九年級數(shù)學(xué)圓錐曲線期末復(fù)習(xí)3

高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)三（圓錐曲線綜合問題）一、知識回顧1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路，等價轉(zhuǎn)化求解.注意：①直線與圓錐曲線相交的必要條件是他們構(gòu)成的方程組有實數(shù)解，當(dāng)出現(xiàn)一元二次方程時，務(wù)必“”，尤其是在應(yīng)用韋達定理解決問題時，必須先有“”.②直線與拋物線(相交不一定交于兩點)、雙曲線位置關(guān)系(相交的四種情況)的特殊性，應(yīng)謹慎處理.2．弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則＝。注意：焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和，或統(tǒng)一（第二）定義求解。3．圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率；在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率。注意：如果在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”，那么可選擇應(yīng)用“斜率”為橋梁轉(zhuǎn)化.4.常見的尋求曲線方程的方法(待定系數(shù)法、定義法、直譯法、代點法、參數(shù)法、交軌法等),以及如何利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)，這是解析幾何的兩類基本問題，也是解析幾何的基本出發(fā)點.注意：①如果問題中涉及到平面向量知識，那么應(yīng)從已知向量的特點出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化.②在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.二、典型例題例1．（1）橢圓上的點到直線的最短距離為；（2）過拋物線焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知ΔABO重心的橫坐標(biāo)為3（O為坐標(biāo)原點），則|AB|=___10____（3*）已知直線與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線上，則此橢圓的離心率為（4*）若橢圓與雙曲線有相同的焦點，且橢圓與雙曲線的一個交點，則橢圓與雙曲線的方程分別為。[課本2-1P.64第6題]（5）以橢圓+=1的中心為頂點，以橢圓的左準線為準線的拋物線與橢圓右準線交于A、B兩點，則|AB|的值為.（6）P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓和上的點，則|PM|－|PN|的最大值為9[解：P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓和]例2．如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點。（Ⅰ）求拋物線的焦點F的坐標(biāo)及準線l的方程；（Ⅱ）若a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明為定值，并求此定值。解：（Ⅰ）解：設(shè)拋物線的標(biāo)準方程為，則，從而因此焦點的坐標(biāo)為（2，0）.又準線方程的一般式為。從而所求準線l的方程為。（Ⅱ）解法一：如圖（21）圖作AC⊥l，BD⊥l，垂足為C、D，則由拋物線的定義知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.記A、B的橫坐標(biāo)分別為xxxz，則|FA|＝|AC|＝解得，類似地有，解得。記直線m與AB的交點為E，則 所以。故。解法二：設(shè)，，直線AB的斜率為，則直線方程為。將此式代入,得，故。記直線m與AB的交點為，則，，故直線m的方程為.令y=0,得P的橫坐標(biāo)故。從而為定值。例3．在平面直角坐標(biāo)系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量。求：（Ⅰ）點M的軌跡方程；（Ⅱ）的最小值。解:橢圓方程可寫為:eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1式中a>b>0,且EQ\b\lc\{(\a\al(a2－b2=3,\f(\r(3),a)=\f(\r(3),2)))得a2=4,b2=1,所以曲線C的方程為:x2+eq\f(y2,4)=1(x>0,y>0).y=2eq\r(1－x2)(0<x<1)，y'=－eq\f(2x,\r(1－x2))設(shè)P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1,y0=2eq\r(1－x02),y'|x=x0=－eq\f(4x0,y0),得切線AB的方程為:y=－eq\f(4x0,y0)(x－x0)+y0.設(shè)A(x,0)和B(0,y),由切線方程得x=eq\f(1,x0),y=eq\f(4,y0).由=+得M的坐標(biāo)為(x,y),由x0,y0滿足C的方程,得點M的軌跡方程為:eq\f(1,x2)+eq\f(4,y2)=1(x>1,y>2)(Ⅱ)|AB|2=x2+y2,y2=eq\f(4,1－\f(1,x2))=4+eq\f(4,x2－1),∴|AB|2=x2－1+eq\f(4,x2－1)+5≥4+5=9.且當(dāng)x2－1=eq\f(4,x2－1),即x=eq\r(3)>1時,上式取等號.故|AB|的最小值為3.三、課后作業(yè)1．直線與橢圓恒有公共點，則m的取值范圍是；2．如果橢圓弦被點A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是3．圓心在拋物線=2上，且與軸和該拋物線的準線都相切的圓的方程是4．過雙曲線(a＞0，b＞0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于2．5．如圖，B地在A地的正東方向4km處，C地在B地的北偏東30°方向2km處，河流的沒岸PQ（曲線）上任意一點到A的距離比到B的距離遠2km.現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運貨物.經(jīng)測算，從M到B、M到C修建公路的費用分別是a萬元/km、2a萬元/km，那么修建這兩條公路的總費用最低是____5a萬元_____6．若橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，線段F1F2被拋物線的焦點分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為7．已知點A（0，1）是橢圓上的一點，P點是橢圓上的動點，則弦AP長度的最大值為8．如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△是等邊三角形，則雙曲線的離心率為9．設(shè)雙曲線的中心在原點，準線平行于軸，離心率為，且點P（0，5）到此雙曲線上的點的最近距離為2，求雙曲線的方程.答案：或10．設(shè)拋物線的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥軸，證明直線AC經(jīng)過原點。[課本2-1P.61第6題]證明一：因為拋物線y2=2px(p＞0)的焦點為F(，0)，所以經(jīng)過點F的直線的方程可設(shè)為；……4分代入拋物線方程得y2－2pmy－p2=0，若記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是該方程的兩個根，所以y1y2=－p2．……8分因為BC∥x軸，且點c在準線x=－上，所以點c的坐標(biāo)為（－，y2），故直線CO的斜率為．即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點O．……12分證明二：如圖，記x軸與拋物線準線l的交點為E，過A作AD⊥l，D是垂足．則AD∥FE∥BC．……2分連結(jié)AC，與EF相交于點N，則，……6分根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，，，……8分∴，即點N是EF的中點，與拋物線的頂點O重合，所以直線AC經(jīng)過原點O．……12分11．直線與雙曲線交于、兩點。（1）當(dāng)為何值時，、在雙曲線的右支上？（2）求AB的長；（3）當(dāng)為何值時，以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點？[課本2-1P.64第11題]答案：（1）；（2）；（3）.12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標(biāo)原點．橢圓與圓的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為．(1)求圓的方程；(2)試探究圓上是否存在異于原點的點，使到橢圓右焦點的距離等于線段的長．若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(m，n)（m<0，n>0）,則該圓的方程為(x-m)2+(y-n)2=8已知該圓與直線y=x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則=2，即=4①又圓與直線切于原點，將點(0，0)代入得m2+n2=8②聯(lián)立方程①和②組成方程組解得故圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=8(2)=5，∴a2=25，則橢圓的方程為 + =1其焦距c==4，右焦點為(4，0)，那么=4。要探求是否存在異于原點的點Q，使得該點到右焦點F的距離等于的長度4，我們可以轉(zhuǎn)化為探求以右焦點F為頂點，半徑為4的圓(x─4)2+y2=8與(1)所求的圓的交點數(shù)。通過聯(lián)立兩圓的方程解得x=，y=即存在異于原點的點Q(，)，使得該點到右焦點F的距離等于的長。13*．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，，原點到直線的距離為．（Ⅰ）證明；（Ⅱ）求使得下述命題成立：設(shè)圓上任意點處的切線交橢圓于，兩點，則．（Ⅰ）證法一：由題設(shè)及，，不妨設(shè)點，其中，由于點在橢圓上，有，，解得，從而得到，直線的方程為，整理得．由題設(shè)，原點到直線的距離為，即，將代入原式并化簡得，即．