2024-2025學年新教材高中數(shù)學第2章等式與不等式2.2不等式2.2.2不等式的解集2.2.3一元二次不等式的解法學案含解析新人教B版必修第一冊

PAGE12-2.2.2.3學習目標核心素養(yǎng)1.駕馭不等式的解集及不等式組的解集．2．解肯定值不等式．(重點、難點)3．駕馭一元二次不等式的解法．(重點)4．能依據(jù)“三個二次”之間的關系解決簡潔問題．(難點)1.通過數(shù)學抽象理解肯定值不等式．2．通過一元二次不等式的學習，培育數(shù)學運算素養(yǎng)．如圖為某三岔路口交通環(huán)道的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口A，B，C的機動車輛如圖所示，圖中x1，x2，x3分別表示該時段單位時間通過路段eq\o(AB,\s\up10(︵))，eq\o(BC,\s\up10(︵))，eq\o(CA,\s\up10(︵))的機動車輛數(shù)(假設：單位時間內，在上述路段中，同一路段上駛入與駛出車輛數(shù)相等).問題(1)你能用x3，x1，x2分別表示出x1，x2，x3嗎？(2)你能推斷出x1，x2，x3的大小嗎？1．不等式的解集與不等式組的解集一般地，不等式的全部解組成的集合稱為不等式的解集．對于由若干個不等式聯(lián)立得到的不等式組來說，這些不等式的解集的交集稱為不等式組的解集．2．肯定值不等式一般地，含有肯定值的不等式稱為肯定值不等式．思索1：你能總結出若a＞0，|x|＞a與|x|＜a的解集嗎？[提示]不等式|x|＜a|x|＞a解集{x|－a＜x＜a}{x|x＞a或x＜－a}3.數(shù)軸上兩點之間的距離公式、中點坐標公式一般地，假如實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的點分別為A，B，即A(a)，B(b)，則線段AB的長為AB＝|a－b|，這就是數(shù)軸上兩點之間的距離公式．數(shù)軸上線段AB的中點坐標公式為x＝eq\f(a＋b,2).4.一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式稱為一元二次不等式，其中a，b，c是常數(shù)，而且a≠0.5．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0).(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0).(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0).(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0).思索2：不等式x2－y2>0是一元二次不等式嗎？[提示]此不等式含有兩個變量，依據(jù)一元二次不等式的定義，可知不是一元二次不等式．6．一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元二次不等式的解集．思索3：類比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一個元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含義是什么？[提示]不等式x2>1的解集為{x|x<－1或x>1}，該集合中每一個元素都是不等式的解，即不等式的每一個解均使不等式成立．[拓展]一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通過配方總是可以變?yōu)?x－h(huán))2＞k或(x－h(huán))2＜k的形式．(1)當k≥0時，(x－h(huán))2＞k的解集為(－∞，h－eq\r(k))∪(h＋eq\r(k)，＋∞)；(x－h(huán))2＜k的解集為(h－eq\r(k)，h＋eq\r(k)).(2)當k＜0時，(x－h(huán))2＞k的解集為R；(x－h(huán))2＜k的解集為.1．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)不等式3x－1≥－4的解集為(－∞，－1]. ()(2)構成不等式組的各個不等式的解集的并集稱為不等式組的解集． ()(3)|a－2|表示數(shù)軸上表示a的點與表示2的點之間的距離． ()[答案](1)×(2)×(3)√2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1＜x＜\f(1,3))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＜x＜1))))C. D．RD[因為Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集為R.]3．(教材P67練習B①改編)不等式|x|－3＜0的解集為________.{x|－3＜x＜3}[不等式變形為|x|＜3，解集為{x|－3＜x＜3}．]4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集為________．[原不等式變形為3x2－5x＋4<0.因為Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0無解．3x2－5x＋4<0的解集為.]求不等式組的解集【例1】(教材P64例1改編)不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1≤0，x＋3＞0))的解集是()A.x＞－3 B．－3≤x＜2C.－3＜x≤2 D．x≤2C[eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1≤0，①,x＋3＞0，②))解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞－3，∴不等式組的解集為－3＜x≤2，故選C.]一元一次不等式組解集的求解策略(1)一元一次不等式組的解集就是每個不等式解集的交集；(2)求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到(無解).eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5＞3x＋2，,\f(x＋4,3)≤\f(3x＋3,4)＋1，))并在數(shù)軸上表示該不等式組的解集．[解]eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5＞3x＋2，①,\f(x＋4,3)≤\f(3x＋3,4)＋1，②))由①得，x＜3，由②得，x≥－1，故此不等式組的解集為{x|－1≤x＜3}，在數(shù)軸上表示為：解肯定值不等式[探究問題]1．若|x|＝|a|，是否肯定有x＝a?[提示]不肯定，x＝a或x＝－a.2．|x|的幾何意義是什么？提示：|x|表示數(shù)軸上坐標為x的點到原點的距離，即|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x＜0.))【例2】不等式|5－4x|＞9的解集為________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜－1或x＞\f(7,2)))))[∵|5－4x|＞9，∴5－4x＞9或5－4x＜－9.∴4x＜－4或4x＞14，∴x＜－1或x＞eq\f(7,2).∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜－1或x＞\f(7,2))))).]1．(變設問)不等式|5－4x|≤9的解集為________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(7,2)))))[∵|5－4x|≤9，∴－9≤4x－5≤9.∴－1≤x≤eq\f(7,2)，∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(7,2))))).]2．(變設問)若不等式|kx－5|≤9的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(7,2)))))，則實數(shù)k＝________．4[由|kx－5|≤9?－4≤kx≤14.∵不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(7,2)))))，∴k＝4.]1．|x|＜a與|x|＞a型不等式的解法不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a{x|－a＜x＜a}|x|＞a{x|x＞a或x＜－a}{x|x∈R且x≠0}R2.|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；(2)|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.一元二次不等式的解法【例3】(教材P70例2改編)求下列不等式的解集：(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－eq\f(81,4)≥0；(3)－2x2＋3x－2<0.[解](1)因為Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有兩個不等實根x1＝－3，x2＝－eq\f(1,2)，所以原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,2)或x<－3)))).(2)原不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(9,2)))eq\s\up12(2)≤0，所以原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,4))))).(3)原不等式可化為2x2－3x＋2>0，因為Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實根，所以原不等式的解集為R.解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)化標準．通過對不等式的變形，使不等式右側為0，使二次項系數(shù)為正．(2)判別式．對不等式左側因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判別式．(3)求實根．求出相應的一元二次方程的根或依據(jù)判別式說明方程有無實根．(4)畫草圖．依據(jù)一元二次方程根的狀況畫出對應的二次函數(shù)的草圖．(5)寫解集．依據(jù)圖像寫出不等式的解集．eq\a\vs4\al([跟進訓練])2．解下列不等式．(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0.[解](1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－eq\f(1,2)，x2＝2，∴不等式2x2－3x－2>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)或x>2)))).(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，∴不等式x2－4x＋4>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠2)).(3)原不等式可化為x2－2x＋3>0，由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0無解，∴不等式－x2＋2x－3<0的解集為R.(4)原不等式可化為3x2－5x＋2<0，由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的兩根為x1＝eq\f(2,3)，x2＝1，∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)<x<1)))).含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例4】解關于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.[思路點撥]①對于二次項的系數(shù)a是否分a＝0，a<0，a>0三類進行探討？②當a≠0時，是否還要比較兩根的大小？[解]當a＝0時，原不等式可化為x>1.當a≠0時，原不等式可化為(ax－1)(x－1)<0.當a<0時，不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，∵eq\f(1,a)<1，∴x<eq\f(1,a)或x>1.當a>0時，原不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0.若eq\f(1,a)<1，即a>1，則eq\f(1,a)<x<1；若eq\f(1,a)＝1，即a＝1，則x∈；若eq\f(1,a)>1，即0<a<1，則1<x<eq\f(1,a).綜上所述，當a<0時，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a))或x>1)))；當a＝0時，原不等式的解集為{x|x>1}；當0<a<1時，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))；當a＝1時，原不等式的解集為；當a>1時，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)))).解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟提示：對參數(shù)分類探討的每一種狀況是相互獨立的一元二次不等式的解集，不能合并．eq\a\vs4\al([跟進訓練])3．解關于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0).[解]原不等式移項得ax2＋(a－2)x－2≥0，化簡為(x＋1)(ax－2)≥0.∵a<0，∴(x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))≤0.當eq\f(2,a)＜－1時，即－2＜a＜0時，解得eq\f(2,a)≤x≤－1；當eq\f(2,a)＝－1時，即a＝－2時，解得x＝－1；當eq\f(2,a)＞－1時，即a＜－2時，解得－1≤x≤eq\f(2,a).綜上所述，當－2<a<0時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)≤x≤－1))))；當a＝－2時，不等式的解集為{x|x＝－1}；當a<－2時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(2,a))))).二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間的關系[探究問題]1．利用函數(shù)y＝x2－2x－3的圖像說明當y>0、y<0、y＝0時x的取值集合分別是什么？這說明二次函數(shù)與二次方程、二次不等式有何關系？[提示]y＝x2－2x－3的圖像如圖所示．函數(shù)y＝x2－2x－3的值滿意y>0時自變量x組成的集合，亦即二次函數(shù)y＝x2－2x－3的圖像在x軸上方時點的橫坐標x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，滿意y<0時x的取值集合為{x|－1<x<3}，滿意y＝0時x的取值集合，亦即y＝x2－2x－3圖像與x軸交點橫坐標組成的集合{－1，3}．這說明：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一種特別狀況，它們之間是一種包含關系，也就是當y＝0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就轉化為方程，當y>0或y<0時，就轉化為一元二次不等式．2．方程x2－2x－3＝0與不等式x2－2x－3>0的解集分別是什么？視察結果你發(fā)覺什么問題？這又說明什么？[提示]方程x2－2x－3＝0的解集為{－1，3}．不等式x2－2x－3>0的解集為{x|x<－1或x>3}，視察發(fā)覺不等式x2－2x－3>0解集的端點值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．3．設一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分別為{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，則x1＋x2，x1x2為何值？[提示]一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分別為{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(b,a)，,x1x2＝\f(c,a)，))即不等式的解集的端點值是相應方程的根．【例5】已知關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}，求關于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[思路點撥]eq\x(\a\al(由給定不等式,的解集形式))→eq\x(\a\al(確定a<0及關于,a，b，c的方程組))→eq\x(用a表示b，c)→eq\x(\a\al(代入所求,不等式))→eq\x(\a\al(求解cx2＋bx＋a<0,的解集))[解]法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由根與系數(shù)的關系可知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6.由a<0知c<0，eq\f(b,c)＝eq\f(－5,6)，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)>0，即x2－eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)>0，解得x<eq\f(1,3)或x>eq\f(1,2)，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,3)或x＞\f(1,2))))).法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a?b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0?6aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<0，故原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,3)或x＞\f(1,2))))).1．(變結論)本例中的條件不變，求關于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．[解]由根與系數(shù)的關系知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6且a<0.∴c<0，eq\f(b,c)＝－eq\f(5,6)，故不等式cx2－bx＋a>0，即x2－eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)<0，即x2＋eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)<0.解得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<－\f(1,3))))).2．(變條件)若將本例中的條件“關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}”變?yōu)椤瓣P于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[解]由ax2＋bx＋c≥0的解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))知a＜0.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2＝eq\f(c,a)＜0，則c＞0.又－eq\f(1,3)，2為方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，∴－eq\f(b,a)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(b,a)＝－eq\f(5,3).又eq\f(c,a)＝－eq\f(2,3)，∴b＝－eq\f(5,3)a，c＝－eq\f(2,3)a，∴不等式變?yōu)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a))x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)a))x＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，所求不等式的解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3＜x＜\f(1,2))))).已知以a，b，c為參數(shù)的不等式（如ax2＋bx＋c＞0）的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循：（1）依據(jù)解集來推斷二次項系數(shù)的符號；（2）依據(jù)根與系數(shù)的關系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；（3）約去a，將不等式化為詳細的一元二次不等式求解．學問：1．不等式(組)的解集要寫成集合形式，不等式組的解集是每個不等式解集的交集．2．解肯定值不等式的關鍵就是去掉肯定值，利用肯定值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想．3．含參數(shù)的一元二次型的不等式在解含參數(shù)的一元二次型的不等式時，往往要對參數(shù)進行分類探討，為了做到分類“不重不漏”，探討需從如下三個方面進行考慮：(1)關于不等式類型的探討：二次項系數(shù)a＞0，a＜0，a＝0.(2)關于不等式對應的方程根的探討：兩根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，無根(Δ<0).(3)關于不等式對應的方程根的大小的探討：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.4．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函數(shù)的開口及與x軸的交點坐標．方法：解一元二次不等式的常見方法(1)圖像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟：①化不等式為標準形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并畫出對應