2015-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：排列組合與二項(xiàng)式定理（解析版）

冷題05郴列姐合易二項(xiàng)式定理

十年考情-探規(guī)律1

考點(diǎn)十年考情(2015-2024)命題趨勢

2024?全國甲卷、2023?全國甲卷、2023?全國甲卷、1.理解、掌握排列與組合的定

2023,全國乙卷、2023?全國新H卷、2022.全國新II卷、義，會計算排列數(shù)與組合數(shù)，

考點(diǎn)1排列組

2022?全國新I卷、2021?全國乙卷、2021?全國甲卷、熟練掌握排列組合的解題方法

合綜合

2021?全國甲卷、2020?海南卷、2020?山東卷、排列組合是新高考卷的?？純?nèi)

（10年8考）

2019?全國卷、2017?全國卷、2016?全國卷、容，一般會和分類加法原理與

2016?四川卷、2016?全國卷分步乘法原理結(jié)合在小題中考

查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)

2.理解、掌握二項(xiàng)式定理的通

2024?北京卷、2022.北京卷、2020?北京卷、

項(xiàng)公式，會相關(guān)基本量的求解，

考點(diǎn)2二項(xiàng)式2020?全國卷、2019?全國卷、2018?全國卷、

會三項(xiàng)式、乘積式的相關(guān)計算

定理綜合2017?全國卷、2017?全國卷、2016?四川卷、

二項(xiàng)式定理是新高考卷的?？?/p>

（10年8考）2015?全國卷、2015?陜西卷、2015?湖南卷、

內(nèi)容，一般考查二項(xiàng)式系數(shù)和、

2015?湖北卷

系數(shù)和、求給定項(xiàng)的二項(xiàng)式系

數(shù)或系數(shù)及相關(guān)最大（?。╉?xiàng)

計算，需重點(diǎn)強(qiáng)化復(fù)習(xí)

分考點(diǎn);精準(zhǔn)練金

考點(diǎn)01排列組合綜合

1.（2024?全國甲卷?高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）

1112

A.—B.-C.-D.-

4323

【答案】B

【分析】解法一：畫出樹狀圖，結(jié)合古典概型概率公式即可求解.

解法二：分類討論甲乙的位置，結(jié)合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計算公式進(jìn)行求解.

【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖,

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙

丁丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲

丙

乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙

丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲

由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法,

其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，

Q1

故所求概率尸=五=1

解法二：當(dāng)甲排在排尾，乙排第一位，丙有2種排法，丁就1種，共2種；

當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1種排法，丁就1種，共2種；

于是甲排在排尾共4種方法，同理乙排在排尾共4種方法，于是共8種排法符合題意;

基本事件總數(shù)顯然是A：=24,

Q1

根據(jù)古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為白=不

243

故選：B

2.（2023?全國甲卷?高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每

天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

【答案】B

【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動的情況，即可得解.

【詳解】不妨記五名志愿者為“,4G4e,

假設(shè)a連續(xù)參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有A；=12

種方法，

同理：6,c,d,e連續(xù)參加了兩天公益活動，也各有12種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數(shù)有5x12=60種.

故選：B.

3.（2023?全國甲卷?高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)

選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（）

1112

A.—B.—C.-D.—

6323

【答案】D

【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識即可得解.

【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有C：=6件，

其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有C；C；=4,

所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為：=

63

故選：D.

4.（2023?全國乙卷?高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中

恰有1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.

【詳解】首先確定相同得讀物，共有C；種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A；種，

根據(jù)分步乘法公式則共有C}A；=120種，

故選：C.

5.（2023?全國新II卷?高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法

作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名

學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.C3c短種B.c：Mc乳種

C.C：3C2種D.c黑°C鼠種

【答案】D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x罌=40人，高中部共抽取60x生=20,

根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C2-c2種.

故選：D.

6.（2022?全國新II卷?高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，

丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解

【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列，有3!種排列方

式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；

注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：3!x2x2=24種不同的排列方式，

故選：B

7.（2022?全國新I卷?高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù),則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（）

1112

A.—B.-C.-D.-

6323

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.

【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有:（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種，

21-72

故所求概率「=一「=；.

213

故選：D.

8.（2021?全國乙卷?高考真題）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項(xiàng)目

進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【分析】先確定有一個項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘

法原理求得.

【詳解】根據(jù)題意，有一個項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者

中任選2人，組成一個小組，有C；種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項(xiàng)目看成四個不同的

位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4!種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有

C；x4!=240種不同的分配方案，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排

思想求解.

9.（2021?全國甲卷?高考真題）將3個1和2個。隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】C

【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.

【詳解】解：將3個1和2個。隨機(jī)排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,

共10種排法，

其中2個0不相鄰的排列方法為：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,

共6種方法，

故2個0不相鄰的概率為5=0.6,

故選：C.

10.（2021?全國甲卷?高考真題）將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

.1224

A.—B.-C.-D.一

3535

【答案】C

【詳解】將4個1和2個。隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，

若2個0相鄰，則有C=5種排法，若2個。不相鄰，則有C；=10種排法，

所以2個0不相鄰的概率為彳10士=§2.

故選：C.

11.（2020?海南?高考真題）要安排3名學(xué)生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個村，每個村里

至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）

A.2種B.3種C.6種D.8種

【答案】C

【分析】首先將3名學(xué)生分成兩個組，然后將2組學(xué)生安排到2個村即可.

【詳解】第一步，將3名學(xué)生分成兩個組，有C；C；=3種分法

第二步，將2組學(xué)生安排到2個村，有&=2種安排方法

所以，不同的安排方法共有3x2=6種

故選：C

【點(diǎn)睛】解答本類問題時一般采取先組后排的策略.

12.（2020?山東?高考真題）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排

1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種

C.60種D.30種

【答案】C

【分析】分別安排各場館的志愿者，利用組合計數(shù)和乘法計數(shù)原理求解.

【詳解】首先從6名同學(xué)中選1名去甲場館，方法數(shù)有C；；

然后從其余5名同學(xué)中選2名去乙場館，方法數(shù)有C；；

最后剩下的3名同學(xué)去丙場館.

故不同的安排方法共有點(diǎn)?C；=6x1。=60種.

故選：C

【點(diǎn)睛】本小題主要考查分步計數(shù)原理和組合數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.

13.（2019?全國?高考真題）我國古代典籍《周易》用"卦”描述萬物的變化.每一"重圭卜”由從下到上排列的6

個爻組成，爻分為陽爻"一一"和陰爻"一一"，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有

3個陽爻的概率是

A.—B.—C.—D.—

16323216

【答案】A

【分析】本題主要考查利用兩個計數(shù)原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計算等數(shù)

學(xué)素養(yǎng)，"重卦"中每一爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦恰有3個陽爻是相同元素的排列問

題，利用直接法即可計算.

【詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有26情況，其中6爻中恰有3個陽爻情況有C；,所以

該重卦恰有3個陽爻的概率為寫=盤，故選A.

2616

【點(diǎn)睛】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問題還是組

合問題.本題是重復(fù)元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店"問題，滿足條件事件的計算是相同元素

的排列問題即為組合問題.

14.（2017?全國?高考真題）安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則

不同的安排方式共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

【答案】D

2

【詳解】4項(xiàng)工作分成3組,可得：C4=6,

安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，

3

可得：6x43=36種.

故選D.

15.（2016?全國?高考真題）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到廠處與小紅會合，再一起到位于G處的老

年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為

【答案】B

【詳解】解：從E到E每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，

從E到歹最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，

每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C42cg=6種走法.

同理從尸到G,最短的走法，有C/C22=3種走法.

小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6X3=18種走法.

故選8.

【考點(diǎn)】計數(shù)原理、組合

【名師點(diǎn)睛】分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是相互

獨(dú)立的；分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，

步步之間是相互關(guān)聯(lián)的.

16.（2016?四川?高考真題）用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為

A.24B.48

C.60D.72

【答案】D

【詳解】試題分析：由題意，要組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個位數(shù)應(yīng)該為1或3或5,其他位置共有

"種排法，所以奇數(shù)的個數(shù)為3A：=72,故選D.

【考點(diǎn)】排列、組合

【名師點(diǎn)睛】利用排列、組合計數(shù)時，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時要注意不重不漏，分步時要注

意整個事件的完成步驟.在本題中，個位是特殊位置，第一步應(yīng)先安排這個位置，第二步再安排其他四個

位置.

17.（2016?全國?高考真題）定義"規(guī)范01數(shù)列”｛即｝如下:｛。〃｝共有2m項(xiàng),其中加項(xiàng)為0,機(jī)項(xiàng)為1,且對

任意4,%，…,%，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m=4,則不同的"規(guī)范01數(shù)列"共有

A.18個B.16個

C.14個D.12個

【答案】C

【詳解】試題分析：由題意，得必有％=0,5,則具體的排法列表如下:

考點(diǎn)02二項(xiàng)式定理綜合

1.（2024.北京?高考真題）在『的展開式中，V的系數(shù)為（）

A.6B.-6C.12D.-12

【答案】A

【分析】寫出二項(xiàng)展開式，令4-鼻=3,解出廠然后回代入二項(xiàng)展開式系數(shù)即可得解.

【詳解】■-五『的二項(xiàng)展開式為&1）'”,&=0,1,2,3,4），

令4一鼻=3,解得〃=2,

故所求即為C；（-l）2=6.

故選：A.

2.（2022?北樂?圖考真題）若（2x—1）4=+4,則%+4+。4=（）

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【分析】利用賦值法可求。0+%+。4的值.

【詳解】令％=1,貝!J/+。3+。2+%+〃0=1，

令x=-1,貝—q+%—%+%=(—3)=81,

故%+%+%=^^=41,

2

故選：B.

3.（2020?北京?高考真題）在（五-2）5的展開式中，爐的系數(shù)為（）.

A.-5B.5C.-10D.10

【答案】C

【分析】首先寫出展開式的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合通項(xiàng)公式確定V的系數(shù)即可.

【詳解】（?-2/展開式的通項(xiàng)公式為：小=項(xiàng)（6=（-2）'=（-2）'或尤？，

令三=2可得：r=l,則X。的系數(shù)為：（一2）。；=（一2）*5=-10.

故選：C.

【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件（特定項(xiàng)）

和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時要注意二項(xiàng)式系數(shù)中O和r的隱含條件，即=，/■均為非負(fù)整數(shù),

且他r,如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等）；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).

2

4.（2020?全國?高考真題）（尢+乙）（％+爐的展開式中x3y3的系數(shù)為（）

x

A.5B.10

C.15D.20

【答案】C

【分析】求得（x+y）5展開式的通項(xiàng)公式為（reN且"5）,即可求得口+［］與（x+4展開

式的乘積為或^--，了+2形式，對『分別賦值為3,1即可求得的系數(shù)，問題得解.

【詳解】（x+》展開式的通項(xiàng)公式為小=磋產(chǎn)了（reN且Y5）

所以［x+十］的各項(xiàng)與（x+?展開式的通項(xiàng)的乘積可表示為：

22

sr4rr+2

xTr+l=xc；x-y=C0-，y和匕=2Lq■產(chǎn)了=qx-y

XX

3

在口+1=《廣￥中，令廠=3,可得：XT4=Cfxiy,該項(xiàng)中的系數(shù)為期，

22

在匕小=禺”了+2中，令r=l,可得：匕7；=C>3y3,該項(xiàng)中Vy3的系數(shù)為5

XX

所以％3y3的系數(shù)為10+5=15

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬

于中檔題.

5.（2019?全國?高考真題）（1+27）（1+x）4的展開式中一的系數(shù)為

A.12B.16C.20D.24

【答案】A

【分析】本題利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式求展開式指定項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】由題意得一的系數(shù)為C：+2C：=4+8=12,故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用展開式通項(xiàng)公式求展開式指定項(xiàng)的系數(shù).

6.（2018?全國?高考真題）［產(chǎn)+彳；的展開式中/的系數(shù)為

A.10B.20C.40D.80

【答案】C

【詳解】分析：寫出?xm3，，然后可得結(jié)果

詳解：由題可得小==C；-2rV

令10—3r=4,則r=2

所以C：2=C；"=40

故選C.

點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2017?全國?高考真題）（x+R（2X-y）5的展開式中X3y3的系數(shù)為

A.-80B.-40C.40D.80

【答案】C

【詳解】（x+y）（2x-y）s=x（2x-y）5+y（2x-y）5,

由（2x-y）s展開式的通項(xiàng)公式Tr+l=G（2x廣㈠）‘可得：

當(dāng)r=3時，X（2尤-4展開式中Vy3的系數(shù)為C；X22X（-1）3=-40；

當(dāng)廠=2時，y（2x-y）5展開式中x3y3的系數(shù)為C；x23/（一以=80,

貝心的系數(shù)為80—40=40.

故選C.

【名師點(diǎn)睛】（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步

根據(jù)所給出的條件（特定項(xiàng)）和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時要注意二項(xiàng)式系數(shù)中

〃和廠的隱含條件，即〃，廠均為非負(fù)整數(shù)，且應(yīng)廠，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)

等）；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).

（2）求兩個多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解.

8.（2017?全國?高考真題）（1+3）（1+%）6展開式中爐的系數(shù)為

X

A.15B.20

C.30D.35

【答案】C

【分析】化簡已知代數(shù)式，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可以求出展開式中尤2的系數(shù).

【詳解】因?yàn)?l^f)(1+X)6=(1+X)6H^x(l+尤)6,則(1+X)6展開式中含X。的項(xiàng)為=15x?；—x(l+x)6

XX

展開式中含d的項(xiàng)為4XC*4=15無2,故爐的系數(shù)為15+15=30,

X

故選：C.

9.(2016?四川?高考真題)設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x+產(chǎn)的展開式中含爐的項(xiàng)為()

A.-15fB.15fC.一201?D.201?

【答案】A

【詳解】試題分析：二項(xiàng)式(x+i