Matlab最短路徑算法精課件

Matlab最短路徑算法(精)2主要內(nèi)容Floyd算法Dijkstra算法兩個例子的求解引例2：最廉價航費表的制定引例1：最短運輸路線問題3如圖的交通網(wǎng)絡，每條弧上的數(shù)字代表車輛在該路段行駛所需的時間，有向邊表示單行道，無向邊表示可雙向行駛。若有一批貨物要從1號頂點運往11號頂點，問運貨車應沿哪條線路行駛，才能最快地到達目的地？

引例1：最短運輸路線問題

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某公司在六個城市C1,C2,C3,C4,C5,C6都有分公司，公司成員經(jīng)常往來于它們之間，已知從Ci到Cj的直達航班票價由下述矩陣的第i行，第j列元素給出（

表示無直達航班），該公司想算出一張任意兩個城市之間的最廉價路線航費表。

引例2：最廉價航費表的制定5最短路徑問題定義：設P(u,v)是加權(quán)圖G中從u到v的路徑,則該路徑上的邊權(quán)之和稱為該路徑的權(quán),記為w(P).從u到v的路徑中權(quán)最小者P*(u,v)稱為u到v的最短路徑.102374116598135122106158879932276最短路徑算法Dijkstra算法使用范圍:尋求從一固定頂點到其余各點的最短路徑;有向圖、無向圖和混合圖;權(quán)非負.算法思路：采用標號作業(yè)法,每次迭代產(chǎn)生一個永久標號,從而生長一顆以v0為根的最短路樹,在這顆樹上每個頂點與根節(jié)點之間的路徑皆為最短路徑.102374116598135122106158879932277Dijkstra算法——算法步驟S:具有永久標號的頂點集;l(v):v的標記;f(v):v的父頂點,用以確定最短路徑;

輸入加權(quán)圖的帶權(quán)鄰接矩陣w=[w(vi,vj)]nxm.初始化令l(v0)=0,S=;vv0,l(v)=;更新l(v),f(v)

尋找不在S中的頂點u,使l(u)為最小.把u加入到S中,然后對所有不在S中的頂點v,如l(v)>l(u)+w(u,v),則更新l(v),f(v),即l(v)l(u)+w(u,v),f(v)u;重復步驟2),直到所有頂點都在S中為止.8MATLAB程序（Dijkstra算法）function[min,path]=dijkstra(w,start,terminal)n=size(w,1);label(start)=0;f(start)=start;fori=1:nifi~=startlabel(i)=inf;end,ends(1)=start;u=start;whilelength(s)<nfori=1:nins=0;forj=1:length(s)ifi==s(j)ins=1;end,endifins==0v=i;iflabel(v)>(label(u)+w(u,v))label(v)=(label(u)+w(u,v));f(v)=u;end,end,endv1=0;k=inf;fori=1:nins=0;forj=1:length(s)ifi==s(j)ins=1;end,endifins==0v=i;ifk>label(v)k=label(v);v1=v;end,end,ends(length(s)+1)=v1;u=v1;endmin=label(terminal);path(1)=terminal;i=1;whilepath(i)~=startpath(i+1)=f(path(i));i=i+1;endpath(i)=start;L=length(path);path=path(L:-1:1);①②③9最短路徑算法Dijkstra算法程序的使用說明：調(diào)用格式為

[min,path]=dijkstra(w,start,terminal),

其中輸入變量w為所求圖的帶權(quán)鄰接矩陣，start,terminal分別為路徑的起點和終點的號碼。返回start到terminal的最短路徑path及其長度min.注意：頂點的編號從1開始連續(xù)編號。10最短路徑算法Floyd算法使用范圍:求每對頂點的最短路徑;有向圖、無向圖和混合圖;算法思想:

直接在圖的帶權(quán)鄰接矩陣中用插入頂點的方法依次遞推地構(gòu)造出n個矩陣D(1),D(2),…,D(n),D(n)是圖的距離矩陣,同時引入一個后繼點矩陣記錄兩點間的最短路徑.1023741165981351221061588799322711Floyd算法——算法步驟d(i,j):i到j的距離;path(i,j):i到j的路徑上i的后繼點;

輸入帶權(quán)鄰接矩陣a(i,j).1）賦初值對所有i,j,d(i,j)a(i,j),path(i,j)j,k=l.2）更新d(i,j),path(i,j)

對所有i,j,

若d(i,k)+d(k,j)<d(i,j),則

d(i,j)d(i,k)+d(k,j),path(i,j)path(i,k),kk+13）重復2)直到k=n+112MATLAB程序（Floyd算法）function[D,path,min1,path1]=floyd(a,start,terminal)D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n);fori=1:nforj=1:nifD(i,j)~=infpath(i,j)=j;end,end,endfork=1:nfori=1:nforj=1:nifD(i,k)+D(k,j)<D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);path(i,j)=path(i,k);end,end,end,endifnargin==3min1=D(start,terminal);m(1)=start;i=1;path1=[];whilepath(m(i),terminal)~=terminalk=i+1;m(k)=path(m(i),terminal);i=i+1;endm(i+1)=terminal;path1=m;end13最短路徑算法Floyd算法程序的使用說明：1.[D,path]=floyd(a),返回矩陣D,path。其中a是所求圖的帶權(quán)鄰接矩陣，D(i,j)表示i到j的最短距離;path(i,j)表示i與j之間的最短路徑上頂點i的后繼點.2.[D,path,min1,path1]=floyd(a,i,j)返回矩陣D,path;并返回i與j之間的最短距離min1和最短路徑path1.14edge=[2,3,1,3,3,5,4,4,1,7,6,6,5,5,11,1,8,6,9,10,8,9,9,10;...3,4,2,7,5,3,5,11,7,6,7,5,6,11,5,8,1,9,5,11,9,8,10,9;...3,5,8,5,6,6,1,12,7,9,9,2,2,10,10,8,8,3,7,2,9,9,2,2];n=11;weight=inf*ones(n,n);fori=1:nweight(i,i)=0;endfori=1:size(edge,2)weight(edge(1,i),edge(2,i))=edge(3,i);end[dis,path]=dijkstra(weight,1,11)引例1的Matlab求解1023741165981351221061588799322715運行上頁程序輸出：dis=21path=1891011

因此頂點1到頂點11