專題34 中考命題核心元素鉛錘法求面積（原卷版）

專題34中考命題核心元素鉛錘法求面積（原卷版）

模塊一典例剖析+針對訓練

模型一三角形面積問題

【模型解讀】作以下定義：如圖①，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩

條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂

1

高”(h)．于是可得出一種計算三角形面積的新方法：S△ABC＝ah，即三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積

2

的一半．

典例1（2022?會理縣校級模擬）鉛錘定理：一個三角形，從一條邊上的兩個頂點作垂線，且互相平行，鉛

錘定理就是一種求三角形面積的特殊方法，主要解決的是斜三角形面積問題．具體公式是：三角形面積

等于水平寬和鉛錘高乘積的一半．該三角形面積等于兩垂線乘積的一半．如圖1所示：．

△???1

應用：?=2??

（1）如圖2所示：平面直角坐標系中，點A（4，4），點B（6，2），點C（4，1）求：△OAB的面積；

（2）拋物線經(jīng)過點原點O且與x軸交于點C（6，0）直線y2＝k2x+b2經(jīng)過原點和點

2

B（4，4），點?1P=在?拋1?物+線?上1?移+動?，且在直線OB的上方．

（a）求拋物線和直線OB的解析式；

（b）當△OBP面積最大時，求P的坐標．

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針對訓練

1．（2019?沈陽）如圖，正比例函數(shù)y1＝k1x的圖象與反比例函數(shù)y2（x＞0）的圖象相交于點A（，

?2

2），點B是反比例函數(shù)圖象上一點，它的橫坐標是3，連接OB=，?AB，則△AOB的面積是．3

3

典例2（2023?岳陽縣一模）如圖，拋物線yx2﹣2x﹣6與x軸相交于點A、點B，與y軸相交于點C．

1

（1）請直接寫出點A，B，C的坐標；=2

（2）若點P是拋物線BC段上的一點，當△PBC的面積最大時求出點P的坐標，并求出△PBC面積的

最大值；

針對訓練

1．（2022?廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A（1，0），

AB＝4，點P為線段AB上的動點，過P作PQ∥BC交AC于點Q．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時P點坐標．

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2．（2022?福建）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過A（4，0），B（1，4）兩點．P是

拋物線上一點，且在直線AB的上方．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點P的坐標；

模型二四邊形面積問題

【模型解讀】求四邊形的面積問題時，可將四邊形分割成兩個三角形，從而轉(zhuǎn)變成求三角形的面積問

題．

典例3（2022?海南）如圖1，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點A（﹣1，0）、C（0，3），并交x軸于另一點B，

點P（x，y）在第一象限的拋物線上，AP交直線BC于點D．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）當點P的坐標為（1，4）時，求四邊形BOCP的面積；

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針對訓練

1．（2022秋?平陰縣期末）如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝ax2+bx+4

4

經(jīng)過A，C兩點，且與x軸的另一個交?點=為3B?，+對4稱軸為直線x＝﹣1．

（1）求拋物線的表達式；

（2）D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設點D的橫坐標為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D

點的坐標；

（3）若點P在拋物線對稱軸上，點Q為任意一點，是否存在點P、Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四

邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請直接寫出P，Q兩點的坐標，若不存在，請說明理由．

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模塊二2023中考押題預測

1．（2020春?雨花區(qū)校級月考）如圖，已知函數(shù)y＝x+3的圖象與函數(shù)y的圖象交于A、B兩點，

?

=(?≠0)

連接BO并延長交函數(shù)y的圖象于點C，連接AC，若△ABC的?面積為12，則k的值為．

?

=?(?≠0)

2．如圖，我們可以用“三角形面積等于水平寬（a）與鉛垂高（h）乘積的一半”的方法來計算三角形面積．已

知開口向下的拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0）、B（5，0）兩點，交y軸于點C（0，5）

（1）求拋物線的解析式；

（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點M的坐標；

（3）求△BCM的面積．

3．（2021秋?梅江區(qū)校級期末）拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于點A（3，0），交y軸于點B（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點P是線段AB上方拋物線上一動點，當△PAB的面積最大值時，求出此時P點的坐標；

（3）點Q是線段AO上的動點，直接寫出AQ+BQ的最小值為．

1

2

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4．（2022秋?臨淄區(qū)期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，

與y軸交于點C（0，4），連接AC、BC．

（1）求拋物線的表達式；

（2）D為拋物線上第一象限內(nèi)一點，求△DCB面積的最大值；

（3）點P是拋物線上的一動點，當∠PCB＝∠ABC時，求點P的坐標．

5．（2020?中原區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點

（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣1，0），拋物線頂點D的坐標為（1，﹣4），

直線BC與對稱軸相交于點E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M為直線x＝1右方拋物線上的一點（點M不與點B重合），設點M的橫坐標為m，記A、B、

C、M四點所構成的四邊形面積為S，若S＝3S△BCD，請求出m的值；

（3）點P是線段BD上的動點，將△DEP沿邊EP翻折得到△D'EP，是否存在點P，使得△D'EP與△

BEP的重疊部分圖形為直角三角形？若存在，請直接寫出BP的長，若不存在，請說明理由．

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6．（2021?酒泉一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的

對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P

點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置

時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．

7．（2022春?李滄區(qū)期末）對于某些三角形或四邊形，我們可以直接用面積公式或者用割補法來求它們的面

積．下面我們再研究一種求某些三角形或四邊形面積的新方法：

如圖1，2所示，分別過三角形或四邊形的頂點A，C作水平線的鉛垂線l1，l2，l1，l2之間的距離d叫做

水平寬；如圖1所示，過點B作水平線的鉛垂線交AC于點D，稱線段BD的長叫做這個三角形的鉛垂

高；如圖2所示，分別過四邊形的頂點B，D作水平線l3，l4，l3，l4之間的距離h叫做四邊形的鉛垂高．

【結(jié)論提煉】

容易證明：“三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半”，即“Sdh”

1

【結(jié)論應用】=2

為了便于計算水平寬和鉛垂高，我們不妨借助平面直角坐標系．

已知：如圖3，點A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），則△ABC的水平寬為10，鉛垂高為，

所以△ABC面積的大小為．

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【再探新知】

三角形的面積可以用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”來求，那四邊形的面積是不是也可以這樣求呢？帶

著這個問題，我們進行如下探索：

（1）在圖4所示的平面直角坐標系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四個點，

得到四邊形ABCD．運用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進行計算得到四邊形ABCD面積的大小

是；用其它的方法進行計算得到其面積的大小是，由此發(fā)現(xiàn)：用“Sdh”這一方法

1

對求圖4中四邊形的面積．（填“適合”或“不適合”）=2

（2）在圖5所示的平面直角坐標系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四個點，

得到了四邊形ABCD．運用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進行計算得到四邊形ABCD面積的大小

是，用其它的方法進