【八年級(jí)下冊(cè)】角平分線【同步練習(xí)卷】（含答案）

角平分線姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（黑河期末）如圖，∠MON＝60°，OA平分∠MON，P是射線OA上的一點(diǎn)，且OP＝4，若點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PQ的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．42．（昭通期末）如圖，OP平分∠AOB，PD⊥OA于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PD＝3，則PE的最小值（）A．等于3 B．大于3 C．小于3 D．無(wú)法確定3．（慈溪市期中）如圖，E為∠BAC平分線AP上一點(diǎn)，AB＝4，△ABE的面積為12，則點(diǎn)E到直線AC的距離為（）A．3 B．4 C．5 D．64．（濟(jì)陽(yáng)區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，則點(diǎn)D到AB邊的距離為（）A．7 B．9 C．11 D．145．（定西期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，連接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長(zhǎng)的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．16．（南海區(qū)期末）如圖，射線OC是∠AOB的角平分線，D是射線OC上一點(diǎn)，DP⊥OA于點(diǎn)P，DP＝4，若點(diǎn)Q是射線OB上一點(diǎn)，OQ＝3，則△ODQ的面積是（）A．3 B．4 C．5 D．67．（江北區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，BE是AC邊的中線，CF是∠ACB的角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說(shuō)法正確的是（）①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③8．（燈塔市期末）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，作直線MN分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接BEA．AD＝BD B．∠BEC＝2∠DBE C．AE＝BE D．BE平分∠CBD9．（松山區(qū)期末）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于點(diǎn)D，如果AE+DE＝3cm，那么AC等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm10．（渭濱區(qū)期末）如圖，AE是△ABC的角平分線，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，若∠BAC＝104°，∠C＝40°．則有下列結(jié)論：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF=12S△A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上11．（白云區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝16，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若CD＝4，則△ABD的面積為．12．（長(zhǎng)春期末）如圖，OC是∠AOB的角平分線，點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，PM⊥OB于點(diǎn)M，點(diǎn)N是射線OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PM＝7，則PN的最小值為．13．（潘集區(qū)月考）如圖所示，△ABC中∠C＝90°，AM平分∠CAB，CM＝15cm，那么M到AB的距離是cm．14．（平江縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，則△ABD的面積是．15．（沙河口區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)交BC于D，OH⊥BC于H，若∠BAC＝60°，OH＝5，則OA＝．16．（南寧期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，若CD＝3，AB＝8，則△ABD的面積是．17．（河南期末）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是20，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD＝2，△ABC的面積是．18．（漳州期末）如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，∠AOB＝60°，PD⊥OA于D，點(diǎn)M在OP上，且DM＝MP＝6，若C是OB上的動(dòng)點(diǎn)，則PC的最小值是．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（岳陽(yáng)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn)．（1）求∠B的度數(shù)．（2）若DE＝5，求BC的長(zhǎng)．20．（東莞市校級(jí)期中）如圖，AP，CP分別是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分線，它們交于點(diǎn)P．求證：BP為∠MBN的平分線．21．如圖，△ABC中，∠ABC，∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)P，PE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于E，PF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于F，求證：BC＝BE+CF．22．（交城縣期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分線，AD與CE相交于點(diǎn)F，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，垂足分別為M，N．求證：FE＝FD．23．（渦陽(yáng)縣期末）已知：如圖，△ABC的角平分線BE、CF相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P在∠A的平分線上．24．（高郵市期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）若點(diǎn)P恰好在∠ABC的角平分線上，求出此時(shí)t的值；（2）若點(diǎn)P使得PB+PC＝AC時(shí)，求出此時(shí)t的值．角平分線姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（黑河期末）如圖，∠MON＝60°，OA平分∠MON，P是射線OA上的一點(diǎn)，且OP＝4，若點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PQ的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】作PQ′⊥OM于Q′，根據(jù)角平分線的定義得到∠POQ′＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出PQ′，根據(jù)垂線段最短解答．【解析】作PQ′⊥OM于Q′，∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，∴∠POQ′＝30°，∴PQ′=12由垂線段最短可知，PQ的最小值是2，故選：B．2．（昭通期末）如圖，OP平分∠AOB，PD⊥OA于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PD＝3，則PE的最小值（）A．等于3 B．大于3 C．小于3 D．無(wú)法確定【分析】過(guò)P點(diǎn)作PH⊥OB于H，如圖，利用角平分線的性質(zhì)得到PH＝PD＝3，然后根據(jù)垂線段最短可得到PE的最小值．【解析】過(guò)P點(diǎn)作PH⊥OB于H，如圖，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB于H，∴PH＝PD＝3，∵點(diǎn)E是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴點(diǎn)E與H點(diǎn)重合時(shí)，PE有最小值，最小值為3．故選：A．3．（慈溪市期中）如圖，E為∠BAC平分線AP上一點(diǎn)，AB＝4，△ABE的面積為12，則點(diǎn)E到直線AC的距離為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)三角形面積公式得出點(diǎn)E到直線AB的距離，利用角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，即可求解．【解析】∵AB＝4，△ABE的面積為12，∴點(diǎn)E到直線AB的距離=2×12∵E為∠BAC平分線AP上一點(diǎn)，∴點(diǎn)E到直線AC的距離＝6，故選：D．4．（濟(jì)陽(yáng)區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，則點(diǎn)D到AB邊的距離為（）A．7 B．9 C．11 D．14【分析】先確定出CD＝9，再利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，即可得出結(jié)論．【解析】如圖，∵CD：BD＝3：4．設(shè)CD＝3x，則BD＝4x，∴BC＝CD+BD＝7x，∵BC＝21，∴7x＝21，∴x＝3，∴CD＝9，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分線，∠C＝90°，∴DE＝CD＝9，∴點(diǎn)D到AB邊的距離是9，故選：B．5．（定西期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，連接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長(zhǎng)的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)垂線段最短得出當(dāng)DP⊥BC時(shí)，DP的長(zhǎng)最小，求出∠ABD＝∠CBD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出此時(shí)DP＝AD，再得出選項(xiàng)即可．【解析】當(dāng)DP⊥BC時(shí)，DP的長(zhǎng)最小，∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∵∠A＝90°，∠ADB＝∠C，∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，∠BDC+∠C+∠CBD＝180°，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠A＝90°，∴當(dāng)DP⊥BC時(shí)，DP＝AD，∵AD＝4，∴DP的最小值是4，故選：A．6．（南海區(qū)期末）如圖，射線OC是∠AOB的角平分線，D是射線OC上一點(diǎn)，DP⊥OA于點(diǎn)P，DP＝4，若點(diǎn)Q是射線OB上一點(diǎn)，OQ＝3，則△ODQ的面積是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】作DE⊥OB于E，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得DE＝DP＝4，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算S△ODQ．【解析】作DE⊥OB于E，如圖，∵OC是∠AOB的角平分線，DP⊥OA，DE⊥OB，∴DE＝DP＝4，∴S△ODQ=1故選：D．7．（江北區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，BE是AC邊的中線，CF是∠ACB的角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說(shuō)法正確的是（）①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③【分析】根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行判斷①，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠FAG＝∠ACB，再判斷②即可，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AFG＝∠AGF，再根據(jù)等腰三角形的判定判斷③即可，根據(jù)等腰三角形的判定判斷④即可．【解析】∵BE是AC邊的中線，∴AE＝CE，∵△ABE的面積=12×AE×AB，△BCE的面積∴△ABE的面積＝△BCE的面積，故①正確；∵AD是BC邊上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，∴∠FAG＝∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分線，∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，∴∠FAG＝2∠FCB，故②錯(cuò)誤；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，故③正確；根據(jù)已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④錯(cuò)誤；即正確的為①③，故選：D．8．（燈塔市期末）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，作直線MN分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接BEA．AD＝BD B．∠BEC＝2∠DBE C．AE＝BE D．BE平分∠CBD【分析】利用基本作圖得到DE是AB的垂直平分線，則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可對(duì)A、C進(jìn)行判斷；然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可對(duì)B進(jìn)行判斷．【解析】由作法得DE是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，AE＝BE，故A、C選項(xiàng)正確；∵EA＝EB，∴∠A＝∠ABE，∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝2∠DBE，故B選項(xiàng)正確；故選：D．9．（松山區(qū)期末）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于點(diǎn)D，如果AE+DE＝3cm，那么AC等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【分析】利用角平分線的性質(zhì)可得DE＝EC，然后再利用線段的和差關(guān)系可得答案．【解析】∵BE平分∠ABC，∠ACB＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)D，∴DE＝EC，∵AE+DE＝3（cm），∴AE+EC＝3（cm），即：AC＝3cm，故選：B．10．（渭濱區(qū)期末）如圖，AE是△ABC的角平分線，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，若∠BAC＝104°，∠C＝40°．則有下列結(jié)論：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF=12S△A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】由角平分線的定義得到①正確；由∠C＝40°，AD⊥BC，∠CAE＝52°，得到②正確；由于△AEF和△AED不全等，得到③錯(cuò)誤；由于F為BC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形面積公式得到④正確．【解析】AE是△ABC的角平分線，∠BAC＝104°，∴∠BAE＝∠CAE＝52°，∴①正確；∵∠C＝40°，AD⊥BC，∴∠CAD＝50°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝52°﹣50°＝2°，∴②正確；∵沒(méi)有條件能證得EF＝DE，∴EF不一定等于ED，∴③錯(cuò)誤；∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∴BF=12∴S△ABF=12S△∴④正確；故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上11．（白云區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝16，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若CD＝4，則△ABD的面積為32．【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出DE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【解析】作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝4，∴△ABD的面積=12×AB故答案為：32．12．（長(zhǎng)春期末）如圖，OC是∠AOB的角平分線，點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，PM⊥OB于點(diǎn)M，點(diǎn)N是射線OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PM＝7，則PN的最小值為7．【分析】過(guò)P作PN'作OA于N'，根據(jù)垂線段最短可得PN⊥OA時(shí)，PN最短，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PM＝PN'＝7，從而得解．【解析】過(guò)P作PN'作OA于N'，當(dāng)PN⊥OA時(shí)，PN的值最小，則PN＝PN'，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM＝PN'，∵PM＝7，∴PN'＝7，∴PN的最小值為7，故答案為：7．13．（潘集區(qū)月考）如圖所示，△ABC中∠C＝90°，AM平分∠CAB，CM＝15cm，那么M到AB的距離是15cm．【分析】過(guò)點(diǎn)M作DM⊥AB于D，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DM＝CM，進(jìn)而解答即可．【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)M作DM⊥AB于D，∵∠C＝90°，AM是∠CAB的平分線，∴DM＝CM＝15cm，即M到AB的距離為15cm．故答案為：15．14．（平江縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，則△ABD的面積是12．【分析】作DE⊥AB于E，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得DE＝DC＝3，然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算S△ABD．【解析】作DE⊥AB于E，如圖，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝3，∴S△ABD=1故答案為12．15．（沙河口區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)交BC于D，OH⊥BC于H，若∠BAC＝60°，OH＝5，則OA＝10．【分析】作OE⊥AB交AB于E，由OB平分∠ABC，OH⊥BC，得到OE＝OH＝5，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAO＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】作OE⊥AB交AB于E，∵OB平分∠ABC，OH⊥BC，∴OE＝OH＝5，∵∠ABC，∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，∴AO平分∠BAC，∵∠BAC＝60°，∴∠BAO＝30°，∴AO＝2OE＝10，故答案為：10．16．（南寧期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，若CD＝3，AB＝8，則△ABD的面積是12．【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出DE，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解析】作DE⊥AB于E，∵AD為角∠BAC平分線，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3，∴△ABD的面積=12×AB×故答案為：12．17．（河南期末）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是20，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD＝2，△ABC的面積是20．【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得點(diǎn)O到AB、AC、BC的距離都相等（即OE＝OD＝OF），從而可得到△ABC的面積等于周長(zhǎng)的一半乘以2，代入求出即可．【解析】如圖，連接OA，過(guò)O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OF＝OD＝2，∵△ABC的周長(zhǎng)是20，OD⊥BC于D，且OD＝2，∴S△ABC=12×AB×OE+12×BC=12×（AB+BC=1＝20，故答案為：20．18．（漳州期末）如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，∠AOB＝60°，PD⊥OA于D，點(diǎn)M在OP上，且DM＝MP＝6，若C是OB上的動(dòng)點(diǎn)，則PC的最小值是6．【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠AOP=12∠AOB＝30°，求出DM＝OM＝4，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得PD【解析】∵P是∠AOB角平分線上的一點(diǎn)，∠AOB＝60°，∴∠AOP=12∠∴∠DPO＝60°，∵PM＝DM＝6，∴∠MDP＝∠DPM＝60°，∵∠PDO＝90°，∴∠ODM＝30°＝∠AOP，∴OM＝DM＝6，∴OP＝12，∴PD=12∵點(diǎn)C是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴PC的最小值為P到OB距離，∴PC的最小值＝PD＝6，故答案為：6．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（岳陽(yáng)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn)．（1）求∠B的度數(shù)．（2）若DE＝5，求BC的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠2＝∠B，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列式計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出CD，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【解析】（1）∵DE⊥AB于點(diǎn)E，E為AB的中點(diǎn)，∴DE是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠2＝∠B，∵∠C＝90°，∴∠B＝∠1＝∠2＝30°；（2）∵DE⊥AB，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝10，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE＝5，∴BC＝CD+BD＝15．20．（東莞市校級(jí)期中）如圖，AP，CP分別是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分線，它們交于點(diǎn)P．求證：BP為∠MBN的平分線．【分析】利用角平分線性質(zhì)作垂線得到線段相等，再利用角平分線的逆定理得到所證結(jié)果．【解析】證明：過(guò)P作三邊AB、AC、BC的垂線段PD、PE、PF，∵AP是△ABC的外角平分線，PD⊥AD，PF⊥AC，∴PD＝PF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），∵CP是△ABC的外角平分線，PE⊥AC，PF⊥BC，∴PE＝PF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），又∵PD＝PE，PD⊥AD，PE⊥AC，∴AP為∠MBN的平分線（在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）．21．如圖，△ABC中，∠ABC，∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)P，PE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于E，PF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于F，求證：BC＝BE+CF．【分析】作PH⊥BC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PF＝PH，得到CF＝CH，等量代換即可．【解析】證明：作PH⊥BC于H，∵CP是∠FCB的平分線，PF⊥AC，PH⊥BC，∴PF＝PH，∴CF＝CH，同理，BH＝BE，∴BC＝CH+BH＝BE+CF．22．（交城縣期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分線，AD與CE相交于點(diǎn)F，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，垂足分別為M，N．求證：FE＝FD．【分析】根據(jù)條件可得到FM＝FN，再根據(jù)角的度數(shù)可求得∠NEF＝75°＝∠MDF，可證明△EFM≌△DFN，可得到FE＝FD．【解析】證明