【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2022屆-數(shù)學(xué)一輪(文科)-蘇教版-江蘇專(zhuān)用-課時(shí)作業(yè)-第八章-立體幾何-4-

第4講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、填空題1．(2021·南通、揚(yáng)州、泰州、宿遷調(diào)研)設(shè)l，m表示直線，m是平面α內(nèi)的任意一條直線，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)⊥α”成立的________條件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選填一個(gè))．解析由于m是平面α內(nèi)的任意一條直線，若l⊥m，則l⊥α，所以充分性成立；反過(guò)來(lái)，若l⊥α，則l⊥m，所以必要性成立，故“l(fā)⊥m”是“l(fā)⊥α”成立的充要條件．答案充要2．設(shè)a是空間中的一條直線，α是空間中的一個(gè)平面，給出下列說(shuō)法：①過(guò)a肯定存在平面β，使得β∥α；②過(guò)a肯定存在平面β，使得β⊥α；③在平面α內(nèi)肯定不存在直線b，使得a⊥b；④在平面α內(nèi)肯定不存在直線b，使得a∥b.其中說(shuō)法正確的是________(填序號(hào))．解析當(dāng)a與α相交時(shí)，不存在過(guò)a的平面β，使得β∥α，故①錯(cuò)誤；直線a與其在平面α內(nèi)的投影所確定的平面β滿足β⊥α，②正確；平面α內(nèi)的直線b只要垂直于直線a在平面α內(nèi)的投影，則就必定垂直于直線a，故③錯(cuò)誤；當(dāng)a與α平行時(shí)，在平面α內(nèi)存在直線b，使得a∥b，故④錯(cuò)誤．答案②3．(2022·鹽城模擬)已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是線段D1E與C1F上的點(diǎn)，則與平面ABCD垂直的直線解析如圖所示，設(shè)D1E與平面AA1C1C相交于點(diǎn)M，在平面AA1C1C內(nèi)過(guò)點(diǎn)M作MN∥AA1交C1F于點(diǎn)N，連接MN，由C1F與D1E為異面直線知MN唯一，且MN⊥平面ABCD.答案14．(2021·青島質(zhì)量檢測(cè))設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列條件中能得出a⊥b的是______(填序號(hào))．①a⊥α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α∥β；③a?α，b⊥β，α∥β；④a?α，b∥β，α⊥β.解析①中，兩直線可以平行、相交或異面，故不正確；②中，兩直線平行，故不正確；③中，由α∥β，a?α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正確；④中，兩直線可以平行，相交或異面，故不正確．答案③5.如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的正投影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．解析由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正確．答案①②③6.(2021·深圳調(diào)研)如圖，在四周體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BDC；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE.其中結(jié)論正確的序號(hào)是________．解析由于AB＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.由于AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.所以③正確．答案③7．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可)．解析∵PC在底面ABCD上的射影為AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC)8．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，則四棱錐A－BB1D1D的體積為_(kāi)_______cm3解析連接AC交BD于O，在長(zhǎng)方體中，∵AB＝AD＝3，∴BD＝3eq\r(2)且AC⊥BD.又∵BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC.又DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AO為四棱錐A－BB1D1D的高且AO＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(3\r(2),2).∵S矩形BB1D1D＝BD×BB1＝3eq\r(2)×2＝6eq\r(2)，∴VA－BB1D1D＝eq\f(1,3)S矩形BB1D1D·AO＝eq\f(1,3)×6eq\r(2)×eq\f(3\r(2),2)＝6(cm3)．答案6二、解答題9.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2AC＝2BC，D是棱AA1的中點(diǎn)，CD⊥B1(1)證明：CD⊥B1C1(2)平面CDB1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．(1)證明由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形，由于D為AA1的中點(diǎn)，故DC＝DC1，又AA1＝2A1C1，可得DCeq\o\al(2,1)＋DC2＝CCeq\o\al(2,1)，所以CD⊥DC1，而CD⊥B1D，B1D∩C1D＝D，所以CD⊥平面B1C1D，由于B1C1?平面B1C1D，所以CD⊥B1C1.(2)解由(1)知B1C1⊥CD，且B1C1⊥C1C，C1C∩CD＝C，則B1C1⊥設(shè)V1是平面CDB1上方部分的體積，V2是平面CDB1下方部分的體積，則V1＝VB1－CDA1C1＝eq\f(1,3)×S梯形CDA1C1×B1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)B1Ceq\o\al(3,1)＝eq\f(1,2)B1Ceq\o\al(3,1).V總＝VABC－A1B1C1＝eq\f(1,2)AC×BC×CC1＝B1Ceq\o\al(3,1)，V2＝V總－V1＝eq\f(1,2)B1Ceq\o\al(3,1)＝V1，故eq\f(V1,V2)＝1∶1.10．(2022·鎮(zhèn)江模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)．求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.證明(1)由于平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)由于AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四邊形ABED為平行四邊形．所以BE∥AD.又由于BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)由于AB⊥AD，而且ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.又由于PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.從而CD⊥PD.又E，F(xiàn)分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PD∥EF.故CD⊥EF，由EF，BE?平面BEF，且EF∩BE＝E.所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.力量提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)1．(2021·南京模擬)已知m，n是不重合的兩條直線，α，β是不重合的兩個(gè)平面．下列命題：①若α⊥β，m⊥α，則m∥β；②若m⊥α，m⊥β，則α∥β；③若m∥α，m⊥n，則n⊥α；④若m∥α，m?β，則α∥β.其中全部真命題的序號(hào)是________．解析若α⊥β，m⊥α，則m∥β或m?β，①是假命題；若m⊥α，m⊥β，則α∥β，②是真命題；若m∥α，m⊥n，則n⊥α或n∥α或n?α或n，α相交(非垂直)，③是假命題；若m∥α，m?β，則α∥β或α，β相交，④是假命題，故其中全部真命題的序號(hào)是②.答案②2．(2022·衡水中學(xué)模擬)如圖，正方體AC1的棱長(zhǎng)為1，過(guò)點(diǎn)A作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H.給出下列結(jié)論：①點(diǎn)H是△A1BD的垂心；②AH垂直于平面CB1D1；③AH延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1；④直線AH和BB1所成角為45°.其中錯(cuò)誤的結(jié)論序號(hào)是________．解析對(duì)于①，由于AA1＝AB＝AD，所以點(diǎn)A在平面A1BD上的射影必到點(diǎn)A1，B，D的距離相等，即點(diǎn)H是△A1BD的外心，而A1B＝A1D＝BD，故點(diǎn)H是△A1BD的垂心，命題①是真命題；對(duì)于②，由于B1D1∥BD，CD1∥A1B，故平面A1BD∥平面CB1D1，而AH⊥平面A1BD，從而AH⊥平面CB1D1，命題②是真命題；對(duì)于③，由于AH⊥平面CB1D1，因此AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1，命題③是真命題；對(duì)于④，由③知直線AH即是直線AC1，又直線AA1∥BB1，因此直線AC1和BB1所成的角就等于直線AA1與AC1所成的角，即∠A1AC1，而tan∠A1AC1＝eq\f(\r(2),1)＝eq\r(2)，因此命題④是假命題．答案④3．(2022·蘇、錫、常、鎮(zhèn)模擬)如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正確的有________(把全部正確的序號(hào)都填上)．解析由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴AE⊥PB，①正確；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯(cuò)；由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD，又AD?平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直線BC∥平面PAE也不成立，③錯(cuò)；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正確．答案①④4.(2021·南京模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，DC∥AB，DA＝DC＝2AB，O為AC與BD的交點(diǎn)，AB⊥平面PAD，△PAD是正三角形．(1)若點(diǎn)E為棱PA上一點(diǎn)，且OE∥平面PBC，求eq\f(AE,PE)的值；(2)求證：平面PBC⊥平面PDC.(1)解由于OE∥平面PBC，OE?平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，所以O(shè)E∥PC，所以AO∶OC＝AE∶EP.由于DC∥AB，DC＝2AB，所以AO∶OC＝AB∶DC＝1∶2.所以eq\f(AE,PE)＝eq\f(1,2).(2)證明取PC的中點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)D.由于△PAD是正三角形，DA＝DC，所以DP＝DC.由于F為PC的中點(diǎn)，所以DF⊥PC.由于AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD.由于DC∥AB，所以DC⊥DP，DC⊥DA.設(shè)AB＝a，在等腰直角三角形PCD中，DF＝PF＝eq\r(2)a.在Rt△PAB中，P