2023北京八中高一（上）期末數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2023北京八中高一（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1．已知a＞b，c∈R，則下列不等式中恒成立的是（）A． B．a(chǎn)2＞b2 C．a(chǎn)c＞bc D．a(chǎn)+c＞b+c2．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a3．已知x＞0，則的最小值為（）A． B．2 C． D．44．下列函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)的是（）A．y＝2x B．y＝﹣log2x C． D．y＝tanx5．已知、是不共線的向量，＝λ+，＝+μ（λ，μ∈R），那么A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件為（）A．λ+μ＝1 B．λ﹣μ＝1 C．λμ＝﹣1 D．λμ＝16．設(shè)f（x）為R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（1）＝0，則不等式f（x+1）＜0的解集是（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）7．甲、乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的八次測試得分情況如圖，則下列結(jié)論正確的是（）A．甲得分的極差大于乙得分的極差 B．甲得分的75%分位數(shù)大于乙得分的75%分位數(shù) C．甲得分的平均數(shù)小于乙得分的平均數(shù) D．甲得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙得分的標(biāo)準(zhǔn)差8．為保障食品安全，某監(jiān)管部門對轄區(qū)內(nèi)一家食品企業(yè)進(jìn)行檢查，現(xiàn)從其生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件作為樣本，并以產(chǎn)品的一項(xiàng)關(guān)鍵質(zhì)量指標(biāo)值為檢測依據(jù)，整理得到如下的樣本頻率分布直方圖．若質(zhì)量指標(biāo)值在[25，35）內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，則該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品的概率約為（）A．0.38 B．0.61 C．0.122 D．0.759．若函數(shù)f（x）＝ax﹣1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，2），則函數(shù)的圖象是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，f2（x）＝2x+1，g1（x）＝logax（a＞1），g2（x）＝kx（k＞0），則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)f1（x）和f2（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn) B．?x0∈R，當(dāng)x＞x0時(shí)，恒有g(shù)1（x）＞g2（x） C．當(dāng)a＝2時(shí)，?x0∈（0，+∞），f1（x0）＜g1（x0） D．當(dāng)時(shí)，方程g1（x）＝g2（x）有解二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11．（5分）函數(shù)f（x）＝log0.5（x﹣1）的定義域是．12．（5分）命題“?x＞0，3x﹣1≤0”的否定是．13．（5分）0.25×24+lg8+3lg5＝．14．（5分）已知函數(shù)f（x）＝，若方程f（x）＝a有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝（a＞0且a≠1），給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）有最小值；②對任意實(shí)數(shù)a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的減函數(shù)；③存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）的值域?yàn)镽；④若a＞3，則存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＝f（﹣x0）．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題（共6題，滿分85分）16．（14分）如圖所示平行四邊形AOBD中，設(shè)向量＝，＝，又＝，＝，用，表示、、．17．（16分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣2，g（x）＝x2﹣mx+4（m∈R）．（Ⅰ）當(dāng)m＝4時(shí)，求不等式g（x）＞f（x）的解集；（Ⅱ）若對任意x∈R，不等式g（x）＞f（x）恒成立，求m的取值范圍；（Ⅲ）若對任意x1∈[1，2]，存在x2∈[4，5]，使得g（x1）＝f（x2），求m的取值范圍．18．（14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若f（a）＝1，求a的值；（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）若f（x）≥m對于x∈[3，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．19．（12分）為抗擊新冠肺炎，某單位組織中、老年員工分別進(jìn)行疫苗注射，共分為三針接種，只有三針均接種且每針接種后經(jīng)檢測合格，才能說明疫苗接種成功（每針接種后是否合格相互之間沒有影響．根據(jù)大數(shù)據(jù)比對，中年員工甲在每針接種合格的概率分別為，，；老年員工乙在每針接種合格的概率分別為，，．（Ⅰ）甲、乙兩位員工中，誰接種成功的概率更大？（Ⅱ）若甲和乙均參加疫苗接種，求兩人中至少有一人接種成功的概率．20．（14分）某工廠有甲、乙兩條相互獨(dú)立的產(chǎn)品生產(chǎn)線，單位時(shí)間內(nèi)甲、乙兩條生產(chǎn)線的產(chǎn)量之比為4：1，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從甲、乙兩條生產(chǎn)線得到一個(gè)容量為100的樣本，其部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示（單位：件）．一等品二等品甲生產(chǎn)線76b乙生產(chǎn)線a2（Ⅰ）寫出a，b的值；（Ⅱ）從上述樣本的所有二等品中任取2件，求至少有1件為甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的概率；（Ⅲ）以抽樣結(jié)果的頻率估計(jì)概率，現(xiàn)分別從甲、乙兩條產(chǎn)品生產(chǎn)線隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，記P1表示從甲生產(chǎn)線隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品中恰好有5件一等品的概率，P2表示從乙生產(chǎn)線隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品中恰好有5件一等品的概率，試比較P1和P2的大小．（只需寫出結(jié)論）21．（15分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽．若存在常數(shù)m（m≠0），對于任意x∈R，f（x+m）＝mf（x）成立，則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)Γ．記P為滿足性質(zhì)廠的所有函數(shù)的集合．（Ⅰ）判斷函數(shù)y＝x和y＝2是否屬于集合P？（結(jié)論不要求證明）（Ⅱ）若函數(shù)，證明：g（x）∈P；（Ⅲ）記二次函數(shù)的全體為集合Q，證明：P∩Q＝?．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：對于A，令a＝2，b＝﹣1，滿足a＞b，但，故A錯(cuò)誤，對于B，令a＝2，b＝﹣3，滿足a＞b，但a2＜b2，故B錯(cuò)誤，對于C，令c＝0，ac＝bc，故C錯(cuò)誤，對于D，∵a＞b，c＝c，∴由不等式的可加性可得，a+c＝b+c，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，掌握特殊值法是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵，b＝20.2＞20＝1，0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，∴a＜c＜b．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．3．【分析】利用基本不等式的性質(zhì)即可求得答案．【解答】解：由x＞0，≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝時(shí)，取得等號，故的最小值為2，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，y＝2x，是指數(shù)函數(shù)，在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，符合題意，對于B，y＝﹣log2x＝，是對數(shù)函數(shù)，在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，不符合題意，對于C，y＝﹣，是反比例函數(shù)，在其定義域中不具有單調(diào)性，不符合題意，對于D，y＝tanx，是正切函數(shù)，在其定義域中不具有單調(diào)性，不符合題意，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，注意常見函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】將點(diǎn)共線問題與向量共線問題聯(lián)系起來是解決本題的關(guān)鍵．【解答】解：A、B、C三點(diǎn)共線?與共線??x，λ+＝x（+μ），∵、是不共線的向量，∴A、B、C三點(diǎn)共線．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了向量共線的等價(jià)條件，屬于基本題型．6．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵f（x）為R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（1）＝0，∴f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增且f（﹣1）＝0，則f（x）的圖象如圖：則f（x）＜0的解為0＜x＜1或x＜﹣1，由0＜x+1＜1或x+1＜﹣1，得﹣1＜x＜0或x＜﹣2，即f（x+1）＜0的解集（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0），故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查不等式的求解，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系作出函數(shù)f（x）的圖象是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．7．【分析】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)特征進(jìn)行判斷即可得解．【解答】解：對于A，乙組數(shù)據(jù)最大值為29，最小值為5，極差為24，甲組數(shù)據(jù)最大值小于29，最小值大于5，故A錯(cuò)誤；對于B，甲得分的75%分位數(shù)是＝22.5，乙得分的75%分位數(shù)是16，故B正確；對于C，甲組具體數(shù)據(jù)不易看出，不能判斷甲得分的平均數(shù)與乙得分的平均數(shù)的大小關(guān)系，故C錯(cuò)誤；對于D，乙組數(shù)據(jù)更集中，標(biāo)準(zhǔn)差更小，故D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷，考查折線圖、莖葉圖等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．【分析】根據(jù)已知條件，直接讀取頻率分布直方圖，即可求解．【解答】解：∵質(zhì)量指標(biāo)值在[25，35）內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，∴該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品的概率約為（0.08+0.042）×5＝0.61．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】由已知求得a，可得a＞1，再由函數(shù)的圖象平移得答案．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝ax﹣1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，2），∴2＝a4﹣1＝a3，∴a＝＞1．又＝，其圖象是把y＝﹣logax向左平移1個(gè)單位得到的，∴函數(shù)的圖象是：．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的圖象及圖象平移，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．10．【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行逐一判定即可．【解答】解：選項(xiàng)A：∵，f2（x）＝2x+1，∴f1（0）＝1，f2（0）＝1，f1（2）＝4＜f2（2）＝5，f1（3）＝8＞f2（3）＝7，則函數(shù)f1（x）和f2（x）的圖象有一個(gè)交點(diǎn)（0，1），還有一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)在（2，3）上，故選項(xiàng)A不正確；選項(xiàng)B：當(dāng)a＝2，k＝1時(shí)，g1（x）＝log2x＜g2（x）＝x恒成立，故不?x0∈R，當(dāng)x＞x0時(shí)，恒有g(shù)1（x）＞g2（x），故選項(xiàng)B不正確；選項(xiàng)C：當(dāng)a＝2時(shí)，f1（x）與g1（x）的圖象關(guān)于y＝x對稱，f1（x）的圖象恒在直線y＝x上方，g1（x）的圖象恒在直線y＝x下方，故不存在x0∈（0，+∞），f1（x0）＜g1（x0），故選項(xiàng)C不正確；選項(xiàng)D：時(shí)，g2（x）＝x，故g1（x）＝logax（a＞1）和g2（x）＝kx（k＞0）均過點(diǎn)（a，1），所以方程g1（x）＝g2（x）有解，故選項(xiàng)D正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了命題真假的判斷的應(yīng)用，以及函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，同時(shí)考查了學(xué)生分析問題的能力．二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11．【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)成立的條件建立不等式進(jìn)行求解即可．【解答】解：要使函數(shù)有意義，則x﹣1＞0，即x＞1，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），故答案為：（1，+∞）．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)定義域的求解，根據(jù)對數(shù)函數(shù)成立的條件是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．12．【分析】根據(jù)題意，由特稱命題的否定方法，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，命題“?x＞0，3x﹣1≤0”是特稱命題，其否定為：?x＞0，3x﹣1＞0．故答案為：?x＞0，3x﹣1＞0．【點(diǎn)評】本題考查命題的否定，注意特稱命題和全稱命題的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】由已知結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求．【解答】解：0.25×24+lg8+3lg5＝4+lg（8×125）＝4+lg1000＝4+3＝7．故答案為：7．【點(diǎn)評】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】依題意，函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)y＝a的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，作圖觀察即可得解．【解答】解：方程f（x）＝a有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)y＝a的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，作函數(shù)y＝f（x）的圖象如下圖所示，由圖可知，0＜a＜1．故答案為：（0，1）．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，旨在考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】舉例說明①正確；由f（x）是R上的減函數(shù)列式求解a的范圍判斷②；由f（x）的值域?yàn)镽列關(guān)于a的不等式組，求解a的范圍判斷③；畫出圖形，數(shù)形結(jié)合判斷④．【解答】解：對于①，當(dāng)a＝3時(shí)，函數(shù)f（x）＝，函數(shù)有最小值﹣1，故①正確；對于②，若f（x）是R上的減函數(shù)，則，解得a∈?，∴對任意實(shí)數(shù)a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的減函數(shù)，故②正確；對于③，若f（x）的值域?yàn)镽，需，得a∈?，故③錯(cuò)誤；對于④，若a＞3，函數(shù)f（x）＝的圖象如圖所示：直線y＝（a﹣2）x與曲線y＝ax﹣1一定有交點(diǎn)，即存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＝f（﹣x0），故④正確．∴正確結(jié)論的序號是①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．三、解答題（共6題，滿分85分）16．【分析】根據(jù)向量加法、減法，及數(shù)乘的幾何意義，及其運(yùn)算，以及向量加法的平行四邊形法則，即可表示出．【解答】解：＝﹣＝；∴＝+＝+＝+＝；又＝，＝+＝+＝＝+；∴＝﹣＝+﹣﹣＝﹣．【點(diǎn)評】考查向量加法、減法，以及數(shù)乘的幾何意義和運(yùn)算，向量加法的平行四邊形法則．17．【分析】（Ⅰ）當(dāng)m＝4時(shí)，化簡不等式x2﹣5x+6＞0，然后求解即可．（Ⅱ）由g（x）＞f（x），得到不等式x2﹣（m+1）x+6＞0的解集是R．利用判別式轉(zhuǎn)化求解即可．（Ⅲ）．通過m的取值，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)m＝4時(shí)，由x2﹣4x+4＞x﹣2得x2﹣5x+6＞0，即（x﹣3）（x﹣2）＞0，解得x＜2或x＞3．所以不等式g（x）＞f（x）的解集為{x|x＜2或x＞3}．（5分）（Ⅱ）由g（x）＞f（x）得x2﹣mx+4＞x﹣2，即不等式x2﹣（m+1）x+6＞0的解集是R．所以（m+1）2﹣24＜0，解得．所以m的取值范圍是．（10分）（Ⅲ）當(dāng)x2∈[4，5]時(shí)，f（x2）＝x2﹣2∈[2，3]．又．①當(dāng)，即m≤2時(shí)，對任意x1∈[1，2]，g（x1）∈[5﹣m，8﹣2m]?[2，3]．所以此時(shí)不等式組無解．②當(dāng)，即2＜m≤3時(shí)，對任意x1∈[1，2]，．所以解得．③當(dāng)，即3＜m＜4時(shí)，對任意x1∈[1，2]，．所以此時(shí)不等式組無解．④當(dāng)，即m≥4時(shí)，對任意x1∈[1，2]，g（x1）∈[8﹣2m，5﹣m]?[2，3]．所以此時(shí)不等式組無解．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．（15分）【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)恒成立條件的轉(zhuǎn)化，考查分類討論思想的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．18．【分析】（Ⅰ）根據(jù)條件建立方程直接進(jìn)行求解即可，（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明即可，（Ⅲ）利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化求最值問題進(jìn)行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）若f（a）＝1，得log2＝1，即＝2，得a﹣1＝2a+2，得a＝﹣3；（Ⅱ）由＞0，得x＞1或x＜﹣1，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則f（﹣x）+f（x）＝log2+log2＝log2（?）＝log21＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），則f（x）是奇函數(shù)．（Ⅲ）＝＝1﹣，設(shè)t＝，則y＝log2t為增函數(shù)，t＝1﹣在[3，+∞）為增函數(shù)，∴f（x）在x∈[3，+∞）為增函數(shù)，要使f（x）≥m對于x∈[3，+∞）恒成立，則使f（x）min≥m，∵f（x）min＝f（3）＝log2＝log2＝﹣1，∴m≤﹣1，則求實(shí)數(shù)m的范圍是（﹣∞，﹣1]．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)最值的求解，利用奇函數(shù)的定義以及參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求最值是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．19．【分析】分別記“中年員工甲、老年員工乙接種成功”為事件A、B，且A、B相互獨(dú)立，（Ⅰ）甲、乙接種成功，即兩人每針接種均合格，由獨(dú)立事件概率的乘法公式，計(jì)算P（A）、P（B），再比較大小即可；（Ⅱ）記“甲和乙兩人中至少有一人接種成功”為事件C，利用間接法，確定對立事件＝，計(jì)算P（），求出事件C的概率．【解答】解：（Ⅰ）記中年員工甲接種成功的事件為A，老年員工乙接種成功的事件為B，則P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（A）＞P（B），故中年員工甲接種成功的概率更大；（Ⅱ）記甲和乙兩人中至少有一人接種成功的事件為C，則＝，P（）＝P（）＝P（）P（）＝（1﹣）×（1﹣）＝，所以P（C）＝1﹣P（）＝，故兩人中至少有一人接種成功的概率為．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件乘法公式和對立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．20．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意列出方程組，由此能求出a，b的值．（Ⅱ）C為“至少有1件為甲生產(chǎn)線產(chǎn)品”這一事件，首先列出從6件二等品中任取2件的所有結(jié)果，然后再找出事件C所包含是基本事件，從而利用古典概型的概率公式即可求出答案．（Ⅲ）根據(jù)樣本中甲、乙產(chǎn)品中一等品的概率，同時(shí)結(jié)合二項(xiàng)分布即可比較大?。窘獯稹拷猓海á瘢┯深}意知，解得a＝18，b＝4．（Ⅱ）記樣本中甲生產(chǎn)線的4件二等品為A1，A2，A3，A4，乙生產(chǎn)線的2件二等品為B1，B2，從6件二等品中任取2件，所有可能的結(jié)果有15個(gè)