江蘇專用2024新高考數(shù)學一輪復習第四章三角函數(shù)解三角形第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導公式學案

PAGE1-第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導公式考試要求1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα；2.能利用定義推導出誘導公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切)).知識梳理1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tan__α.2.三角函數(shù)的誘導公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)－απ－απ＋αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin__αsin__α－sin__αcos__αcos__α余弦cosαcos__α－cos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanα－tan__α－tan__αtan__α口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名變更，符號看象限[常用結(jié)論與微點提示]1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2.誘導公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變更.3.在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特殊留意推斷符號.

診斷自測1.推斷下列結(jié)論的正誤.(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.()(2)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角.()(3)若α∈R，則tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立.()(4)若sin(kπ－α)＝eq\f(1,3)(k∈Z)，則sinα＝eq\f(1,3).()解析(1)對隨意的角α，sin2α＋cos2α＝1.(2)中對于隨意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sinα.(3)中當α的終邊落在y軸上，商數(shù)關(guān)系不成立.(4)當k為奇數(shù)時，sinα＝eq\f(1,3)，當k為偶數(shù)時，sinα＝－eq\f(1,3).答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(新教材必修第一冊P186T15改編)已知tanα＝2，則eq\f(3sinα－cosα,sinα＋2cosα)＝()A.eq\f(5,4) B.－eq\f(5,4) C.eq\f(5,3) D.－eq\f(5,3)解析原式＝eq\f(3tanα－1,tanα＋2)＝eq\f(3×2－1,2＋2)＝eq\f(5,4).答案A3.(教材必修4P21例4改編)已知α為銳角，且sinα＝eq\f(4,5)，則cos(π＋α)＝()A.－eq\f(3,5) B.eq\f(3,5) C.－eq\f(4,5) D.eq\f(4,5)解析因為α為銳角，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(3,5)，故cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\f(3,5).答案A4.(2024·全國Ⅲ卷)已知sinα－cosα＝eq\f(4,3)，則sin2α＝()A.－eq\f(7,9) B.－eq\f(2,9) C.eq\f(2,9) D.eq\f(7,9)解析∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α，∴sin2α＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(2)＝－eq\f(7,9).答案A5.(2024·濟南質(zhì)檢)若sinα＝－eq\f(5,13)，且α為第四象限角，則tanα＝()A.eq\f(12,5) B.－eq\f(12,5) C.eq\f(5,12) D.－eq\f(5,12)解析∵sinα＝－eq\f(5,13)，α為第四象限角，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(12,13)，因此tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(5,12).答案D6.(2024·豫北六校精英對抗賽)若f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋α))＋1，且f(8)＝2，則f(2018)＝________.解析∵f(8)＝cos(4π＋α)＋1＝cosα＋1＝2，∴cosα＝1，∴f(2018)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)×2018＋α))＋1＝cos(1009π＋α)＋1＝cos(π＋α)＋1＝－cosα＋1＝－1＋1＝0.答案0考點一同角三角函數(shù)基本關(guān)系及其應(yīng)用多維探究角度1切弦互化【例1－1】(1)已知β為其次象限角，tanβ＝－eq\f(5,3)，則cosβ＝()A.－eq\f(5\r(34),34) B.－eq\f(3\r(34),34) C.－eq\f(3,5) D.－eq\f(4,5)(2)若tan(α－3π)＝－5，則eq\f(sinα＋2cosα,cos（π＋α）－3sin（2π－α）)＝()A.eq\f(3,16) B.－eq\f(3,16) C.eq\f(3,4) D.－eq\f(3,4)解析(1)因為β為其次象限角，所以tanβ＝eq\f(sinβ,cosβ)＝eq\f(\r(1－cos2β),cosβ)＝－eq\f(5,3)，解得cosβ＝－eq\f(3\r(34),34).(2)由tan(α－3π)＝－5，得tanα＝－5，所以eq\f(sinα＋2cosα,cos（π＋α）－3sin（2π－α）)＝eq\f(sinα＋2cosα,－cosα＋3sinα)＝eq\f(tanα＋2,－1＋3tanα)＝eq\f(－5＋2,－1＋3×（－5）)＝eq\f(3,16).答案(1)B(2)A規(guī)律方法利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化.角度2“1”的變換【例1－2】(1)若tan(α－π)＝eq\f(1,2)，則eq\f(sin2α＋1,cos2α－sin2α)＝()A.－eq\f(1,2) B.－2 C.eq\f(1,2) D.2(2)已知tanθ＝2，則sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A.－eq\f(4,3) B.eq\f(5,4) C.－eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)解析(1)tan(α－π)＝－tan(π－α)＝tanα＝eq\f(1,2)，eq\f(sin2α＋1,cos2α－sin2α)＝eq\f(2sin2α＋cos2α,cos2α－sin2α)＝eq\f(2tan2α＋1,1－tan2α)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝2.(2)sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－2,tan2θ＋1)，又tanθ＝2，故原式＝eq\f(4＋2－2,4＋1)＝eq\f(4,5).答案(1)D(2)D規(guī)律方法留意公式的逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.角度3sinα±cosα與sinαcosα的轉(zhuǎn)化【例1－3】(2024·連云港檢測)已知θ為其次象限角，sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程2x2＋(eq\r(3)－1)x＋m＝0(m∈R)的兩根，則sinθ－cosθ＝()A.eq\f(1－\r(3),2) B.eq\f(1＋\r(3),2)C.eq\r(3) D.－eq\r(3)解析因為sinθ，cosθ是方程2x2＋(eq\r(3)－1)x＋m＝0(m∈R)的兩根，所以sinθ＋cosθ＝eq\f(1－\r(3),2)，sinθ·cosθ＝eq\f(m,2)，可得(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ＝1＋m＝eq\f(2－\r(3),2)，解得m＝－eq\f(\r(3),2).因為θ為其次象限角，所以sinθ>0，cosθ<0，即sinθ－cosθ>0，因為(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ＝1－m＝1＋eq\f(\r(3),2)，所以sinθ－cosθ＝eq\r(1＋\f(\r(3),2))＝eq\r(\f(2＋\r(3),2))＝eq\r(\f(4＋2\r(3),4))＝eq\r(\f(（1＋\r(3)）2,4))＝eq\f(1＋\r(3),2).故選B.答案B規(guī)律方法應(yīng)用公式時留意方程思想的應(yīng)用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.【訓練1】(1)(角度1)已知α是第四象限角，sinα＝－eq\f(12,13)，則tanα等于()A.－eq\f(5,13) B.eq\f(5,13) C.－eq\f(12,5) D.eq\f(12,5)(2)(角度2)若3sinα＋cosα＝0，則eq\f(1,cos2α＋2sinαcosα)的值為()A.eq\f(10,3) B.eq\f(5,3) C.eq\f(2,3) D.－2(3)(角度3)已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，則sinθ－cosθ的值為________.解析(1)因為α是第四象限角，sinα＝－eq\f(12,13)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(5,13)，故tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).(2)3sinα＋cosα＝0?cosα≠0?tanα＝－eq\f(1,3)，eq\f(1,cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(cos2α＋sin2α,cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(1＋tan2α,1＋2tanα)＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))\s\up12(2),1－\f(2,3))＝eq\f(10,3).(3)∵sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，∴sinθcosθ＝eq\f(7,18).又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(2,9)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(2),3).答案(1)C(2)A(3)－eq\f(\r(2),3)考點二誘導公式的應(yīng)用【例2】(1)在平面直角坐標系xOy中，角α的終邊經(jīng)過點P(3，4)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2017π,2)))＝()A.－eq\f(4,5) B.－eq\f(3,5) C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)(2)已知f(α)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos（－π－α）tan（π－α）)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25π,3)))的值為________.解析(1)由題意知sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2017π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝－cosα＝－eq\f(3,5).(2)因為f(α)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos（－π－α）tan（π－α）)＝eq\f(－sinα（－cosα）,（－cosα）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(sinα,cosα))))＝cosα，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).答案(1)B(2)eq\f(1,2)規(guī)律方法(1)誘導公式的兩個應(yīng)用①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.(2)含2π整數(shù)倍的誘導公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可干脆將2π的整數(shù)倍去掉后再進行運算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.【訓練2】(多選題)若角A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，則下列等式中肯定成立的是()A.cos(A＋B)＝cosC B.sin(A＋B)＝－sinCC.coseq\f(A＋C,2)＝sineq\f(B,2) D.sineq\f(B＋C,2)＝coseq\f(A,2)解析因為A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，eq\f(A＋C,2)＝eq\f(π－B,2)，eq\f(B＋C,2)＝eq\f(π－A,2)，所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，coseq\f(A＋C,2)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(B,2)))＝sineq\f(B,2)，sineq\f(B＋C,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝coseq\f(A,2).答案CD考點三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導公式的綜合應(yīng)用【例3】(1)(2024·濰坊調(diào)研)已知3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33π,14)＋α))＝－5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,14)＋α))，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,14)＋α))＝()A.－eq\f(5,3) B.－eq\f(3,5) C.eq\f(3,5) D.eq\f(5,3)(2)已知α為銳角，且2tan(π－α)－3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sinα＝()A.eq\f(3\r(5),5) B.eq\f(3\r(7),7) C.eq\f(3\r(10),10) D.eq\f(1,3)解析(1)由3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33π,14)＋α))＝－5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,14)＋α))，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,14)＋α))＝－eq\f(5,3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,14)＋α))，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,14)＋α))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,14)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,14)＋α)))＝eq\f(－\f(5,3)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,14)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,14)＋α)))＝－eq\f(5,3).(2)由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3sinβ－2tanα＋5＝0，,tanα－6sinβ－1＝0.))消去sinβ，得tanα＝3，∴sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，化簡得sin2α＝eq\f(9,10)，則sinα＝eq\f(3\r(10),10)(α為銳角).答案(1)A(2)C規(guī)律方法1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導公式求值或化簡時，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，敏捷運用公式進行變形.2.留意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.【訓練3】(1)已知角θ的終邊在第三象限，tan2θ＝－2eq\r(2)，則sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－eq\r(2)cos2θ等于()A.－eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(2),6) C.－eq\f(2,3) D.eq\f(2,3)(2)已知sinα＝eq\f(2\r(5),5)，則tan(π＋α)＋eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)))＝________.解析(1)由tan2θ＝－2eq\r(2)可得tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝－2eq\r(2)，即eq\r(2)tan2θ－tanθ－eq\r(2)＝0，解得tanθ＝eq\r(2)或tanθ＝－eq\f(\r(2),2).又角θ的終邊在第三象限，故tanθ＝eq\r(2)，故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－eq\r(2)cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－eq\r(2)cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－\r(2)cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－\r(2),tan2θ＋1)＝eq\f(（\r(2)）2＋\r(2)－\r(2),（\r(2)）2＋1)＝eq\f(2,3).(2)∵sinα>0，∴α為第一或其次象限角，tan(α＋π)＋eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)))＝tanα＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,sinαcosα).①當α是第一象限角時，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(5),5)，原式＝eq\f(1,sinαcosα)＝eq\f(5,2)；②當α是其次象限角時，cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(\r(5),5)，原式＝eq\f(1,sinαcosα)＝－eq\f(5,2).綜合①②知，原式＝eq\f(5,2)或－eq\f(5,2).答案(1)D(2)eq\f(5,2)或－eq\f(5,2)A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.(2024·揚州聯(lián)考)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(3),3)，則tanα＝()A.－eq\r(2) B.－eq\f(\r(3),2) C.－eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)解析因為α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(3),3)，所以cosα＝－eq\f(\r(6),3)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(2),2).答案C2.已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|<eq\f(π,2)，則θ等于()A.－eq\f(π,6) B.－eq\f(π,3) C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)解析∵sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，∴tanθ＝eq\r(3)，∵|θ|＜eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,3).答案D3.eq\r(1－2sin（π＋2）cos（π－2）)＝()A.sin2－cos2 B.sin2＋cos2C.±(sin2－cos2) D.cos2－sin2解析eq\r(1－2sin（π＋2）cos（π－2）)＝eq\r(1－2sin2cos2)＝eq\r(（sin2－cos2）2)＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.答案A4.(2024·成都診斷)已知cos(α＋π)＝eq\f(2,5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))＝()A.eq\f(7,25) B.－eq\f(7,25) C.eq\f(17,25) D.－eq\f(17,25)解析由cos(α＋π)＝－cosα＝eq\f(2,5)，得cosα＝－eq\f(2,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))＝cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(17,25).答案D5.若eq\f(sin（π－θ）＋cos（θ－2π）,sinθ＋cos（π＋θ）)＝eq\f(1,2)，則tanθ＝()A.1 B.－1 C.3 D.－3解析因為eq\f(sin（π－θ）＋cos（θ－2π）,sinθ＋cos（π＋θ）)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(1,2)，所以2(sinθ＋cosθ)＝sinθ－cosθ，所以sinθ＝－3cosθ，所以tanθ＝－3.答案D6.當θ為其次象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,2)))＝eq\f(1,3)時，eq\f(\r(1－sinθ),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))的值是()A.1 B.－1 C.±1 D.0解析∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,2)))＝eq\f(1,3)，∴coseq\f(θ,2)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(θ,2)在第一象限，且coseq\f(θ,2)<sineq\f(θ,2)，∴eq\f(\r(1－sinθ),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))＝eq\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))＝－1.答案B7.已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝()A.eq\f(5,13) B.eq\f(12,13) C.－eq\f(5,13) D.－eq\f(12,13)解析因為sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13).答案B8.已知sinx＋cosx＝eq\f(\r(3)－1,2)，x∈(0，π)，則tanx等于()A.－eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3) C.eq\r(3) D.－eq\r(3)解析由題意可知sinx＋cosx＝eq\f(\r(3)－1,2)，x∈(0，π)，則(sinx＋cosx)2＝eq\f(4－2\r(3),4)，因為sin2x＋cos2x＝1，所以2sinxcosx＝－eq\f(\r(3),2)，即eq\f(2sinxcosx,sin2x＋cos2x)＝eq\f(2tanx,tan2x＋1)＝－eq\f(\r(3),2)，得tanx＝－eq\f(\r(3),3)或tanx＝－eq\r(3).當tanx＝－eq\f(\r(3),3)時，sinx＋cosx<0，不合題意，舍去，所以tanx＝－eq\r(3).故選D.答案D二、填空題9.在△ABC中，若tanA＝eq\f(\r(2),3)，則sinA＝________.解析因為tanA＝eq\f(\r(2),3)>0，所以A為銳角，由tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\r(2),3)以及sin2A＋cos2A＝1，可求得sinA＝eq\f(\r(22),11).答案eq\f(\r(22),11)10.已知θ為第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，則tanθ＝________.解析由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ，又因為θ為第四象限角，所以cosθ≠0，所以6sinθ＝－8cosθ，所以tanθ＝－eq\f(4,3).答案－eq\f(4,3)11.化簡：eq\f(sin（α＋π）cos（π－α）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)),tan（－α）cos3（－α－2π）)＝________.解析原式＝eq\f(（－sinα）（－cosα）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),－tanαcos3α)＝eq\f(sinαcosαcosα,－\f(sinα,cosα)cos3α)＝eq\f(sinαcos2α,－sinαcos2α)＝－1.答案－112.已知tanθ＝3，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋2θ))＝________.解析∵tanθ＝3，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋2θ))＝sin2θ＝eq\f(2sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(2tanθ,tan2θ＋1)＝eq\f(6,9＋1)＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)B級實力提升13.(2024·河北六校聯(lián)考)若sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，則eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3,2)π))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))tan2（2π－α）,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin（π＋α）)＝()A.eq\f(3,5) B.eq\f(5,3) C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,4)解析∵方程5x2－7x－6＝0的兩根分別為x1＝2和x2＝－eq\f(3,5)，∴sinα＝－eq\f(3,5).則eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3,2)π))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))tan2（2π－α）,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin（π＋α）)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))（－cosα）tan2α,sinα（－sinα）（－sinα）)＝eq\f(－cos2α·\f(sin2α,cos2α),sin3α)＝－eq\f(1,sinα)＝eq\f(5,3)，故選B.答案B14.若tanα＝cosα，則eq\f(1,sinα)＋cos4α的值為()A.eq\r(2) B.2 C.2eq\r(2) D.4解析tanα＝cosα?eq\f(sinα,cosα)＝cosα?sinα＝cos2α，故eq\f(1,sinα)＋cos4α＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinα)＋sin2α＝sinα＋eq\f(cos2α,sinα)＋1－cos2α＝sinα＋eq\f(sinα,sinα)＋1－sinα＝2.答案215.已知θ是三角形的一個內(nèi)角，且sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程4x2＋px－2＝0的兩根，則θ等于________.解析由題意知sinθ·cosθ＝－eq\f(1,2)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2θ＋cos2θ＝1，,sinθ·cosθ＝－\f(1,2)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1