2024-2025學(xué)年遼寧省鞍山市育英學(xué)校高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年遼寧省鞍山市育英學(xué)校高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足(1?i)z=3+i，則z?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知命題“?x∈R，使2x2+(a?1)x+12≤0A.{a|a≤?1} B.{a|?1<a<3} C.{a|?1≤a≤3} D.{a|?3<a<1}3.青少年的身高一直是家長和社會關(guān)注的重點，它不僅關(guān)乎個體成長，也是社會健康素養(yǎng)發(fā)展水平的體現(xiàn).某市教育部門為了解本市高三學(xué)生的身高狀況，從本市全體高三學(xué)生中隨機(jī)抽查了1200人，經(jīng)統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)樣本的身高(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(172,σ2)，且身高在168cm到176cm之間的人數(shù)占樣本量的75%，則樣本中身高不低于176cm的約有A.150人 B.300人 C.600人 D.900人4.已知sin(α+π3)=1A.?79 B.79 C.?5.在四面體ABCD中，△ABC和△BCD均是邊長為1的等邊三角形，已知四面體ABCD的四個頂點都在同一球面上，且AD是該球的直徑，則四面體ABCD的體積為(

)A.224 B.212 C.6.“賽龍舟”是端午節(jié)重要的民俗活動之一，登舟比賽的劃手分為劃左槳和劃右槳.某訓(xùn)練小組有6名劃手，其中有2名只會劃左槳，2名只會劃右槳，2名既會劃左槳又會劃右槳.現(xiàn)從這6名劃手中選派4名參加比賽，其中2名劃左槳，2名劃右槳，則不同的選派方法共有(

)A.15種 B.18種 C.19種 D.36種7.已知平行四邊形ABCD中，AB=AD=2，∠DAB=60°，對角線AC與BD相交于點O，點M是線段BC上一點，則OM?CM的最小值為(

)A.?916 B.916 C.?8.若F為雙曲線C：x24?y25=1的左焦點，過原點的直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于AA.[14,15] B.[?二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.某同學(xué)最近6次考試的數(shù)學(xué)成績?yōu)?07，114，136，128，122，143.則(

)A.成績的第60百分位數(shù)為122 B.成績的極差為36

C.成績的平均數(shù)為125 D.若增加一個成績125，則成績的方差變小10.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，上、下兩個頂點分別為B1、BA.橢圓C的離心率為33 B.直線AB1的斜率為3

C.11.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若函數(shù)f(2x?3)的圖像關(guān)于點(2,1)對稱，f(2+x)?f(2?x)=4x，且f(0)=0，則(

)A.f(x)的圖像關(guān)于點(1,1)對稱 B.f(x+4)=f(x)

C.f′(1026)=2 D.i=1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知集合A={0,1,2,3}，B={a,a2?1}，若A∪B=A，則實數(shù)a13.已知定義在區(qū)間[0,π]上的函數(shù)f(x)=2sin(ωx+2π3)(ω>0)的值域為[?2,314.已知實數(shù)x>0，y>0，則(x+1)2+(3y+1四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知{an}是等差數(shù)列，a1=4，且a5?4，a5，a5+6成等比數(shù)列．

(1)求{an}的通項公式；

(2)若數(shù)列16.(本小題12分)

如圖，已知四棱錐E?ABCD，底面ABCD是平行四邊形，且∠DAB=π3，AD=2AB=2，BE=PE，P是線段AD的中點，BE⊥PC．

(1)求證：PC⊥平面BPE；

(2)下列條件任選其一，求二面角P?EC?B的余弦值．

①AE與平面ABCD所成的角為π4；

②D到平面EPC的距離為317.(本小題12分)

某類型的多項選擇題設(shè)置了4個選項，一道題中的正確答案或是其中2個選項、或是其中3個選項.該類型題目評分標(biāo)準(zhǔn)如下：每題滿分6分，若未作答或選出錯誤選項，則該題得0分；若正確答案是2個選項，則每選對1個正確選項得3分；若正確答案是3個選項，則每選對1個正確選項得2分.甲、乙、丙三位同學(xué)各自作答一道此類題目，設(shè)該題正確答案是2個選項的概率為p．

(1)已知甲同學(xué)隨機(jī)(等可能)選擇了2個選項作答，若p=12，求他既選出正確選項也選出了錯誤選項的概率；

(2)已知乙同學(xué)隨機(jī)(等可能)選出1個選項作答，丙同學(xué)隨機(jī)(等可能)選出2個選項作答，若p=118.(本小題12分)

已知圓C過點P(4,1)，M(2,3)和N(2,?1)，且圓C與y軸交于點F，點F是拋物線E：x2=2py(p>0)的焦點．

(1)求圓C和拋物線E的方程；

(2)過點P作直線l與拋物線交于不同的兩點A，B，過點A，B分別作拋物線E的切線，兩條切線交于點Q，試判斷直線QM與圓C的另一個交點D是否為定點，如果是，求出D點的坐標(biāo)；如果不是，說明理由．19.(本小題12分)

定義：函數(shù)f(x)滿足對于任意不同的x1，x2∈[a,b]，都有|f(x1)?f(x2)|<k|x1?x2|，則稱f(x)為[a,b]上的“k類函數(shù)”．

(1)若f(x)=x23+1，判斷f(x)是否為[1,3]上的“2類函數(shù)”；

(2)若f(x)=a(x?1)ex?x22?xlnx參考答案1.D

2.B

3.A

4.A

5.B

6.C

7.A

8.D

9.BCD

10.ACD

11.ACD

12.1或2

13.[514.2

15.解：(1)因為{an}是等差數(shù)列，a1=4，設(shè)公差為d，

由題可得a52=(a5?4)(a5+6)，

解得a5=12，

則d=a5?a14=2，

故an=a1+(n?1)d=2n+2；

(2)由bn?bn+1bn16.(1)證明：因為∠DAB=π3，且AP=AB=1，故BP=1，

在△PDC中，PD=DC=1,∠PDC=2π3，

由余弦定理可得：cos∠PDC=PD2+CD2?PC22PD?CD=?12，

解得PC=3，在△BPC中，BP=1,PC=3,BC=2，

所以BP2+PC2=BC2，即BP⊥PC，

又因為BE⊥PC，BP∩BE=E，BE?平面BPE，BP?平面BPE，

所以PC⊥平面BPE；

(2)解：選①，取BP中點為O，連接EO，AO，如圖所示：

因為BE=PE，故EO⊥BP，由(1)得PC⊥平面BPE，

因為EO?平面BPE，所以EO⊥PC，

因為BP∩PC=P，BP?平面ABCD，PC?平面ABCD，

所以EO⊥平面ABCD，所以∠EAO為AE與平面ABCD所成的角，

即∠EAO=π4，因為∠DAB=π3，AB=AP，

所以△ABP為等邊三角形，且邊長為1，所以BP=1，AO=32，

由∠EAO=π4可得EO=AO=32，

因為BO=PO=12BP=12，EO=32，

所以BE=PE=1=BP，所以△EBP為等邊三角形，

以O(shè)為原點，OA,OP,OE為在x，y，z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則P(0,12,0),B(0,?12,0),C(?3,12,0),E(0,0,32)，

EP=(0,12,?32),PC=(?3,0,0),BC=(?3,1,0),BE=(0,12,32)，

設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面EPC的法向量，

則n1?EP=0n1?PC=0，即12y1?32z1=0?3x1=0，

取z1=1，可得平面EPC的法向量n1=(0,3,1)，

設(shè)n2=(x2,y2,z2)為平面EBC的法向量，

則n2?BE=0n2?BC=0，即12y2+32z2=0?3x2+y2=0，

取z2=?1，可得平面EBC的法向量n2=(1,3,?1)，

設(shè)二面角P?EC?B所成的角為θ，則cosθ=|cos?n1,n2?|=|n1?n2||n1||n2|=55，

所以二面角P?EC?B的余弦值為55．

選②，取BP中點為O，連接17.解：事件A為該題的正確答案是2個選項，則A?為該題的正確答案是3個選項，即P(A)=p，P(A?)=1?p，

(1)由p=12得，P(A)=12，P(A?)=12，

設(shè)事件B為甲同學(xué)既選出正確選項也選出錯誤選項，

則P(B|A)=C21C21C42=23，P(B|A?)=C31C11C42=12，則P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A?)P(A?)=23×12+12×12=712；

(2)18.解(1)點P(4,1)，M(2,3)和N(2,?1)，

可得PM的中點(3,2)，k=3?12?4=?1，

所以線段PM的中垂線的方程為y?2=x?3，即y=x?1，

線段MN的中垂線的方程為y=3?12=1，

聯(lián)立y=x?1y=1，可得x=2，y=1，

所以圓心C(2,1)，圓的半徑r=|PC|=2，

所以圓C的方程為：(x?2)2+(y?1)2=4，

令x=0，可得y=1，

由題意可知拋物線的焦點坐標(biāo)為(0,1)，所以拋物線的方程為x2=4y；

所以圓的方程為：(x?2)2+(y?1)2=4，拋物線的方程為x2=4y；

(2)顯然直線AB的方程的向量存在，設(shè)直線AB的方程為y=k(x?4)+1，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立y=kx?4k+1x2=4y，整理可得x2?4kx+16k?4=0，

Δ=16k2?4×1×(16k?4)>0，可得k2?4k+1>0，

且x1+x2=4k，x1x2=16k?4，

因為拋物線的方程y=x24，則y′=x2，

則在點A處的斜率k1=x119.解：(1)對于任意不同的x1，x2∈[1,3]，不妨設(shè)x1<x2，即1≤x1<x2≤3，

則|f(x1)?f(x2)|=|(x123+1)?(x223+1)|=x1+x23|x1?x2|<2|x1?x2|，

所以f(x)為[1,3]上的“2類函數(shù)”；

(2)因為f(x)為[1,e]上的“3類函數(shù)”，

對于任意不同的x1，x2∈[1,e]，不妨設(shè)x1<x2，

則|f(x1)?f(x2)|<3|x1?x2|=3(x2?x1)恒成立，

可得3x1?3x2<f(x1)?f(x2)<3x2?3x1，

即f(x1)+3x1<f(x2)+3x2，f(x2)?3x2<f(x1)?3x1均恒成立，

構(gòu)建g(x)=f(x)+3x，x∈[1,e]，則g′(x)=f′(x)+