數(shù)列通項公式求法(16種類型)

PAGE1數(shù)列通項公式求法類型1解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例1：已知數(shù)列滿足，，求例1解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，變式：已知數(shù)列滿足，求類型2解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知數(shù)列滿足，，求例2解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，變式:已知，，求。類型3或或解法（待定系數(shù)法/構(gòu)造法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列；令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列；……；把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列。例3:已知數(shù)列滿足且，求.例3解：設(shè)，即，數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，則，即。例4:已知數(shù)列滿足，求.例4解：設(shè) ④將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入④式得 ⑤由及⑤式得，則，則數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。例5:已知數(shù)列滿足，求.例5解：設(shè) ⑥將代入⑥式，得整理得。令，則，代入⑥式得 ⑦由及⑦式，得，則，故數(shù)列是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，因此，則。例6:已知數(shù)列滿足，求.例6解：設(shè)⑧將代入⑧式，得，則等式兩邊消去，得，解方程組，則，代入⑧式，得⑨由及⑨式，得則，故數(shù)列為以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。例7:已知數(shù)列中，,,，求。例7解：由可轉(zhuǎn)化為即或這里不妨選用（當然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即又，所以。變式:1.已知，，求2.已知數(shù)列中，,，求3.已知數(shù)列滿足求4.設(shè)數(shù)列：，求.類型4遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：（公式法）這種類型一般利用與消去或與消去進行求解。例8：已知數(shù)列前n項和.（1）求與的關(guān)系；（2）求.例8解：（1）由得：于是所以.（2）應(yīng)用類型3（（其中p，q均為常數(shù)））待定系數(shù)法得：由.于是數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以變式:已知在正整數(shù)數(shù)列中，前項和滿足，求類型5解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)（法）后換元轉(zhuǎn)化為。例9：已知，，求。例9解：對遞推式左右兩邊取倒數(shù)得即，令則。設(shè)，即，數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，則，即，。變式：已知數(shù)列｛an｝滿足：，求 已知數(shù)列{}滿足時，，求3.已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝求類型8解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)（法）后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例10：已知數(shù)列｛｝中，，求數(shù)列例10解：由兩邊取對數(shù)得，令，則，再利用待定系數(shù)法解得：。變式：已知，，，求通項類型9或解法：這種類型一般利用等差或等比的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為與是等差或等比數(shù)列求解。例11：在數(shù)列中，，求例11解：變式：在數(shù)列中，，求類型9含根號遞推公式解法：換元法例12：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。例12解：令，則故，代入得，即因為，故則，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。類型10歸納猜想法解法：數(shù)學(xué)歸納法（理科）例13已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。例13解：由及，得由此可猜測，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。（1）當時，，所以等式成立。（2）假設(shè)當時等式成立，即，則當時，評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項，進而猜出數(shù)列的通項公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項，進而猜出數(shù)列的通項公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。由此可知，當時等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何都成立。類型13雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例14：已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當時，,，求,.例14解：因所以即…（1）又因為所以…….即…（2）由（1）、（2）得：，類型14解法：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當特征方程有且僅有一根時,則是等差數(shù)列;當特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數(shù)列。例15：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項公式.例15解:數(shù)列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有∴∴即變式：已知，（），求。解：當時，遞推式對應(yīng)的特征方程為即，解得、。數(shù)列是以為