2025屆高考數(shù)學(xué)一輪知能訓(xùn)練第三章三角函數(shù)與解三角形第4講簡單的三角恒等變換含解析

PAGE1-第4講簡潔的三角恒等變換1．設(shè)A，B是△ABC的內(nèi)角，且cosA＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(5,13)，則sinC＝()A.eq\f(63,65)或－eq\f(16,65)B.eq\f(16,65)C.eq\f(16,65)或－eq\f(63,65)D.eq\f(63,65)2．(2024年湖北4月調(diào)研)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，則sinα的值等于()A.eq\f(2\r(2)－\r(3),6)B.eq\f(2\r(2)＋\r(3),6)C.eq\f(2\r(6)－1,6)D．－eq\f(2\r(6)－1,6)3．下列關(guān)于函數(shù)f(x)＝sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋cosx))的說法中，錯誤的是()A．f(x)的最小正周期為πB．f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，0))對稱C．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(π,8)對稱D．f(x)的圖象向右平移eq\f(π,8)個單位長度后得到一個偶函數(shù)的圖象4．為使方程cos2x－sinx＋a＝0在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)有解，則a的取值范圍是()A．－1≤a≤1B．－1<a≤1C．－1≤a<0D．a(chǎn)≤－eq\f(5,4)5．(多選)設(shè)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，則f(x)()A．是偶函數(shù)B．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞減C．最大值為2D．其圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱6．(2024年浙江)函數(shù)f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，最小值是________，單調(diào)遞減區(qū)間是__________________．7．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派通過探討正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)覺了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可表示為m＝2sin18°.若m2＋n＝4，則eq\f(1－2cos227°,3m\r(n))＝__________.8．sin220°＋cos280°＋eq\r(3)sin20°cos80°＝________.9．若函數(shù)y＝cos2x＋eq\r(3)sin2x＋a在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為____________．10．在平面直角坐標系xOy中，點P(x0，y0)在單位圓O上，設(shè)∠xOP＝α，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(12,13)，則x0的值為________________．11．(2024年安徽)已知函數(shù)f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．12．(2024年浙江)已知函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x－2eq\r(3)sinxcosx(x∈R)．(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))的值；(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

第4講簡潔的三角恒等變換1．D解析：∵cosA＝eq\f(3,5)，0<A<π，∴A為銳角，且sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(4,5).又sinB＝eq\f(5,13)<sinA，∴B<A，∴B為銳角且cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(12,13).∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(63,65).故選D.2．C3．B解析：∵f(x)＝sinx(cosx＋sinx)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋eq\f(1,2)，∴f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.故A正確；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝eq\f(\r(2),2)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)－\f(π,4)))＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).故B錯誤；sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))－\f(π,4)))＝－1.故C正確；將f(x)的圖象向右平移eq\f(π,8)個單位長度后得到y(tǒng)＝eq\f(\r(2),2)·sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,8)))－\f(π,4)))＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(2),2)cos2x為偶函數(shù)，故D正確．故選B.4．B解析：設(shè)sinx＝t，則方程cos2x－sinx＋a＝0變?yōu)閍＝t2＋t－1，其中t∈(0,1]．∵t2＋t－1∈(－1,1]，∴－1<a≤1.故選B.5．ABD6．πeq\f(3－\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)＋kπ，\f(7π,8)＋kπ))，k∈Z解析：f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1－cos2x,2)＋1＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(3,2)＝eq\f(\r(2),2)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋eq\f(3,2)，∴T＝eq\f(2π,2)＝π；f(x)min＝eq\f(3,2)－eq\f(\r(2),2).單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)＋kπ，\f(7π,8)＋kπ))，k∈Z.7．－eq\f(1,6)解析：m＝2sin18°，m2＋n＝4，n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，則eq\f(1－2cos227°,3m\r(n))＝eq\f(1－2cos227°,3×2sin18°×2cos18°)＝eq\f(－cos54°,6sin36°)＝－eq\f(1,6).8.eq\f(1,4)解析：方法一，(降冪化角)sin220°＋cos280°＋eq\r(3)sin20°cos80°＝eq\f(1,2)(1－cos40°)＋eq\f(1,2)(1＋cos160°)＋eq\r(3)sin20°cos80°＝1－eq\f(1,2)cos40°＋eq\f(1,2)cos160°＋eq\r(3)sin20°cos(60°＋20°)＝1－eq\f(1,2)cos40°＋eq\f(1,2)(cos120°cos40°－sin120°sin40°)＋eq\r(3)sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)＝1－eq\f(1,2)cos40°－eq\f(1,4)cos40°－eq\f(\r(3),4)sin40°＋eq\f(\r(3),4)sin40°－eq\f(3,2)sin220°＝1－eq\f(3,4)cos40°－eq\f(3,4)(1－cos40°)＝eq\f(1,4).方法二，(構(gòu)造對偶式)設(shè)x＝sin220°＋cos280°＋eq\r(3)sin20°cos80°，y＝cos220°＋sin280°－eq\r(3)cos20°sin80°，則x＋y＝1＋1－eq\r(3)sin60°＝eq\f(1,2)，x－y＝－cos40°＋cos160°＋eq\r(3)sin100°＝－2sin100°sin60°＋eq\r(3)sin100°＝0.∴x＝y(tǒng)＝eq\f(1,4).即x＝sin220°＋cos280°＋eq\r(3)sin20°cos80°＝eq\f(1,4).9．(－2，－1]解析：由題意，可知y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋a，該函數(shù)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有兩個不同的零點，即y＝－a，y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有兩個不同的交點．結(jié)合函數(shù)的圖象D137，可知1≤－a＜2，∴－2＜a≤－1.圖D13710．－eq\f(7\r(2),26)解析：∵點P(x0，y0)在單位圓O上，且∠xOP＝α，∴cosα＝x0，sinα＝y(tǒng)0，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，α＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(12,13)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(5,13)，x0＝cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))·coseq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝－eq\f(7\r(2),26).11．解：(1)∵f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1，∴函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由(1)知，f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1.當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，2x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，作單位圓，畫出2x＋eq\f(π,4)所表示角的集合，由圖D138可知，圖D138當2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,8)時，f(x)取最大值eq\r(2)＋1；當2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,4)，即x＝eq\f(π,2)時，f(x)取最小值0.綜上，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值為eq\r(2)＋1，最小值為0.12．解：(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2－2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝2.(2)由cos2x＝co