專(zhuān)題03 等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 11個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（原卷版）

清單03等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】作差法比較大小作差法的依據(jù)：①；②；③步驟：(1)作差；(2)變形；（目的：便于判定差的符號(hào)，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）(3)定號(hào)；（當(dāng)差的符號(hào)不確定時(shí)，一般需要分類(lèi)討論）(4)下結(jié)論。（根據(jù)當(dāng)差的正負(fù)與實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)下結(jié)論）【清單02】不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱(chēng)性（等價(jià)于）傳遞性（推出）可加性（等價(jià)于可乘性注意的符號(hào)（涉及分類(lèi)討論的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同為正數(shù)【清單03】重要不等式一般地，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.【清單04】基本不等式鏈（其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）（注意：一正，二定，三相等，特別“一正”，“三相等”這兩類(lèi)陷阱）【考點(diǎn)題型一】比較兩個(gè)代數(shù)式的大小【解題方法】作差法【例1】（24-25高一上·北京延慶·期中）若和，則和的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）下列命題:①若，則

②若，則③若，則

④若，則其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-2】（24-25高一上·福建莆田·期中），，，則有.（請(qǐng)?zhí)睢啊?、“”、“”、“”、“”）【考點(diǎn)題型二】基本不等式（和為定值求積的最值）【例2】（24-25高三上·山東棗莊·期中）求下列各式的最值(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)已知，求的最大值.【變式2-1】（24-25高一上·新疆省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）若，且，則的最大值是．【變式2-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知，，且．(1)求xy的最大值；(2)求的最小值．【考點(diǎn)題型三】基本不等式（積為定值求和的最值）【例3】（24-25高一上·北京·期中）當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最大值為（

）A．6 B．10 C．12 D．13【變式3-1】（24-25高一上·陜西寶雞·期中）已知，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式3-2】（24-25高一上·北京·期中）函數(shù)的最小值是.【考點(diǎn)題型四】基本不等式（湊項(xiàng)（系數(shù)））形如：【例4】（24-25高一上·上海閔行·期中）函數(shù)的最小值是.【變式4-1】（24-25高一上·貴州六盤(pán)水·期中）已知，則的最大值是.【變式4-2】（24-25高一上·北京·期中）已知函數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值．【考點(diǎn)題型五】基本不等式（常數(shù)代換法）形如：①已知，求；或已知，求【例5】（24-25高一上·湖南·期中）已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式5-1】（24-25高一上·天津紅橋·期中）已知，，且，則的最小值.【變式5-2】（24-25高一上·云南德宏·期中）已知正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為.【考點(diǎn)題型六】基本不等式（二次與二次（或一次）商式）形如：或者，常用換元法：令【例6】（24-25高一上·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）若，則的最小值為.【變式6-1】（24-25高一上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，則的最大值是（

）A． B． C． D．【變式6-2】（22-23高一上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，求的最小值【考點(diǎn)題型七】條件等式求最值形如：，目標(biāo)①求型；目標(biāo)②求型【例7】（24-25高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式7-1】（24-25高一上·天津西青·期中）已知、為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是.【變式7-2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足.(1)求的最小值，并求出此時(shí)，的值；(2)若的最小值是25，求的值.【考點(diǎn)題型八】對(duì)鉤函數(shù)求最值形如或者【例8】（23-24高二上·河南）已知函數(shù)的最小值為，則的解析式可以是（

）A． B．C． D．【變式8-1】（多選）（23-24高一上·江蘇連云港·期中）下列命題中，是假命題的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式8-2】（多選）（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是 D．若，則的最大值是【考點(diǎn)題型九】基本不等式的恒成立問(wèn)題【例9】（23-24高二上·黑龍江綏化）設(shè)正數(shù)，滿(mǎn)足，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式9-1】（24-25高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知，且，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值是（

）A． B．C． D．【變式9-2】（24-25高一上·廣東深圳·期中）已知滿(mǎn)足.(1)求的最小值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【考點(diǎn)題型十】在實(shí)際問(wèn)題中判斷使用基本不等式求最值【例10】（24-25高一上·福建泉州·期中）某公司為提高企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益，大力進(jìn)行新產(chǎn)品研發(fā)，現(xiàn)計(jì)劃投入72萬(wàn)元，全部用于甲、乙兩種產(chǎn)品的研發(fā)，每種產(chǎn)品至少要投入15萬(wàn)元，在對(duì)市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)研分析完后發(fā)現(xiàn)，甲產(chǎn)品的利潤(rùn)，乙產(chǎn)品的利潤(rùn)與研發(fā)投入（單位：萬(wàn)元）滿(mǎn)足，，設(shè)甲產(chǎn)品的投入為（單位：萬(wàn)元），兩種產(chǎn)品的總收益為（單位：萬(wàn)元）．(1)求的表達(dá)式，并求當(dāng)甲產(chǎn)品投入26萬(wàn)元時(shí)，兩種產(chǎn)品的總收益為多少萬(wàn)元；(2)試問(wèn)如何安排甲、乙兩種產(chǎn)品的研發(fā)投入，才能使總收益最大？【變式10-1】（24-25高一上·北京·期中）已知某商品每件的成本為8元，每月銷(xiāo)量（萬(wàn)件）與每件售價(jià)（元）的函數(shù)關(guān)系近似為：，若使每月的凈利潤(rùn)最高，則每件售價(jià)應(yīng)定為（

）（注：凈利潤(rùn)銷(xiāo)售總額總成本）A．10元 B．12元 C．15元 D．16元【變式10-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）現(xiàn)使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱(chēng)20g藥品，操作方法如下：先將10g的砝碼放在天平左盤(pán)中，取出一些藥品放在天平右盤(pán)中，使天平平衡；再將10g的砝碼放在天平右盤(pán)中，再取出一些藥品放在天平左盤(pán)中，使得天平平衡．你認(rèn)為兩次實(shí)際稱(chēng)得的藥品總重量（

）A．等于20g B．大于20g C．小于20g D．以上都有可能【考點(diǎn)題型十一】不等式中的新定義題【例11】（24-25高一上·四川成都·期中）對(duì)于基本不等式，即當(dāng)，時(shí)有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)不等式取“=”），我們稱(chēng)為正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，為它們的幾何平均數(shù)，兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù)．這只是均值不等式的一個(gè)簡(jiǎn)化版本．均值不等式的歷史可以追溯到19世紀(jì)，由在1882年發(fā)表的論文中首次提出．均值不等式，也稱(chēng)為平均值不等式或平均不等式，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式．它的基本形式包括調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)和平方平均數(shù)之間的關(guān)系．它表明：個(gè)正數(shù)的平方平均數(shù)大于等于它們的算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)大于等于調(diào)和平均數(shù)，且當(dāng)這些數(shù)全部相等時(shí)，等號(hào)成立．(1)請(qǐng)直接運(yùn)用上述不等式鏈中某個(gè)的情形求的最小值；(2)寫(xiě)出時(shí)調(diào)和平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系，并證明；(3)如圖，把一塊長(zhǎng)為的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再將它的邊沿虛線(xiàn)折轉(zhuǎn)做成一個(gè)無(wú)蓋的方底盒子．問(wèn)切去的正方形邊長(zhǎng)是多少時(shí)，才能使盒子的容積最大？【變式11-1】（24-25高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）定義：為實(shí)數(shù)中較大的數(shù)．若，則的最小值為．【變式11-2】（24-25高一上·福建福州·階段練習(xí)）若一個(gè)集合含有個(gè)元素，且這個(gè)元素之和等于這個(gè)元素之積，則稱(chēng)該集合為元“復(fù)活集”.(1)直接寫(xiě)出一個(gè)2元“復(fù)活集”（無(wú)需寫(xiě)出求解過(guò)程）；(2)求證：對(duì)任意一個(gè)2元“復(fù)活集”，若其元素均為正數(shù)，則其元素之積一定大于4；(3)是否存在某個(gè)3元“復(fù)活集”，其元素均為正整數(shù)?若存在，求出所有符合條件的3元“復(fù)活集”；若不存在，說(shuō)明理由.提升訓(xùn)練1．（24-25高一上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知，則以下錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．2．（24-25高一上·遼寧大連·期中）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·廣東佛山·期中）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．與的取值有關(guān)4．（湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題）已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或5．（浙江省寧波市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知，，且，則的最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．136．（24-25高一上·北京·期中）使“函數(shù)的最小值為2”為假命題的的一個(gè)值可以是（

）A．-2 B．-1 C．0 D．17．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．88．（24-25高一上·江西上饒·階段練習(xí)）已知正數(shù)x、y滿(mǎn)足，不等式恒成立.則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（多選）（24-25高一上·河北石家莊·期中）設(shè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為10．（多選）（24-25高一上·江蘇無(wú)錫·期中）若且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為B．的最小值為C．的最小值為D．的最大值為11．（24-25高一上·海南?？凇て谥校┤簦瑒t的最小值為.12．（24-25高一上·河北·階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為.四、解答題13．（24-25高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足：.(1)求的最大值；(2)求的最小值；14．（24-25高一上·貴州·期中）已知，，且.(1)求的取值范圍；(2)證明：；(3)求的最小值.15．（24-25高一上·江蘇徐州·期中）已知、為東西方向的海岸線(xiàn)上相距的兩地（在的東側(cè)），是、之間距地處的一地，在地正南方向處有一海島，由海島開(kāi)往海岸的小船以的速度按直線(xiàn)方向航行.(1)某人在海島上乘小船在距地正東方向處的地登岸，登岸后以的速度向東