廣東省清遠市清新區(qū)四校2024-2025學年高三上學期期末聯(lián)考試題 數(shù)學 含解析

第1頁/共1頁清新區(qū)2024-2025學年高三上學期12月期末四校聯(lián)考數(shù)學試題滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.復數(shù)等于它共軛復數(shù)的倒數(shù)的充要條件是（）A. B. C. D.3.在等比數(shù)列中，，則（）A.4 B. C.8 D.54.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.5.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點，點P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點，直線PF2與圓O相交于M，N兩點．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.6.過圓上一點作圓兩條切線，切點分別為，，若，則實數(shù)（）A. B. C. D.7.甲、乙、丙等5名同學參加政史地三科知識競賽，每人隨機選擇一科參加競賽，則甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加概率為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、多選題（本題共4小題，每小題6分，共24分．每題至少兩項是符合題目要求的．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．）9.在正方體中，M，N，P分別是面，面，面的中心，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.平面C.平面 D.與所成角是10.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為2C.若，則的最大值為2D.若，則11.已知圓，圓分別是圓與圓上的點，則（）A若圓與圓無公共點，則B.當時，兩圓公共弦所在直線方程為C.當時，則斜率的最大值為D.當時，過點作圓兩條切線，切點分別為，則不可能等于12.已知函數(shù)，，其中且．若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當時，有且只有一個零點B.當時，有兩個零點C.當時，曲線與曲線有且只有兩條公切線D.若為單調(diào)函數(shù)，則三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分）13.第二屆廣東自由貿(mào)易試驗區(qū)一聯(lián)動發(fā)展區(qū)合作交流活動于2023年12月13日—14日在湛江舉行，某區(qū)共有4名代表參加，每名代表是否被抽到發(fā)言相互獨立，且概率均為，記為該區(qū)代表中被抽到發(fā)言的人數(shù)，則______.14.函數(shù)是奇函數(shù)，則__________.15.已知向量，，則使成立的一個充分不必要條件是______________．16.如圖，在四棱柱中，底面ABCD為正方形，，，，且二面角的正切值為．若點P在底面ABCD上運動，點Q在四棱柱內(nèi)運動，，則的最小值為______．四、解答題（本題共6小題，共70分）17.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，求的最小值.18.設是等比數(shù)列且公比大于0，其前項和為是等差數(shù)列，已知，．（1）求的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，求滿足的最大整數(shù)的值．19.在四棱錐中，底面是正方形，若，，，（1）求四棱錐的體積；（2）求直線與平面夾角正弦值．20.甲?乙兩隊進行籃球比賽，采取五場三勝制（當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主”，設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立．（1）在比賽進行4場結(jié)束的條件下，求甲隊獲勝的概率；（2）賽事主辦方需要預支球隊費用萬元．假設主辦方在前3場比賽每場收入100萬元，之后的比賽每場收入200萬元．主辦方該如何確定的值，才能使其獲利（獲利=總收入預支球隊費用）的期望高于萬元？21.拋物線：，雙曲線：且離心率，過曲線下支上的一點作的切線，其斜率為.（1）求的標準方程；（2）直線與交于不同的兩點，，以PQ為直徑的圓過點，過點N作直線的垂線，垂足為H，則平面內(nèi)是否存在定點D，使得DH為定值，若存在，求出定值和定點D的坐標；若不存在，請說明理由.22.已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為2，漸近線的斜率為2．（1）求雙曲線的方程；（2）設過點的直線與曲線交于兩點，問在軸上是否存在定點，使得為常數(shù)？若存在，求出點的坐標及此常數(shù)的值；若不存在，說明理由．清新區(qū)2024-2025學年高三上學期12月期末四校聯(lián)考數(shù)學試題滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合，再根據(jù)交集定義得解.【詳解】∵，，∴，故選：D.2.復數(shù)等于它共軛復數(shù)的倒數(shù)的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】令則．由得，故選B．3.在等比數(shù)列中，，則（）A.4 B. C.8 D.5【答案】A【解析】【分析】由等比數(shù)列基本量的計算首先得公比，進一步得首項，由此即可得解.【詳解】由題意，所以，即等比數(shù)列公比為，所以，解得，所以.故選：A.4.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把拋物線方程化為標準形式，結(jié)合準線方程的特點進行求解即可.【詳解】拋物線C的標準方程為，所以其準線方程為，故選：B5.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點，點P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點，直線PF2與圓O相交于M，N兩點．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，，有，，，由弦長公式可得，，四邊形AMBN的面積為，解得，可求雙曲線的離心率.【詳解】根據(jù)對稱性不妨設點P在第一象限，如圖所示，圓O：，圓心為，半徑為，設，，點P在雙曲線上，，則有，，可得，過O作MN的垂線，垂足為D，O為的中點，則，，同理，，由，四邊形AMBN的面積為，，化簡得，則有，則C的離心率.故選：D6.過圓上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，若，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取圓上任意一點P，過P作圓的兩條切線，，根據(jù)題中條件，求出，進而可求出結(jié)果.【詳解】取圓上任意一點P，過P作圓的兩條切線，，當時，且，；則，所以實數(shù).故選：C【點睛】本題主要考查求由直線與圓相切求參數(shù)，屬于基礎題型.7.甲、乙、丙等5名同學參加政史地三科知識競賽，每人隨機選擇一科參加競賽，則甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由排列組合知識結(jié)合概率公式即可得解.【詳解】因為甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，若每個同學可以自由選擇，所以3科的選擇數(shù)有2，2，1和3，1，1兩種分配方案，當分配方案為2，2，1時，共有種不同的選擇方案；當分配方案為3，1，1時，共有種不同的選擇方案；所以滿足要求的不同選擇種數(shù)為；所以甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為.故選：C.8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的最值性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為得，則，所以由題意可得，，解得.故選：D二、多選題（本題共4小題，每小題6分，共24分．每題至少兩項是符合題目要求的．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．）9.在正方體中，M，N，P分別是面，面，面的中心，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.平面C.平面 D.與所成的角是【答案】ABD【解析】【分析】A．利用三角形中位線進行證明；B．通過線面平行的定理證明；C．通過線面垂直的性質(zhì)進行判斷；D．通過平行的傳遞性找出即為與所成的角，即可求出答案．【詳解】連接，則是的中位線，∴，故A正確；連接，，則，平面，平面，∴平面，即平面，故B正確；連接，則平面即為平面，顯然不垂直平面，故C錯誤；∵，∴或其補角為與所成的角，，故D正確．故選：ABD．10.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為2C.若，則的最大值為2D.若，則【答案】AD【解析】【分析】利用作差法比較大小判斷A，利用基本（均值）不等式判斷BCD，要注意“一正二定三相等”.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以，故A正確；因為的等號成立條件不成立，所以B錯誤；因為，所以，故C錯誤；因為，當且僅當，即時，等號成立，所以D正確.故選：AD11.已知圓，圓分別是圓與圓上的點，則（）A.若圓與圓無公共點，則B.當時，兩圓公共弦所在直線方程為C.當時，則斜率的最大值為D.當時，過點作圓兩條切線，切點分別為，則不可能等于【答案】BC【解析】【分析】對于A，當兩圓內(nèi)含時即可判斷錯誤；對于B，兩圓方程相減即可驗算；對于C，畫出公切線通過數(shù)形結(jié)合即可驗算；對于D，畫出圓兩條切線，通過數(shù)形結(jié)合即可驗算.【詳解】對于選項A，當兩圓內(nèi)含時，可以無窮大，所以A不正確；當時兩圓相交，兩圓的方程作差可以得公共弦的直線方程為，所以B為正確選項；對于選項B，當時如圖，和為兩條內(nèi)公切線，且，由平面幾何知識可知，所以可得，即斜率的最大值為，C選項正確；對于D選項，如圖，點P在位置時，點在位置時，所以中間必然有位置使得，故D錯誤.故選：BC.【點睛】關鍵點睛：判斷CD兩選項的關鍵是準確畫出圖形，通過數(shù)形結(jié)合即可順利得解.12.已知函數(shù)，，其中且．若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當時，有且只有一個零點B.當時，有兩個零點C.當時，曲線與曲線有且只有兩條公切線D.若為單調(diào)函數(shù)，則【答案】BCD【解析】【分析】A.通過舉特例說明該選項錯誤；B.考慮，求出函數(shù)的單調(diào)性，分析圖象得到有兩個零點；C．求出兩曲線的切線方程，再建立方程組，轉(zhuǎn)化為零點個數(shù)問題分析得解；D.分單調(diào)遞增和單調(diào)遞減討論，從而求出得解.【詳解】對A，令，令或都成立，有兩個零點，故A錯誤；對B，令，（）.考慮所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，.考慮所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當時，,所以當時，有兩個零點.此時，故B正確；對C，設，.設切點所以.①②,,設，所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，因為，所以所以有兩解，所以當時，曲線與曲線有且只有兩條公切線，所以該選項正確；對D，若單調(diào)遞增，則..考慮不滿足.若單調(diào)遞減，則.所以考慮不滿足.當時，不滿足.當時，，∴.故D正確.故選：BCD【點睛】關鍵點睛：本題主要有四個關鍵，其一，是邏輯思維，證明命題是錯誤的，只要舉出反例即可；其二，要熟練掌握利用導數(shù)討論函數(shù)的零點個數(shù)；其三，是理解掌握曲線公切線的研究方法；其四，要會根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍.三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分）13.第二屆廣東自由貿(mào)易試驗區(qū)一聯(lián)動發(fā)展區(qū)合作交流活動于2023年12月13日—14日在湛江舉行，某區(qū)共有4名代表參加，每名代表是否被抽到發(fā)言相互獨立，且概率均為，記為該區(qū)代表中被抽到發(fā)言的人數(shù)，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意可知隨機變量為，利用方差公式從而可求解.【詳解】由題意知隨機變量為，所以，故答案：.14.函數(shù)是奇函數(shù)，則__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)運算，即可求解，再代入函數(shù)解析式求值.【詳解】因為，所以，因為是奇函數(shù)，所以，即，所以，解得，則.故答案為：115.已知向量，，則使成立的一個充分不必要條件是______________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)向量坐標運算公式將原問題轉(zhuǎn)化為的一個充分不必要條件進而求解.【詳解】因為，，所以，，所以，解得，所以使成立的一個充分不必要條件是.故答案為：（答案不唯一）16.如圖，在四棱柱中，底面ABCD為正方形，，，，且二面角的正切值為．若點P在底面ABCD上運動，點Q在四棱柱內(nèi)運動，，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】先求得到平面的距離，然后利用對稱法以及三點共線等知識求得的最小值.【詳解】連接，交于，設是的中點，連接.由于，是的中點，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，，由于分別是的中點，所以，由于，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以是二面角的平面角，所以，所以，由于，所以，所以三角形是等腰直角三角形，所以，由于平面，所以平面，且.由于，所以點的軌跡是以為球心，半徑為的球面在四棱柱內(nèi)的部分，關于平面的對稱點為，連接，交平面于，所以的最小值為.故答案為：【點睛】求解二面角有關問題，關鍵是找到二面角的平面角，二面角的平面角的定義是：在二面角的交線上任取一點，然后在兩個半平面內(nèi)作交線的垂線，所得角也即是二面角的平面角.四、解答題（本題共6小題，共70分）17.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若，求的最小值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化可得，進而可求解，（2）根據(jù)面積公式以及余弦定理，結(jié)合基本不等式即可求解.【小問1詳解】由正弦定理得：，又，，，；【小問2詳解】，，由余弦定理得：，當且僅當時等號成立，，即的最小值為.18.設是等比數(shù)列且公比大于0，其前項和為是等差數(shù)列，已知，．（1）求的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，求滿足的最大整數(shù)的值．【答案】（1），；（2）9.【解析】【分析】（1）利用等差和等比數(shù)列的通項公式求解；（2）先拆項分母得，再利用裂項相消法求和，進而解不等式求滿足的最大整數(shù)的值.【小問1詳解】設的公比為，因為，所以，即，解得或（舍），所以，設的公差為，因，所以，所以，解得，所以．故，.【小問2詳解】，即.所以.，化簡得，又，解得.所以滿足的最大整數(shù).19.在四棱錐中，底面是正方形，若，，，（1）求四棱錐的體積；（2）求直線與平面夾角正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，可證平面，則為四棱錐的高，利用錐體體積公式求解即可；（2）建立空間直角坐標系，求直線的方向向量和平面的法向量，線面角的正弦值即為直線的方向向量與平面的法向量夾角余弦值的絕對值，求解即可.【小問1詳解】取的中點，連接，，因為，所以，又，，所以，在正方形中，，所以，所以，又，所以，即，又，平面，平面，所以平面，所以四棱錐的體積為；【小問2詳解】過作交于，則，結(jié)合（1）中平面，故可建如圖空間直角坐標系：則，，，D0,1,0，故，，，設平面法向量為，則，故，取，則，，所以，設直線與平面夾角為，則，所以直線與平面夾角的正弦值為.20.甲?乙兩隊進行籃球比賽，采取五場三勝制（當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主”，設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立．（1）在比賽進行4場結(jié)束的條件下，求甲隊獲勝的概率；（2）賽事主辦方需要預支球隊費用萬元．假設主辦方在前3場比賽每場收入100萬元，之后的比賽每場收入200萬元．主辦方該如何確定的值，才能使其獲利（獲利=總收入預支球隊費用）的期望高于萬元？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出比賽4場結(jié)束的概率，然后利用條件概率公式即可解答；（2）先由題意列出比賽收入的分布列，從而求出期望值，進而根據(jù)題意確定的值.【小問1詳解】記事件為“比賽進行4場結(jié)束”；事件為“甲最終獲勝”，事件表示“第場甲獲勝”，事件為“比賽進行4場結(jié)束甲獲勝”；事件為“比賽進行4場結(jié)束乙獲勝”．則，因為各場比賽結(jié)果相互獨立，所以，，因為互斥，所以．又因為，所以由條件概率計算公式得.【小問2詳解】設主辦方本次比賽總收入為萬元，由題意：的可能取值為：．，，，則隨機變量的分布列為：3005007000.260.370.37所以．設主辦方本次比賽獲利為萬元，則，所以，由題意：，所以預支球隊的費用應小于261萬元．21.拋物線：，雙曲線：且離心率，過曲線下支上的一點作的切線，其斜率為.（1）求的標準方程；（2）直線與交于不同的兩點，，以PQ為直徑的圓過點，過點N作直線的垂線，垂足為H，則平面內(nèi)是否存在定點D，使得DH為定值，若存在，求出定值和定點D的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，，定點.【解析】【分析】（1）寫出切線方程并與拋物線方程聯(lián)立求出點M坐標，再結(jié)合離心率求出雙曲線方程作答.（2）當直線PQ不垂直于y軸時，設出直線方程并與的方程聯(lián)立，借助韋達定理及向量數(shù)量積求出直線PQ過定點E，直線PQ垂直于y軸，驗證也過定點E，取線段EN中點即可作答.【小問1詳解】切線