定積分的計(jì)算

定積分的計(jì)算一、定積分的換元積分法第二節(jié)我們已將計(jì)算定積分的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)或不定積分的問(wèn)題，而求不定積分已有現(xiàn)成的換元積分法和分部積分法，由于定積分涉及求出的原函數(shù)還要代上、下限的問(wèn)題，所以，本節(jié)有必要進(jìn)一步講解定積分的換元積分法和分部積分法.一、定積分的換元積分法第一類換元積分法(湊微分法)1.定理6設(shè)函數(shù)u=φ(x)在區(qū)間［a,b］上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，y=f(u)在相應(yīng)的區(qū)間上連續(xù)，且F′(u)=f(u)，則有∫baf［φ(x)］φ′(x)dx=∫baf［φ(x)］dφ(x)=F［φ(x)］ba

=F［φ(b)］－F［φ(a)］.(6-4)

這個(gè)定理可由不定積分的換元積分法直接得證.一、定積分的換元積分法【例13】【例14】一、定積分的換元積分法【例15】【例16】一、定積分的換元積分法當(dāng)被積函數(shù)含有絕對(duì)值符號(hào)或根式時(shí)，則應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)或根號(hào)，變?yōu)榉侄魏瘮?shù)再積分.這時(shí)必須注意被積函數(shù)在不同積分區(qū)間所取的正負(fù)號(hào)可能不同，以免導(dǎo)致錯(cuò)誤.注一、定積分的換元積分法第二類換元積分法2.定理7設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，函數(shù)x=φ(t)滿足下列條件：(1)函數(shù)φ(t)在區(qū)間［α,β］上單調(diào)且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)φ′(t)；(2)當(dāng)t在區(qū)間［α,β］上變化時(shí)，x=φ(t)的值在［a,b］上變化，且φ(α)=a，φ(β)=b，則有

∫baf(x)dx=∫βαf［φ(t)］φ′(t)dt.(6-5)

式(6-5)式稱為定積分的換元公式.一、定積分的換元積分法證由于式(6-5)兩邊的被積函數(shù)都是連續(xù)的，所以他們都存在原函數(shù).設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，即F′(x)=f(x)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有一、定積分的換元積分法①利用式(6-5)計(jì)算定積分時(shí)要注意，積分限應(yīng)隨積分變量改變而改變，并且下限a對(duì)應(yīng)的參數(shù)值α仍應(yīng)寫在下限，上限b對(duì)應(yīng)的參數(shù)值β仍應(yīng)寫在上限，不論α>β或α<β皆如此.②直接利用定積分的換元積分法，要比利用不定積分的換元積分法，再利用牛頓萊布尼茲公式簡(jiǎn)便.因?yàn)槔枚ǚe分換元積分法的同時(shí)也改變了積分限，而省略了不定積分中還原的過(guò)程.③為避免應(yīng)用式(6-5)時(shí)出錯(cuò)，應(yīng)保證x=φ(t)在區(qū)間［α,β］上是單調(diào)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).注一、定積分的換元積分法【例17】一、定積分的換元積分法在定積分計(jì)算時(shí)，若積分變量更換，則積分上下限必須隨之更換；若積分變量沒(méi)有更換，只用到了湊微分，則積分上下限不用更換，即“換元即換限，湊元限不變”.注一、定積分的換元積分法【例18】一、定積分的換元積分法【例19】一、定積分的換元積分法【例20】一、定積分的換元積分法對(duì)于形如∫a－af(x)dx(a>0)的定積分，應(yīng)先判別f(x)的奇偶性，如f(x)為奇函數(shù)，則∫a－af(x)dx=0；若f(x)為偶函數(shù)，則∫a－af(x)dx=2∫a0f(x)dx，然后再計(jì)算∫a0f(x)dx；如f(x)為非奇非偶函數(shù)，看是否能化為奇偶函數(shù)的代數(shù)和形式，然后再計(jì)算.注一、定積分的換元積分法【例21】一、定積分的換元積分法【例22】一、定積分的換元積分法對(duì)于分段函數(shù)，可利用定積分的積分區(qū)間的可加性逐段積分.這時(shí)必須注意不同的積分區(qū)間被積函數(shù)的表達(dá)式不同.注【例23】一、定積分的換元積分法【例24】設(shè)函數(shù)f(x)在［0,1］上連續(xù)，證明一、定積分的換元積分法證明積分等式時(shí)，如何選取積分變換是證題的關(guān)鍵.一般要從等式兩邊的積分限和被積函數(shù)的變化情況去考慮.當(dāng)然也需要一定的技巧，希望讀者在平時(shí)的做題過(guò)程中，不斷地積累和摸索其規(guī)律.注二、定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)u=u(x)與v=v(x)在區(qū)間［a,b］上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)u′(x)與v′(x)，則定積分的分部積分公式為∫bau(x)dv(x)=u(x)v(x)ba－∫bav(x)du(x)，(6-6)

或?qū)懗伞襜au(x)v′(x)dx=u(x)v(x)ba－∫bav(x)u′(x)dx.(6-7)定理8二、定積分的分部積分法證由函數(shù)乘積的微分公式知

d［u(x)v(x)］=u(x)dv(x)+v(x)du(x)，即u(x)dv(x)=d［u(x)v(x)］－v(x)du(x)，兩邊取定積分，積分區(qū)間為［a,b］，則有∫bau(x)dv(x)=u(x)v(x)ba－∫bav(x)du(x)

或∫bau(x)v′(x)dx=u(x)v(x)ba－∫bav(x)u′(x)dx.

二、定積分的分部積分法計(jì)算∫π0xsinxdx.

解令u=x，dv=sinxdx，那么du=dx，v=－cosx.根據(jù)式(6-6)，有∫π0xsin

xdx=－∫π0xdcos

x=－xcosxπ0+∫π0cos

xdx

=π+sinxπ0=π+0=π.【例25】二、定積分的分部積分法【例26】二、定積分的分部積分法【例27】二、定積分的分部積分法【例28】證明定積分公式(6-8)二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法【例29】二、定積分的分部積分法【例30】二、定積分的分部積分法【例31】設(shè)f(x)在［0,π］上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f′(π)=3且∫π0［f(x)+f″(x)］cosxdx=2，求f′(0).

解∫π0［f(x)+f″(x)］cosxdx=∫π0f(x)dsinx+∫π0cosxdf′(x)

=sin

x·f(x)π0-∫π0sinx·f′(x)dx+cosx·f′(x)π0+∫π0sinx·f′(x)