【名師一號】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修2：第一章-立體幾何初步-單元同步測試

第一章測試時間120分鐘滿分150分一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在下列四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的)1．下列說法正確的是()A．三點(diǎn)確定一個平面B．四邊形肯定是平面圖形C．梯形肯定是平面圖形D．平面α與平面β有不同在一條直線上的三個交點(diǎn)解析梯形有兩條邊平行，過兩條平行直線有且只有一個平面．答案C2．室內(nèi)有直尺，無論怎樣放置，在地面上總有這樣的直線，它與直尺所在的直線()A．異面 B．相交C．平行 D．垂直答案D3．若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是()A．bα B．b∥αC．bα或b∥α D．b與α相交或bα或b∥α答案D4．若三球的半徑之比是1:2:3，則半徑最大的球的體積是其余兩球的體積和的()A．4倍 B．3倍C．2倍 D．1倍解析設(shè)三個球的半徑依次為a,2a,3a，V最大＝eq\f(4,3)π(3a)3＝36πa3，V1＋V2＝eq\f(4,3)πa3＋eq\f(4,3)π(2a)3＝eq\f(36,3)πa3＝12πa3，eq\f(V最大,V1＋V2)＝3.答案B5．一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的主視圖與左視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為()答案C6．用a，b，c表示三條不同的直線，γ表示平面，給出下列命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，則a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，則a∥b.其中真命題的序號是()A．①② B．②③C．①④ D．③④解析依據(jù)公理4，知①正確；依據(jù)垂直于同一平面的兩直線平行可知④正確．答案C7．在空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，則有()A．面ABC⊥面DBC B．面ABC⊥面ADCC．面ABC⊥面ADB D．面ADC⊥面DBC解析如圖，在四周體ABCD中，∵AD⊥BC，AD⊥BD，BD∩BC＝B，∴AD⊥面BCD.又AD面ADC，∴面ADC⊥面BCD.答案D8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，D為AB①CD⊥面ABB1A1；②BC1∥面A1DC；③面ADC⊥面ABB1AA．0個 B．1個C．2個 D．3個解析∵ABC－A1B1C1為直三棱柱，AC＝BC，D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，由兩平面垂直的性質(zhì)定理，可知CD⊥面ABB1A1，又CD面ADC，故面ADC⊥面ABB1A，故①、③正確，對于②連接AC1，BC1，設(shè)A1C∩AC1＝O，則O為AC1的中點(diǎn)，又∴OD∥BC1.又OD面A1DC，BC1面A1DC，∴BC1∥面A1DC，故②正確．答案D9．一個幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為()A.eq\f(7,3)m3 B.eq\f(9,2)m3C.eq\f(7,2)m3 D.eq\f(9,4)m3解析由三視圖可知，原幾何體如圖所示，故V＝3×13＋eq\f(1,2)×13＝3＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)m3.答案C10．如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，沿BD將△ABD折起到A′BD，使面A′BD⊥面BCD，連接A′C，則在四周體A′BCD的四個面中，相互垂直的平面有()①面ABD⊥面BCD；②面A′CD⊥面ABD；③面A′BC⊥面BCD；④面ACD⊥面ABC.A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析由于面ABD⊥面BCD，故①正確．又AB⊥BD則A′B⊥BD，則A′B⊥BD，∴A′B⊥面BCD，故面A′BC⊥面BCD，又CD⊥BD，∴面A′CD⊥面ABD，故②③正確，④明顯不正確．答案C二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中橫線上)11．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________．解析由三視圖知，該幾何體是由圓柱中間除去正四棱柱得到的，所以體積是4π×4－2×2×4＝16π－16.答案16π－1612．若正三棱臺的上、下底面的邊長分別為2和8，側(cè)棱長為5，則這個棱臺的高為________．解析由題可知，上底面三角形的高為2sin60°＝eq\r(3)，下底面三角形的高為8sin60°＝4eq\r(3)，故棱臺的高h(yuǎn)＝eq\r(52－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4\r(3)－\r(3)×\f(2,3)))2)＝eq\r(13).答案eq\r(13)13．已知圓錐的表面積為am2，且它的側(cè)面開放圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑為________．解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則πl(wèi)＝2πr，即l＝2r，S圓錐表＝πr2＋πrl＝3πr2＝a，則r＝eq\f(\r(3πa),3π).答案eq\f(\r(3πa),3π)m14．如圖四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為SA上的點(diǎn)，當(dāng)E滿足條件：________時，SC∥面EBD.解析當(dāng)E為SA的中點(diǎn)時，設(shè)AC∩BD＝O，連接EO，EB，ED，∵ABCD為平行四邊形，∴O為AC的中點(diǎn)．∴EO∥SC，又SC面EBD，OE面EBD，∴SC∥面EBD.答案E為SA的中點(diǎn)15．如圖所示，平面α⊥平面β，在α與β的交線l上，取線段AB＝4，AC、BD分別在平面α和平面β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3，BD＝12，則線段CD的長為________．解析連接BC，∵AC⊥l，∴∠CAB＝90°，CB＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(32＋42)＝5.又BD⊥l，α⊥β，∴BD⊥平面α.又BCα，∴BD⊥BC.∴CD＝eq\r(BD2＋BC2)＝eq\r(122＋52)＝13.答案13三、解答題(本大題共6小題，共75分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)16．(12分)已知圓臺的上、下底面半徑分別是2,5，且側(cè)面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的母線長．解設(shè)圓臺的母線長為l，則圓臺的上、下底面面積為S上＝π·22＝4π，S下＝π·52＝25π，∴圓臺的兩底面面積之和S＝S上＋S下＝29π，又圓臺的側(cè)面積S側(cè)＝π(2＋5)·l＝7πl(wèi)，由7πl(wèi)＝29π，得l＝eq\f(29,7)，即母線長為eq\f(29,7).17．(12分)如圖所示，已知E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且EH∥FG.求證：EH∥BD.證明∵EH∥FG，EH?面BDC，F(xiàn)G面BDC，∴EH∥面BDC，又EH面ABD，面ABD∩面BDC＝BD，∴EH∥BD.18．(12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1(1)證明：AB⊥A1C(2)若AB＝CB＝2，A1C＝eq\r(6)，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積．解(1)取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B.由于CA＝CB，所以O(shè)C⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB.由于OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C又A1C平面OA1C，故AB⊥A(2)由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形，所以O(shè)C＝OA1＝eq\r(3).又A1C＝eq\r(6)，則A1C2＝OC2＋OAeq\o\al(2,1)，故OA1⊥OC.由于OC∩AB＝O，所以O(shè)A1⊥平面ABC，OA1為三棱柱ABC－A1B1C1又△ABC的面積S△ABC＝eq\r(3)，故三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝S△ABC×OA1＝3.19．(13分)如圖，已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點(diǎn)，∠PDA＝45°.(1)求證：EF∥面PAD；(2)求證：面PCE⊥面PCD.證明(1)設(shè)PD中點(diǎn)為G，連接FG，AG，∵F，G分別為PC，PD的中點(diǎn)，∴FG綊eq\f(1,2)CD.又E為AB的中點(diǎn)，∴AE綊FG.即四邊形EFGA為平行四邊形．∴EF∥AG.又EF面PAD，AG面PAD，∴EF∥面PAD.(2)PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD.又∵在Rt△PAD中，∠PDA＝45°，∴PA＝AD，∴AG⊥PD.又CD⊥AD，CD⊥PA，且PA∩AD＝A，∴CD⊥面PAD，CD⊥AG，又PD∩CD＝D，∴AG⊥面PCD.由(1)知EF∥AG，∴EF⊥面PCD，又EF面PCE，∴面PCE⊥面PCD.20．(13分)如圖①，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，將△AEF沿EF折起，使A′在平面BCEF上的射影O恰為EC的中點(diǎn)，得到圖②.(1)求證：EF⊥A′C；(2)求三棱錐F—A′BC的體積．解(1)證法1：在△ABC中，EF是等腰直角△ABC的中位線，在四棱錐A′—BCEF中，EF⊥A′E，EF⊥EC，∴EF⊥平面A′EC，又A′C平面A′EC，∴EF⊥A′C.證法2：同證法1EF⊥EC，∴A′O⊥EF，∴EF⊥平面A′EC.又A′C平面A′EC，∴EF⊥A′C.(2)在直角梯形EFBC中，EC＝2，BC＝4，∴S△FBC＝eq\f(1,2)BC·EC＝4.又∵A′O垂直平分EC，∴A′O＝eq\r(A′E2－EO2)＝eq\r(3)，∴三棱錐F—A′BC的體積VF—A′BC＝VA′—FBC＝eq\f(1,3)S△FBC·A′O＝eq\f(1,3)×4×eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),3).21．(13分)如圖所示，已知正方體ABCD—A1B1C1D1，O是底面ABCD(1)求證：C1O∥平面AB1D1；(2)求證：A1C⊥平面AB1D1(3)若AA1＝2，求三棱錐A1—AB1D1的體積．解(1)證明：設(shè)B1D1的中點(diǎn)為O1，∵ABCD—A1B1C1D1∴C1O1綊AO.故AO