2021高考數(shù)學專題輔導與訓練配套練習：解答題規(guī)范訓練(二)三角函數(shù)及解三角形

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。解答題規(guī)范訓練(二)三角函數(shù)及解三角形(建議用時:45分鐘)1.(2022·棗莊模擬)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且2cosAcosC(tanAtanC-1)=1.(1)求B的大小.(2)若a+c=QUOTE,b=QUOTE,求△ABC的面積.【解析】(1)由2cosAcosC(tanAtanC-1)=1得:2cosAcosCQUOTE=1,所以2(sinAsinC-cosAcosC)=1,即cos(A+C)=-QUOTE,所以cosB=-cos(A+C)=QUOTE,又0<B<π,所以B=QUOTE.(2)由余弦定理得:cosB=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,又a+c=QUOTE,b=QUOTE,所以QUOTE-2ac-3=ac,即ac=QUOTE,所以S△ABC=QUOTEacsinB=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.2.(2022·太原模擬)設△ABC的內角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,m=(cosA,cosC),n=(QUOTEc-2b,QUOTEa),且m⊥n.(1)求角A的大小.(2)若角B=QUOTE,BC邊上的中線AM的長為QUOTE,求△ABC的面積.【解析】(1)由于m⊥n,所以m·n=0,即(2b-QUOTEc)cosA=QUOTEacosC,所以(2sinB-QUOTEsinC)cosA=QUOTEsinAcosC,2sinBcosA=QUOTEsinAcosC+QUOTEsinCcosA=QUOTEsin(A+C),則2sinBcosA=QUOTEsinB,所以cosA=QUOTE,由于0<A<π,于是A=QUOTE.(2)由(1)知A=B=QUOTE,所以AC=BC,C=QUOTE.設AC=x,則MC=QUOTEx,AM=QUOTE.在△AMC中,由余弦定理得AC2+MC2-2AC·MC·cosC=AM2,即x2+QUOTE-2x·QUOTE·cos120°=(QUOTE)2,解得x=2,故S△ABC=QUOTEx2sinQUOTE=QUOTE.3.(2022·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)=4sin2x·sin2QUOTE+cos4x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)若g(x)=f(x+φ)QUOTE在x=QUOTE處取得最大值,求φ的值.(3)求y=g(x)的單調遞增區(qū)間.【解析】(1)f(x)=4sin2x·sin2QUOTE+cos4x=4sin2x·QUOTE+cos4x=2sin2x+1,T=QUOTE=π.(2)g(x)=f(x+φ)=2sin(2x+2φ)+1,當2x+2φ=QUOTE+2kπ,k∈Z時取得最大值,將x=QUOTE代入上式,解得φ=-QUOTE+kπ,k∈Z,由于-QUOTE<φ<QUOTE,所以φ=-QUOTE.(3)g(x)=2sinQUOTE+1,-QUOTE+2kπ≤2x-QUOTE≤QUOTE+2kπ,k∈Z,解得-QUOTE+kπ≤x≤QUOTE+kπ,k∈Z,所以函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間為QUOTE,k∈Z.【加固訓練】(2022·西安模擬)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移1個單位,再縱坐標不變,橫坐標伸長到原來的QUOTE倍,然后再向上平移1個單位,得到函數(shù)y=QUOTEsinx的圖象.(1)求y=f(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間.(2)若函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱,求當x∈[0,1]時,函數(shù)y=g(x)的最小值和最大值.【解析】(1)函數(shù)y=QUOTEsinx的圖象向下平移1個單位得y=QUOTEsinx-1的圖象,再將其圖象橫坐標縮短到原來的QUOTE倍得y=QUOTEsinQUOTEx-1的圖象,然后將其圖象向右移1個單位得y=QUOTEsinQUOTE-1的圖象,所以函數(shù)y=f(x)的最小正周期為T=QUOTE=6,由2kπ-QUOTE≤QUOTEx-QUOTE≤2kπ+QUOTE,k∈Z6k-QUOTE≤x≤6k+QUOTE,k∈Z.所以y=f(x)的遞增區(qū)間是QUOTE,k∈Z.(2)由于函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱,所以當x∈[0,1]時,y=g(x)的最值即為x∈[3,4]時,y=f(x)的最值.由于x∈[3,4]時,QUOTEx-QUOTE∈QUOTE,所以sinQUOTE∈QUOTE,所以f(x)∈QUOTE,所以y=g(x)的最小值是-1,最大值為QUOTE.4.(2022·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)=sinQUOTE+2cos2QUOTE.(1)寫出如何由函數(shù)y=sinx的圖象變換得到f(x)的圖象.(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若(2a-c)cosB=bcosC,求f(A)的取值范圍.【解析】f(x)=sinQUOTE+cosQUOTE+1=QUOTEsinQUOTE+1.(1)y=sinxy=sinQUOTEy=sinQUOTEy=QUOTEsinQUOTEy=QUOTEsinQUOTE+1.(2)由(2a-c)cosB=bcosC,利用三角形中的正弦定理知:(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,由于sinA≠0,所以2cosB=1,由于0<B<π,所以B=QUOTE.f(A)=QUOTEsinQUOTE+1.由于0<A<QUOTE,QUOTE<QUOTE+QUOTE<QUOTE,所以QUOTE<sinQUOTE≤1,所以2<f(A)≤QUOTE+1.5.(2022·南陽模擬)凸四邊形PABQ中,其中A,B為定點,AB=QUOTE,P,Q為動點,滿足AP=PQ=QB=1.(1)寫出cosA與cosQ的關系式.(2)設△APB和△PQB的面積分別為S和T,求S2+T2的最大值,以及此時凸四邊形PABQ的面積.【解析】(1)由余弦定理,在△PAB中,PB2=PA2+AB2-2·PA·AB·cosA=4-2QUOTEcosA,在△PQB中,PB2=PQ2+QB2-2·PQ·QB·cosQ=2-2cosQ.所以4-2QUOTEcosA=2-2cosQ,即cosQ=QUOTEcosA-1.(2)S=QUOTEPA·AB·sinA=QUOTE,T=QUOTEPQ·QBsinQ=QUOTEsinQ.所以S2+T2=QUOTEsin2A+QUOTEsin2Q=QUOTE(1-cos2A)+QUOTE(1-cos2Q)=-QUOTE+QUOTEcosA+QUOTE=-QUOTE+QUOTE,當cosA=QUOTE時,S2+T2有最大值QUOTE.此時,S四邊形PABQ=QUOTE.【加固訓練】(2022·昆明模擬)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=QUOTE,BC=1,P為△ABC內一點,∠BPC=90°.(1)若PC=QUOTE,求PA.(2)若∠APB=120°,求△ABP的面積S.【解析】(1)在Rt△BPC中,sin∠PBC=QUOTE.所以∠PBC=60°.而PB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.在△ABP中,∠PBA=90°-∠PBC=90°-60°=30°.由余弦定理,PA2=PB2+AB2-2PB·AB·cos∠PBA=QUOTE+3-2×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以PA=QUOTE.(2)設∠PBA=α,則∠PBC=90°-α.在Rt△BPC中,PB=BC·cos∠PBC=cos(90°-α)=sinα.在△ABP中,由正弦定理,QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以sinα=2QUOTE,即2sinα=QUOTEcosα.由于cosα≠0,從而tanα=QUOTE.由于α為銳角,則sinα=QUOTE.PB=sinα=QUOTE.△ABP的面積S=QUOTEAB·PB·sin∠PBA=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.6.(2022·杭州模擬)已知向量a=(cosωx-sinωx,sinωx),b=(-cosωx-sinωx,2QUOTEcosωx),設函數(shù)f(x)=a·b+λ(x∈R)的圖象關于直線x=π對稱,其中ω,λ為常數(shù),且ω∈QUOTE.(1)求f(x)的最小正周期.(2)若y=f(x)的圖象經(jīng)過點QUOTE,求函數(shù)f(x)在區(qū)間QUOTE上的取值范圍.【解析】(1)f(x)=a·b+λ=(cosωx-sinωx)·(-cosωx-sinωx)+2QUOTEsinωxcosωx+λ=(-sinωx)2-(cosωx)2+QUOTEsin2ωx+λ=-cos2ωx+QUOTEsin2ωx+λ=2sinQUOTE+λ,由于函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=π對稱,所以sinQUOTE=±1,即2πω-QUOTE=kπ+QUOTE,k∈Z,所以ω=QUOTE+QUOTE,k∈Z,由于ω∈QUOTE,所以ω=QUOTE,所以T=QUOTE.(2)由于y=f(x)的圖象經(jīng)過點QUOTE,所以得fQUOTE=0,所以λ=-2sinQUOTE=-2sinQUOTE=-QUOTE,由于x∈QUOTE,所以QUOTEx-QUOTE∈QUOTE,所以f(x)∈[-1-QUOTE,2-QUOTE].【加固訓練】(2022·濟南模擬)若向量a=(sinx,cosx),b=(QUOTEcosx,-cosx),函數(shù)f(x)=a·b+m(x∈R)的圖象過點MQUOTE.(1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間.(2)將函數(shù)f(x)的圖象上各點的縱坐標不變,橫坐標伸長為原來的2倍,然后將得到的圖象上的各點向左平移QUOTE個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象.若當x=n時,g(x)取得最大值,求正實數(shù)n的最小值.【解析】(1)由題意知f(x)=QUOTEsinxcosx-cos2x+m=QUOTEsin2x-QUOTE(1+cos2x)+m=sinQUOTE+m-QUOTE.由于點MQUOTE在函數(shù)f(x)的圖象上,所以sinQUOTE+m-QUOTE=0,解得m=QUOTE,所以f(x)=sinQUOTE.由2kπ-QUOTE≤2x-QUOTE≤2kπ+QUOTE(k∈Z),得kπ-Q