【原創(chuàng)】江蘇省2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)1-1隨堂練習(xí)及答案：第二章-04雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

高二數(shù)學(xué)隨堂練習(xí)：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1．3<m<5是方程eq\f(x2,m－5)＋eq\f(y2,m2－m－6)＝1表示的圖形為雙曲線的________條件．2．雙曲線ky2－8kx2＋8＝0的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,3)，則k＝________.3．已知雙曲線eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上且MF1⊥x軸，則F1到直線F2M的距離為_(kāi)_______．4．F1、F2為雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝－1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且∠F1PF2＝90°，則△F1PF2的面積是________．5．已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且a＋c＝9，b＝3，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．6．橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a2)＝1與雙曲線eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦點(diǎn)，則a的值是________．7．F1、F2是雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在雙曲線上且滿足PF1·PF2＝32，則∠F1PF2＝________.8．橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>n>0)與雙曲線eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b)＝1(a>0，b>0)有相同的焦點(diǎn)F1、F2，P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則PF1·PF2的值為_(kāi)_______．9．與雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3eq\r(2)，2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．10．設(shè)雙曲線與橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有相同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，求此雙曲線的方程．11.如圖所示，在△ABC中，已知AB＝4eq\r(2)，且內(nèi)角A，B，C滿足2sinA＋sinC＝2sinB，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程．12．設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)的距離之差為2|m|，到x軸、y軸的距離之比為2，求m的取值范圍．參考答案1解析：當(dāng)3<m<5時(shí)，m－5<0，m2－m－6＝(m＋2)·(m－3)>0，∴該方程表示的圖形為雙曲線．當(dāng)方程表示的圖形為雙曲線時(shí)，則(m－5)(m2－m－6)<0，即(m－5)(m＋2)(m－3)<0，解得m<－2或3<m<5.∴3<m<5是方程eq\f(x2,m－5)＋eq\f(y2,m2－m－6)＝1表示的圖形為雙曲線的充分不必要條件．答案：充分不必要2解析：將ky2－8kx2＋8＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程kx2－eq\f(k,8)y2＝1.∵一個(gè)焦點(diǎn)為(0,3)，∴焦點(diǎn)在y軸上，即方程可化為eq\f(y2,－\f(8,k))－eq\f(x2,－\f(1,k))＝1，∴a2＝－eq\f(8,k)，b2＝－eq\f(1,k)，又∵c＝3，∴－eq\f(8,k)－eq\f(1,k)＝9，∴k＝－1.答案：－13解析：F1(－3,0)，設(shè)M(－3，y0)，代入雙曲線方程求出|y0|＝eq\f(\r(6),2)，即MF1＝eq\f(\r(6),2)，又F1F2＝6，利用直角三角形性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合得F1到直線F2M的距離d＝eq\f(MF1·F1F2,\r(MF\o\al(2,1)＋F1F\o\al(2,2)))＝eq\f(\f(\r(6),2)×6,\r(\f(6,4)＋36))＝eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)4解析：∵|PF1－PF2|＝2，∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－2PF1·PF2＝4，即F1Feq\o\al(2,2)－2PF1·PF2＝4，∴20－4＝2PF1·PF2，∴PF1·PF2＝8.∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)PF1·PF2＝4.答案：45解析：∵b＝3，∴c2＝a2＋9，又∵a＋c＝9，∴c＝5，a＝4，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.答案：eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝16解析：∵雙曲線的方程為eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1，∴a>0，∴焦點(diǎn)在x軸上．又∵橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a2)＝1，∴a2<4.∵a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，∴a1＝－2(舍去)，a2＝1，故a＝1.答案：17解析：設(shè)∠F1PF2＝α，PF1＝r1，PF2＝r2.在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－2r1r2cosα.∴cosα＝eq\f(r1－r22＋2r1r2－4c2,2r1r2)＝eq\f(36＋64－100,64)＝0.∴α＝90°.答案：90°8解析：如圖，依據(jù)橢圓的定義，知PF1＋PF2＝2eq\r(m)，∴(PF1＋PF2)2＝4m.①依據(jù)雙曲線的定義，得|PF1－PF2|＝2eq\r(a)，∴(PF1－PF2)2＝4a.由①－②，得PF1·PF2＝m－a.答案：m－a9解析：法一：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，∵雙曲線過(guò)點(diǎn)(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(3\r(2)2,a2)－eq\f(22,b2)＝1.①∵c＝2eq\r(5)，∴a2＋b2＝(2eq\r(5))2.②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝12，,b2＝8.))故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.法二：設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,16－k)－eq\f(y2,4＋k)＝1(－4<k<16)，將點(diǎn)(3eq\r(2)，2)代入，得eq\f(3\r(2)2,16－k)－eq\f(22,4＋k)＝1，解得k＝4或k＝－14(舍去)，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.答案：eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝110解：設(shè)雙曲線的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，由題意知c2＝36－27＝9，所以c＝3.又點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，則橫坐標(biāo)為eq\r(15)，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(42,a2)－\f(\r(15)2,b2)＝1，,a2＋b2＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5.))所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.11解：如圖所示，以邊AB所在的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－2eq\r(2)，0)，B(2eq\r(2)，0)．設(shè)△ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a′，b′，c′.由正弦定理eq\f(a′,sinA)＝eq\f(b′,sinB)＝eq\f(c′,sinC)＝2R及2sinA＋sinC＝2sinB得2a′＋c′＝2b′，即b′－a′＝eq\f(c′,2).∴CA－CB＝eq\f(1,2)AB＝2eq\r(2)<AB.由雙曲線的定義知點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支．∵a＝eq\r(2)，c＝2eq\r(2)，∴b2＝c2－a2＝6.∴頂點(diǎn)C的軌跡方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1(x>eq\r(2))．12解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，依題意，得eq\f(|y|,|x|)＝2，即y＝±2x(x≠0)①.因此，點(diǎn)P(x，y)，M(－1,0)，N(1,0)三點(diǎn)不共線且PM≠PN，則|PM－PN|<MN＝2.由于|PM－PN|＝2|m|>0，所以0<|m|<1.因此，點(diǎn)P在以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線上(除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn))，故eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,1－m2)＝1(y≠0)②.將①代入②，得x2(1－m2)－4m2x2＝m