2016文科高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

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正本清源——

第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄基礎(chǔ)自主梳理

?鏈接教材

第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄基礎(chǔ)自主梳理第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄基礎(chǔ)自主梳理第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄基礎(chǔ)自主梳理第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄基礎(chǔ)自主梳理

?易錯(cuò)易混

第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄基礎(chǔ)自主梳理第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄基礎(chǔ)自主梳理

?通性通法

?探究點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄考點(diǎn)互動(dòng)探究第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄考點(diǎn)互動(dòng)探究第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄考點(diǎn)互動(dòng)探究第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄考點(diǎn)互動(dòng)探究

?探究點(diǎn)二等差數(shù)列的判定及其證明

第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄考點(diǎn)互動(dòng)探究第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄考點(diǎn)互動(dòng)探究第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄考點(diǎn)互動(dòng)探究第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄考點(diǎn)互動(dòng)探究第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄考點(diǎn)互動(dòng)探究

?探究點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)和最值第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄考點(diǎn)互動(dòng)探究第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄考點(diǎn)互動(dòng)探究第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄考點(diǎn)互動(dòng)探究第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄考點(diǎn)互動(dòng)探究第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄考點(diǎn)互動(dòng)探究第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄考點(diǎn)互動(dòng)探究?思想方法10.利用等差數(shù)列的性質(zhì)求前n項(xiàng)和數(shù)學(xué)思想方法第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄數(shù)學(xué)思想方法第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄數(shù)學(xué)思想方法第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄數(shù)學(xué)思想方法第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄——

教師備用例題——

第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄第29講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和返回目錄(3)(2015·溫州模擬)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a2+a6+a10為一個(gè)確定的常數(shù),則下列各數(shù)中也可以為確定常數(shù)的是(

)A.S6 B.S11 C.S12 D.S13【解析】選B.根據(jù)題意,a2+a6+a10=(a2+a10)+a6=2a6+a6=3a6為一個(gè)確定的常數(shù),即a6為確定常數(shù),而S11=所以S11也為確定常數(shù).(4)(2014·江西高考)在等差數(shù)列{an}中,a1=7,公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)Sn取得最大值,則d的取值范圍為

.【解析】由題意得a8>0且a9<0,所以7+7d>0且7+8d<0,解得-1<d<-.答案:

考點(diǎn)1等差數(shù)列的基本運(yùn)算【典例1】(1)(2015·唐山模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a4=15,S5=55,則數(shù)列{an}的公差d是(

)A.B.4C.-4D.-3(2)在等差數(shù)列{an}中,a1=1,a3=-3.①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;②若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk=-35,求k的值.【解題提示】(1)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式,聯(lián)立解方程組,消去a1,解得d.(2)①先求出基本量a1和d,再利用通項(xiàng)公式求解;②利用前n項(xiàng)和公式解方程即可.【規(guī)范解答】(1)選B.由已知得即消去a1,解得d=4.【一題多解】解答本題,你知道幾種解法?解答本題,還可用下面的解法:選B.因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,則S5==55,因此a1+a5=22,從而2a3=22,即a3=11,又已知a4=15,所以公差d=a4-a3=15-11=4,故選B.(2)①設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3,解得d=-2.從而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.②由①可知an=3-2n,所以Sn==2n-n2.進(jìn)而由Sk=-35可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N*,故k=7為所求.【互動(dòng)探究】若例題(1)中的已知條件不變,求通項(xiàng)an.【解析】由本例(1)可知d=4,從而再解出a1=11-2d=3,所以an=3+(n-1)×4=4n-1.【規(guī)律方法】1.等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的通性通法(1)等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d,然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解.(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),體現(xiàn)了方程的思想.2.等差數(shù)列設(shè)項(xiàng)技巧若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí),可設(shè)中間三項(xiàng)為a-d,a,a+d;若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí),可設(shè)中間兩項(xiàng)為a-d,a+d,其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元.【變式訓(xùn)練】(2014·浙江高考)已知等差數(shù)列{an}的公差d>0,設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,S2·S3=36.(1)求d及Sn.(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.【解析】(1)由題意知，(2a1+d)(3a1+3d)=36,解得d=2或d=－5(舍去).所以(2)由(1)知，am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k－1)(k+1)，所以(2m+k－1)(k+1)=65，由m,k∈N*知，2m+k－1>k+1>1，故所以【加固訓(xùn)練】1.(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=(

)A.3B.4C.5D.6【解析】選C.方法一：由已知得，am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3，因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以d=am+1-am=1，又因?yàn)樗詍(a1+2)=0，因?yàn)閙≠0，所以a1=-2，又am=a1+(m-1)d=2，解得m=5.方法二：因?yàn)镾m-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，所以am=Sm-Sm-1=2，am+1=Sm+1-Sm=3，所以公差d=am+1-am=1,由由①得代入②可得m=5.方法三：因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn,所以數(shù)列也為等差數(shù)列.所以解得m=5.經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解.故選C.2.數(shù)列{an}滿足an+1+an=4n-3(n∈N*).(1)若{an}是等差數(shù)列,求其通項(xiàng)公式.(2)若{an}滿足a1=2,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,求S2n+1.【解析】(1)因?yàn)閍n+1+an=4n-3,所以an+2+an+1=4n+1,兩式相減得an+2-an=4.因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,所以d=2.又因?yàn)閍1+a2=1,即a1+a1+d=1,所以所以(2)因?yàn)閍1=2,a1+a2=1,所以a2=-1.又因?yàn)閍n+2-an=4,所以該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列,公差均為4,所以a2n-1=4n-2,a2n=4n-5.所以S2n+1=(a1+a3+…+a2n+1)+(a2+a4+…+a2n)考點(diǎn)2等差數(shù)列的判定與證明【典例2】(1)(2015·防城港模擬)若{an}是公差為1的等差數(shù)列,則{a2n-1+2a2n}是(

)A.公差為3的等差數(shù)列B.公差為4的等差數(shù)列C.公差為6的等差數(shù)列D.公差為9的等差數(shù)列(2)(2015·太原模擬)已知數(shù)列{an}中,(n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=(n∈N*).①求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;②求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng),并說(shuō)明理由.【解題提示】(1)構(gòu)造新數(shù)列{cn},使得cn=a2n-1+2a2n,根據(jù)cn+1-cn是否對(duì)任意正整數(shù)n都等于同一個(gè)常數(shù)作出判斷.(2)①證明bn+1-bn=常數(shù);②根據(jù)①的結(jié)論,求得{bn}的通項(xiàng)公式,再求得{an}的通項(xiàng)公式,結(jié)合單調(diào)性求解.【規(guī)范解答】(1)選C.設(shè){an}的公差為d,則d=1.設(shè)cn=a2n-1+2a2n,則cn+1=a2n+1+2a2n+2,所以cn+1-cn=a2n+1+2a2n+2-a2n-1-2a2n=6d=6,故選C.(2)①因?yàn)閍n=(n≥2,n∈N*),bn=(n∈N*),所以

又所以數(shù)列{bn}是以為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列.②由①知bn=n-,則an=設(shè)f(x)=則f(x)在區(qū)間和上為減函數(shù),所以當(dāng)n=3時(shí),an取得最小值-1,當(dāng)n=4時(shí),an取得最大值3.【規(guī)律方法】等差數(shù)列的四個(gè)判定方法(1)定義法:證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an+1-an等于同一個(gè)常數(shù).(2)等差中項(xiàng)法:證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an+1=an+an+2后,可遞推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根據(jù)Sn,an的關(guān)系,得出an,再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列.提醒:等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項(xiàng)法,而對(duì)于通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的方法主要適合在選擇題或填空題中簡(jiǎn)單判斷.【變式訓(xùn)練】(2015·廈門模擬)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n2-n+m(m∈R),則“m=0”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的(

)A.充分必要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.當(dāng)m=0時(shí),Sn=2n2-n.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3.對(duì)n=1也成立,所以an=4n-3,即{an}是等差數(shù)列.反之若{an}是等差數(shù)列,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1+m,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=4n-3對(duì)n=1必需成立,所以1=1+m,即m=0.故選A.【加固訓(xùn)練】已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a,4,3a,前n項(xiàng)和為Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值.(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn=證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求其前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)設(shè)該等差數(shù)列為{an},則a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去)，故a=2,k=10.(2)由(1)得則故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列,所以考點(diǎn)3等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用知·考情對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的考查幾乎每年都有涉及,有時(shí)以選擇題、填空題出現(xiàn),難度中等偏下,有時(shí)在解答題中出現(xiàn),常與求通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn結(jié)合命題,題目難度中等.明·角度命題角度1:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求基本量【典例3】(2015·貴陽(yáng)模擬)已知遞減的等差數(shù)列{an}滿足a12=a92,則a5=

(

)A.-1 B.0 C.-1或0 D.4或5【解題提示】判斷出等差數(shù)列的單調(diào)性,再根據(jù)性質(zhì)求解.【規(guī)范解答】選B.由題意可知a12-a92=0,即(a1+a9)(a1-a9)=0,又{an}為遞減的等差數(shù)列,所以a1>a9,得a1+a9=0,所以a5=0,故選B.命題角度2:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求前n項(xiàng)和的最值【典例4】(2015·烏魯木齊模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范圍.(2)S1,S2,…,S12中哪一個(gè)值最大?并說(shuō)明理由.【解題提示】(1)由S12>0,S13<0可得出關(guān)于a1與d的不等式,結(jié)合a3=12可求d的范圍.(2)由S12>0,S13<0,確定出正負(fù)變化的相鄰的兩項(xiàng),從而確定最值.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)镾12>0,S13<0,所以即又a3=a1+2d=12,所以解得(2)由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)可得所以a7<0,a6>0.所以在數(shù)列{an}中，前6項(xiàng)為正，從第7項(xiàng)起，以后各項(xiàng)為負(fù)，故S6最大.【一題多解】解答本題，你知道幾種解法？解答本題還有以下解法.(n=1,2,3,…,12).所以=因?yàn)樗运援?dāng)n=6時(shí)，Sn有最大值，所以S1,S2,…,S12中值最大的為S6.悟·技法求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn最大(小)值的常用方法1.鄰項(xiàng)變號(hào)法：(1)當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm.(2)當(dāng)a1<0,d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.2.函數(shù)法：利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(d≠0),Sn可看成關(guān)于n的二次函數(shù)式且常數(shù)項(xiàng)為0,借助二次函數(shù)的圖象或配方法解決最值問(wèn)題，注意n∈N*.通·一類1.(2015·重慶模擬)已知等差數(shù)列{an}的前13項(xiàng)之和為,則tan(a6+a7+a8)等于(

)A.B.C.1D.-1【解析】選D.因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前13項(xiàng)之和為=13a7,所以a7=,則tan(a6+a7+a8)=tan(3a7)=tan=-1,選D.2.(2015·濟(jì)南模擬)已知{an}為等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,Sn是{an}前n項(xiàng)和,則使得Sn達(dá)到最大值的n是(

)A.21 B.20 C.19 D.18【解析】選B.由a1+d+a3+d+a5+d=105+3d,則a2+a4+a6=105+3d=99,得d=-2,a1=39,所以an=41-2n,由an=41-2n>0,得n<所以使得Sn達(dá)到最大值的n是20.3.(2015·西安模擬)在等差數(shù)列{an}中,公差d>0,前n項(xiàng)和為Sn,a2a3=45,a1+a5=18.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)令bn=(n∈N*),是否存在一個(gè)非零常數(shù)c,使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列?若存在,求出c的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)由題設(shè),知{an}是等差數(shù)列,且公差d>0,則由得解得所以an=4n-3(n∈N*).(2)方法一:由(1)知所以所以令2b2=b1+b3,解得c=-.當(dāng)c=-時(shí),bn=當(dāng)n≥2時(shí),bn-bn-1=2.故當(dāng)c=-時(shí),數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.方法二:由因?yàn)閏≠0,所以可令c=-,得到bn=2n.因?yàn)閎n+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N*),所以數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列.即存在一個(gè)非零常數(shù)c=-,使數(shù)列{bn