【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(北師大版)基礎(chǔ)鞏固：第5章-第3節(jié)-平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

第五章第三節(jié)一、選擇題1．若向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，且(a＋b)·b＝eq\f(3,2)，則向量a，b的夾角為()A．30° B．45°C．60° D．90°[答案]C[解析]|a|＝|b|＝1，且(a＋b)·b＝a·b＋b2＝cos<a，b>＋1＝eq\f(3,2)，∴cos<a，b>＝eq\f(1,2)，即得<a，b>＝eq\f(π,3)，故應(yīng)選C．2．已知平面對量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b與a垂直，則λ＝()A．－1 B．1C．－2 D．2[答案]B[解析]由于(λa－b)·a＝λ|a|2－b·a＝10λ－10＝0，解得λ＝1，故選B．3．若e1，e2是夾角為eq\f(π,3)的單位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，則a·b等于()A．1 B．－4C．－eq\f(7,2) D．eq\f(7,2)[答案]C[解析]依題意，e1·e2＝|e1||e2|coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，所以a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6|e1|2＋2|e2|2＋e1·e2＝－6＋2＋eq\f(1,2)＝－eq\f(7,2).4．(2021·長沙模擬)關(guān)于平面對量a，b，c，有下列三個命題：(1)若a·b＝a·c，則a＝0或b＝c；(2)若a＝(1，k)，b＝(－2,6)且a⊥b，則k＝eq\f(1,3)；(3)非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為30°.其中全部真命題的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]若a·b＝a·c，則a·(b－c)＝0，可得a＝0或b＝c或a⊥(b－c)，即命題(1)不正確；若a＝(1，k)，b＝(－2,6)且a⊥b，則a·b＝－2＋6k＝0，得k＝eq\f(1,3)，即命題(2)正確；非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則可得出一個等邊三角形，且a與a＋b的夾角為30°，即命題(3)正確，綜上可得真命題有2個，故應(yīng)選C．5．(2022·新課標(biāo)Ⅱ)設(shè)向量a、b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b＝()A．1 B．2C．3 D．5[答案]A[解析]本題考查平面對量的模，平面對量的數(shù)量積．∵|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，∴a2＋b2＋2ab＝10，a2＋b2－2ab＝6.聯(lián)立方程解得a·b＝1，故選A．6．(文)在△ABC中，(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，則△ABC的外形確定是()A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形[答案]C[解析]由(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2得(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))－|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝0，即eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(AC,\s\up6(→))·(2eq\o(BA,\s\up6(→)))＝0，故有eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BA,\s\up6(→)).(理)(2022·湖南十二校聯(lián)考)設(shè)△ABC的三個內(nèi)角為A，B，C，向量m＝(eq\r(3)sinA，sinB)，n＝(cosB，eq\r(3)cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，則C＝()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)[答案]C[解析]m·n＝eq\r(3)sinAcosB＋eq\r(3)cosAsinB＝eq\r(3)sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)即eq\r(3)sinC＝1－cosC，所以sin(C＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,2)，又由于C為△ABC的內(nèi)角，所以C＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，即C＝eq\f(2π,3).二、填空題7．設(shè)向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，則|a|＝[答案]eq\r(2)[解析]本題考查平面對量的垂直充要條件、數(shù)量積、模等．a(chǎn)＋c＝(3,3m)，∵(a＋c)⊥b∴(a＋c)·b＝0，即(3,3m)·(m＋1,1)∴3(m＋1)＋3m＝0,6m＋3＝0，∴m＝－eq\f(1,2)，∴a＝(1，－1)，∴|a|＝eq\r(2).8．過點A(－2,1)且與向量a＝(3,1)平行的直線方程為__________．[答案]x－3y＋5＝0[解析]設(shè)P(x，y)是所求直線上任一點，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋2，y－1)，∵eq\o(AP,\s\up6(→))∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，∴所求直線方程為x－3y＋5＝0.9．(文)(2022·江西高考)已知單位向量e1，e2的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，則|a|＝________.[答案]3[解析]本題主要考查向量的數(shù)量積及向量模的運算．∵|a|2＝a2＝(3e1－2e2)2＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2，又∵|e1|＝|e2|＝1，e1e2的夾角余弦值為eq\f(1,3)∴上式＝9－12×eq\f(1,3)＋4＝9∴|a|＝3，解答本題關(guān)鍵是把握向量的平方等于相應(yīng)向量模的平方性質(zhì)．(理)(2022·江西高考)已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cosβ＝________.[答案]eq\f(2\r(2),3)[解析]本題考查平面對量數(shù)量積的性質(zhì)及運算．依題意e1·e2＝|e1||e2|cosα＝eq\f(1,3)，∴|a|2＝9eeq\o\al(2,1)－12e1·e2＋4eeq\o\al(2,2)＝9，∴|a|＝3，|b|2＝9eeq\o\al(2,1)－6e1·e2＋eeq\o\al(2,2)＝8，a·b＝9eeq\o\al(2,1)－9e1·e2＋2eeq\o\al(2,2)＝8，∴|b|＝2eq\r(2)，cosβ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(8,3×2\r(2))＝eq\f(2\r(2),3).三、解答題10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)設(shè)c＝4a＋b，求(b·c)a(2)若a＋λb與a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的射影．[解析](1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb與a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝eq\f(5,2).(3)設(shè)向量a與b的夾角為θ，向量a在b方向上的射影為|a|cosθ.∴|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(1×2＋2×－2,\r(22＋－22))＝－eq\f(2,2\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).一、選擇題1．(文)已知兩單位向量a，b的夾角為60°，則兩向量p＝2a＋b與q＝－3a＋2bA．60° B．120°C．30° D．150°[答案]B[分析]本題求解中，要留意充分利用兩向量的數(shù)量積及求向量模的運算公式及方法．[解析]p·q＝(2a＋b)·(－3a＋2b)＝－6a2＋a·b＝－6a2＋|a|·|b|·cos60°＋2b2＝－eq\f(7,2)，|p|＝|2a＋b|＝eq\r(2a＋b2)＝eq\r(4a2＋4a·b＋b2)＝eq\r(4a2＋4|a||b|·cos60°＋b2)＝eq\r(7)，|q|＝|－3a＋2b|＝eq\r(－3a＋2b2)＝eq\r(9a2－12a·b＋4b2)＝eq\r(9a2－12|a||b|·cos60°＋4b2)＝eq\r(7)，而cos〈p，q〉＝eq\f(p·q,|p|·|q|)＝－eq\f(1,2).即p與q的夾角為120°.(理)已知兩點A(1,0)為，B(1，eq\r(3))，O為坐標(biāo)原點，點C在其次象限，且∠AOC＝120°，設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，(λ∈R)，則λ等于()A．－1 B．2C．1 D．－2[答案]C[解析]由條件知，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(λ－2，eq\r(3)λ)，∵∠AOC＝120°，cos∠AOC＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))|·|\o(OC,\s\up6(→))|)＝eq\f(λ－2,\r(λ－22＋3λ2))，∴eq\f(λ－2,\r(λ－22＋3λ2))＝－eq\f(1,2)，解之得λ＝1，故選C．2．設(shè)a、b、c為同一平面內(nèi)具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，則|b·c|的值確定等于()A．以a、b為兩邊的三角形的面積B．以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積C．以b、c為兩邊的三角形的面積D．以b、c為鄰邊的平行四邊形的面積[答案]B[解析]由題意知a⊥c，∴|cos<b，c>|＝sin<a，b>，又|a|＝|c|，∴|b·c|＝|b|·|c|·|cos<b，c>|＝|b|·|a|·sin<a，b>，∴|b·c|表示以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積．二、填空題3．若OA為邊，OB為對角線的矩形中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－3,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－2，k)，則實數(shù)k＝________.[答案]4[解析]本題考查向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運算．∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－3,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－2，k)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，k－1)．由題意知eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，即(－3,1)·(1，k－1)＝0.∴－3＋k－1＝0，∴k＝4.4．(文)已知a＝(cosx，sinx)，b＝(cosx，－sinx)，則函數(shù)y＝a·b的最小正周期為________．[答案]π[解析]∵y＝a·b＝cos2x－sin2x＝cos2x，∴T＝eq\f(2π,2)＝π.(理)在△ABC中，M是BC的中點，AM＝3，BC＝10，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.[答案]－16[解析]本題考查向量的數(shù)量積運算．如圖．eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))·(eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→)))＝|eq\o(AM,\s\up6(→))|2－|eq\o(MB,\s\up6(→))|2＝32－52＝－16.三、解答題5．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求證：a⊥b；(2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．[解析](1)由題意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2又由于a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥(2)由于a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝0，,sinα＋sinβ＝1，))由此得，cosα＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1得，sinα＝sinβ＝eq\f(1,2)，而α>β，所以α＝eq\f(5π,6)，β＝eq\f(π,6).6．已知點A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)．(1)若|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，求tanθ的值；(2)若(eq\o(O