∠1和∠2互補(bǔ)，故原命題是真命題．（5）兩個(gè)無(wú)理數(shù)相加可能是無(wú)理數(shù)，也有可能是有理數(shù)，故原命題是假命題．（6）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，故原命題是真命題．故答案為：（1），（2），（5）．10．把命題“兩直線平行，同位角相等”改寫(xiě)成“如果…那么…”的形式：如果，那么．【答案】?jī)芍本€平行同位角相等【分析】本題考查命題的改寫(xiě)．掌握命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成是解題的關(guān)鍵．根據(jù)命題是由根據(jù)命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，如果后面是題設(shè)，那么后面是結(jié)論改寫(xiě)即可．【詳解】解：把命題“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”表示成“如果…那么…”的形式是：如果兩條直線平行，那么同位角相等．故答案為：兩條直線平行，同位角相等．11．（23-24七年級(jí)下·北京·階段練習(xí)）對(duì)于命題“若a>b，則a2>b2”，舉出能說(shuō)明這個(gè)命題是假命題的一組a，b的值，則a=【答案】?2（答案不唯一）?3（答案不唯一）【分析】本題考查的是命題與定理，任何一個(gè)命題非真即假．要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．根據(jù)有理數(shù)的大小比較、有理數(shù)的乘方法則判斷即可．【詳解】解：當(dāng)a=?2，b=?3時(shí)，?2>?3，而(?2)2說(shuō)明命題“若a>b，則a2故答案為：?2；?3（答案不唯一）．12．（23-24七年級(jí)下·湖北黃岡·期中）“兩條直線被第三條直線所截，同位角的平分線互相平行”這是一個(gè)命題．（填“真”、“假”）【答案】假【分析】本題考查了真、假命題，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，根據(jù)題意畫(huà)出圖形推導(dǎo)即可判斷求解，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，直線AB、CD被直線EF所截，交點(diǎn)分別為M、N，MG平分∠BME，NH平分∠DNE，∴∠EMG=12∠BME當(dāng)AB∥CD時(shí)，則∠EMG=∠ENH，此時(shí)MG∥當(dāng)AB與CD不平行時(shí)，∠BME≠∠DNE，則∠EMG≠∠ENH，此時(shí)MG和NH不平行；∴“兩條直線被第三條直線所截，同位角的平分線互相平行”是假命題，故答案為：假．13．（23-24七年級(jí)下·吉林松原·期末）下列命題是真命題的個(gè)數(shù)為．①對(duì)頂角相等；②若a∥b，b∥c，則a∥c；③同位角相等；④互補(bǔ)的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角．【答案】2【分析】本題主要考查命題與定理，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．根據(jù)對(duì)頂角相等、平行線的判定、平行線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的概念判斷即可．【詳解】解：①對(duì)頂角相等，是真命題；②若a∥b，b∥c，則a∥c，是真命題；③兩直線平行，同位角相等，故本小題命題是假命題；④互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定是鄰補(bǔ)角，故本小題命題是假命題；則真命題的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故答案為：2．14．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知命題“對(duì)頂角相等”．(1)此命題是真命題還是假命題？如果是真命題．請(qǐng)給予說(shuō)明；如果是假命題，請(qǐng)舉出反例．(2)寫(xiě)出此命題的逆命題，并判斷逆命題的真假．如果是真命題，請(qǐng)給予說(shuō)明；如果是假命題，請(qǐng)舉出反例．【答案】(1)真命題，證明見(jiàn)解析(2)相等的角是對(duì)頂角，假命題，舉例見(jiàn)解析【分析】本題考查了命題的真假，熟練掌握判斷命題的方法是本題的關(guān)鍵．分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而得出答案．【詳解】（1）解：此命題是真命題．說(shuō)明：如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O．∵∠AOC+∠AOD=180°,∠BOD+∠AOD=180°，∴∠AOC=∠BOD．（2）“對(duì)頂角相等”的逆命題是“相等的角是