中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圖形規(guī)律問題

專題2.2圖形規(guī)律問題

典例精析

【典例1】國(guó)慶節(jié)期間，人民廣場(chǎng)的一個(gè)公共區(qū)域用盆栽進(jìn)行了美化，盆栽按如圖的方式擺放，圖中的盆栽

被折線隔開分成若干層，第一層有1個(gè)盆栽，第二層有3個(gè)盆栽，第三層有5個(gè)盆栽，第四層有7個(gè)盆栽，…,

以此類推.請(qǐng)觀察圖形規(guī)律，解答下列問題：

(1)第10層有個(gè)盆栽，前5層共有個(gè)盆栽；

(2)觀察圖計(jì)算1+3+5+7+-+17=；

(3)拓展應(yīng)用：求51+53+55+…+2023的值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)后面一層比前面一層多2個(gè)盆栽，結(jié)合圖形，根據(jù)規(guī)律可求出其值；

(2)圖形剛好構(gòu)成正方形的面積，求面積即可；

(3)先算出1+3+5+…+49+51+…+2023的和，1+3+5+…+49的和,再求它們的差即可.

【解題過程】

(1)解：根據(jù)題意可得，2x(10—1)+1=19,

13第10層有19個(gè)盆栽，

5x5=25,

團(tuán)前5層共有25個(gè)盆栽，

故答案為：19；25.

(2)解：觀察圖形可得，第9層盆栽數(shù)量為：2x9—1=17,

01+3+5+7+???+17=92=81,

故答案為：81.

(3)解：根據(jù)題意可得，第1012層盆栽數(shù)量為：2x1012—1=2023,

01+3+5+?-■+49+51+53+55+?■■+2023=10122,

第25層盆栽數(shù)量為：2x25-1=49,

01+3+5+…+49=252,

051+53+55+???+2023=(1+3+5+…+51+53+55+…2023)-(1+3+5+■?-+49),

=10122-252=1023519,

051+53+55+???+2023的值為1023519.

學(xué)霸必刷

1.（2022秋?江蘇?七年級(jí)期中）觀察下列一組圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中第一個(gè)圖形中共有4個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖

…按此規(guī)律第6個(gè)圖形中共有點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

61D.64

2.（2022秋?浙江?七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示,按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個(gè)圓上（該圓周長(zhǎng)為3

個(gè)單位長(zhǎng)，且在圓周的三等分點(diǎn)處分別標(biāo)上了數(shù)字0,1,2）上；先讓原點(diǎn)與圓周上。所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再

將正半軸按順時(shí)針方向繞在該圓周上，使數(shù)軸上1,2,3,4,…所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別與圓周上1,2,0,1,...

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.若數(shù)軸繞過圓周99圈后,

數(shù)軸上的一個(gè)整數(shù)點(diǎn)剛好落在圓周上數(shù)字1所對(duì)應(yīng)的位置，則這個(gè)整數(shù)是（）

A.297B.298C.299D.300

3.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)開學(xué)考試）觀察圖中正方形四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，可知第506個(gè)正方形的左

A.2020B.2021C.2022D.2023

4.（2022秋?湖南?七年級(jí)期末）如圖是由邊長(zhǎng)為1的木條組成的幾何圖案，觀察圖形規(guī)律，第一個(gè)圖案由

1個(gè)正方形組成，共用的木條根數(shù)y=4,第二個(gè)圖案由4個(gè)正方形組成，共用的木條根數(shù)邑=12,第三個(gè)

圖案由9個(gè)正方形組成，共用的木條根數(shù)$3=24,以此類推…那么第100個(gè)圖案共用的木條根數(shù)0仞為（）

□

圖1

A.19600B.20400C.20200D.20000

5.（2023秋?貴州畢節(jié)?七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，甲、乙兩動(dòng)點(diǎn)分別從正方形的頂點(diǎn)4、C同時(shí)沿正

方形的邊開始移動(dòng)，甲點(diǎn)依順時(shí)針方向環(huán)行，乙點(diǎn)依逆時(shí)針方向環(huán)行.若甲的速度是乙的速度的3倍，則

它們第2022次相遇在邊（）上.

C.ABD.BC

6.（2022秋?湖南婁底?七年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察如圖所示圖形構(gòu)成的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，第42個(gè)圖中小圓點(diǎn)

的個(gè)數(shù)為

n=ln=2n=3n=4

7.（2023秋?全國(guó)?七年級(jí)課堂例題）觀察并找出如圖圖形變化的規(guī)律，則第2025個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)

量是個(gè).

1=18=181=1811=18181=

(1)(2)(3)C4)(5)

8.（2022秋?浙江杭州?七年級(jí)期末）如圖，第（1）個(gè)多邊形由正三角形“擴(kuò)展”而來，邊數(shù)記為CI3,第（2）

個(gè)多邊形由正方形“擴(kuò)展”而來，邊數(shù)記為a“依此類推，由正〃邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)記為

a（n>3）,當(dāng)工+上+工+…+工的結(jié)果是9時(shí)，〃的值為

‘‘a(chǎn)3a4a5%2022

(1)

9.（2022秋?全國(guó)?七年級(jí)期中）正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，則第29行第30列的數(shù)字為

第一列第二列第三列第四列

第一行12510

I4141

第二行4———3611

I1

▼

第三行9??-——8———712

I

第四行16———15一——14———13

10.（2023?全國(guó)?七年級(jí)假期作業(yè)）同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放:

圖1圖2圖3圖4

（1）圖5有多少顆黑色棋子？

（2）若第5+2）個(gè)圖形比第"個(gè)圖形中多2021顆棋子，試求〃的值.

11.（2022秋?安徽合肥?七年級(jí)校聯(lián)考期中）下列每一幅圖都是由單位長(zhǎng)度均為1的小正方形（包含白色小

正方形和灰色小正方形）按某種規(guī)律組成的.

（1）根據(jù)規(guī)律，第4個(gè)圖中共有個(gè)小正方形，其中灰色小正方形共有個(gè).

（2）第n個(gè)圖形中，白色小正方形共有個(gè).（用含n的式子表示，ri為正整數(shù)）

（3）白色小正方形可能比灰色小正方形正好多2024個(gè)嗎？如果可能，求出門的值；如果不可能，請(qǐng)說明理

由.

12.（2023秋?安徽六安?七年級(jí)統(tǒng)考期末）用火柴棒按如圖的方式搭圖形.

（1）按圖示規(guī)律完成下表:

圖形12345

火柴棒根數(shù)

5913—

（2）按照這種方式搭下去，搭第〃個(gè)圖形需要根火柴棒.（用含"的代數(shù)式表示）

（3）小靜同學(xué)說她按這種方式搭出來的一個(gè)圖形用了200根火柴棒，你認(rèn)為可能嗎？如果可能，那么是第

幾個(gè)圖形？如果不可能，請(qǐng)說明理由.

13.（2022秋?安徽滁州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）以下是一幅幅平面鑲嵌圖案，它們由相同的灰色正方形和白

色等邊三角形排列而成，觀察圖案，如圖1,當(dāng)正方形只有1個(gè)時(shí)，等邊三角形有4個(gè)；如圖2,當(dāng)正方形有2個(gè)

時(shí)，等邊三角形有7個(gè)；以此類推……

部有M趣r

第1個(gè)圖案第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案第4個(gè)圖案

（1）第5個(gè)圖案中正方形有個(gè)，等邊三角形有個(gè).

（2）第九個(gè)圖案中正方形有個(gè)，等邊三角形有個(gè).

（3）若此類圖案中有2023個(gè)等邊三角形，該圖案中正方形有多少個(gè)？

14.（2023秋?安徽合肥?七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列圖形是由邊長(zhǎng)為1的小正方形按照一定的規(guī)律組成的.觀察

圖形.回答下列問題:

?rm11ir

③④

(1)按上述規(guī)律排列，第□幅圖中，圖形的周長(zhǎng)為；

(2)按上述規(guī)律排列，第〃幅圖中.圖形的周長(zhǎng)為;

(3)按上述規(guī)律排列，是否存在第〃幅圖形的周長(zhǎng)為60,請(qǐng)說明理由.

15.(2023春?四川成都?七年級(jí)成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_學(xué)考試)某餐廳中，一張桌子可坐6人，有以下兩種

擺放方式:

第一種

(1)有4張桌子，用第一種擺設(shè)方式，可坐多少人？用第二種擺設(shè)方式，可坐多少人？

(2)用含有〃的代數(shù)式表示：有〃張桌子，用第一種擺設(shè)方式可坐多少人？用第二種擺設(shè)方式，可坐多少

人？

(3)一天中午，餐廳要接待80位顧客共同就餐，但餐廳只有20張這樣的桌子可用，且每4張拼成一張大

桌子.若你是這家餐廳的經(jīng)理，你打算選擇哪種方式來擺放餐桌，并說明理由.

16.(2023?全國(guó)?七年級(jí)假期作業(yè))如圖，某鏈條每節(jié)長(zhǎng)為2.8cm,每?jī)晒?jié)鏈條相連接部分重疊的圓的直徑

為1cm,按這種連接方式，完成下面各題.

2節(jié)”節(jié)

（1）2節(jié)鏈條的總長(zhǎng)度為cm；3節(jié)鏈條的總長(zhǎng)度為cm；4節(jié)鏈條的總長(zhǎng)度為cm；

（2）根據(jù)上述規(guī)律，n節(jié)鏈條的總長(zhǎng)度為多少cm；（用含n的式子表示，不用說理）

（3）一根鏈條的總長(zhǎng)度能否為73cm?若能，請(qǐng)求出該鏈條由幾節(jié)組成；若不能，請(qǐng)說明理由.

17.（2022秋?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）（1）有一列數(shù)1、3、5、7……有無數(shù)項(xiàng)（無數(shù)個(gè)數(shù)），請(qǐng)觀察其規(guī)

律后寫出其中第20項(xiàng)（從左往右數(shù)第20個(gè)數(shù)）是一，第〃項(xiàng)是「

（2）二算法是數(shù)學(xué)的一種很重要的方法，用二算法可以得到許多很重要的數(shù)學(xué)公式.請(qǐng)觀察下圖，用二算

法推導(dǎo)出1+3、1+3+5、1+3+5+7的計(jì)算結(jié)果，猜測(cè)1+3+5+7++（2?—1）的計(jì)算結(jié)果；

（3）由（2）推導(dǎo)出2+4+6++2"的結(jié)果.

18.（2022秋?廣西北海?七年級(jí)統(tǒng)考期中）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三

角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列.

圖1

【觀察思考】

當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）：

圖2

（1）當(dāng)正方形地磚有2塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有塊（如圖3）；

（2）以此類推，人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊；

（3）【規(guī)律總結(jié)】若一條這樣的人行道一共有71（71為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊

數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）.

（4）【問題解決】現(xiàn)有2022塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，則需要正方形地磚多

少塊？

19.（2023春?四川自貢?七年級(jí)四川省榮縣中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）用火柴棒按圖中的方式搭圖形:

m①②③

(1)按圖示規(guī)律填空:

圖形編號(hào)①②③④⑤

火柴棒根數(shù)712

(2)按照這種方式搭下去，請(qǐng)寫出搭第幾個(gè)圖形需要的火柴根數(shù);

(3)小明發(fā)現(xiàn)：按照這種方式搭圖形會(huì)產(chǎn)生若干個(gè)正方形，若使用2022根火柴搭圖形，圖中會(huì)產(chǎn)生多少個(gè)

正方形？

20.(2022秋?北京通州?七年級(jí)統(tǒng)考期末)現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)方形4BCD的寬為1,長(zhǎng)為a(a>l)的紙片，先剪去

一個(gè)正方形，余下一個(gè)長(zhǎng)方形，在余下的長(zhǎng)方形紙片中再剪去一個(gè)正方形，又余下一個(gè)長(zhǎng)方形……，依此

類推，如圖是剪3次后余下的長(zhǎng)方形恰好是正方形的其中一種示意圖及相應(yīng)a的值，請(qǐng)畫出（與示意圖不同）

剪3次后余下的長(zhǎng)方形恰好是正方形的示意圖，并寫出相應(yīng)a的值.

備用圖備用圖備用圖備用圖

21.（2022秋?安徽滁州?七年級(jí)校考階段練習(xí)）圖□是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如正三角形的圖案，最

上面一層有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了〃層，將圖□倒置后與原圖拼成圖1所示

的形狀，這樣我們可以算出圖□中所有圓圈的個(gè)數(shù)為1+2+3+…+幾=血及，如果圖□-□中各有11層.

2

第1層

第2層■III??????