重難點(diǎn)專項(xiàng)突破04二次函數(shù)綜合（5種題型）（解析版）

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破04二次函數(shù)綜合（5種題型）【題型細(xì)目表】題型一：線段周長(zhǎng)問題題型二：面積問題題型三：角度問題題型四：特殊三角形問題題型五：特殊四邊形問題【考點(diǎn)剖析】題型一：線段周長(zhǎng)問題一、解答題1．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線，交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，已知A的橫坐標(biāo)為－1．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．（用含b的代數(shù)式表示）（2）拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，連結(jié)BC，平移線段CB，使點(diǎn)C與D重合，此時(shí)點(diǎn)B恰好落在拋物線上，求b的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)A、B兩點(diǎn)關(guān)于二次函數(shù)的對(duì)稱軸對(duì)稱，求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)的坐標(biāo)，求出的關(guān)系式，根據(jù)平移求出的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)，求得值．【詳解】解（1）∵∴對(duì)稱軸：直線∴∵點(diǎn)橫坐標(biāo)為－1∴（2）把代入得：，即∵平移線段CB，使C與D重合點(diǎn)∴B平移后得點(diǎn)∵點(diǎn)B在拋物線上∴解得∵∴【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，涉及到了點(diǎn)的平移變換和一元二次方程，熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和點(diǎn)的平移規(guī)則是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0），B（5，0）．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)過點(diǎn)C（0，m）作直線軸交拋物線于點(diǎn)P，Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），若，求m的值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）把點(diǎn)A（-1，0），B（5，0）代入拋物線表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）根據(jù)已知QC=3PC，可設(shè)點(diǎn)P（-n，m），點(diǎn)Q（3n，m），然后代入（1）中二次函數(shù)表達(dá)式即可解答．【詳解】（1）把點(diǎn)A（-1，0），B（5，0）代入拋物線y=ax2+bx-3中可得：，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為：；（2）∵PQ∥x軸，QC=3PC，∴設(shè)點(diǎn)P（-n，m），點(diǎn)Q（3n，m），把點(diǎn)P（-n，m），點(diǎn)Q（3n，m）代入中可得：，解得：，∴m的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將拋物線平移后得到拋物線，兩拋物線與軸分別交于點(diǎn)，．拋物線，的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，過點(diǎn)作軸的平行線，分別交拋物線，于點(diǎn)，．(1)求拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)求線段和的長(zhǎng)度．【答案】(1)對(duì)稱軸；點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-3(2)；【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸公式直接求拋物線P1的對(duì)稱軸，以及A，E關(guān)于對(duì)稱軸x=-1對(duì)稱和點(diǎn)E的橫坐標(biāo)直接求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；（2）求出P2的對(duì)稱軸，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而求得AB的長(zhǎng)，把分別代入兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式，求得，從而求得CD的長(zhǎng)．【詳解】（1）拋物線的對(duì)稱軸∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（2）拋物線的對(duì)稱軸∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4∴把分別代入兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式，得即由題意，當(dāng)時(shí)，，．∴【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是判斷點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱軸x=-1對(duì)稱，點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱．4．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)l1：y＝x2+6x+5k和l2：y＝kx2+6kx+5k，其中k≠0且k≠1．(1)分別直接寫出關(guān)于二次函數(shù)l1和l2的對(duì)稱軸及與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若兩條拋物線l1和l2相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)k的值發(fā)生變化時(shí)，判斷線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化，并說明理由；(3)在（2）中，若二次函數(shù)l1的頂點(diǎn)為M，二次函數(shù)l2的頂點(diǎn)為N；①當(dāng)k為何值時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線EF對(duì)稱？②是否存在實(shí)數(shù)k，使得MN＝2EF？若存在，求出實(shí)數(shù)k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)l1的對(duì)稱軸為x＝﹣3，和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，5k)；l2的對(duì)稱軸為x＝﹣3，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)(0，5k)(2)不發(fā)生變化，見解析(3)①k為﹣1；②或﹣【分析】（1）二次函數(shù)l1的對(duì)稱軸為x＝﹣＝﹣＝﹣3，令x＝0，則y＝5k，故該拋物線和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5k）；同理可得l2的對(duì)稱軸為x＝﹣3，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（0，5k）；（2）可令y1＝y(tǒng)2，求出點(diǎn)E、F的橫坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，進(jìn)行得到EF的長(zhǎng)，就可解決問題；（3）易得點(diǎn)M、N的坐標(biāo)及直線EF的關(guān)系式，然后根據(jù)條件建立關(guān)于k的方程，就可解決問題．（1）解：二次函數(shù)l1的對(duì)稱軸為x＝﹣＝﹣＝﹣3，令x＝0，則y＝5k，故該拋物線和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5k）；同理可得：l2的對(duì)稱軸為x＝﹣3，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（0，5k）；（2）解：線段EF的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，理由：當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，x2+6x+5k＝kx2+6kx+5k，整理得：（k﹣1）（x2+6x）＝0．∵k≠1，∴x2+6x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣6．不妨設(shè)點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣6，5k），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，5k），∴EF＝|0﹣（﹣6）|＝6，∴線段EF的長(zhǎng)度不發(fā)生變化；（3）解：①由y1＝x2+6x+5k＝（x+3）2+5k﹣9得M（﹣3，5k﹣9），由y2＝kx2+6kx+5k＝k（x+3）2﹣4k得N（﹣3，﹣4k）．∵直線EF的關(guān)系式為y＝5k，且點(diǎn)M與N關(guān)于直線EF對(duì)稱，∴﹣4k﹣5k＝5k﹣（5k﹣9），解得：k＝﹣1，∴當(dāng)k為﹣1時(shí)，點(diǎn)M與N關(guān)于直線EF對(duì)稱；②∵M(jìn)N＝|（5k﹣9）﹣（﹣4k）|＝|9k﹣9|，MN＝2EF＝12，∴|9k﹣9|＝12，解得k1＝，k2＝﹣，∴實(shí)數(shù)k為或﹣．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、解一元二次方程、軸對(duì)稱的性質(zhì)、解絕對(duì)值方程等知識(shí)，需要注意的是當(dāng)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同時(shí)，兩點(diǎn)之間的距離應(yīng)為這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值．5．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)期末）如圖，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)判斷的形狀，證明你的結(jié)論；(3)點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的最小周長(zhǎng)；(4)在該拋物線位于第四象限內(nèi)的部分上是否存在點(diǎn)，使得的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)拋物線的解析式為：；(2)是直角三角形(3)，的最小周長(zhǎng)為：(4)存在，【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，解出，得到拋物線的解析式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)（1）得拋物線的解析式，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理即可；（3）當(dāng)點(diǎn)在與對(duì)稱軸的交點(diǎn)上，根據(jù)點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)稱點(diǎn)，連接，則且，，三點(diǎn)在一條直線上，距離最短，設(shè)的解析式為：，求出的解析式，則得到點(diǎn)的坐標(biāo)，即可；（4）以為底，則，當(dāng)點(diǎn)到的距離最遠(yuǎn)時(shí)，的面積最大如圖所示，作直線,當(dāng)直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，最大，交點(diǎn)即為點(diǎn)．【詳解】（1）∵點(diǎn)在拋物線上，∴，∴，∴拋物線的解析式為：；∵頂點(diǎn)坐標(biāo)公式為：，∴點(diǎn)．∴拋物線的解析式為：；．（2）∵拋物線與軸交于點(diǎn)，∴，，∴，∵拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，∴，∴，，∴點(diǎn)，∴，，，∵；；，∴，∴是直角三角形．（3）∵點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)在與對(duì)稱軸的交點(diǎn)上，∴此時(shí)，，三點(diǎn)在一條直線上，距離最短，；設(shè)的解析式為：，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)；∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，的最小周長(zhǎng)為：．（4）存在，理由如下：∵以為底，∴，當(dāng)點(diǎn)到的距離最遠(yuǎn)時(shí)，的面積最大，作直線，且與僅有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，∵，∴，即，∵直線與僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得，∴直線的解析式為：，由，解得，∴點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與幾何的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解析式，勾股定理的逆定理，線段的距離．6．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)和一次函數(shù)．（1）求證：二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)必在一次函數(shù)的圖象上；（2）求二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；（3）已知，直線交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)，交一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】(1)證明見詳解；（2）交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a-1）或（-1，-1）；（3）證明見詳解【分析】（1）先確定出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（2）聯(lián)立二次函數(shù)的解析式與一次函數(shù)的解析式，求出方程組的解即可；（3）表示出MN的長(zhǎng)度再利用函數(shù)最值求出范圍即可得出結(jié)論【詳解】解：（1）證明：二次函數(shù)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，把代入，中左邊=-1，右邊=-1∴左邊=右邊，∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)必在一次函數(shù)的圖象上；（2）聯(lián)立解析式得：解得x=0或x=-1當(dāng)x=0時(shí)，y=a-1坐標(biāo)為（0，a-1）當(dāng)x=-1時(shí)，y=-1坐標(biāo)為（-1，-1）∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a-1）或（-1，-1）（3）證明：由題意可知，由（2）可知，當(dāng)a＞0時(shí)，-1＜x＜0有＜∴=當(dāng)時(shí)，∵∴【點(diǎn)睛】二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定，拋物線與一次函數(shù)交點(diǎn)確定，極值的確定，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．（1）求的值；（2）連結(jié)，交拋物線L的對(duì)稱軸于點(diǎn)M．①求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②將拋物線L向左平移個(gè)單位得到拋物線．過點(diǎn)M作軸，交拋物線于點(diǎn)N．P是拋物線上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作軸，交拋物線L于點(diǎn)E，點(diǎn)E在拋物線L對(duì)稱軸的右側(cè)．若，求m的值．【答案】（1）；（2）①；②1或．【分析】（1）直接運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）①求出直線AB的解析式，拋物線的對(duì)稱軸方程，代入求解即可；②根據(jù)拋物線的平移方式求出拋物線的表達(dá)式，再分三種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，得．解得的值分別為．（2）①設(shè)所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，把的坐標(biāo)分別代入表達(dá)式，得解得所在直線的函數(shù)表達(dá)式為．由（1）得，拋物線L的對(duì)稱軸是直線，當(dāng)時(shí)，．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是．②設(shè)拋物線的表達(dá)式是，軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)是．∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是，設(shè)交拋物線于另一點(diǎn)Q，∵拋物線的對(duì)稱軸是直線軸，∴根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是．（i）如圖1，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M下方，即時(shí)，，，由平移性質(zhì)得，∴∴，解得（舍去），．（ii）圖2，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M上方，點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)，即時(shí)，，，解得（舍去），（舍去）．（ⅲ）如圖3，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M上方，點(diǎn)Q在點(diǎn)P左側(cè)，即時(shí)，，，解得（舍去），．綜上所述，m的值是1或．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、拋物線的平移規(guī)律和一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合、熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）點(diǎn)為的中點(diǎn)，若有一動(dòng)點(diǎn)自點(diǎn)處出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)至軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn))，再沿直線運(yùn)動(dòng)至該拋物線對(duì)稱軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn))，最后又沿直線運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路程最短為______．(請(qǐng)直接寫出答案)【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,4）或（-2，-5）；（3）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）分兩種情況：①當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)C作CP⊥BC，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PH⊥y軸于H，得到PH=CH，設(shè)P（），則，求出a即可；②當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)B作BP⊥BC，交拋物線于點(diǎn)P，交y軸于R，過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，求出OB=OR=3，PG=RG，設(shè)P（），則，求出a即可；（3）做M點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，做C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接C交x軸于E點(diǎn)，交對(duì)稱軸于F，此時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路程最短，由勾股定理求出，即可求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑得到答案．【詳解】解：（1）將代入，得，解得，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式是；（2）存在．①當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)C作CP⊥BC，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PH⊥y軸于H，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴△BOC為等腰直角三角形，∠BCO=45°，∴∠PCH=45°，∴△PHC為等腰直角三角形，即PH=CH，設(shè)P（），則，解得（舍去），此時(shí)，∴P（1,4）；②當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)B作BP⊥BC，交拋物線于點(diǎn)P，交y軸于R，過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，∵∠CBO=45°，∴∠GPR=∠OBR=45°，∴△PRG為等腰直角三角形，∴OB=OR=3，PG=RG，設(shè)P（），則，解得（舍去），此時(shí)，∴P（-2，-5）；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,4）或（-2，-5）；（3）如圖3，做M點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，做C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接C交x軸于E點(diǎn)，交對(duì)稱軸于F∴∵此時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路程最短∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，C（0，3）∴∴∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∵C（0,3）∴∴，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線的對(duì)稱軸，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，最短路徑問題，綜合掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型二：面積問題一、解答題1．（2023·浙江衢州·?？家荒＃┤鐖D，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D為y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D，使？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)將直線BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，與直線AC交于點(diǎn)F，直接寫出BF的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（1，3）或（2，3）或（5，-3）(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法解答；（2）設(shè)D（x，y），根據(jù)題意及利用三角形面積列出方程，求出y的值后代入拋物線的解析式即可解答（3）由勾股定理解得AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理逆定理證明為直角三角形，設(shè)直線AC與直線BE交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作x軸于點(diǎn)M，由平行線分線段成比例解得FM的長(zhǎng)，求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式解答．【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入拋物線得（2）由題意可知設(shè)D（x，y），當(dāng)y=3時(shí)，由解得：或此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3）或（2，3）；當(dāng)y=-3時(shí)，由解得：或（舍去）此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，-3）；綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）為直角三角形，即如圖，設(shè)直線AC與直線BE交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作x軸于點(diǎn)M，由題意得，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、勾股定理、平行線分線段成比例、兩點(diǎn)間的距離公式等，關(guān)鍵是利用面積關(guān)系求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．2．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知拋物線經(jīng)過A(－1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)0<x<3時(shí)，直接寫出y的取值范圍；(3)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）將A與B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求出b與c的值，（2）根據(jù)圖象即可求出y的取值范圍，（3）設(shè)P（x，y），△PAB的高為|y|，AB=4，由S△PAB=10列出方程即可求出y的值，從而可求出P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)代入y＝+bx+c解得，拋物線的解析式為：，；（2），物線的對(duì)稱軸為，開口向下，y的最大值為4，如圖，0＜x＜3時(shí)，；（3）設(shè)P（x，y），△PAB的高為|y|，A（﹣1，0），B（3，0），，，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無解，當(dāng)時(shí)，，解得，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·浙江衢州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)連接，，求．(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)，，或【分析】（1）把，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求解；（2）先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到，（3）根據(jù)求出，代入解析式即可求解．【詳解】（1）解：把，兩點(diǎn)代入中，得，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：當(dāng)時(shí)，，即，∴，∵，，∴，，∴，∴，即所求面積為6；（3）解：∵，∴，∵，∴，把代入拋物線表達(dá)式得：，解得；把代入拋物線表達(dá)式得：，解得；綜述所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法及三角形的面積公式的應(yīng)用．4．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)（b為常數(shù)）的圖象相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求的值以及二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)根據(jù)圖象，直接寫出不等式的解；(3)若點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，連結(jié)，求的面積．【答案】(1)m=3，(2)或(3)3【分析】（1）由點(diǎn)在一次函數(shù)上，可將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出，然后將求出的點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出值；（2）觀察圖象找出二次函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像下方部分的自變量取值范圍即可；（3）求出點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，先計(jì)算由點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，及拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形面積，然后減去由點(diǎn)、點(diǎn)，及拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積即可．【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)在一次函數(shù)上，所以滿足，即時(shí)，可得：；將點(diǎn)代入得：，解得，故二次函數(shù)的表達(dá)式為：，綜上所得，故答案為：m=3，．（2）解：由圖象可知，一次函數(shù)與二次函數(shù)交于兩點(diǎn)，觀察圖象可以看出在或時(shí)，的圖象在圖象的下方，所以當(dāng)或時(shí)，，故答案為：或．（3）解：方法一：如圖1所示，因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，所以點(diǎn)坐標(biāo)為：，拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)，則四邊形的面積，的面積，的面積四邊形的面積的面積，的面積為，故答案為：3．

方法二：如圖2所示，過點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，，頂點(diǎn)，把代入直線方程中得：，，，的面積的面積的面積，.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，結(jié)合圖像求幾何圖形的面積及解對(duì)應(yīng)的一元二次不等式，關(guān)鍵是解題過程要始終運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法．5．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)B和點(diǎn)A（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與一次函數(shù)y＝x＋a交于點(diǎn)A和點(diǎn)D．（1）求出a、b、c的值；（2）若直線AD上方的拋物線存在點(diǎn)E，可使得△EAD面積最大，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)F為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F到（2）中的點(diǎn)E的距離與到y(tǒng)軸的距離之和記為d，求d的最小值及此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】（1），，；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，6）時(shí)，面積最大；（3）d最小值為5，此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）．【分析】（1）將A、C兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，即可得出b、c的值，將點(diǎn)A（－1，0）代入一次函數(shù)中，即可求得a的值；（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，過點(diǎn)E作x軸的垂線l，交x軸于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為.過點(diǎn)D作l的垂線，垂足為T，聯(lián)立直線方程和二次函數(shù)方程，即可得出D的坐標(biāo)，再根據(jù)，得出含m的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象，可知，當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，從而可得出E的坐標(biāo)；（3）過A作y軸的平行線AS，過F作FG⊥y軸交AS于點(diǎn)M，過F作FN⊥x軸于N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得：，即有，可知當(dāng)N、F、E所在直線與x軸垂直時(shí)，取得最小值，即可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)C（0，4），A（-1，0）在函數(shù)的圖象上，∴解得：，二次函數(shù)解析式為：，∵點(diǎn)A（－1，0）在一次一次函數(shù)上，∴,∴，一次函數(shù)解析式為：；所以，，；（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，過點(diǎn)E作x軸的垂線l，交x軸于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為.過點(diǎn)D作l的垂線，垂足為T，將與聯(lián)立組成方程組，解得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4），所以∵函數(shù)圖象開口向下，存在最大值，∴有最大值，當(dāng)時(shí)，最大值為8，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，6）；（3）過A作y軸的平行線AS，過F作FG⊥y軸交AS于點(diǎn)M，過F作FN⊥x軸于N，如圖所示：∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0）∴，∴AD平分，∴，∴顯然，當(dāng)N、F、E所在直線與x軸垂直時(shí)，最小，最小值為，此時(shí)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為1，代入得：F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式的確定，組成面積的最值，角平分線的性質(zhì)等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)y＝2x2﹣8x+6的圖象與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．求四邊形ADBC的面積．【答案】四邊形ADBC的面積為8．【分析】先把拋物線解析式化成頂點(diǎn)式，求出C、D的坐標(biāo)，然后求出A、B的坐標(biāo)，最后根據(jù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵拋物線解析式為，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-2），令，則，∴，解得或，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），∴AB=2，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，四邊形面積，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)．7．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過兩點(diǎn)．（1）求b，c的值．（2）連結(jié)，，若P是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，直線把的面積分成相等的兩部分．①求直線的解析式．②將該拋物線沿著射線的方向平移m個(gè)單位，使其頂點(diǎn)落在的內(nèi)部（不包括邊界），求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）①；②．【分析】（1）將代入中，列方程組求解即可．（2）直線把的面積分成相等的兩部分．則此直線必過AB中點(diǎn)，求出中點(diǎn)坐標(biāo)求解即可．（3）因?yàn)槠揭?，所以過點(diǎn)Ｄ的直線必然與平行，頂點(diǎn)要在三角形內(nèi)部，畫圖分析即可.【詳解】（1）將代入，得解得：．（2）①取的中點(diǎn)C，∵∴又∵P是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，且直線把的面積分成相等的兩部分．∴直線OP必過AB的中點(diǎn)C∴直線OP的表達(dá)式為：②由（1）可得拋物線的一般式為：，將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式如下：∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)過拋物線的頂點(diǎn)，且與直線平行的直線解析式為：將頂點(diǎn)代入，得，解得∴設(shè)，將，代入，得，解得∴聯(lián)立：，得：，設(shè)直線與直線AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)M，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為N，則,拋物線頂點(diǎn)落在的內(nèi)部，即頂點(diǎn)在點(diǎn)M，點(diǎn)N之間，如圖：∴,∴【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合，二次函數(shù)的解析式求法，兩點(diǎn)之間的距離公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．8．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E，連接BD．（1）求拋物線的解析式．（2）在拋物線上點(diǎn)B和點(diǎn)D之間是否存在一點(diǎn)H使得四邊形OBHC的面積最大，若存在求出四邊形OBHC的最大面積，若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）直線BD上有一點(diǎn)P，使得時(shí)，過P作軸于F，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）存在，；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出C、D的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，即可得到，由此求解即可；（3）先求出E點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，利用求出P點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)設(shè)，則，，利用建立方程求解即可．【詳解】解：（1）∵拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，所以點(diǎn)設(shè)點(diǎn)所以當(dāng)時(shí)，．（3）由（1）知，拋物線的解析式為；∴，拋物線的頂點(diǎn)，∴，設(shè)直線BD的解析式為，∴，∴∴直線BD的解析式為，設(shè)點(diǎn)，∵，，根據(jù)勾股定理得，，，∵，∴∴，∴，∴，如圖，作軸于F，∵，設(shè)，則，∴以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，必有，∴∴或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．9．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線y＝﹣x＋2交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)C，且交x軸于另一點(diǎn)B．（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，并求拋物線的解析式；（2）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)M，求四邊形ABCM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）將線段OA繞x軸上的動(dòng)點(diǎn)P（m，0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，若線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出m的取值范圍．【答案】（1）（0，2），（4，0），拋物線的解析式是；（2）四邊形面積最大值為8，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2）；（3）或【分析】（1）對(duì)直線，分別令x=0，y=0求出相應(yīng)的y，x的值即得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，利用拋物線的對(duì)稱性即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，如圖1所示．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，則MF的長(zhǎng)可用含m的代數(shù)式表示，然后根據(jù)S四邊形ABCM=S△ABC+S△AMC即可得出S四邊形ABCM關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形面積的最大值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）當(dāng)m＞0時(shí)，分旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)與點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，分別畫出圖形如圖2、圖3，分別用m的代數(shù)式表示出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式即可求出m的值，進(jìn)而可得m的范圍；當(dāng)m＜0時(shí)，用同樣的方法可再求出m的一個(gè)范圍，從而可得結(jié)果．【詳解】解：（1）對(duì)直線，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，x=4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，0），把點(diǎn)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得：，解得：，∴拋物線的解析式為，∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，C（4，0），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，0）；故答案為：A（0，2），C（4，0），拋物線的解析式是；（2）過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，如圖1所示．設(shè)M（m，），則F（m，），∴，∴S四邊形ABCM=S△ABC+S△AMC=，∵0＜m＜4，∴當(dāng)m=2時(shí)，四邊形面積最大，最大值為8，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2）；（3）若m＞0，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，如圖2，線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)是（m+2，m），∴，解得：或（舍去）；當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，如圖3，線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)是（m，m），∴，解得：m=2或m=﹣4（舍去）；∴當(dāng)m＞0時(shí)，若線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，m的取值范圍是：；若m＜0，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，如圖4，線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)是（m，m），∴，解得：m=﹣4或m=2（舍去）；當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，如圖5，線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)是（m+2，m），∴，解得：或（舍去）；∴當(dāng)m＜0時(shí)，若線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，m的取值范圍是：；綜上，若線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，m的取值范圍是：或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、一元二次方程的解法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)等知識(shí)，具有較強(qiáng)的綜合性，屬于中考?jí)狠S題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．10．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝﹣x2+kx﹣2k（k＜0）與x軸正半軸交于點(diǎn)C，與y軸的交點(diǎn)為A．（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（﹣3，1），求拋物線的解析式；（2）無論k取何值，拋物線都經(jīng)過定點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）在（1）的條件下，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記△ABP的面積為S1，△ABM的面積為S2，設(shè)S2＝nS1，若符合條件的點(diǎn)P有三個(gè)，求n的值．【答案】（1）；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-4）；（3）n的值為．【分析】（1）直接把點(diǎn)B（-3，1）代入拋物線解析式進(jìn)行求解即可；（2）由拋物線解析式為，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)值與k的取值無關(guān)，由此即可得到答案；（3）設(shè)直線BM的解析式為，直線BM于y軸的交點(diǎn)為E，可求得直線BM的解析式為，得到E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），從而求出；如圖所示，在直線AB上方作直線∥AB，且直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的在直線AB下方作直線∥AB，其中直線與直線AB的距離等于直線與直線AB的距離，則（等底等高），根據(jù)除去，，這三個(gè)位置外，符合的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè)或2個(gè)；推出，由此先求出直線AB的解析式為，則可設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立得，求得，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），過點(diǎn)作x軸的垂線交AB于H，根據(jù)，求出即可得到答案．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（-3，1），∴，∴，∴拋物線解析式為；（2）∵拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)值與k的取值無關(guān)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-4）；（3）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），設(shè)直線BM的解析式為，直線BM于y軸的交點(diǎn)為E，∴，∴，∴直線BM的解析式為，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），∴；如圖所示，在直線AB上方作直線∥AB，且直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的在直線AB下方作直線∥AB，其中直線與直線AB的距離等于直線與直線AB的距離，∴（等底等高），∵除去，，這三個(gè)位置外，符合的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè)或2個(gè)；∴，設(shè)直線AB的解析式為，∴，∴，∴直線AB的解析式為，∴可設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立得，∴=0，∴，∴，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），過點(diǎn)作x軸的垂線交AB于H，∴點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，平行線間距問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等等，解題的關(guān)鍵在于能夠利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解．11．（2023秋·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2x與x軸正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且在對(duì)稱軸右側(cè)，點(diǎn)C是平面內(nèi)一點(diǎn)，四邊形OBCD是平行四邊形．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；（2）若點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是﹣3，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，則S?OBCD＝；（3）若點(diǎn)C在拋物線上，且?OBCD的面積是12，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），拋物線對(duì)稱軸為直線x=1；（2）；（3）（4，﹣8）．【分析】（1）在y＝﹣x2+2x中，令y=0，求得x的值，從而確定A點(diǎn)坐標(biāo)，利用對(duì)稱軸公式求得拋物線對(duì)稱軸；（2）分別求得B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線OD的解析式，然后通過求解△OBD的面積求得平行四邊形的面積；（3）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及平移的思想分析點(diǎn)B，點(diǎn)D及點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后仿照（2）中的解題思路分析求解．【詳解】解：（1）在y＝﹣x2+2x中，令y=0，可得：﹣x2+2x=0，解得：x1=0，x2=2，∵拋物線y＝﹣x2+2x與x軸正半軸交于點(diǎn)A，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），拋物線y＝﹣x2+2x的對(duì)稱軸為直線=1，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），拋物線對(duì)稱軸為直線x=1；（2）設(shè)OD與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，連接BD，∵點(diǎn)B在拋物線的對(duì)稱軸上，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是﹣3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3），∵點(diǎn)D在拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為=，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線OD的解析式為，將D點(diǎn)坐標(biāo)為代入，可得，解得：，∴直線OD的解析式為，當(dāng)x=1時(shí)，，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為，∴==，∴S?OBCD＝，故答案為：；（3）設(shè)OD與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，連接BD，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-b），D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，﹣a2+2a），∵點(diǎn)D在拋物線上，且在對(duì)稱軸右側(cè)，且點(diǎn)C在拋物線上，四邊形OBCD為平行四邊形，∴OB=CD，OB∥CD，∵將點(diǎn)O向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移b個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)B，∴將點(diǎn)D向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移b個(gè)單位長(zhǎng)度后可得到點(diǎn)C，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（a+1，﹣a2+2a-b），將C點(diǎn)坐標(biāo)代入到y(tǒng)＝﹣x2+2x中，可得：﹣（a+1）2+2（a+1）=﹣a2+2a-b，整理，可得：b=2a-1，設(shè)直線OD的解析式為，將D點(diǎn)坐標(biāo)（a，﹣a2+2a），代入，可得，解得：，∴直線OD的解析式為，當(dāng)x=1時(shí)，，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為，∴====，∵?OBCD的面積是12，∴，解得：a1=-4（舍去）或a2=3，當(dāng)a=3時(shí)，b=2×3-1=5，將a=3，b=5代入（a+1，﹣a2+2a-b）中，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣8）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，掌握平行四邊形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．12．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P，Q，B，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形（要求），直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)S的最大值為4(3)或或．【分析】（1）先假設(shè)出函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，即可進(jìn)行解答；（3）由，則，是平行四邊形的邊，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，列出方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為：，將，，三點(diǎn)代入函數(shù)解析式得：，解得，所以此函數(shù)解析式為：；（2）解：連接，∵M(jìn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)M在這條拋物線上，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∵，當(dāng)時(shí)，S有最大值為：．（3）解：設(shè)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，且，則，為平行四邊形的邊，∴Q的橫坐標(biāo)等于P的橫坐標(biāo)，又∵直線的解析式為，則，由，得，整理得：所以或解得或或（不符合題意，舍去），∵，∴不可能是對(duì)角線∴由此可得：或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、面積的計(jì)算等，有一定的綜合性，熟練的利用二次函數(shù)的性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．13．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，對(duì)稱軸為x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)已知a=1，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．①求拋物線的解析式．②若點(diǎn)P在拋物線上，且S=4S，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．③設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，請(qǐng)直接寫出線段QD長(zhǎng)度的最大值和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2)①；②或；③有最大值，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸和點(diǎn)坐標(biāo)直接求出點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）①先根據(jù)對(duì)稱軸求出，再用待定系數(shù)法求出，即可得出解析式；②設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)面積關(guān)系求出的值即可；③用待定系數(shù)法求出的解析式，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)的代數(shù)式求最值即可．【詳解】（1）解：對(duì)稱軸為直線的拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)，、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：①時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為直線，，解得，將代入，得，解得，拋物線的解析式為；②拋物線的解析式為，拋物線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，即，，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；③有最大值，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，，解得，即直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，則點(diǎn)坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．14．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）二次函數(shù)y1＝a（x﹣k）2+2k與二次函數(shù)y2＝a（x+k）2﹣2k的圖象稱為友好拋物線．(1)求證：無論k取何值，友好拋物線y1與y2的頂點(diǎn)都在某一確定的直線上．(2)若a＝1，k＝2，當(dāng)﹣2＜x＜2時(shí)，請(qǐng)比較y1，y2的大小．(3)已知a＝1，k＞0，友好拋物線：y1，y2交于點(diǎn)A，且y1，y2與y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，求的值．【答案】(1)見解析；(2)當(dāng)﹣2＜x＜1時(shí)，y1＞y2，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，y1＜y2；(3)【分析】（1）先求出友好拋物線的頂點(diǎn)，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可證明；（2）當(dāng)a＝1，k＝2時(shí)，先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)圖象比較y1，y2的大?。唬?）當(dāng)a＝1，k＞0時(shí)，先求出友好拋物線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，再求出兩條拋物線與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，用三角形面積公式求解即可．（1）證明：∵y1＝a（x﹣k）2+2k，∴y1的頂點(diǎn)為（k，2k），∵y2＝a（x+k）2﹣2k，∴y2的頂點(diǎn)為（﹣k，﹣2k），設(shè)過y1，y2頂點(diǎn)的直線為y＝mx+n，把（k，2k），（﹣k，﹣2k）代入得：，解得：，∴y＝2x，∴無論k取何值，友好拋物線y1與y2的頂點(diǎn)都在直線y＝2x上；（2）解：a＝1，k＝2時(shí)，y1＝（x﹣2）2+4，y2＝（x+2）2﹣4，令y1＝y(tǒng)2，則（x﹣2）2+4＝（x+2）2﹣4，解得：x＝1，∴y1＝y(tǒng)2＝5，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5），∴當(dāng)﹣2＜x＜1時(shí)，y1＞y2，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，y1＜y2；（3）解：a＝1，k＞0時(shí)，令y1＝y(tǒng)2，則（x﹣k）2+2k＝（x+k）2﹣2k，解得：x＝1，∴x＝1，將x＝0代入y1，y2得，y＝k2+2k，y＝k2﹣2k，|BC|＝y(tǒng)﹣y＝4k，∴S△ABC＝×BC×|x|＝×4k×1＝2k，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用新型題，要先弄清楚友好拋物線間的關(guān)系，再在利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題，如用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)值大小的比較，三角形面積求解等問題．15．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸直線與軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為______；(2)如圖1，點(diǎn)為拋物線上第四象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，求四邊形面積最大值和點(diǎn)此時(shí)的坐標(biāo)；(3)如圖2，將該拋物線向左平移得到拋物線，當(dāng)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)______．【答案】(1)(2)的最大值為17，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)或或或【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸公式代入及點(diǎn)代入即可得到答案；（2）設(shè)，用m表示出面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求出最大值；（3）根據(jù)平移性質(zhì)得到新的拋物線解析式并求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出坐標(biāo)，根據(jù)平移性質(zhì)及菱形性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可得，，解得，∴拋物線解析式為：；（2）解：設(shè)，由題意可得，當(dāng)時(shí)，，解得，，故，當(dāng)時(shí)，，故，∵對(duì)稱軸直線與軸交于點(diǎn)，∴，，∵，∴當(dāng)時(shí)最大，最大值為，當(dāng)時(shí)，，∴；（3）解：由題意可得，B點(diǎn)移動(dòng)到了O點(diǎn)，即函數(shù)向左平移了6個(gè)單位，，當(dāng)時(shí)，，∴坐標(biāo)為：，設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)，，時(shí)，∵，，，根據(jù)平移的性質(zhì)可得，∴，根據(jù)可得，，，∴或；②當(dāng)，，時(shí)，∵，，，根據(jù)平移的性質(zhì)可得，∴，根據(jù)，，解得：，，，綜上所述M點(diǎn)坐標(biāo)為：或或或．【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)圍成菱形，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)解析式，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)根據(jù)性質(zhì)及菱形性質(zhì)求解．題型三：角度問題一、解答題1．（2022秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與軸相交于，兩點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)在這條拋物線的對(duì)稱軸右邊的圖像上有一點(diǎn)，使的面積等于6，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)對(duì)于（2）中的點(diǎn)，在此拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）將原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出的值，也就得出了拋物線的解析式．（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，也就求出了的長(zhǎng)，根據(jù)的面積可求出點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，然后將符合題意的點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的右邊來判斷得出的點(diǎn)是否符合要求即可．（3）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線的解析式，由于，由此可求出點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，代入二次函數(shù)解析式可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．求的面積時(shí)，可先求出，的長(zhǎng)度即可求出的面積．【詳解】（1）解：函數(shù)的圖像與軸相交于，，，，（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，的面積等于6，，當(dāng)，，解得：或3，，，即，解得：或（舍去）．又頂點(diǎn)坐標(biāo)為：1.5，．，軸下方不存在點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：；（3）解：點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，，當(dāng)，，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，則縱坐標(biāo)為：，即，解得或（舍），在拋物線上僅存在一點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖像交點(diǎn)、圖像面積求法等知識(shí)．利用已知進(jìn)行分類討論得出符合要求點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在拋物線上，且位于x軸的下方，若點(diǎn)，．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)若D是拋物線上一點(diǎn)，且滿足，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）把B、P兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式中進(jìn)行求解即可；（2）分點(diǎn)D在點(diǎn)P左邊和右邊兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：把，代入中得：，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)D作點(diǎn)P的左邊時(shí)，∵，∴，∴點(diǎn)D與點(diǎn)P關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，即關(guān)于y軸對(duì)稱，∵，∴；如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)P右邊時(shí)，延長(zhǎng)交x軸于Q，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（舍去），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與幾何綜合，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江舟山·九年級(jí)校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接，當(dāng)時(shí)，求直線的表達(dá)式；（3）請(qǐng)判斷：是否有最大值，如有請(qǐng)求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如沒有請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）有最大值為，P點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）將，代入中，列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，求出a、b的值即可；（2）設(shè)與y軸交于點(diǎn)E，根據(jù)軸可知，，當(dāng)，即，由此推斷為等腰三角形，設(shè)，則，所以，由勾股定理得，解出點(diǎn)E的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法確定出BP的函數(shù)解析式即可；（3）設(shè)與交于點(diǎn)N，過B作y軸的平行線與相交于點(diǎn)M．由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可得所在直線表達(dá)式，求得M點(diǎn)坐標(biāo)，則，由，可得，，設(shè)，則，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）由題意可得：解得：，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）設(shè)與y軸交于點(diǎn)E，∵軸，，，，，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，解得，，設(shè)所在直線表達(dá)式為解得∴直線的表達(dá)式為．（3）設(shè)與交于點(diǎn)N．過B作y軸的平行線與相交于點(diǎn)M．由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，可得所在直線表達(dá)式為∴M點(diǎn)坐標(biāo)為，由，可得，設(shè)，則，∴當(dāng)時(shí)，有最大值0.8，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)以及一次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖像的性質(zhì)，相似三角形，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵，本題綜合性強(qiáng)，涉及知識(shí)面廣，難度較大，屬于中考?jí)狠S題．4．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，一次函數(shù)y＝x﹣4的圖象分別與x軸，y軸交于B，C兩點(diǎn)，二次函數(shù)y＝ax2﹣x＋c的圖象過B，C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，若∠ABC＝2∠ABP．求m的值；(3)如圖2，過點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D．點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，N1（1，﹣5），N2（﹣1，﹣3），N3（3，﹣3）【分析】（1）根據(jù)直線解析式求得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而代入二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求解析式即可；（2）根據(jù)tan∠ABC，求得∠ABC＝60°，∠ABP＝30°，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，和tan∠ABP，求得m；（3）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求得點(diǎn)的坐標(biāo)，以點(diǎn)C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，設(shè)M（x，x﹣4），分以下情形討論，①以CD為對(duì)角線時(shí)，MN垂直平分CD，②以CM為對(duì)角線時(shí)，CD＝MD，③以CN為對(duì)角線時(shí)，CM＝CD＝2，分別根據(jù)菱形的性質(zhì)，勾股定理建立方程，解方程求解即可【詳解】（1）由直線y＝x﹣4，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣4；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝4，∴C（0，﹣4），B（4，0），將點(diǎn)B、C代入y＝ax2﹣x+c得：，∴，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣4；（2）∵C（0，﹣4），B（4，0），∴OC＝4，OB＝4，∴tan∠ABC＝，∴∠ABC＝60°，∵∠ABC＝2∠ABP，∴∠ABP＝30°，如圖1，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴BH＝4﹣m，PH＝|m2﹣m﹣4|，∴tan∠ABP＝，解得：m＝4（舍）或m＝﹣或m＝﹣，∴m的值為﹣或m＝﹣；（3）由y＝x2﹣x﹣4可知對(duì)稱軸為直線x＝1，∵C（0，﹣4），∴D（2，﹣4），∵以點(diǎn)C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，設(shè)M（x，x﹣4），①如圖2，以CD為對(duì)角線時(shí)，MN垂直平分CD，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣4＝﹣3，∴M1（1，﹣3），∴N1（1，﹣5），②以CM為對(duì)角線時(shí)，CD＝MD，∵C（0，﹣4），D（2，﹣4），∴22＝（x﹣2）2+（x）2，解得：x＝0（舍）或x＝1，∴M2（1，﹣3），∴N2（﹣1，﹣3），③如備用圖，以CN為對(duì)角線時(shí)，CM＝CD＝2，∴22＝x2+（x）2，解得：x＝1或x＝﹣1，∴M3（1，﹣3）或M4（﹣1，﹣5），∴N3（3，﹣3），N4（1，﹣5），綜上所述，存在，N1（1，﹣5），N2（﹣1，﹣3），N3（3，﹣3）【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求解析式，解直角三角形，菱形的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）定義：若函數(shù)（c≠0）與軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)為，，與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，若，中至少存在一個(gè)值，滿足＝（或＝），則稱該函數(shù)為友好函數(shù)．如圖，函數(shù)與軸的一個(gè)交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為?3，與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為?3，滿足＝，稱為友好函數(shù)．(1)判斷是否為友好函數(shù)，并說明理由；(2)請(qǐng)?zhí)骄坑押煤瘮?shù)表達(dá)式中的b與c之間的關(guān)系；(3)若是友好函數(shù)，為銳角，求c的取值范圍．【答案】(1)是友好函數(shù)，理由見解析；(2)；(3)或，且．【分析】（1）求出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，可直接根據(jù)友好函數(shù)的定義進(jìn)行判斷；（2）當(dāng)時(shí)，，即與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c，將代入，即可求出b與c之間的關(guān)系；（3）分情況討論：①當(dāng)C在y軸負(fù)半軸上時(shí)，畫出草圖，求出函數(shù)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則，所以只需滿足，即可判斷c的取值范圍；②當(dāng)C在y軸正半軸上，且A與B不重合時(shí)，畫出草圖，顯然都滿足為銳角，即可寫出c的取值范圍；③當(dāng)C與原點(diǎn)重合時(shí)，不符合題意．【詳解】（1）解：是友好函數(shù)，理由如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或3，∴與x軸一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是3，∴是友好函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，，即與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c,∵是友好函數(shù)，∴時(shí)，，即在上，代入得：，∴，而，∴；（3）①如圖1，當(dāng)C在y軸負(fù)半軸上時(shí)，由（2）可得：，即，顯然當(dāng)時(shí)，，即與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則，∴只需滿足，即∴；②如圖2，當(dāng)C在y軸正半軸上，且A與B不重合時(shí)，∴顯然都滿足為銳角，∴，且；③當(dāng)C與原點(diǎn)重合時(shí)，不符合題意，綜上所述，或，且．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等，解題關(guān)鍵是要有較強(qiáng)的理解能力及在第三問中注意分類討論思想的運(yùn)用等．題型四：特殊三角形問題一、單選題1．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，－1)，在第四象限拋物線上有一點(diǎn)P，若△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（

）A．1＋ B．1－C．－1 D．1－或1＋【答案】A【分析】根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出CD中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線求解即可．【詳解】令x=0，則y=-3，所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-1），∴線段CD中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∵△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-2，∴x2-2x-3=-2，解得x1=，x2=，∵點(diǎn)P在第四象限，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．二、填空題2．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）已知拋物線y=a(x?1)(x+)與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B（點(diǎn)A始終在點(diǎn)B的右邊），與y軸交于點(diǎn)C，若△ABC為等腰三角形，則a的值為______．【答案】【分析】整理拋物線解析式，確定出拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A和y軸的交點(diǎn)C，然后求出AC的長(zhǎng)度，再分①a＞0，②a＜0時(shí)，列式計(jì)算即可．【詳解】解：y=a（x-1）（x+）=（x-1）（ax+2），所以，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），C（0，-2），AC=，點(diǎn)B坐標(biāo)為（-，0），①a＞0時(shí)，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，由于點(diǎn)A始終在點(diǎn)B的右邊，此情況不符合題意，舍去；②a＜0時(shí)，點(diǎn)B在x軸的正半軸，符合點(diǎn)A始終在點(diǎn)B的右邊，只有AC=AB，則--1=，解得：a=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的解析式確定出拋物線經(jīng)過的兩個(gè)定點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期中）二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且為直角三角形，則____________．【答案】/0.5【分析】先求出A、B、C的坐標(biāo)，然后分當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)B與原點(diǎn)重合；當(dāng)時(shí)，，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，∴不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)B與原點(diǎn)重合，則，∴此時(shí)點(diǎn)C也與原點(diǎn)重合，不能組成三角形，∴，當(dāng)時(shí)，，∵，∴，解得（舍去）或，綜上所述，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，求出A、B、C的坐標(biāo)，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：如圖，拋物線的頂點(diǎn)為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），我們規(guī)定：當(dāng)為直角三角形時(shí)，就稱為該拋物線的“優(yōu)美三角形”．若拋物線的“優(yōu)美三角形”的斜邊長(zhǎng)為4，求a的值______．【答案】【分析】設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，根據(jù)“優(yōu)美三角形”的條件得為等腰直角三角形，得，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入頂點(diǎn)式表達(dá)式即可求解．【詳解】解：設(shè)拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的頂點(diǎn)式為：，又拋物線的“優(yōu)美三角形”，為直角三角形，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性質(zhì)，可知，為等腰直角三角形，設(shè)與對(duì)稱軸交于點(diǎn)，如圖，，或，或，或，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確理解新定義“優(yōu)美三角形”、熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、圖像的對(duì)稱性質(zhì)以及圖像上點(diǎn)的特征是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題5．（2022·浙江·九年級(jí)自主招生）如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)、和原點(diǎn)O．P為二次函數(shù)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為，并與直線OA交于點(diǎn)C．(1)求出二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OA的上方時(shí)，求線段PC的最大值；(3)當(dāng)時(shí)，探索是否存在點(diǎn)P，使得為等腰三角形，如果存在，求出P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y=-x2+4x(2)(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或（5，-5）或（4，0）【分析】（1）設(shè)y=ax（x-4），把A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出答案；（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出PC=-m2+3m，化成頂點(diǎn)式即可求出線段PC的最大值；（3）當(dāng)0<m<3時(shí)，僅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；當(dāng)m≥3時(shí)，PC=CD-PD=m2-3m，，分為三種情況：當(dāng)OC=PC時(shí)，當(dāng)OC=OP時(shí)，當(dāng)PC=OP時(shí)，即可得到答案．【詳解】（1）解∶∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和原點(diǎn)O．∴可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax（x-4），把點(diǎn)A（3，3）代入，得：3=3a（3-4），解得：a=-1，∴二次函數(shù)的解析式為y=-x（x-4）=-x2+4x；（2）解：根據(jù)題意得：0<m<3，PC=PD-CD，設(shè)直線OA的解析式為，把點(diǎn)A（3，3）代入，得：3=3k，解得：k=1，∴直線OA的解析式為y=x，∵D（m，0），PD⊥x軸，P在y=-x2+4x上，C在直線OA上，∴P（m，-m2+4m），C（m，m），∴PD=-m2+4m，CD=m，∴PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2+3m，∴當(dāng)時(shí)，線段PC最大，最大；值為；（3）解：存在，理由如下：∵C（m，m），P（m，-m2+4m），∴OD=m，CD=m，PD=-m2+4m，，，當(dāng)0<m<3時(shí)，僅有OC=PC，由（2）得：PC=PD-CD=-m2+3m，∴，解得：或0（舍去），∴此時(shí)；當(dāng)m≥3時(shí)，點(diǎn)C在點(diǎn)P的上方，此時(shí)PC=CD-PD=m2-3m，當(dāng)OC=PC時(shí)，，解得：或0（舍去），∴此時(shí)點(diǎn)；當(dāng)OC=OP時(shí)，有OC2=OP2，∴，解得：m=5或3（舍去）或0（舍去），∴此時(shí)點(diǎn)P（5，-5），當(dāng)PC=OP時(shí)，，解得：m=4或0（舍去），∴此時(shí)點(diǎn)P（4，0）；綜上所述，存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或（5，-5）或（4，0）．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想，此題是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，（3）小題有一定的難度．6．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校考期中）拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線段下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求該拋物線的解析式；(2)用關(guān)于的代數(shù)式表示線段，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)過點(diǎn)作于點(diǎn)，，①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②連接，在y軸上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)，(3)①；②存在點(diǎn)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出直線的解析式，則，，

進(jìn)而推出，由此求解即可；（3）①先由，得到，進(jìn)而證明，得到，則，證明是等腰直角三角，得到，再由，推出，由，求出，則；②設(shè)，則，，，然后分別討論、、為直角頂點(diǎn)時(shí)，利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）解：把、代入得∴，即，

∴∴拋物線的解析式為：；（2）解：令得，∴設(shè)直線BC的解析式為，∴

∴，∴直線BC的解析式為：

∵P的橫坐標(biāo)為t，軸，∴，，

∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值2，此時(shí)；（3）解：①∵、，∴，∵，∴，∵軸∴，，∴，∴，∴，又，，∴是等腰直角三角形

∴∵

∴∴，∵，∴

∴；②設(shè)，則，，，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去）或，∴；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，解得：，

∴（Ⅲ）當(dāng)時(shí)解得：（舍去）綜上所述，存在點(diǎn)或使得為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)綜合，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）拋物線W：y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△BCP是以CP為腰的等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，0）或（，0）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）存在，分兩種情況：當(dāng)CP=CB時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P1重合，即可得到點(diǎn)P1（-4，0）；當(dāng)CP=BP時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P2重合，設(shè)OP2=x，則BP2=4-x，由勾股定理得x2+32=（4-x）2，求出x即可得到P2（，0）．【詳解】（1）解：將點(diǎn)A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3中，得，解得，∴；（2）存在，當(dāng)CP=CB時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P1重合，如圖，∵OB=4，∴P1（-4，0）；當(dāng)CP=BP時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P2重合，設(shè)OP2=x，則BP2=4-x，由勾股定理得x2+32=（4-x）2，解得x=，∴P2（，0），綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，0）或（，0）時(shí)，△BCP是以CP為腰的等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，等腰三角形的定義，勾股定理，屬于基礎(chǔ)題型，正確掌握知識(shí)點(diǎn)并應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A(﹣3，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，3)或【分析】（1）將A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，求解即可；（2）求得直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)M（m，0），則點(diǎn)Q（m，﹣m+4），再分三種情況分別求解即可．【詳解】（1）解：將A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，∴，解得，∴拋物線的表達(dá)式為：；（2）存在點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，理由如下：令x＝0，則y＝4，∴點(diǎn)C（0，4），∵A（﹣3，0）、C（0，4），∴AC＝5，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+4，設(shè)點(diǎn)M（m，0），則點(diǎn)Q（m，﹣m+4），①當(dāng)AC＝CQ時(shí)，過點(diǎn)Q作QE⊥y軸于點(diǎn)E，連接AQ，∵CQ2＝CE2+EQ2，即，解得：舍去負(fù)值），∴點(diǎn)；②當(dāng)AC＝AQ時(shí)，則AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：，解得：m＝1或m＝0（舍去），∴點(diǎn)Q（1，3）；③當(dāng)CQ＝AQ時(shí)，則，解得：舍去）；綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，3）或．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活應(yīng)用相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)進(jìn)行求解．9．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與直線y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（1，﹣2）兩點(diǎn)，且拋物線與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)在第四象限的拋物線上有一點(diǎn)P，若△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝2x2﹣x﹣3(2)P（1，﹣2）【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝ax2+bx﹣3可得拋物線解析式．（2）當(dāng)x＝0時(shí)可求C點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線AB解析式，當(dāng)x＝0可求D點(diǎn)坐標(biāo),由題意可知P點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣2，代入拋物線解析式可求P點(diǎn)橫坐標(biāo)．【詳解】（1）解：把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝ax2+bx﹣3可得：，解得，∴y＝2x2﹣x﹣3；（2）把x＝0代入y＝2x2﹣x﹣3中可得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）代入y＝kx+c得：，解得，∴y＝﹣x﹣1，∴D（0，﹣1）．∵△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，∴點(diǎn)P是CD垂直平分線與拋物線y＝2x2﹣x﹣3的交點(diǎn),由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分線經(jīng)過（0，﹣2），∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣2，∴，解得：x＝1或-，∵點(diǎn)P在第四象限，即x＞0，∴x＝1．∴P（1，﹣2）．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、求一次函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)，把x＝0代入二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式可求圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，知道點(diǎn)P縱坐標(biāo)帶入拋物線解析式求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵．10．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）拋物線yx2+bx+c與x軸交于A(﹣1，0)，B(5，0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸CD上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與C，D重合）．過點(diǎn)C作直線PB的垂線交PB于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)△PCF的面積為5時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)△PCF為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）yx2x；（2）P(2，﹣3)或(2，5)；（3）P(2，)或(2，﹣2)或(2，)或(2，)【分析】（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y（x+1）（x﹣5），即可求解；（2）確定PB、CE的表達(dá)式，聯(lián)立求得點(diǎn)F（2，0），S△PCFPC×DF（2﹣m）（22）＝5，即可求解；（3）分當(dāng)CP＝CF、CP＝PF、CP＝PF三種情況，分別求解即可．【詳解】解：（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y（x+1）（x﹣5）x2x；（2）拋物線的對(duì)稱軸為x＝2，則點(diǎn)C（2，2），設(shè)點(diǎn)P（2，m），將點(diǎn)P、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝sx+t并解得：函數(shù)PB的表達(dá)式為：ymx，∵CE⊥PE，故直線CE表達(dá)式中的k值為，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，同理可得直線CE的表達(dá)式為：y，解得：x＝2，故點(diǎn)F（2，0），S△PCFPC×DF（|2﹣m|）（|22|）＝5，解得：m＝5或﹣3，故點(diǎn)P（2，﹣3）或（2，5）；（3）由（2）確定的點(diǎn)F的坐標(biāo)得：CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（）2+4，PF2＝（）2+m2，①當(dāng)CP＝CF時(shí)，即：（2﹣m）2＝（）2+4，解得：m＝0或（0舍去），②當(dāng)CP＝PF時(shí)，同理可得：m，③當(dāng)CF＝PF時(shí)，同理可得：m＝±2（舍去2），故點(diǎn)P（2，）或（2，﹣2）或（2，）或（2，）【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．11．（2023春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，設(shè)拋物線與軸交于A、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)為該拋物線第四象限上的一點(diǎn)，過作軸交于點(diǎn)．(1)求直線的解析式；(2)求線段的最大值；(3)當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)(4)或或【分析】（1）先求出點(diǎn)B、C坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)，則，所以，利用二次函數(shù)最值求解即可；（3）根據(jù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（4）分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求解好戲可．【詳解】（1）解：令，則，解得：，，，，令，則，，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得，解得：，∴直線的解析式為；（2）解：設(shè)，則，，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；（3）解：，，，，隨著增大而增大，由（2）知，當(dāng)時(shí)，最大值為，∴當(dāng)面積最大時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為．（4）解：，且，是等腰直角三角形，，∵軸，，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，得，，軸，軸，，∴令，則，解得：，，；當(dāng)時(shí)，，則，解得：，，；當(dāng)時(shí)，則，解得：，(舍去），；綜上，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，用待宣系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，本題屬二次函數(shù)綜合題目，難度較大，屬中考?jí)狠S題目．12．（2022·浙江寧波·九年級(jí)浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的二次函數(shù)．(1)證明：函數(shù)圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)如果函數(shù)圖像與軸交于點(diǎn)A，與軸分別交于、，且是直角三角形，求的值；(3)函數(shù)圖像與軸交于A、兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)，為等邊三角形，求的值．【答案】(1)見解析(2)或(3)或【分析】（1）求出根的判別式的值，即可進(jìn)行證明；（2）證明，則，將求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可表示出的長(zhǎng)度；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可表示出，即可進(jìn)行解答；（3）過點(diǎn)作高，將頂點(diǎn)C的坐標(biāo)表示出來，即可得出，將方程的兩個(gè)根表示出來，即可表示出，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，∴，∴函數(shù)圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）解：如圖：當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵是直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴即，解得（舍），，．（3）過點(diǎn)作高，∵點(diǎn)C為二次函數(shù)的頂點(diǎn)，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，因?yàn)闉檎切?，∴，∴令，∴，解得（舍），，即，解得或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，三角形相似的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．13．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C；拋物線的對(duì)稱軸為直線，且拋物線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)．(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的解析式；(2)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)在直線的下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)N，使的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(4)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直接寫出當(dāng)為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)；(3)存在，；(4)P的坐標(biāo)為或或或．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，當(dāng)B，C，M共線時(shí)，的值最小，求出點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）設(shè)，，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，則，則，當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，此時(shí)，（4）設(shè)，分別求出，，，根據(jù)直角三角形斜邊的情況分三種情況討論即可．【詳解】（1）解：令則，，令，則，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，，，將，代入中，，解得，；（2）解：由拋物線的對(duì)稱性可知，，，當(dāng)B，C，M共線時(shí)，的值最小，將代入中，得，；（3）解：存在點(diǎn)，使的面積最大，理由如下：設(shè)，，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，則，，