中考數(shù)學專項復習：數(shù)軸與絕對值的綜合應用（解析版）

專題02數(shù)軸上的四種動點問題

【知識點梳理】

1.數(shù)軸上兩點間的距離

數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)為分別為a、b,則A與B間的距離AB=|a-b|；

2.數(shù)軸上點移動規(guī)律

數(shù)軸上點向右移動則數(shù)變大（增加），向左移動數(shù)變?。p?。?/p>

當數(shù)a表示的點向右移動b個單位長度后到達點表示的數(shù)為a+b；向左移動b個單位長度后到達點表示的

數(shù)為a—b.

類型一、求動點運動的時間

例.如圖，已知數(shù)軸上有A、B、C三點，點O為原點，點A、點8在原點的右側(cè)，點C在原點左側(cè)，點A

表示的數(shù)為。，點3表示的數(shù)為6,且。與6滿足-4|+（6-10）2=0,AC=24.

------------A

C0AB

C0AB

備用圖

-----------A

COAB

備用圖

⑴直接寫出。、6的值，a=,b=；

（2）動點尸從點C出發(fā)，以每秒6個單位的速度沿數(shù)軸的正方向運動，同時動點。從點3出發(fā)，以每秒3個

單位的速度沿數(shù)軸的正方向運動，設運動時間為《"0）秒，請用含，的式子表示線段尸。的長度；

⑶在（2）的條件下，若點M為/P的中點，點&為PQ的中點，求f為何值時，滿足2Mo=MR.

【答案】（1）4；10；（2）P2=|-3Z+3O|；⑶當"百或互時，滿足2M

【解析】（1）解：r|a-4|+（6-10）2=0,.?.”4=0,6-10=0,解得：a=4,b=10；故答案為4；10；

（2）解：:/C=24,且點/表示的數(shù)為4,.,?點C所表示的數(shù)為-20,

由題意可得CP=6/,80=3f,則有點尸在數(shù)軸上所表示的數(shù)為一20+0,點。在數(shù)軸上所表示的數(shù)為10+37，

尸°=|10+3/+20-6t\=卜37+30|；

⑶解：由（1）（2）可得：點尸在數(shù)軸上所表示的數(shù)為-20+0,點。在數(shù)軸上所表示的數(shù)為10+3/,點/

表示的數(shù)為4,點8表示的數(shù)為10,點C表示的數(shù)為-20,.??以=|24-研，2。=卜3/+30],

???點〃為/尸的中點，點五為尸0的中點，.??尸河=3"=；|24-6小ra=1p2=l|-3?+30|,

Q

①當點尸、M都在點。的左側(cè)時，可得：如圖所示：

iIIIIIiI?

CPMORABQ

33

.".OAf=O/?-m=20-6/-（12-3z）=8-3z,MR^PR-PM=--t+l5-U+3t+3,

o?A

,：2MO=MR,J.2（8—3。=Q,+3,解得：t=；

Q

②當點尸、又都在點。的右側(cè)且在點/的左側(cè)，即§<￡<4,如圖所示：

??til??t—

COPMARB0

33

,-.OM=OP+PM=6t-2Q-（12-3t）=9t-32,MR=PR-PM=--t+15-12+3t^-t+3,

3134

-：2MO=MR,.?.2（9/-32）=-Z+3,解得：t=—（不符合題意，舍去）；

③當點尸、M都在點/的右側(cè)且在點P、。沒有重合，即4</V10,如圖所示：

IIIIIII1A

C0AMPBRo

33

.-.OM=OP-PM=6t-2Q-（3t-n）=3t-8,MR^PR+PM=--t+\5-n+3t^-t+3,

338

v2A/O=A4Rt2（3/—8）=—/^+3,解得：t=；

④當點尸在點0的右側(cè)時，顯然是不符合2Mo=〃R；

二綜上所述：當2Mo=M?,/或蓑.

【變式訓練1】如圖，已知數(shù)軸上的點/、8對應的數(shù)分別是一5和L

/B

O

⑴若尸到點N、8的距離相等，求點尸對應的數(shù)；

（2）動點P從點/出發(fā)，以2個長度單位/秒的速度向右運動，設運動時間為/秒，問：是否存在某個時刻/,

恰好使得尸到點/的距離是點尸到點2的距離的2倍？若存在，請求出f的值；若不存在，請說明理由；

⑶若動點P從點/出發(fā)向點8運動，同時，動點。從點8出發(fā)向點/運動，經(jīng)過2秒相遇；若動點P從

點/出發(fā)向點3運動，同時，動點。從點2出發(fā)與點尸同向運動，經(jīng)過6秒相遇，試求尸點與。點的運

動速度（長度單位/秒）

【答案】（1）-2；⑵存在；2或6；（3）2單位長度/秒；1單位長度/秒

【解析】（1）點4、8對應的數(shù)分別是-5和1,

設點尸對應的數(shù)為x,則尸4=x+5,PB=\-x,

PA=PB,x+5=1-x,解得：x=-2,

.??點P對應的數(shù)為-2；

（2）P對應的數(shù)為-5+2t,.?.P/=2f,出=卜5+2/-1|=|2”6|,

■.-PA=2PB,.-.2if=2|2f-6|,

當/=2t-6時，t=6,

當—=0時，t=2,

答：當f=2或6時，恰好使得尸到點N的距離是點P到點8的距離的2倍：

⑶設尸點的運動速度a單位長度/秒，0點的運動速度〃單位長度/秒，根據(jù)題意得，

f2m+2n=6[m=2

\AAA,解得：I1,

\-bm-077=6=1

答：尸點的運動速度2單位長度/秒，。點的運動速度1單位長度/秒.

【變式訓練2】如圖一，已知數(shù)軸上，點A表示的數(shù)為-6,點3表示的數(shù)為8,動點尸從A出發(fā)，以3個單

位每秒的速度沿射線AB的方向向右運動，運動時間為f秒。>0）

AB

-------1-------------1---------------1--------------->

-608

圖一

⑴線段.

（2）當點尸運動到22的延長線時8P=.（用含f的代數(shù)式表示）

（3汝口圖二，當/=3秒時，點M是4P的中點，點N是AP的中點，求此時的長度.

APB

--------1--------------1------?---------1----------------->

-608

圖二

⑷當點尸從A出發(fā)時，另一個動點。同時從3點出發(fā)，以1個單位每秒的速度沿射線向右運動,

①點尸表示的數(shù)為：（用含f的代數(shù)式表示），

點。表示的數(shù)為：（用含f的代數(shù)式表示）.

②存在這樣的，值，使3、尸、。三點有一點恰好是以另外兩點為端點的線段的中點，請直接寫出f

值..

AB

-----1---------1----------1---------->

-608

備用圖

728

【答案】(1)14；⑵%-14；⑶7；(4)①%一6；f+8②5秒或彳秒或7秒或14秒

【解析】(1)解：,??在數(shù)軸上，點/表示的數(shù)為一6,點2表示的數(shù)為8,

.?.^5=|8-(-6)|=14.

故答案為：14

(2,?在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)為-6,點8表示的數(shù)為8,動點尸從A點出發(fā)時，以3個單位每秒的速度沿射

線48的方向向右運動，運動時間為t秒，

/.AP=3t,

.'.BP=AP-AB=3t-}4.

故答案為：3%-14

(3)???點A表示的數(shù)為-6,點5表示的數(shù)為8,動點尸從A點出發(fā)時，以3個單位每秒的速度沿射線45的方

向向右運動，

當，=3秒時，AP=3t=3x3=9,

：.BP=AB-AP=14-9=51

又???點〃是ZP的中點，點N是5尸的中點，

1915

：.PM=-AP=-,PN=-BP=-,

2222

95

,-.MN=PM+PN=-+-=7.

22

???此時MN的長度為7.

⑷①設運動時間為方,當點尸從A點出發(fā)時，以3個單位每秒的速度沿射線45的方向向右運動，另一個動

點。同時從8點出發(fā)，以1個單位每秒的速度沿射線向右運動，

AP=3t,BQ=t,

???點尸所表示的數(shù)為：3”6,點。所表示的數(shù)為：，+8,

故答案為：3Z-6；￡+8

②結(jié)合①的結(jié)論和點8所表示的數(shù)，可知：

點3表示的數(shù)為8,點尸所表示的數(shù)為：3t-6,點0所表示的數(shù)為：/+8,

分以下三種情況：若點8為中點，則=

.-.|3/-6-8|=|?+8-8|,解得："(或"7；

若點尸為中點，則*=尸0,

.?.3/-6-8=/+8-(3/-6),解得：?=y；

若點。為中點，則8。=尸。，

f+8—8=3/—6—(7+8),解得：t—i4.

7?e

綜上所述，當/為:秒或9秒或7秒或14秒時，B、尸、。三點中有一點恰好是以另外兩點為端點的線段的

25

中點.

【變式訓練3】如圖，單位長度為1的數(shù)軸上有三個點N、B、C,其中N、。點表示的數(shù)互為相反數(shù).

ABC

⑴點B表示的數(shù)是；

⑵若線段向左以每秒1單位運動，點C向左每秒2單位運動，那么經(jīng)過幾秒點C到/、3兩點的距離相

等？

⑶若點P從點/開始以每秒1個單位向點C運動，點。從點C開始以每秒4個單位在N、C之間做往返運

動.當點P到達點C時，兩個點同時停止運動，請問經(jīng)過幾秒P,。兩點相遇.

Q

【答案】(D-1;(2)6.5秒；(3)經(jīng)過1.6秒或§秒或4.8秒8秒后，尸、。兩點相遇.

【解析】(1)解：???/、C點表示的數(shù)互為相反數(shù).AC=8,

:.A,C點表示的數(shù)為-4,4,

點3表示的數(shù)是-4+3=-1,

故答案為：T;

⑵解：設經(jīng)過/秒點C到A、8兩點的距離相等，由題意得：

-l-f-(4-2z)=4-2f-(-4-0,解得f=6.5,

答：經(jīng)過6.5秒點C到A、8兩點的距離相等；

(3)解：設經(jīng)過x秒尸、0兩點相遇，

①當點。第一次從點C到點A的過程中，工+4工=8解得苫=1.6秒；

Q

②當點。第一次從點A到點C的過程中，4x-x=8,解得x=］秒；

③當點。第二次從點C到點A的過程中，4x-16+x=8解得x=4.8秒；

④當點。第一次從點A到點C的過程中，4x-x=24解得x=8秒；

Q

答：經(jīng)過1.6秒或§秒或4.8秒8秒后，尸、。兩點相遇.

【變式訓練4】如圖，數(shù)軸上線段/3=2（單位長度），8=4（單位長度），點/在數(shù)軸上表示的數(shù)是-8,

點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是10,若線段以3個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時線段。。以1個單

位長度/秒的速度也向右勻速運動.

AB0CD

⑴線段AB與線段CD從開始相遇到完全離開共經(jīng)過多長時間；

⑵問運動多少秒時8c=2（單位長度）;

⑶設線段CD開始運動后的運動時間為f秒，當f為何值時，恰好滿足AD=2BC.

【答案】（1"=3秒；（2）①8、C相遇之前：f=7秒，②B、C相遇之后：f=9秒

⑶當/為5秒或9秒后恰好滿足AD=2BC

【解析】⑴解：B、C相遇后到/點完全離開:

AB+CD(-6)-(-8)+(14-10)2+4°

t=------------=----------------------------=-------=3秒

VAB-VCD3-12

BC-210-(-6)-214

⑵解：①8C相遇之前:=

VAB-VCD一打—二萬

BC+2吐3號=9秒

②3、C相遇之后:

3-1

VAB-VCD

⑶由題可得，，秒后/,B,C,。可分別表示為：A：—8+3t,B：—6+3?,C：10+7,D：14+/.

貝lj：=|14+f-(-8+3/)|=|22-2t\,5C=|10+Z-(-6+3f)|=|16-2f|,

①）3、C相遇之前，由題可得：22-2/=2（16-2f）,2/=10,t—5

②8、C相遇之后，由題可得：22-2/=2⑵-16）,-6y-54,t=9

綜上所述：當，為5秒或9秒后恰好滿足NO=22C.

類型二、定值問題

例1.點/、2在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為a、b,且a、6滿足卜+1|+|6-3『=0.

-BToBNP

⑴如圖1,求線段的長;

(2)若點C在數(shù)軸上對應的數(shù)為x,且x是方程2x+l=；x-2的根，在數(shù)軸上是否存在點尸使尸/+P8=3C,

若存在，求出點P對應的數(shù)，若不存在，說明理由；

⑶如圖2,點尸在3點右側(cè)，PN的中點為M,N為尸3靠近于8點的四等分點，當尸在8的右側(cè)運動時,

2

有兩個結(jié)論：①尸M-28N的值不變；②尸的值不變，其中只有一個結(jié)論正確，請判斷正確的結(jié)

論，并直接寫出該值.

【答案】(1)4；(2)存在，當點P表示的數(shù)為-1.5或3.5時，PA+PB=BC；理由見解析

⑶結(jié)論①正確，PM-2BN=2

【解析】⑴解：??,|。+1|+(Z)-3)2=0,.*.(2+1=0,6-3=0,b=3,

.*.^=1-1-31=4.答:45的長為4；

⑵解：存在，T2X+1=；x-2,.，.工二-2,泊。二卜2-3卜5.

設點尸在數(shù)軸上對應的數(shù)是加，???尸4+必=8。，.?.|"+1|+|加-3|=5,

令加+1=0,m-3=0,???加=-1或加=3.

①當加V-1時，-m-l+3-m=5,m=-1.5；

②當-IV加43時，m+l+3-m=5,(舍去)；

③當加＞3時，m+l+m-3=5,加=3.5..??當點尸表示的數(shù)為-1.5或3.5時，PA+PB=BC；

(3)解:設尸點所表示的數(shù)為〃，，尸4=〃+1,PB=n-3.

■.PA的中點為"，??/"=；R4=等.

?.W為尸5的四等分點且靠近于8點，???BN」尸慶二，.?.①尸環(huán)28沖噂-2'二=2(不變)，

4424

②PM+g:x一=/〃(隨點P的變化而變化)，

正確的結(jié)論為①，且PM-2BN=2.

例2.如圖，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動3cm到達/點，再向右移動4cm到達5點，然后再向

右移動加到達。點，數(shù)軸上一個單位長度表示1cm.

■iiaiiititii

-6-5-4-3-2-1012345

⑴請你在數(shù)軸上表示出4B,C三點的位置；

⑵把點C到點A的距離記為CA,則CA-cm.

(3)若點A沿數(shù)軸以每秒3cm勻速向右運動，經(jīng)過多少秒后點A到點C的距離為3cm?

(4)若點/以每秒1cm的速度勻速向左移動，同時點8、點C分別以每秒4cm、9cm的速度勻速向右移動.設

移動時間為f秒，試探索：氏4-的的值是否會隨著/的變化而改變？若變化，請說明理由，若無變化，請

直接寫出區(qū)4-的的值.

【答案】⑴見解析；(2)］15；⑶經(jīng)過］3或7;秒后點/到點C的距離為3cm

(4)BA-CB的值不會隨著t的變化而變化，BA-CB=；

【解析】(1)解：由題意得：/點對應的數(shù)為-3,2點對應的數(shù)為1,點C對應的數(shù)為1，

點4B,C在數(shù)軸上表示如圖：

1i.Aii1

-5-4-3-2-10

(2)解：設原點為。，如圖

A

-5-4-3-2-10

915

.0=3,OC=-,：.AC=OA+OC=—.

22

故答案為：—■

(3)解：①當點/在點C的左側(cè)時，設經(jīng)過x秒后點/到點C的距離為3cm,

由題意得：=15-3》=3,解得:x3

22

②當點/在點C的右側(cè)時，設經(jīng)過x秒后點/到點C的距離為3cm,

157

由題意得：3X-?=3,解得:x=(.

22

37

綜上，經(jīng)過;或;秒后點/到點C的距離為3cm.

⑷解：氏4-CB的值不會隨著/的變化而變化，BA-CB=^.

7

由題意：AB=4cm,CB=—cm,

2

???移動/秒后，45=4+￡+4/=(4+5。。加,CB=9t-4t+^=^5t+^cm,

.?.8/-0?=(4+5/)-(5/+()=3.；."-酸的值不會隨著/的變化而變化，BA-CB=^.

【變式訓練1】如圖，在數(shù)軸上點”表示的數(shù)為。，點2表示的數(shù)為6,且a,b滿足|。+2|+伍-5『=0,。

為原點，若動點P從點/出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，設運動的時間為/

(秒).

~~A~o

(1)求Q,b的值.

(2)當點尸運動到線段上時，分別取。2和NP的中點E,F,試探究下列結(jié)論：①的值為定值;

"'E二F°’

②牛”的值為定值，其中有且只有一個是正確的，請將正確的選出來并求出該值.

EF

⑶當點尸從點N出發(fā)運動到點。時，另一動點Q從點3出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度在08間往返運

動，當尸0=1時，求動點尸運動的時間f的值.

【答案】⑴：二7；⑵①正確，該定值為2；⑶P運動的時間”學或f=4或f=6或"之

S=533

【解析】⑴由題得|。+2|+修一5『=0,?.?,+2|?0,(b-5)2>0,

II,.7[ci——2

：.\a+2|=0,僅一5)=0,"+2=0,6―5=0,.'.k.

⑵設P點對應的數(shù)為X,則04xW5,?.?08與/尸的中點分別為￡、F,則￡點對應的數(shù)為g,尸點對應的

數(shù)為三2，則N2=7,OP=x,所=寧，

2N

AB-OP__1—x_0

對于①有EF=不了=為定值,

2

4B+0P7+x7(7+X)

對于②有EFi7-x一7-無不為定值.

2

.?.①正確，該定值為2.

⑶當點尸運動到6對應的點時，=8,此后尸5>1恒成立，由于0在。5間往返運動.

則尸。=1不會再成立，當點P運動到。時，t=2,

.?-2</<8,且由題得尸點對應的數(shù)為L2,

點。第一次到達。時，"2+尹點。第一次到達8時，;步尹7,

點Q第二次到達。時，f=7+尹煤，

.?.①時，0點對應的數(shù)為5-2(/-2)=9-2L則尸0=|11-30=1,

I.ll~3t=lt=——

f3

II.-=4.

②泊<7時,Q點對應的數(shù)為2，-駕=2”9,

PQ=\(2t-9)-(t-2)\=\t-l\=l,

I.7=1,t=8(舍)，

II.L7=—1,t=6.

③74三8時，0點對應的數(shù)為5-2(/7)=19-2乙PQ=\21-3t\=l,

20/人、

I.21—3/=1,t=—(舍)，

3

22

II.21-3^=-1,t=—.

3

1022

綜上尸運動的時間，=<或/=4或￡=6或公工.

【變式訓練2】如圖，直線/上有兩條可以左右移動的線段43和C。，線段在線段。。的左邊，AB=m,

CD=n,且|加—8|+(〃-16)2=0,運動過程中，點河、N始終分別是線段48、。。的中點.

I.I________________________I__________,___________I_______[

AMBCND

⑴求線段加，”的值；

(2)若線段以每秒4個單位長度的速度向右運動，同時，線段CD以每秒1個單位長度的速度也向右運動，

且線段42運動6秒時，MN=4,求運動前點3、C之間的距離；

⑶設BC=24,且線段CD不動，將線段以每秒4個單位長度的速度向右運動.在向右運動的某一個

時間段內(nèi)，是否存在九W+/。的值為定值，若存在，請直接寫出這個定值，并直接寫出這個時間段；若不

存，請說明理由.

【答案】(1)"?=8,”=16；(2)運動前點8、C之間的距離為10或2；

⑶當9<r<12時，MN+AD=12為定值.

【解析】(l)v|m-8|+(w-16)2=0,.-.m-8=0,?-16=0,解得：m=8,?=16；

⑵由(1)可得：AB=8,CZ)=16,

,?,點”、N始終分別