利用導(dǎo)數(shù)證明問(wèn)題課件高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)證明問(wèn)題導(dǎo)數(shù)與不等式的交匯命題是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn),在利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題中,常用的方法有構(gòu)造函數(shù)、適當(dāng)換元、合理放縮、利用最值、有界性、不等式及其性質(zhì)等.考點(diǎn)一構(gòu)造差函數(shù)法證明不等式例1(2023新高考Ⅰ,19)已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)a>0時(shí),f(x)>2lna+.(1)解

f'(x)=aex-1,x∈R.①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)≤0對(duì)任意x∈R恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.②當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,得x=ln=-ln

a.隨x的變化,f'(x),f(x)的變化如下表:x(-∞,-ln

a)-ln

a(-ln

a,+∞)f'(x)-0+f(x)↘極小值↗所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-ln

a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-ln

a).綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,+∞),無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間;當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-ln

a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-ln

a).[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](2024四川廣安二模)已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1.(1)若f(x)存在極值,求a的取值范圍;(2)若a≤1,x∈(0,+∞),證明:f(x)>x-sinx.(1)解

由f(x)=ex-ax-1,x∈R,得f'(x)=ex-a,當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增,f(x)不存在極值;當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,則x=ln

a,當(dāng)x<ln

a,則f'(x)<0,即f(x)在(-∞,ln

a)內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)x>ln

a,則f'(x)>0,即f(x)在(ln

a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.所以x=ln

a是f(x)的極小值點(diǎn),所以當(dāng)a>0時(shí),f(x)存在極值.綜上所述,f(x)存在極值時(shí),a的取值范圍是(0,+∞).(2)證明

欲證不等式f(x)>x-sin

x在x∈(0,+∞)時(shí)恒成立,只需證明ex+sin

x-(a+1)x-1>0在x∈(0,+∞)時(shí)恒成立.設(shè)g(x)=ex+sin

x-(a+1)x-1,x∈(0,+∞),則g'(x)=ex+cos

x-(a+1),令m(x)=g'(x)=ex+cos

x-(a+1),x∈(0,+∞),則m'(x)=ex-sin

x.當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),ex>1,-1≤-sin

x≤1,所以m'(x)>0,所以m(x)即g'(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以g'(x)>g'(0)=1-a,因?yàn)閍≤1,所以g'(0)=1-a≥0,故當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以g(x)>g(0)=0,即當(dāng)a≤1,x∈(0,+∞)時(shí),不等式f(x)>x-sin

x恒成立.考點(diǎn)二分離函數(shù)法證明不等式例2(2024安徽合肥模擬)已知函數(shù)f(x)=ax-lnx,a∈R.(1)若函數(shù)F(x)=f(x)-x2有兩個(gè)極值點(diǎn),求a的取值范圍;F(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),所以方程-2x2+ax-1=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根,當(dāng)0<x<x1時(shí),F'(x)<0,F(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x1<x<x2時(shí),F'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>x2時(shí),F'(x)<0,F(x)單調(diào)遞減.所以F(x)在x=x1處有極小值,在x=x2處有極大值,因此a的取值范圍是(2,+∞).令g(x)=x2-cos

x,∵g(-x)=g(x),∴g(x)為偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),g'(x)=2x+sin

x,令k(x)=2x+sin

x,k'(x)=2+cos

x>0,∴g'(x)在[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,∴g'(x)≥g'(0)=0,∴g(x)在[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,由g(x)為偶函數(shù)知,g(x)在(-∞,0]內(nèi)單調(diào)遞減,∴g(x)≥g(0)=-1.考點(diǎn)三放縮法證明不等式當(dāng)a≥0時(shí),因?yàn)閤>0,所以f'(x)>0恒成立,則y=f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且f(1)=0,所以f(x)恒大于或等于零不成立;當(dāng)a<0時(shí),由f'(x)=0,得x=-a,易知當(dāng)x>-a時(shí),f'(x)>0,當(dāng)0<x<-a時(shí),f'(x)<0,所以y=f(x)在(0,-a)內(nèi)單調(diào)遞減,在(-a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.則f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1+a,若f(x)≥0恒成立,則ln(-a)+1+a≥0.令h(x)=ln(-x)+1+x(x<0),則h'(x)=h(x)在區(qū)間(-∞,-1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞減,所以h(x)max=h(-1)=0,所以當(dāng)ln(-a)+1+a≥0時(shí),a=-1.綜上,若f(x)≥0恒成立,則a=-1.令g(x)=x-sin

x(x≥0),則g'(x)=1-cos

x≥0恒成立,所以函數(shù)g(x)在[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,故當(dāng)x>0時(shí),g(x)>g(0)=0,即sin

x<x.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](2024福建泉州模擬)已知函數(shù)f(x)=ex-axsinx-x-1(a∈R).(1)當(dāng)a=0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a=時(shí),證明:對(duì)任意的x∈(0,+∞),f(x)>0.(1)解

當(dāng)a=0時(shí),f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.令f'(x)>0,解得x>0,f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;令f'(x)<0,解得x<0,f(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減.由(1)知,當(dāng)a=0