2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題過關(guān)檢測3　數(shù)列-專項訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題過關(guān)檢測3數(shù)列專項訓(xùn)練一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2024·九省聯(lián)考)記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3+a7=6,a12=17,則S16=()A.120 B.140 C.160 D.1802.已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a3=9,則log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5=()A.52 B.53 C.10 D3.(2024·遼寧沈陽統(tǒng)考一模)已知有100個半徑互不相等的同心圓,其中最小圓的半徑為1,在每相鄰的兩個圓中,小圓的切線被大圓截得的弦長都為2,則這100個圓中最大圓的半徑是()A.8 B.9 C.10 D.1004.我國明代著名樂律學(xué)家明宗室王子朱載堉在《律學(xué)新說》中提出十二平均律,即是現(xiàn)代在鋼琴的鍵盤上,一個八度音程從一個c鍵到下一個c1鍵的8個白鍵與5個黑鍵(如圖),從左至右依次為:c,#c,d,#d,e,f,#f,g,#g,a,#a,b,c1的音頻恰成一個公比為122的等比數(shù)列的原理,也即高音c1的頻率正好是中音c的2倍.已知標準音a的頻率為440Hz,則頻率為2202Hz的音名是(A.d B.f C.e D.#d5.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2,設(shè)數(shù)列1anan+1的前n項和為Tn,則T20的值為A.1939 B.3839 C.2041 6.一百零八塔位于寧夏吳忠青銅峽市,它因塔群的塔數(shù)而得名,塔群隨山勢鑿石分階而建,由下而上逐層增高,依山勢自上而下各層的塔數(shù)分別為1,3,3,5,5,7,…,該數(shù)列從第5項開始成等差數(shù)列,則該塔群最下面三層的塔數(shù)之和為()A.39 B.45 C.48 D.517.在1到100的整數(shù)中,除去所有可以表示為2n(n∈N*)的整數(shù),則其余整數(shù)的和是()A.3928 B.4024 C.4920 D.49248.已知函數(shù)f(n)=n2,n為奇數(shù),-n2,n為偶數(shù),且an=f(n)+f(n+1),則a1+aA.0 B.100C.-100 D.10200二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公差d=1.若a1+3a5=S7,則下列結(jié)論一定正確的是()A.a5=1 B.Sn的最小值為S3C.S1=S6 D.Sn存在最大值10.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前30項和為390,a1=5,bn=2an,對于數(shù)列{an},{bn},下列選項正確的是(A.b10=8b5 B.{bn}是等比數(shù)列C.a1b30=105 D.a11.對于數(shù)列{an},若存在正數(shù)M,使得對一切正整數(shù)n,都有|an|≤M,則稱數(shù)列{an}是有界的.若這樣的正數(shù)M不存在,則稱數(shù)列{an}是無界的.記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,下列結(jié)論正確的是()A.若an=1n,則數(shù)列{anB.若an=12nsinn,則數(shù)列{Sn}是有界的C.若an=(-1)n,則數(shù)列{Sn}是有界的D.若an=2+1n2,則數(shù)列{S三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若2S3=3S2+6,則公差d=.

13.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1an=2n(n∈N*),若Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則S2024=.

14.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時,發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙,對折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S1=240dm2,對折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S2=180dm2,以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為;如果對折n次,那么∑k=1nSk=dm四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知2Snn+n=2an(1)證明:{an}是等差數(shù)列;(2)若a4,a7,a9成等比數(shù)列,求Sn的最小值.16.(15分)已知數(shù)列{an}是正項等比數(shù)列,滿足a3是2a1,3a2的等差中項,a4=16.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=(-1)nlog2a2n+1,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.17.(15分)已知數(shù)列{an}的首項a1=1,且滿足an+1an=2n+1,記bn=a2n-1+a2n,n∈N*.(1)證明:{bn}是等比數(shù)列;(2)記cn=bn(bn+1-3)(bn-18.(17分)某市為加強環(huán)保建設(shè),提高社會效益和經(jīng)濟效益,計劃用若干年更換1萬輛燃油型公交車,每更換一輛新車,淘汰一輛舊車,更換的新車為電力型車和混合動力型車.今年年初投入了電力型公交車128輛,混合動力型公交車400輛,計劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%,混合動力型車每年比上一年多投入a輛.(1)求經(jīng)過n年,該市被更換的公交車總數(shù)F(n);(2)若該市計劃用7年的時間完成全部更換,求a的最小值.19.(17分)(2024·湖南岳陽二模)已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,依此類推.設(shè)該數(shù)列的前n項和為Sn,規(guī)定:若?m∈N*,使得Sm=2p(p∈N),則稱m為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”.(1)將該數(shù)列的“佳冪數(shù)”從小到大排列,直接寫出前4個“佳冪數(shù)”;(2)試判斷50是不是“佳冪數(shù)”,并說明理由;(3)①求滿足m>1000的最小的“佳冪數(shù)”m;②證明:該數(shù)列的“佳冪數(shù)”有無數(shù)個.

專題過關(guān)檢測三數(shù)列答案一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.C解析因為a3+a7=2a5=6,所以a5=3,所以a5+a12=3+17=20,所以S16=(a1+a16)×162=故選C.2.C解析因為等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a3=9,所以log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5=log3(a1a2a3a4a5)=log3(a35)=log3(95)=log3(310)=3.C解析設(shè)這100個圓的半徑從小到大依次為r1,r2,…,r100,則由題知,r12=1,每相鄰的兩個圓中,小圓的切線被大圓截得的弦長都為2,有rn+12?rn2=1(n=1,2,…,99),則{rn2}是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,n=1,2,…,100,所以r4.D解析因為a的音頻是數(shù)列的第10項,440=2202×212=2202×211210-4,所以頻率為2205.C解析當n=1時,a1=S1=1;當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.而a1=1也符合an=2n-1,所以an=2n-1.所以1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1?126.D解析設(shè)該數(shù)列為{an},依題意,可知a5,a6,…成等差數(shù)列,且公差為2,a5=5.設(shè)塔群共有n層,則1+3+3+5+5(n-4)+(n-4)(n-5)2×2=108,解得n=12.故最下面三層的塔數(shù)之和為a10+a11+a12=3a11=37.D解析由2n∈[1,100],n∈N*,可得n=1,2,3,4,5,6,所以21+22+23+24+25+26=2×(1-26)1-2=126.又1+2+3+…+100=100×1012=5050,所以在1到100的整數(shù)中,除去所有可以表示為2n(n∈N*)8.B解析由已知得當n為奇數(shù)時,an=n2-(n+1)2=-2n-1,當n為偶數(shù)時,an=-n2+(n+1)2=2n+1.所以a1+a2+a3+…+a100=-3+5-7+…+201=(-3+5)+(-7+9)+…+(-199+201)=2×50=100.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.AC解析由已知得a1+3(a1+4×1)=7a1+7×62×1,解得a1對于選項A,a5=-3+4×1=1,故A正確.對于選項B,an=-3+n-1=n-4,因為a1=-3<0,a2=-2<0,a3=-1<0,a4=0,a5=1>0,所以Sn的最小值為S3或S4,故B錯誤.對于選項C,S6-S1=a2+a3+a4+a5+a6=5a4,又因為a4=0,所以S6-S1=0,即S1=S6,故C正確.對于選項D,因為Sn=-3n+n(n-1)2=n2-10.BD解析設(shè){an}的公差為d,由已知得30×5+30×29解得d=1629∴an=a1+(n-1)d=16n∵bn=2an,∴bn+1故數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,B選項正確.∵5d=5×1629=∴b10b5=(2d)5=25d≠23,∴b10≠8b5∵a30=a1+29d=5+16=21,∴a1b30=5×221>105,C選項錯誤.∵a4=a1+3d=5+3×1629=19329,a5=a1+4d=5+4×1629=11.BC解析對于A,∵|an|=|1n|=1n≤1∴存在正數(shù)M=1,使得|an|≤M恒成立,∴數(shù)列{an}是有界的,A錯誤.對于B,∵-1≤sinn≤1,∴-(12)n≤an=(12)n·sinn≤(12∴Sn=a1+a2+…+an<12+(12)2+…+(12)n=12[1-(12Sn=a1+a2+…+an>-[12+(12)2+…+(12)n]=-1+(12∴存在正數(shù)M=1,使得|Sn|≤M恒成立,∴數(shù)列{Sn}是有界的,B正確.對于C,∵an=(-1)n,∴當n為偶數(shù)時,Sn=0;當n為奇數(shù)時,Sn=-1.∴|Sn|≤1,∴存在正數(shù)M=1,使得|Sn|≤M恒成立,∴數(shù)列{Sn}是有界的,C正確.對于D,1n2=4∴Sn=2n+1+122+132+…+1n2≤2n+2(1-13+13?15+…+12n-1易知y=x-12x+1在[1,+∞∴n-12n+1∈[23,∴不存在正數(shù)M,使得|Sn|≤M恒成立,∴數(shù)列{Sn}是無界的,D錯誤.故選BC.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.2解析由2S3=3S2+6可得2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6,所以2a3=a1+a2+6,即2(a1+2d)=2a1+d+6,解得d=2.13.3×21012-3解析因為a1=1,an+1an=2n,所以當n=1時,有a2a1=2,解得a2=2,且an+2an+1=2n+1,所以an+2a所以當n為奇數(shù)時,an=1×2n當n為偶數(shù)時,an=2×2n所以S2024=a1+a2+…+a2024=(a1+a3+…+a2023)+(a2+a4+…+a2024)=1-210121-2+214.52403-n+32n解析對折3次共可以得到52dm×12dm,5dm×6dm,10dm×3dm,20dm×32dm四種規(guī)格的圖形,面積之和S3=4×對折4次共可以得到54dm×12dm,52dm×6dm,5dm×3dm,10dm×32dm,20dm×34dm五種規(guī)格的圖形,S4=5×15=75……可以歸納對折n次可得n+1種規(guī)格的圖形,Sn=(n+1)·2402ndm則∑k=1nSk=S1+S2+…+Sn=240221+3記Tn=221+322+則12Tn=222+323①與②式相減,得Tn-12Tn=12Tn=221+故Tn=3-n+32故∑k=1nSk=240·Tn=240四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(1)證明由2Snn+n=2a得2Sn+n2=2ann+n①,所以2Sn+1+(n+1)2=2an+1(n+1)+(n+1)②,②-①,得2an+1+2n+1=2an+1(n+1)-2ann+1,化簡得an+1-an=1,所以數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列.(2)解由(1)知數(shù)列{an}的公差為1.由a72=a4a9,得(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=-所以Sn=-12n+n(n-1)2=n所以當n=12或13時,Sn取得最小值,且最小值為-78.16.解(1)設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0).因為a3是2a1,3a2的等差中項,所以2a3=2a1+3a2,即2a1q2=2a1+3a1q,因為a1≠0,所以2q2-3q-2=0,解得q=2或q=-12(舍去)所以a4=a1q3=8a1=16,解得a1=2.所以an=2×2n-1=2n.(2)由(1)可知a2n+1=22n+1,所以bn=(-1)nlog2a2n+1=(-1)nlog222n+1=(-1)n(2n+1),所以Tn=(-1)1×3+(-1)2×5+(-1)3×7+…+(-1)n(2n+1),-Tn=(-1)2×3+(-1)3×5+(-1)4×7+…+(-1)n+1·(2n+1),所以2Tn=-3+2[(-1)2+(-1)3+…+(-1)n]-(-1)n+1(2n+1)=-3+2×1-(-1)n-12+(-1)n(2n+1)=-3+1-(-1)n-1+(-1)n(2n+1)=-2+所以Tn=(n+1)(-1)n-1.17.證明(1)因為an+1an=2n+1,所以a2n+2a2n+1=22n+2,a2n+1a2n=22n+1,所以a2n+2因為a2n+1a2n=22n+1,a2na2n-1=22n,所以a2n+1因為bn=a2n-1+a2n,因為bn+1又因為當n=1時,a2a1=4,a1=1,所以a2=4,所以b1=a1+a2=5,所以{bn}是以5為首項,2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)可得bn=5×2n-1.因為cn=bn所以Sn=(12?15×21-3)+(1518.解(1)設(shè)an,bn分別為第n年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量,依題意,數(shù)列{an}是首項為128,公比為1+50%=32的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}是首項為400,公差為a的等差數(shù)列所以數(shù)列{an}的前n項和Sn=128×1-32n1-32=25632n-1,數(shù)列{所以經(jīng)過n年,該市被