2024-2025學(xué)年福建省寧德市福鼎市高二上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省寧德市福鼎市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．92．下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是B．直線的一個(gè)方向向量為C．過(guò)點(diǎn)且在，軸上的截距相等的直線方程為D．，，三點(diǎn)共線3．已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．4．若圓與圓有且僅有一條公切線，則（

）A． B．1 C． D．05．已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．6．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．如圖，這是一個(gè)落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為，最大直徑為，雙曲線的離心率為，則該花瓶的高為（

）

A． B． C． D．8．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)大于，當(dāng)m變化時(shí)直線與C都恒過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知數(shù)列，滿足為的前項(xiàng)和，且，則（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．C． D．或時(shí)，取得最大值10．已知圓，直線，直線與圓交于，兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線恒過(guò)定點(diǎn)B．直線與圓恒相交C．的最小值為D．若點(diǎn)在圓上，則的最小值是11．已知橢圓，分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為它的左右頂點(diǎn)，已知定點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）A．存在4個(gè)點(diǎn)M，使得 B．直線與直線斜率乘積為定值C．有最小值 D．的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．若直線與直線平行，則它們之間的距離為.13．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則圓在點(diǎn)P處的切線方程為.14．已知A，B是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA與直線OB斜率之積為2，若平面內(nèi)存在兩定點(diǎn)、，使得為定值，則該定值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓心為的圓與直線相切.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若圓與圓相交于兩點(diǎn)，求直線的方程及弦長(zhǎng)度.16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，.(1)求的方程；(2)若，求直線的方程.17．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且，.(1)證明：為等差數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式；(3)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且與坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)成三角形，求面積的最大值．19．已知數(shù)列，對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列為“凹數(shù)列”．(1)判斷數(shù)列是否為“凹數(shù)列”，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)已知等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為，且為“凹數(shù)列”，求的取值范圍；(3)證明：數(shù)列為“凹數(shù)列”的充要條件是“對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，有”．

答案1．【正確答案】C【詳解】∵各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，∴.故選：C.2．【正確答案】C【詳解】A：令過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線為，則，故所求直線為，對(duì)；B：直線的斜率為，則一個(gè)方向向量為，顯然與向量平行，故向量也是一個(gè)方向向量，對(duì)；C：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為，錯(cuò)；D：由，故三點(diǎn)共線，對(duì).故選：C3．【正確答案】B【分析】根據(jù)已知先求得參數(shù)，進(jìn)一步即可得解.【詳解】已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，所以，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選B.【思路導(dǎo)引】根據(jù)題目條件，拋物線的焦點(diǎn)和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)重合，則，解得，從而解得雙曲線的漸近線方程.4．【正確答案】C【詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，又兩圓有且僅有一條公切線，則兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)切，所以，即，解得．故選：C.5．【正確答案】B【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知，此時(shí)直線被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn)在軸上，而已知是線段AB的中點(diǎn)，不在軸上，不滿足題意.故直線斜率存在，可設(shè)斜率為，則直線的方程為，即，代入橢圓的方程化簡(jiǎn)得，所以，解得，故直線方程為，即.故選：B.6．【正確答案】A【詳解】設(shè)的公差d，由有，解得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故選：A7．【正確答案】B【詳解】由該花瓶橫截面圓的最小直徑為，有，又由雙曲線的離心率為，有，可得雙曲線的方程為，代入，可得，故該花瓶的高為.故選：B.8．【正確答案】B【詳解】直線即，該直線過(guò)定點(diǎn)，所以點(diǎn)在C上，，即，設(shè)，則，所以，因?yàn)镃的長(zhǎng)軸長(zhǎng)大于，所以，，所以，解得，所以.故選：B.9．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)A，，則數(shù)列為等差數(shù)列，故A正確，對(duì)B，，則，則，則，則，則，故B錯(cuò)誤，對(duì)C，，則，故C正確，對(duì)D，，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，，故當(dāng)或時(shí),取得最大值，故D正確，故選：ACD.10．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，直線，可得當(dāng)時(shí)方程恒成立，即直線恒過(guò)定點(diǎn)2,3，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)2,3，根據(jù)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，所以點(diǎn)在圓M內(nèi)，所以直線與圓恒相交，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，如圖所示，設(shè)為點(diǎn)P，則，當(dāng)直線l于MP的連線垂直時(shí)，取得最小值，此時(shí)由圓的弦長(zhǎng)公式可得，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，可將其看成點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方再減1，由于是圓上的點(diǎn)，如圖所示，，連結(jié)，則ME于圓的交點(diǎn)即為,此時(shí)取得最小值，故此時(shí)的最小值為，故D正確.故選：ABD.11．【正確答案】AD【詳解】對(duì)于A中，由橢圓，可得，由，以為圓心，為直徑的圓，與橢圓C有4個(gè)交點(diǎn)，所以存在4個(gè)點(diǎn)M，使得，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B中，設(shè)，則，且，可得，則為定值，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于C中，由橢圓的定義，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于D中，由點(diǎn)N在橢圓外，設(shè)直線與橢圓相交于，如圖所示，則，因?yàn)?，且，可知，即，?dāng)與重合時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，故D選項(xiàng)正確.故選：AD．12．【正確答案】/0.5【詳解】由題意，可得，故可寫為，所以兩直線距離為.故13．【正確答案】【詳解】由圓，則圓心為，故，則點(diǎn)P處的切線斜率為，所以圓在點(diǎn)P處的切線方程為，可得.故14．【正確答案】【詳解】設(shè),則由,得，則，，點(diǎn),在雙曲線上,，則，設(shè)分別為直線,的斜率,根據(jù)題意,可知,即，，即在雙曲線上,設(shè)該雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，由雙曲線定義可知||為定值，該定值為.故答案為.15．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）直線與圓C相切，可得直線l到點(diǎn)C的距離等于圓C的半徑，用距離公式可以求得圓C的半徑等于1，最后用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程公式得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）圓C與圓相交于A，B兩點(diǎn)，線段即為兩圓的公共弦．將兩圓的方程的相減，得到二元一次方程，即為公共弦所在直線的方程，在利用圓的弦長(zhǎng)公式求出線段的長(zhǎng)度.【詳解】（1）圓與直線相切，圓心到直線的距離等于圓的半徑.因此半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）圓與圓相交于兩點(diǎn)，由兩式相減得方程:，直線的方程即為.圓心到直線的距離為，所以.16．【正確答案】(1)(2)或.【詳解】（1）由題意得，，把代入得，即，∴，解得，∴的方程為.（2）由（1）得直線斜率存在，F(xiàn)1,0，設(shè)，由得，，∴，由得，，解得，∴直線的方程為或.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）將原式兩邊同時(shí)除以，構(gòu)造等差數(shù)列即可；（2）由（1）可得，根據(jù)得到與的關(guān)系式，再利用累乘法求解即可；（3）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1），，，，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列；（2），即，，兩式作差得，即，，即，，，；（3），，，，.18．【正確答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的半焦距由題可知解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)．三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以直線的斜率存在且不為則可設(shè)直線的方程為聯(lián)立消去整理得．由得即，=易知，點(diǎn)到直線的距離設(shè)則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，面積的最大值為19．【正確答案】(1)數(shù)列是“凹數(shù)列”，理由見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】