2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題能力訓(xùn)練7導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性極值最值文含解析

專題實(shí)力訓(xùn)練7導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值一、實(shí)力突破訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為()A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x2.已知函數(shù)f(x)=2ef'(e)lnx-xe,則f(x)的極大值點(diǎn)為()A.x=1e B.x=C.x=e D.x=2e3.在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax2-x+a2與y=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)的圖象不行能是(4.已知常數(shù)a,b,c都是實(shí)數(shù),f(x)=ax3+bx2+cx-34的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),f'(x)≤0的解集為{x|-2≤x≤3}.若f(x)的微小值等于-115,則a的值是()A.-8122 B.13 C.2 D5.(2024全國(guó)Ⅲ,文15)設(shè)函數(shù)f(x)=exx+a.若f'(1)=e4,6.已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax+1只有一個(gè)零點(diǎn),7.已知函數(shù)f(x)=mx3-2x2.(1)若m=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-mx2在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.8.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-kx2+x(k∈R).(1)當(dāng)k=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)k<0時(shí),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[k,-k]上的最小值m和最大值M.9.已知函數(shù)f(x)=ax(x+r)2(1)求f(x)的定義域,并探討f(x)的單調(diào)性;(2)若ar=400,求f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的極值10.已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1.證明:(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn);(2)f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).二、思維提升訓(xùn)練11.若0<x1<x2<1,則()A.ex2-ex1>lnxB.ex2-ex1<lnC.x2ex1>x1D.x2ex1<x12.已知函數(shù)f(x)=aex+sinx在區(qū)間-π2,0上單調(diào)遞增,則aA.-22eπ4C.[-1,+∞) D.[0,+∞)13.設(shè)動(dòng)直線x=t與函數(shù)f(x)=x2,g(x)=lnx的圖象分別交于點(diǎn)A,B,則|AB|的最小值為.

14.設(shè)f(x)=-13x3+12x2+2(1)若f(x)在區(qū)間23,+∞內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間,(2)當(dāng)0<a<2時(shí),f(x)在區(qū)間[1,4]上的最小值為-163,求f(x)在該區(qū)間上的最大值15.設(shè)fn(x)=x+x2+…+xn-1,x≥0,n∈N,n≥2.(1)求fn'(2);(2)證明:fn(x)在區(qū)間0,23內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為an),且0<an16.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3(2-a)x,a∈R.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若y=f(x)的圖象與x軸相切于原點(diǎn),當(dāng)0<x2<x1時(shí),f(x1)=f(x2).求證:x1+x2<8.

專題實(shí)力訓(xùn)練7導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值一、實(shí)力突破訓(xùn)練1.D解析:因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,則f(x)=x3+x.由f'(x)=3x2+1,得曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線斜率k=f'(0)=1.故切線方程為y=x.2.D解析:f'(x)=2ef'(e)x-1e,所以f'(e)=2ef'(e)e-1e=2f'(e)-1e,解得f'(e)=1e,則f'(x)=2x-1e.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2e)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(2e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,因此f(x)的極大值點(diǎn)為x=2e.3.B解析:明顯當(dāng)a=0時(shí),D中圖象是可能的,當(dāng)a≠0時(shí),由y=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)求導(dǎo)得y'=3a2x2-4ax+1,令y'=0,得x=1a或x=1函數(shù)y=ax2-x+a2的圖象的對(duì)稱軸為直線x=1不管a>0還是a<0,都有12a在1a與1因此B項(xiàng)中圖象不行能.當(dāng)a>0時(shí),可推斷得A,C項(xiàng)中圖象都有可能.4.C解析:依題意得f'(x)=3ax2+2bx+c≤0的解集是[-2,3],于是有3a>0,-2+3=-2b3a,-2×3=c3a,則b=-3函數(shù)f(x)在x=3處取得微小值,于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115,則-812a=-81,解得a=2故選C.5.1解析:對(duì)函數(shù)f(x)=exx+a求導(dǎo)得f'(x)=ex(x+a-16.(-∞,0]∪1e解析:∵f(x)=xln∴xlnx+a=0只有一個(gè)解,即a=-xlnx只有一個(gè)解.設(shè)g(x)=-xlnx(x>0),則g'(x)=-lnx-1=-(lnx+1),∴當(dāng)0<x<1e時(shí),g'(x)>0;當(dāng)x>1e時(shí),g'(x)∴g(x)在區(qū)間0,1e內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間∴當(dāng)x=1e時(shí),g(x)取得最大值g1e=1e,且當(dāng)x→0時(shí),g(x)→0,當(dāng)x→+∞時(shí),g(∵a=g(x)只有一個(gè)解,∴a≤0或a=1e7.解(1)當(dāng)m=1時(shí),f(x)=x3-2x2,f'(x)=3x2-4x,則f'(1)=3-4=-1,而f(1)=1-2=-1,故所求切線方程為y+1=-(x-1),即x+y=0.(2)依題意,得g(x)=mx3-(m+2)x2,則g'(x)=3mx2-2(m+2)x.因?yàn)間(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增,所以g'(x)=3mx2-2(m+2)x≥0在區(qū)間[1,3]上恒成立,所以m(3x-2)≥4在區(qū)間[1,3]上恒成立.因?yàn)?x-2>0,所以m≥43x-2記h(x)=43x-2(x∈[1,3]),則m≥h(而函數(shù)h(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減,則h(x)max=h(1)=4,所以m≥4.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[4,+∞).8.解f'(x)=3x2-2kx+1.(1)當(dāng)k=1時(shí),f'(x)=3x2-2x+1,Δ=4-12=-8<0,則f'(x)>0,f(x)在R上為增函數(shù),即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞),f(x)沒有單調(diào)遞減區(qū)間.(2)當(dāng)k<0時(shí),f'(x)=3x2-2kx+1,其圖象開口向上,對(duì)稱軸為x=k3,且過點(diǎn)(0,1)①當(dāng)Δ=4k2-12=4(k+3)(k-3)≤0,即-3≤k<0時(shí),f'(x)≥0,f(x)在區(qū)間[k,-k]上單調(diào)遞增,從而當(dāng)x=k時(shí),f(x)取得最小值m=f(k)=k.當(dāng)x=-k時(shí),f(x)取得最大值M=f(-k)=-k3-k3-k=-2k3-k.②當(dāng)Δ=4k2-12=4(k+3)(k-3)>0,即k<-3時(shí),令f'(x)=3x2-2kx+1=0,解得x1=k+k2-33,x2=k-k2注:可用根與系數(shù)的關(guān)系判斷x1·x2則m=min{f(k),f(x1)},M=max{f(-k),f(x2)}.∵f(x1)-f(k)=x13-kx12+x1-k=(x1-k)(x∴f(x)的最小值m=f(k)=k.∵f(x2)-f(-k)=x23-kx22+x2-(-2k3-k)=(x2+k)[(x2-k)2+k2∴f(x)的最大值M=f(-k)=-2k3-k.綜上所述,當(dāng)k<0時(shí),f(x)的最小值m=f(k)=k,最大值M=f(-k)=-2k3-k.9.解(1)由題意知x≠-r,所求的定義域?yàn)?-∞,-r)∪(-r,+∞).f(x)=ax(f'(x)=a=a(所以當(dāng)x<-r或x>r時(shí),f'(x)<0.當(dāng)-r<x<r時(shí),f'(x)>0.因此,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-r,r).(2)由(1)的解答可知f'(r)=0,f(x)在區(qū)間(0,r)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(r,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.因此,x=r是f(x)的極大值點(diǎn).所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的極大值為f(r)=ar(2r10.證明(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).f'(x)=x-1x+lnx-1=ln因?yàn)楫?dāng)x∈(0,+∞)時(shí),函數(shù)y=lnx單調(diào)遞增,函數(shù)y=1x單調(diào)遞減,所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)單調(diào)遞增又f'(1)=-1<0,f'(2)=ln2-12=ln4-12>0,故存在唯一的x0∈(1,2),使得f'(又當(dāng)x<x0時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>x0時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.因此,f(x)存在唯一的極值點(diǎn).(2)由(1)知f(x0)<f(1)=-2,又f(e2)=e2-3>0,所以f(x)=0在區(qū)間(x0,+∞)內(nèi)存在唯一根x=α.由α>x0>1,得1α<1<x0又f1α=1α-1ln1α-1α-1=f故1α是f(x)=0在區(qū)間(0,x0)內(nèi)的唯一根綜上,f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).二、思維提升訓(xùn)練11.C解析:設(shè)f(x)=ex-lnx,則f'(x)=x·ex-1x.當(dāng)x>0,且x趨近于0時(shí),x·當(dāng)x=1時(shí),x·ex-1>0,因此在區(qū)間(0,1)內(nèi)必定存在x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),因此A,B不正確.設(shè)g(x)=exx,當(dāng)0<x<1時(shí),g'(x)=(x-1)exx2<所以g(x1)>g(x2),即ex所以x2ex1>x1故選C.12.D解析:依題意,得f'(x)=aex+cosx≥0,即a≥-cosxex對(duì)x∈設(shè)g(x)=-cosxex,則g'(x)當(dāng)x∈-π2,-π4時(shí),g'當(dāng)x∈-π4,0時(shí),g'(故g(x)max=maxg-π2,g(013.12+12ln2解析:易得A(t,t2),B(t,lnt),所以|AB|=t2令f(t)=t2-lnt(t>0),則f'(t)=2t-1t令f'(t)>0,得t>22或t<-22,又t>0,所以t>令f'(t)<0,得-22<t<22,又t>0,所以0<t<所以函數(shù)f(t)在區(qū)間0,22內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間所以當(dāng)t=22時(shí),f(t)取得微小值,同時(shí)也是最小值為f22=22所以|AB|的最小值為12+14.解(1)f'(x)=-x2+x+2a=-x-122當(dāng)x∈23,+∞時(shí),f'(x)的最大值為f'23=29+2a.令2故當(dāng)a>-19時(shí),f(x)在區(qū)間23(2)令f'(x)=0,得兩根x1=1-1+8a2,x所以f(x)在區(qū)間(-∞,x1),(x2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)0<a<2時(shí),有x1<1<x2<4,則f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值為f(x2).又f(4)-f(1)=-272+6a<即f(4)<f(1),所以f(x)在區(qū)間[1,4]上的最小值為f(4)=8a-403=-163,得a=1,x2從而f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值為f(2)=10315.(1)解法一由題設(shè)fn'(x)=1+2x+…+nxn-1.所以fn'(2)=1+2×2+…+(n-1)2n-2+n·2n-1,①則2fn'(2)=2+2×22+…+(n-1)2n-1+n·2n.②①-②得,-fn'(2)=1+2+22+…+2n-1-n·2n=1-2n1-2-n·2n=(1所以fn'(2)=(n-1)2n+1.解法二當(dāng)x≠1時(shí),fn(x)=x-x則fn'(x)=[1可得fn'(2)=-[1-(n+1)2n](2)證明因?yàn)閒n(0)=-1<0,fn23=231-23n1-23-1=所以fn(x)在區(qū)間0,2又fn'(x)=1+2x+…+nxx-1>0,所以fn(x)在區(qū)間0,2因此fn(x)在區(qū)間0,23內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)由于fn(x)=x-x所以0=fn(an)=an-a由此可得an=12故12<an<2所以0<an-1216.(1)解f'(x)=3x2-6ax+3(2-a),Δ=36(a2+a-2)=36(a+2)(a-1).①當(dāng)a<-2或a>1時(shí),由f'(x)=0得x=a±a2f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,a-a2+a-2),(a+a②當(dāng)-2≤a≤1時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞).(2)證明f'(x)=3x2-6ax+3(2-a),由f'(0)=0,得a=2.∴f(x)=x3-6x2,f(0)=0.由(1)知f(x)在區(qū)間(-∞,0),(4,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(0,4)內(nèi)單調(diào)遞減,則a=2符合題設(shè).(方法一)∵f(x1)=f(x2),0<x2<x1,∴0<x2<4,x1>4,則8-x2>4,而f(x2