2024-2025人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下點(diǎn)撥訓(xùn)練第28章第02講特殊三角函數(shù)值2

20242025人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下點(diǎn)撥*訓(xùn)練第28章第02講特殊三角函數(shù)值（解析版）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能推導(dǎo)并熟記30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并能根據(jù)三角函數(shù)值說(shuō)出對(duì)應(yīng)銳角度數(shù)；2.能熟練計(jì)算含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)的運(yùn)算式；3.結(jié)合銳角三角函數(shù)概念和含特殊角的直角三角形的性質(zhì)，推導(dǎo)特殊角的三角函數(shù)值，了解知識(shí)之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用，認(rèn)識(shí)到三角函數(shù)也屬于數(shù)的運(yùn)算系列，掌握由角到邊和由邊到角的轉(zhuǎn)換.老師告訴你特殊角的三角函數(shù)值的求法是根據(jù)勾股定理及三角函數(shù)的定義可得： 一、知識(shí)點(diǎn)撥1.知識(shí)導(dǎo)航2.知識(shí)點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)1、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值：【新知導(dǎo)學(xué)】例11．的值是()A. B.1 C. D.答案：A解析：,故選：A.例12．已知是銳角，且，那么的度數(shù)為()A. B. C. D.無(wú)法確定答案：A解析：，，故選：A.【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】1．計(jì)算：___________；答案：解析：原式.故答案為：.2．計(jì)算：_________________.答案：1解析：，故答案為：1.3．計(jì)算：(1)(2)答案：(1)0(2)1解析：（1）（2）4．計(jì)算：.答案：3解析：原式.5．計(jì)算：(1);(2).答案：(1)(2)解析：(1)原式.(2)原式.知識(shí)點(diǎn)2、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：同角三角函數(shù)之間的平方關(guān)系：有勾股定理可知：正弦余弦與正切之間的關(guān)系：一個(gè)角的正切值等于這個(gè)角的正弦與余弦的比。即或?；ビ嗟膬蓚€(gè)角的三角函數(shù)關(guān)系：①一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的余角的余弦值。即②一個(gè)角的余弦值等于這個(gè)角的余角的正弦值。即若∠A＋∠B＝90°，則或【新知導(dǎo)學(xué)】例21.在Rt△ABC中，∠C＝90°，，則cosA＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理求出AC，再由銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，可設(shè)BC＝4k，則AB＝5k，由勾股定理得，AC＝＝3k，∴cosA＝＝，故選：C．例22.若sin（70°﹣α）＝cos50°，則α的度數(shù)是（）A．50° B．40° C．30° D．20°【分析】一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的余角的余弦值，依此可得70°﹣α+50°＝90°，解方程即可求解．【解答】解：∵sin（70°﹣α）＝cos50°，∴70°﹣α+50°＝90°，解得α＝30°．故選：C．【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】1．小明同學(xué)遇到了這樣一道題，，則銳角的度數(shù)為()A. B. C. D.答案：C解析：2．在中，，則為()A.直角三角形 B.等邊三角形C.含60°的任意三角形 D.是底角為30°的等腰三角形答案：A解析：，∴，，，，，，是直角三角形.故選：A.3．三角函數(shù)、、之間的大小關(guān)系是()A. B.C. D.答案：C解析：∵(),∴,當(dāng)時(shí),正弦值是隨著角的增大而增大,∴∴,故選：C.4．定義一種運(yùn)算；，.例如：當(dāng)，時(shí)，，則的值為_(kāi)_______.答案：解析：.故答案為：.5.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，則cosA的值為（）A． B． C． D．2【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，由于tanA＝2＝，不妨設(shè)b＝k，則a＝2k，由勾股定理得，c＝＝k，所以cosA＝＝＝，故選：A．二、題型訓(xùn)練1.利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算1．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）.答案：（1）（2）（3）2（4）解析：（1）原式.（2）原式.（3）原式.（4）原式.2．計(jì)算：.答案：.解析：原式====.3．計(jì)算：.答案：解析：.2.利用特殊角的三角函數(shù)值求角4．已知為銳角,,則______.答案：解析：∵a為銳角,且,∴,解得：.故答案為：.5．已知是銳角,且,則的度數(shù)是________o.答案：45解析：由,可得,=故答案為45.6．在中,,都是銳角,且,,則是()A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形 D.不能確定答案：B解析：∵中,、都是銳角,,,∴.∴.故選B.7．在中，，，，則的度數(shù)()A. B. C. D.無(wú)法確定答案：B解析：，，，，.故選：B.3.計(jì)算器計(jì)算函數(shù)值8．用計(jì)算器求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）.答案：（1）（2）（3）（4）解析：（1）原式.（2）原式.（3）原式.（4）原式.9．已知下列銳角的三角函數(shù)值，用計(jì)算器求銳角A的度數(shù)：（1）；（2）（3）；（4）.答案：（1）（2）（3）（4）三、課堂達(dá)標(biāo)一、單選題（每小題4分，共32分）1．最接近下列哪個(gè)數(shù)值() 答案：C解析：∵,,觀察四個(gè)選項(xiàng),最接近,故選：C.2．的值等于().A. B. C. D.1答案：C解析：故選：C.3．的值為()A.1 B. C.2 D.答案：B解析：原式.故選：B.4．已知，是銳角，則的度數(shù)是()A.30° B.45° C.60° D.90°答案：C解析：，是銳角，，故選C.5．構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題是“數(shù)形結(jié)合思想”的重要應(yīng)用,小康在計(jì)算時(shí),構(gòu)造出如圖所示的圖形：在中,,,延長(zhǎng)到D,,連接,得.根據(jù)此圖可求得的結(jié)果()A. B. C. D.答案：C解析：在中,,,延長(zhǎng)CB使,連接AD,得,設(shè),則,∴,故選：C.6．已知為銳角，，則的度數(shù)為()A. B. C. D.答案：C解析：為銳角，，，.故選C.7．下列計(jì)算中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()①；②；③；④.A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：8．在銳角中，若，則等于()A. B. C. D.答案：A解析：，，，，，在銳角中，，故選：A.二、填空題（每小題4分，共20分）9．如圖，為測(cè)量一座大廈AB的高度，當(dāng)小明在C處時(shí)測(cè)得樓頂A的仰角為60°，接著沿BC方向行走30m至D處時(shí)測(cè)得樓頂A的仰角為30°，則大廈AB的高度是_______________.答案：15解析：在中，∠ACB=60°=即tan60°==BC=在中，∠ADB=30°tan∠ADB=即tan30°==BD=CD=30=30AB=15故答案為1510．在銳角中，若，則_________________.答案：解析：，，，，，（負(fù)值舍去），，，，，故答案為：.11．計(jì)算：_____.答案：解析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，直接計(jì)算即可得.故答案為.12．比較大?。篲_______（填“>”“=”或“<”）.答案：<解析：在銳角三角函數(shù)中，正切值隨角度的增加而增加，故答案為：<.13．將一副三角板按如圖方式擺放，則的正切值為_(kāi)____.答案：解析：如圖，作交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由題意知，，，，，，，，設(shè)，則，，，，故答案為.三、解答題（每小題8分。共48分）14．求下列各式的值：（1）；（2）.答案：（1）0（2）解析：（1）原式.（2）原式.15．圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、點(diǎn)B的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡.(1)在圖①中找一個(gè)格點(diǎn)C，使得；(2)在圖②中找點(diǎn)D，作使得；(3)在圖③中找點(diǎn)E，作使得.答案：(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析.解析：（1）如圖，點(diǎn)C即為所求，（2）如圖，即為所求，（3）如圖，即為所求，16.(0分)如圖,AB為半圓O的直徑,弦AD、BC相交于點(diǎn)P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值答案：解析：連接BD,根據(jù)圓周角定理可得∠ADB=90°，證得△PCD∽△PAB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合余弦的定義可得∠BPD的余弦值，再結(jié)合勾股定理即可求得結(jié)果.

連接BD,

∵AB是直徑,

∴∠ADB=90°.

∵∠C=∠A,∠D=∠B,

∴△PCD∽△PAB,

∴.

在Rt△PBD中,cos∠BPD==,

設(shè)PD=3x,PB=4x,

則BD=,

∴tan∠BPD=.

考點(diǎn)：圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性強(qiáng)，知識(shí)點(diǎn)較多，因而這類問(wèn)題在中考中比較常見(jiàn)，在各種題型中均有出現(xiàn)，一般難度較大，需多加關(guān)注.17．熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A處看大樓BC頂部C的仰角為30°，看大樓底部B的俯角為45°，熱氣球與該樓的水平距離AD為60米，求大樓BC的高度.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）答案：這棟樓的高度約為95米.解析：由題意可知，，米，在中，(米)，在中，(米)，(米).答：這棟樓的高度約為95米.18．計(jì)算（1）計(jì)算:（2）已知是銳角,且,計(jì)算值.答案：（1）1（2）0解析:（1）解:（2）是銳角,且,,,19．綜合與實(shí)踐：在學(xué)習(xí)《解直角三角形》一章時(shí)，小邕同學(xué)對(duì)一個(gè)角的倍角的三角函數(shù)值與這個(gè)角的三角函數(shù)值是否有關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，并進(jìn)行研究.【初步嘗試】我們知道：___________，___________.發(fā)現(xiàn)：___________(填“=”或“”).【實(shí)踐探究】在解決“如圖1，在中，，，，求的值”這一問(wèn)題時(shí)，小邕想構(gòu)造包含的直角