【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2022屆-數(shù)學(xué)一輪(理科)浙江專用-第五章-平面向量-5-1

第五章數(shù)列第1講數(shù)列的概念及簡(jiǎn)潔表示法基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．?dāng)?shù)列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an等于()A.eq\f(－1n＋1,2) B．coseq\f(nπ,2)C．coseq\f(n＋1,2)π D．coseq\f(n＋2,2)π解析令n＝1,2,3，…，逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)，易得D正確．答案D2．(2022·東陽(yáng)中學(xué)摸底考試)數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，則a8－a4＝()A．7B．6C．5D．4解析依題意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.答案D3．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6等于()A．3×44 B．3×44＋1C．45 D．45＋1解析當(dāng)n≥1時(shí)，an＋1＝3Sn，則an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，∴該數(shù)列從其次項(xiàng)開(kāi)頭是以4為公比的等比數(shù)列．又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,3×4n－2，n≥2.))∴當(dāng)n＝6時(shí)，a6＝3×46－2＝3×44.答案A4．設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的值是()A.eq\f(16,3)B.eq\f(13,3)C．4D．0解析∵an＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2＋eq\f(3,4)，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或3時(shí)，an最大，最大為0.答案D5．(2022·東北三校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－2λn(n∈N*)，則“λ＜1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則有an＋1－an＞0，即2n＋1＞2λ對(duì)任意的n∈N*都成立，于是有3＞2λ，λ＜eq\f(3,2).由λ＜1可推得λ＜eq\f(3,2)，但反過(guò)來(lái)，由λ＜eq\f(3,2)不能得到λ＜1，因此“λ＜1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選A.答案A二、填空題6．(2021·大連雙基測(cè)試)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，則an＝________.解析當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2.))答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1,2n＋1，n≥2))7．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，對(duì)于全部的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＋a5＝________.解析由題意知：a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，∴an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n－1)))2(n≥2)，∴a3＋a5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))2＝eq\f(61,16).答案eq\f(61,16)8．?dāng)?shù)列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則a7＝________.解析由已知an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2，能夠計(jì)算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.答案1三、解答題9．(2022·湖南卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n2＋n,2)，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和．解(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n2＋n,2)－eq\f(n－12＋n－1,2)＝n.又a1＝1滿足上式，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn，記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T(mén)2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則A＝eq\f(21－22n,1－2)＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.10．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．解(1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，又S1－31＝a－3(a≠3)，故數(shù)列{Sn－3n}是首項(xiàng)為a－3，公比為2的等比數(shù)列，因此，所求通項(xiàng)公式為bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a不適合上式，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n＝1，,2×3n－1＋a－32n－2，n≥2.))an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2＋a－3))，當(dāng)n≥2時(shí)，an＋1≥an?12·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2＋a－3≥0?a≥－9.又a2＝a1＋3>a1.綜上，所求的a的取值范圍是[－9，＋∞)．力量提升題組(建議用時(shí)：35分鐘)11．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)an＝eq\f(n,n2＋90)，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)是()A．3eq\r(10)B．19C.eq\f(1,19)D.eq\f(\r(10),60)解析由于an＝eq\f(1,n＋\f(90,n))，運(yùn)用基本不等式得，eq\f(1,n＋\f(90,n))≤eq\f(1,2\r(90))，由于n∈N*，不難發(fā)覺(jué)當(dāng)n＝9或10時(shí)，an＝eq\f(1,19)最大．答案C12．(2021·大慶質(zhì)量檢測(cè))已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，記Sn＝a1＋a2＋…＋an，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)2014＝－1，S2014＝2 B．a(chǎn)2014＝－3，S2014＝5C．a(chǎn)2014＝－3，S2014＝2 D．a(chǎn)2014＝－1，S2014＝5解析由an＋1＝an－an－1(n≥2)，知an＋2＝an＋1－an，則an＋2＝－an－1(n≥2)，an＋3＝－an，…，an＋6＝an，又a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，所以當(dāng)k∈N時(shí)，ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋ak＋4＋ak＋5＋ak＋6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以a2014＝a4＝－1，S2014＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.答案D13．(2022·臺(tái)州四校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝2an－n，則an＝________.解析當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為a1＋1＝2，公比為2的等比數(shù)列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.答案2n－114．(2021·麗水五校模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝4an－p，其中p是不為零的常數(shù)．(1)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(2)當(dāng)p＝3時(shí)，數(shù)列{bn}滿足bn＋1＝bn＋an(n∈N*)，b1＝2，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．(1)證明由于Sn＝4an－p，所以Sn－1＝4an－1－p(n≥2)，所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得eq\f(an,an－1)＝eq\f(4,3).由Sn＝4an－p，令n＝1，得a1＝4a1－p，解得a1＝eq\f(p,3).所以{an}是首項(xiàng)為eq\f(p,3)，公比為eq\f(4,3)的等比數(shù)列．(2)解當(dāng)p＝3時(shí)，由(1)知，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1，由bn＋1＝bn＋an，得bn＋1－bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1，當(dāng)n≥2時(shí)，可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1,1－\f(4,3))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1－1，當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立．∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1－1.15．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，常數(shù)λ＞0，且λa1an＝S1＋Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)a1＞0，λ＝100.當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,an)))的前n項(xiàng)和最大？解(1)取n＝1，得λaeq\o\al(2,1)＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.若a1＝0，則Sn＝0.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，所以an＝0(n≥1)．若a1≠0，則a1＝eq\f(2,λ).當(dāng)n≥2時(shí)，2an＝eq\f(2,λ)＋Sn,2an－1＝eq\f(2,λ)＋Sn－1，兩式相減得2an－2an－1＝an，所以an＝2an－1(n≥2)，從而數(shù)列{an}是等比數(shù)列，所以an＝a1·2n－1＝eq\f(2,λ)·2n－1＝eq\f(2n,λ).綜上，當(dāng)a1＝0時(shí)，an＝0；當(dāng)a1≠0時(shí)，an＝eq\f(2n,λ).(2)當(dāng)a1＞0且λ＝100時(shí)，令bn＝lgeq\f(1,an)，由(1)有，bn＝lgeq\f(100,2