2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第4章-第8節(jié) 第一課時(shí) 正弦定理和余弦定理【課件】

第四章三角函數(shù)、解三角形

第8節(jié)正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用第一課時(shí)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.目

錄CONTENTS知識(shí)診斷自測(cè)01考點(diǎn)聚焦突破02課時(shí)分層精練03知識(shí)診斷自測(cè)1ZHISHIZHENDUANZICE1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2.在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：一解兩解一解一解無解常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.(

)(2)在△ABC中，若sinA>sinB，則A>B.(

)(3)在△ABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素.(

)(4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＝0時(shí)，△ABC為直角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2<0時(shí)，△ABC為鈍角三角形.(

)解析(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角的正弦值之比.(3)已知三角時(shí)，不可求三邊.(4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時(shí)，△ABC不一定為銳角三角形，僅確定A為銳角.×××√2.(必修二P48T2(2)改編)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，則邊c＝____________.解析B＝180°－45°－75°＝60°，

3.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC＝________.45°或135°解析根據(jù)題意，得ab＝2，則C＝45°或135°.考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一利用正弦定理解三角形C解析因?yàn)閍cosB－bcosA＝c，所以由正弦定理得sinAcosB－sinBcosA＝sinC＝sin(B＋A)，則2sinBcosA＝0.BC解析對(duì)于A，因?yàn)閎＝10，A＝45°，C＝60°，所以B＝75°，所以△ABC只有一解，故A錯(cuò)誤；所以△ABC有兩解(45°<B<60°或120°<B<135°)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)閍＝8，b＝4，A＝80°，所以b<a，B<80°，所以△ABC只有一解，故D錯(cuò)誤.感悟提升BA考點(diǎn)二利用余弦定理解三角形D解析由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋c2－3c＝13，即c2－3c－4＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝4，所以c＝4.A所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，可得12＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－24，所以a＋b＝6.感悟提升利用余弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與角；二是已知三邊求各個(gè)角.由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的.D解析cos2A＝－cosA＝2cos2A－1，即2cos2A＋cosA－1＝0，(2)(2024·無錫質(zhì)檢)設(shè)a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊.若B＝C≠A，且a(b2＋c2－a2)＝b2c，則A＝________.解析因?yàn)閎2＋c2－a2＝2bccosA，所以2abccosA＝b2c，即2acosA＝b，即2sinAcosA＝sinB，所以sin2A＝sinB，所以2A＝B或2A＋B＝π.因?yàn)锽＝C，所以A＋B＋C＝A＋2B＝π.考點(diǎn)三三角形的面積、周長(zhǎng)例3(2023·全國(guó)乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.(1)求sin∠ABC；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且∠BAD＝90°，求△ADC的面積.感悟提升拓展視野

射影定理設(shè)△ABC的三邊是a，b，c，它們所對(duì)的角分別是A，B，C，則有a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c＝acosB＋bcosA.例

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC為銳角三角形，且滿足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，則下列等式成立的是(

) A.a＝2b

B.b＝2a

C.A＝2B

D.B＝2AA解析法一因?yàn)閟inB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sin(A＋C)，所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB，即cosC(2sinB－sinA)＝0，所以cosC＝0或2sinB＝sinA，即C＝90°或2b＝a，又△ABC為銳角三角形，所以0°＜C＜90°，故2b＝a.所以a2＋b2＝c2或2b＝a，又△ABC為銳角三角形，所以a2＋b2＞c2，故2b＝a.法三由正弦定理及射影定理，得b＋2bcosC＝2acosC＋ccosA＝acosC＋(acosC＋ccosA)＝acosC＋b，即2bcosC＝acosC，又因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以cosC≠0，則2b＝a.A所以sin2C＝3sin2A，所以cos2C＝1－sin2C＝1－3sin2A.由2acosC＋b＝2ccosA，得2sinAcosC＋sinB＝2sinCcosA，2sinAcosC＋sin(A＋C)＝2sinCcosA，3sinAcosC＝sinCcosA，則9sin2Acos2C＝sin2Ccos2A，9sin2A(1－3sin2A)＝3sin2A(1－sin2A)，法二由射影定理，得b＝acosC＋ccosA代入2acosC＋b＝2ccosA，得3acosC＝ccosA，課時(shí)分層精練3KESHIFENCENGJINGLIANDB解析因?yàn)閟inA＝6sinB，則由正弦定理得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因?yàn)镃＝60°，所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，A解析在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cosA，ABBB解析因?yàn)?cos2A－cosA＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，所以2(1－sin2A)－cos[π－(B＋C)]＝2(1－sin2B)＋2(1－sin2C)－2＋cos(B－C)，則2－2sin2A＋cosBcosC－sinBsinC＝2－2sin2B－2sin2C＋cosBcosC＋sinBsinC，整理得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，由正弦定理可得b2＋c2－a2＝bc，53因?yàn)閍＋b＋c＝10，所以a＋c＝10－b，所以a2＋c2＋2ac＝100－20b＋b2，所以a2＋c2－b2＝68－20b.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB，即b2＝a2＋c2－8，所以a2＋c2－b2＝8，則68－20b＝8，解得b＝3.(2)求c的值；解法一由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即39＝4＋c2－4ccos120°，整理得c2＋2c－35＝0，解得c＝5或c＝－7(舍去)，所以c＝5.法二因?yàn)锳＝120°，所以B，C均為銳角，(3)求sin(B－C)的值.B解析因?yàn)?sinBsinC＋sinB＋2cos2B＝2，進(jìn)而有sinBsinC＋sinAsinB－2sin2B＝0.因?yàn)閟inB≠0，所以sinC＋sinA－2sinB＝0，由正弦定理得c＋a－2b＝0.又a2＝b2＋c2－2bccos30°，14.(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，b＝a＋1