圓錐曲線專題解析5：點(diǎn)差法分析中點(diǎn)及斜率（附參考答案）

圓錐曲線專題解析5：點(diǎn)差法分析中點(diǎn)及斜率（附參考答案）點(diǎn)差法分析中點(diǎn)及斜率（圓錐曲線）?方法導(dǎo)讀我們?cè)诮獯饒A錐曲線題目時(shí),經(jīng)常會(huì)碰到一些中點(diǎn)弦的問題,比如根據(jù)弦的斜率求中點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)求弦的斜率,或者其它一些跟中點(diǎn)弦相關(guān)的計(jì)算和證明等等.按照常規(guī)思路,我們會(huì)聯(lián)立直線和圓錐曲線方程,消去或,然后通過韋達(dá)定理來處理中點(diǎn)弦的問題,這樣能得到我們所要求的結(jié)果,但計(jì)算量會(huì)比較大,一不小心就會(huì)算錯(cuò),造成失分.今天來介紹下圓錐曲線中的點(diǎn)差法,專門針對(duì)中點(diǎn)弦的問題進(jìn)行簡化運(yùn)算,快速得到答案.?高考真題【2018年高考Ⅲ卷理20】已知斜率為的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).線段的中點(diǎn)為.(1)證明:;(2)設(shè)為的右焦點(diǎn),為上一點(diǎn),且.證明:,,成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.?解題策略【過程分析】我們來分析下第一問,第二問不在本專題研究范圍之內(nèi),學(xué)生可自行總結(jié).題目中出現(xiàn)了弦的中點(diǎn)坐標(biāo)條件,證明的結(jié)論是弦的斜率范圍.根據(jù)正常思路,先設(shè)出直線方程為,代入中點(diǎn)坐標(biāo)可得,聯(lián)立直線和橢圓,消去y得,然后將代入得到不等式,再結(jié)合中點(diǎn)的條件及的范圍得到的范圍,又或者先求出的表達(dá)式,然后結(jié)合的范圍分析求解.解題思路上不算太復(fù)雜,套路也是常用的處理方式,但計(jì)算量大,非常容易算錯(cuò),費(fèi)事費(fèi)力,一不小心就會(huì)造成選擇不對(duì),努力白費(fèi)的局面,所以這個(gè)時(shí)候選擇一個(gè)好方法就顯得尤為重要,點(diǎn)差法就是專門處理這類中點(diǎn)弦的問題的快捷方法,通過將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程,然后作差能快速得到斜率和中點(diǎn)的關(guān)系,從而大大簡化運(yùn)算,輕松得分.?解題過程(1)設(shè),,則,,兩式相減,并由得.由題設(shè)知,,,于是.①又?jǐn)?shù)形結(jié)合可知,故;(2)由題意得,設(shè),則,由(1)及題設(shè)得,.又點(diǎn)在上,所以,從而,.∴.同理,所以,故,即,,成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列的公差為,則.②將代入①得.所以的方程為,代入的方程,并整理得.故,,代入②解得.所以該數(shù)列的公差為或.?解題分析從解析第一問中可以看出,我們用點(diǎn)差法來處理中點(diǎn)弦的問題是極為方便的,計(jì)算量小,思路也很簡單.設(shè)出弦與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo),,因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,故代入曲線方程可得,,然后作差,作差是點(diǎn)差法的精髓所在,作差之后我們可以得到,平方差公式展開得,然后根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,代入就可以得到,表達(dá)式中中點(diǎn)坐標(biāo)和弦的斜率關(guān)系一目了然,簡明扼要,然后在根據(jù)的范圍得到的范圍.所以點(diǎn)差法用在弦的中點(diǎn)和斜率關(guān)系的求解上絕對(duì)可以起到事半功倍的效果,沒有了冗長的計(jì)算,學(xué)生學(xué)起來不但輕松了,而且學(xué)習(xí)興趣也會(huì)大大提高,增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.?拓展推廣點(diǎn)差法:設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)為,,將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差,得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率有關(guān)的式子,我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”.結(jié)論:結(jié)論1:斜率為的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),中點(diǎn)為,則.結(jié)論2:斜率為的直線與雙曲線交于,兩點(diǎn),中點(diǎn)為,則.結(jié)論3:斜率為的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),中點(diǎn)為,則.若圓錐曲線的焦點(diǎn)在y軸上,結(jié)論如何,請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合點(diǎn)差法自己動(dòng)手推理試試.點(diǎn)差法應(yīng)用題型:1.以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程2.過定點(diǎn)的弦和平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)軌跡3.圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱問題4.求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程或離心率等5.與中點(diǎn)弦有關(guān)的證明定值,求參數(shù)范圍,存在性問題等等注意事項(xiàng):利用點(diǎn)差法時(shí),有時(shí)要驗(yàn)證求出的結(jié)果是否滿足直線與曲線相交的要求,可用判別式分析.舉例說明:已知雙曲線的方程,問是否存在被點(diǎn)平分的弦,如果存在,求出弦所在的直線方程,如果不存在,請(qǐng)說明理由.按照常規(guī)的解法:設(shè)直線的方程為,與雙曲線方程聯(lián)立,由得,且,但是由“點(diǎn)差法”仍然可得到一條直線的斜率,顯然不符合題意,由此可見“點(diǎn)差法”是有局限性的.事實(shí)上,(1)若中點(diǎn)在圓錐曲線(包括圓)內(nèi)部,則滿足條件的直線必定存在;(2)若中點(diǎn)在圓錐曲線(包括圓)上,則滿足條件的直線必不存在;(3)若中點(diǎn)在圓錐曲線(除雙曲線外)外部,則滿足條件的直線必不存在.特別地,對(duì)于點(diǎn)在雙曲線的外部時(shí),滿足時(shí)直線必定存在,否則一定不存在(當(dāng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)屬于特殊情況,應(yīng)當(dāng)特殊考慮).拓展:定比點(diǎn)差法圓錐曲線中涉及“中點(diǎn)、中點(diǎn)弦”等問題可以考慮使用“點(diǎn)差法”.有時(shí)問題中不出現(xiàn)“中點(diǎn)”,而是“定比分點(diǎn)”,這時(shí)可以考慮使用“定比點(diǎn)差法”.定比點(diǎn)差法與點(diǎn)差法類似,都是根據(jù)某兩點(diǎn)在圓錐曲線上,則這兩點(diǎn)滿足曲線方程,然后作差.定比點(diǎn)差法代點(diǎn)后一個(gè)等式不變,另一個(gè)等式兩邊同乘以,再相減.設(shè),在二次曲線上,則,兩式作差得,即①,若,則,即②,將②代入①得③,然后根據(jù)條件進(jìn)行相應(yīng)分析即可.變式訓(xùn)練1已知直線與拋物線交于,兩點(diǎn),則線段中點(diǎn)坐標(biāo)是__________.變式訓(xùn)練2已知雙曲線,經(jīng)過點(diǎn)能否作一條直線,使與雙曲線交于、兩點(diǎn),且點(diǎn)是線段的中點(diǎn).若存在這樣的直線,求出它的方程,若不存在,請(qǐng)說明理由.變式訓(xùn)練3已知橢圓,(1)求斜率為的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程;(2)過的直線的橢圓相交,求被橢圓截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程;(3)求過點(diǎn)且被點(diǎn)平分的弦所在直線的方程.變式訓(xùn)練4已知過點(diǎn)的直線與橢圓且相交于,兩點(diǎn),中點(diǎn)坐標(biāo)為且(為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求直線的方程;(2)證明:為定值.變式訓(xùn)練5如圖,在中,,,,橢圓以,為焦點(diǎn)且過點(diǎn),點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若點(diǎn)滿足,問是否存在不平行的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且,若存在,求出直線的斜率的取值范圍,若不存在,說明理由.答案變式訓(xùn)練1設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為,則①又由點(diǎn)差法知,即②由①②知:,故所求為.變式訓(xùn)練2見解析設(shè)存在被點(diǎn)平分的弦,且,,則,.∵點(diǎn)在曲線上,∴,,兩式相減,得,∴,故直線.由消去y,得,,方程無解,故不存在這樣的直線.變式訓(xùn)練3見解析(1)設(shè)這些平行弦的方程為,弦的中點(diǎn)為.聯(lián)立直線方程和橢圓方程:,消去y得,因此,,∴,的橫縱坐標(biāo)是,,,消去得平行弦的中點(diǎn)軌跡方程為:,.(2)設(shè)弦的端點(diǎn)為,,弦的中點(diǎn)為.∴,∴,∵,因此,化簡得.(包含在橢圓內(nèi)部的部分)(3)由(2)可得弦所在直線的斜率為,因此所求直線方程是:,化簡得:.變式訓(xùn)練4見解析(1)設(shè),,∴,①-②得,∵中點(diǎn)坐標(biāo)為,∴.∴直線的方程為,聯(lián)立消去y得③于是,∵,∴,∴直線的方程為.(2)由